反比例函数知识点及题型归纳培优练习题

第1课时——反比例函数知识点一：反比例函数的定义：1.反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数。

有时又表示为。

【类型一：判断函数关系】1．下列式子中，成反比例关系的是（）A．圆的面积与半径B．速度一定，行驶路程与时间C．平行四边形面积一定，它的底和高D．一个人跑步速度与它的体重2．下面两个问题中都有两个变量：①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（）A．①是反比例函数，②是二次函数B．①是二次函数，②是反比例函数C．①②都是二次函数D．①②都是反比例函数3．下面几组量不成反比例的是（）A．路程一定，时间和速度B．长方形面积一定，长和宽C．圆周长一定，圆的直径和圆周率D．比的前项一定，比的后项和比值【类型二：判断反比例函数解析式】4．下列关系式中，表示y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．21x y =B ．3x y =C ．12+=x y D ．xy 3=5．下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．xk y =B ．21x y =C ．121+=x y D ．﹣2xy ＝16．下列函数关系式中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．y ＝5x B ．3=xy C ．xy 1=D ．y ＝x 2﹣3【类型三：根据反比例函数关系式求字母】7．若函数y ＝（m 2﹣3m +2）x |m |﹣3是反比例函数，则m 的值是（ ）A ．1B ．﹣2C ．±2D ．28．已知函数y ＝（m ﹣2）52-m x 是反比例函数，则m 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．任意实数9．若函数y ＝（2m ﹣1）22-m x 是反比例函数，则m 的值是（ ）A ．﹣1或1B ．小于21的任意实数 C ．﹣1D ．110．如果函数y ＝（m ﹣1）x |m |﹣2是反比例函数，那么m 的值是（ ）A ．2B ．﹣1C ．1D ．0知识点一：反比例函数的图像与性质：1. 反比例函数的图像：反比例函数的图像是 双曲线 ，分布在函数的 两 个象限内。

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案一、反比例函数1．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。

反比例函数知识点1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x ky =还可以写成kxy =1-，xy=k , （k 为常数，o k ≠）.2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

4．反比例函数性质与k 的符号有关：5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一组对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。

反比例函数练习一. 选择题1. 函数y m x m m =+--()2229是反比例函数，则m 的值是（ ） A. m =4或m =-2 B. m =4 C. m =-2 D. m =-12. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. y x =-2B. y x =-12 C. y x=-11D. y x =123. 函数y kx =-与y k x=（k ≠0）的图象的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 4. 函数y kx b =+与y kxkb =≠()0的图象可能是（ ）A B C D5. 若y 与x 成正比，y 与z 的倒数成反比，则z 是x 的（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 二次函数 D. z 随x 增大而增大6. 下列函数中y 既不是x 的正比例函数，也不是反比例函数的是（ ）A. y x=-19B. 105=-x y :C.y x=412D.152xy =- 7. 如图，直线y =x －2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，与反比例函数的图象在第一象限交于点A ，连接OA ，若S △AOB S △BOC = 1:2，则k 的值为（ ） A ．2 B ．3D ．68. 如图，A 、B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ） A ．B ．C ． 3D ． 49. 如图，△AOB 是直角三角形，AOB ∠=︒90，OA OB 2=，点A 在反比例函数xy 1=的图象上．若点B 在反比例函数xky =的图象上，则k 的值为A ．4-B ．4C ．2-D ．2二. 填空题1. 已知y 是x 的反比例函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小。

反比例函数一、反比例函数的概念 一般地，可化为形如：(),0ky k k x=≠为常数且 叫做反比例函数，即y 是x 的反比例函数。

（x 为自变量，y 为因变量，其中x 、y 不能为零）反比例函数的等价形式：y 是x 的反比例函数：①一般式()0ky k x=≠，②指数式（主要用于填空选择题）()10y kx k -=≠，③ 乘积式（变量积为定值是分析反比例函数应用的理论基础）()0xy k k =≠ ←→ 变量y 与x 成反比例，比例系数为k ，k 不为零是重要条件. 二、反比例函数性质①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x 轴和y 轴），但不会与坐标轴相交。

拓展：反比例函数的图像（双曲线）既是轴对称图形也是中心对称图形，两条对称轴分别为直线x y ±=，对称中心为坐标原点。

三、反比例函数图象的几何特征:(如下图所示) 点P(x,y)在双曲线上都有11||||||||22AOB OAPB S xy k S xy k ∆====矩形反比例函数(0≠=k xky 图像是双曲线，我们会经常遇到与之有关的面积问题，现对这部分内容进行拓展。

例题分析例1 下面函数中是反比例函数的有 .(填入序号即可)①5y x=； ②x y -=5； ③2x y =； ④2=xy ； ⑤πx y =； ⑥y =26x；⑦12-=x y ； ⑧x y 52-=； ⑨)0(2≠=a a xay 为常数且；⑩2112y x =+.例2 k 为何值时,函数y =322)(--+k k x k k 是反比例函数?例3 已知y 与x 成反比例，并且当2x =时，1y =-，则当4x =-时，求y 的值.6-1-1例4 若双曲线1k y x+=经过点(),2A m m -. （1）若7k =-，求m 的值；（2）若图象两支分布在第二、四象限内，求k 的范围；（3）在（1）问条件下，双曲线还与直线()0y ax a a =≠为常数，且交于点()()1122,,,B x y C x y ： ①求211232x y x y -的值；②若12x x >，试比较12,y y 的大小.例5 如图6-1-1，点A 是双曲线xky =与直线()1y x k =--+在第二象限内的交点，AB x ⊥轴于B ，且32ABO S ∆=. （1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标 （3）x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （4）求AOC ∆的面积.例 6 已知()()1122,,,A x y B x y 是反比例函数1y x=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足122175,23y y x x +=-=，求AOB S ∆的值.例7 如图6-1-2，若双曲线ky x=与边长为5的等边AOB ∆的边,OA AB 分别相交于,C D 两点，且3OC BD =，则实数k 的值为 ．课堂练习1.下列函数中是反比例函数的有 _________ （填序号）.①3x y ＝－； ②x y 2＝－； ③xy 23－＝； ④21＝xy ； ⑤1－＝x y ； ⑥2＝x y ；⑦xky ＝（k 为常数，0≠k ）2.若22)1(-+=a x a y 是反比例函数，则a 的值是多少？3.已知函数12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当1x =时，4y =,当2x =时，5y =. 求y 关于x 的函数解析式.6-1-24.已知函数xy 3=，当x ＜0时，函数图象在第 象限，y 随x 的增大而 .5.在平面直角坐标系中，反比例函数xa a y 22+-=图像的两个分支分别在哪个象限？6.设11(,)A x y ,22(,)B x y 是反比例函数xy 3-=图像上的任意两点，且21y y <，则1x ，2x 可能满足的关系是什么？A.021>>x xB.210x x <<C.120x x <<D.012<<x x 7.如图6-1-3，,P Q 是双曲线上第二象限内的任意两点，PM x ⊥轴于M ,QN y ⊥ 轴于N ，试比较梯形PMNQ 与PQO ∆面积的大小.8.若0ab <,则函数ax y =与xby =在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的（ ）A B C D6-1-39.若A （x 1，y 1）,B (x 2，y 2)，C （x 3，y 3）都是反比例函数xy 1-=的图象上的点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，则y 1，y 2，y 3由小到大的顺序是 ；10.已知y 与x 成正比例，z 与y 成反比例，则z 与x 成__________关系，当1=x 时，2=y ；当2=y 时，2-=z ，则当2-=x 时，______=z ； 11.如图6-1-4，过点O 作直线与双曲线()0ky k x=≠交,A B 两点，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，作BD y ⊥轴于点D ．在x 轴上分别取点,E F ，使点,,A E F 在同一条直线上，且AE AF =．设图中矩形ODBC 的面积为1S ，EOF ∆的面积为2S ，试判断1S 、2S 的数量关系.12.如图6-1-5，点A 、B 在反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM=MN=NC ，S △BNC=2，求k 的值.13.如图6-1-6，A 、B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，求k 的值.6-1-46-1-56-1-66-1-76-1-86-1-914.如图6-1-7，A ，C 是函数y=的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，设Rt △AOB 的面积为S 1，Rt △COD 的面积为S 2，则（ ） A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1=S 2D ．S 1和S 2的大小关系不能确定15.如图6-1-8，以点O 为圆心的圆与反比例函数的图象相交，若其中一个交点P 的坐标为（5，1），则图中两块阴影部分的面积和为 ．16.如图6-1-9，曲线是反比例函数在第二象限的一支，O 为坐标原点，点P在曲线上，PA ⊥x 轴，且△PAO 的面积为2，则此曲线的解析式是 ． 17.如图6-1-10，P 是函数()021>=x xy 图象上一点，直线1+-=x y 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，作x PM ⊥轴于M 点，交AB 于点E ，作y PN ⊥轴于N 点，交AB 于F 点，求BE AF ⋅的值.6-1-1018.两个反比例函数x k y 1=和()0212>>=k k xky 在第一象限内的图象依次是曲线1c 和2c ，设点P 在1c 上，x PE ⊥轴于点E ，交2c 于点A ，y PD ⊥轴于点D ，交2c 于点B ，求四边形PAOB 的面积.19.如图6-1-11，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x 与双曲线y =相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，B C ．若△PBC 的面积是20，求点C 的坐标．20.如图6-1-12，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n ，分别过这些点做x 轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，…P n ，再分别过P 2，P 3，P 4，…P n 作P 2B 1⊥A 1P 1，P 3B 2⊥A 2P 2，P 4B 3⊥A 3P 3，…，P n B n ﹣1⊥A n ﹣1P n ﹣1，垂足分别为B 1，B 2，B 3，B 4，…，B n ﹣1，连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…，P n ﹣1P n ，得到一组Rt △P 1B 1P 2，Rt △P 2B 2P 3，Rt △P 3B 3P 4，…，Rt △P n ﹣1B n ﹣1P n ，则Rt △P n ﹣1B n ﹣1P n 的面积为 ．6-1-116-1-12。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y= x+ ，把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；（3）解：如下图所示：设P点坐标为（t，t+ ），∵△PCA和△PDB面积相等，∴• •（t+4）= •1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到• •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．2．如图，已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD 的面积为2.（1）求的值及 =4时的值；（2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设 ,若，求值【答案】（1）解：设A（x0， y0），则OD=x0， AD=y0，∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2，∴k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，∴A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1（2）解：∵，∴＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，∵A的横坐标为x0，∴mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- ，∵OC=- ，OD=x0，∴m2•t=m2•（OD•DC），=m2•x0（- -x0），=m（-5x0-mx02），=-4m，∵- ＜m＜- ，∴5＜-4m＜6，∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值；（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2•t=m2•（OD•DC）=-4m，根据m的取值范围得出5＜-4m＜6，从而答案。

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析一、反比例函数1．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y= （x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y= 的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，∴S△ABC= AB•AC= × × = ，即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴ = ，即 = ，∴EF= a，由（2）可知BG= a，∴BG=EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG=∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD=EF．【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．2．如图1，已知一次函数y=ax+2与x轴、y轴分别交于点A，B，反比例函数y= 经过点M．（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）．当a=﹣3时，设点M的横坐标为m，求k与m之间的函数关系式．（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y= 的图象有唯一公共点M，且OM= ，求a的值．（3）当a=﹣2时，将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位长度得到Rt△A′O′B′，如图2，M是Rt△A′O′B′斜边上的一个动点，求k的取值范围．【答案】（1）解：当a=﹣3时，y=﹣3x+2，当y=0时，﹣3x+2=0，x= ，∵点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0＜m＜，，DANG则，﹣3x+2= ，当x=m时，﹣3m+2= ，∴k=﹣3m2+2m（0＜m＜）（2）解：由题意得：，ax+2= ，ax2+2x﹣k=0，∵直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，∴△=4+4ak=0，ak=﹣1，∴k=﹣，则，解得：，∵OM= ，∴12+（﹣）2=（）2，a=±（3）解：当a=﹣2时，y=﹣2x+2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，2），∵将Rt△AOB在第一象限内沿直线y=x平移个单位得到Rt△A′O′B′，∴A′（2，1），B′（1，3），点M是Rt△A′O′B′斜边上一动点，当点M′与A′重合时，k=2，当点M′与B′重合时，k=3，∴k的取值范围是2≤k≤3【解析】【分析】（1）当a=﹣3时，直线解析式为y=﹣3x+2，求出A点的横坐标，由于点M的横坐标为m，且M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）从而得到m的取值范围，由﹣3x+2= ,由X=m得k=﹣3m2+2m（0＜m＜）；（2）由ax+2= 得ax2+2x﹣k=0，直线y=ax+2（a≠0）与双曲线y= 有唯一公共点M时，△=4+4ak=0，ak=﹣1，由勾股定理即可；（3）当a=﹣2时，y=﹣2x+2，从而求出A、B两点的坐标，由平移的知识知A′，B′点的坐标，从而得到k的取值范围。

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。

《反比例函数》知识点及专题训练2知识点1 反比例函数的定义一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与ykx =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号。

如xk y =在第一、第三象限，则可知0k >。

知识点4反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。

本文将对反比例函数的知识点进行归纳，并给出一些典型例题进行解析。

一、定义和性质反比例函数又称为倒数函数，其定义如下：设x和y是实数，且y ≠ 0，若存在一个实数k，使得y = k/x，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。

其一般形式为y = k/x，其中k为常数。

反比例函数具有以下重要性质：1. 定义域：定义除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为x ≠ 0。

2. 值域：值域取决于常数k的正负，当k > 0时，值域为(0, +∞)，当k < 0时，值域为(-∞, 0)。

3. 对称性：反比例函数关于两个坐标轴都具有对称性。

二、图象和特殊情况反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。

当常数k > 0时，反比例函数的图象在第一象限和第三象限，当常数k< 0时，反比例函数的图象在第二象限和第四象限。

对于一些特殊情况，我们有以下例子：1. 当k > 0时，反比例函数的图象经过点(1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。

2. 当k < 0时，反比例函数的图象经过点(-1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。

三、典型例题解析下面通过几个典型例题来进一步理解反比例函数的应用。

例题1：已知y和x成反比例关系，且当x = 2时，y = 5，求当x =4时，y的值。

解析：根据反比例函数的定义，有y = k/x。

代入已知条件x = 2时，y = 5，得到5 = k/2，解得k = 10。

因此，当x = 4时，y = 10/4 = 2.5。

例题2：如果一根细木杆以每分钟1.5cm的速度缩短，那么多少分钟后长度为60cm？解析：设时间为t分钟，根据题意可以列出反比例函数y = k/x。

已知当t = 0时，y = 100，即杆子的初始长度是100cm。

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案一、反比例函数1．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y= 在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），∴k=﹣1×4=﹣4；（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，∴C（﹣2，0），∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，∴D（0，﹣2），∴S△OCD= ×2×2=2（3）解：存在．当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），∵S△ODQ=S△OCD，∴点Q和点C到OD的距离相等，而Q点在第四象限，∴Q的横坐标为﹣b，当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），∵点Q在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣或b= （舍去），∴b的值为﹣．【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．2．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABH面积．【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，∴CO=2，即C（0，2），把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，，解得，∴一次函数解析式为y=2x+2，∵点A的横坐标是1，∴当x=1时，y=4，即A（1，4），把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，∴反比例函数解析式为y=（2）解：解方程组，可得或，∴B（﹣2，﹣2），又∵A（1，4），BH⊥y轴，∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.3．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．（1）当n=1时，求点A的坐标；（2）若OP=AP，求k的值；（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，当n=1时，s= ，∴a= = ．（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n= ．∴1+ = •an．即n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，∴△OPA是等腰直角三角形．∴m=n．设△OPQ的面积为s1则：s1= ∴•mn= （1+ ），即：n4﹣4n2+4=0，∴k2﹣4k+4=0，∴k=2．（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，∴△OPQ∽△OAP．设：△OPQ的面积为s1，则 =即： = 化简得：化简得：2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0（k﹣2）（2k﹣n4）=0，∴k=2或k= （舍去），∴当n是小于20的整数时，k=2．∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，∴n是大于0且小于20的整数．当n=1时，OP2=5，当n=2时，OP2=5，当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，当n是大于3且小于20的整数时，即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：42+ 、52+ 、62+ …192+ ，∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，∴OP2的最小值是5．【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.4．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

考点梳理：初中反比例函数章节必考点全梳理（精编Word）必考点1：反比例函数的概念掌握一般地，形如y=kx（k≠0）的函数称为反比例函数，反比例函数的等价形式①y=kx（k≠0）②y＝kx﹣1（k≠0）③xy=k（k≠0）例题1下列函数：①y＝x﹣2，②y=3x，③y＝x﹣1，④y=2x+1，y是x的反比例函数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个变式1若函数y＝（m2﹣3m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（）A．1B．﹣2C．±2D．2变式2已知函数y＝（m+1）x m2−2是反比例函数，则m的值为．变式3下列函数中，y是x的反比例函数有（）（1）y＝3x；（2）y=−2x；（3）y=x3；（4）﹣xy＝3；（5）y=2x+1；（6）y=1x2；（7）y＝2x﹣2；（8）y=kx．A．（2）（4）B．（2）（3）（5）（8）C．（2）（7）（8）D．（1）（3）（4）（6）必考点2：反比例函数的图象（结合一次、二次函数）对于一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．例题2若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．变式4一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．变式5函数y=kx与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）A．B．C．D．变式6抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y= (a+b+c)(a−b+c)x在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．必考点3：反比例函数图象上点的坐标特征（比较大小）反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．例题3若（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）三点均在反比例函数y=m2+1x的图象上，则下列结论中正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1变式7函数y=−k2−1x（k为常数）的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3变式8已知点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x3＜x1＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x1＜x2＜x3变式9若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a＞1必考点4： 反比例函数图象上点的坐标特征（与四边形结合）反比例函数图象上点的坐标特征：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．例题4 在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （1，0），D （0，2），点B 在第一象限，BD ∥x 轴，若函数y =kx(k ＞0，x ＞0)的图象经过矩形ABCD 的对角线的交点，则k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10变式10 如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数y =kx （k ＞0，x ＞0）图象上一点，B 是y 轴正半轴上一点，以OA 、AB 为邻边作▱ABCO ．若点C 及BC 中点D 都在反比例函数y =−4x（x ＜0）图象上，则k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12变式11 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，AB ∥x 轴，CD 与y 轴交于点E ，反比例函数y =k x（x ＞0）图象经过顶点B 、C ，已知点B 的横坐标为5，AE ＝2CE ，则点C 的坐标为（ ）A ．（2，203） B ．（2，83）C ．（3，203） D ．（3，83）变式12如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．﹣12B．﹣42C．42D．﹣21必考点5： 反比例函数系数k 的几何意义（面积）反比例函数y =kx （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．例题5 如图，两个反比例函数y =4x 和y =2x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．无法计算变式13 如图直线y ＝mx 与双曲线y =k x 交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4变式14 如图，点A 与点B 分别在函数y =k1x (k 1＞0)与y =k2x (k 2＜0)的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴上．若△AOB 的面积为2，则k 1﹣k 2的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5变式15如图，是反比例函数y=k1x和y=k2x（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为．必考点6： 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）反比例函数y =kx （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．例题6 如图，已知A 1，A 2，A 3，…A n ，…是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n …＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…作x 轴的垂线交反比例函数y =1x （x ＞0）的图象于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，…，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2…，记△B 1P 1B 2的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2…，△B n P n B n +1的面积为S n ．则S 1+S 2+S 3+…+S 20＝ ．变式16 【变式6-1】（2019•蜀山区一模）如图，点B 在反比例函数y =2X（x ＞0）的图象上，过点B 分别与x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是C 0和A ，点C 0的坐标为（1，0），取x 轴上一点C 1（32，0），过点C 1作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 1，过点B 1作线段B 1A 1⊥BC 0交于点A 1，得到矩形A 1B 1C 1C 0，依次在x 轴上取点C 2 （2，0），C 3（52，0）…，按此规律作矩形，则矩形A n B n ∁n C n ﹣1（n 为正整数）的面积为 ．变式17如图，在反比例函数的图象y=4x（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+S n＝．变式18如图，已知反比例函数y=1x的图象，当x取1，2，3，…n时，对应在反比例图象上的点分别为M1、M2、M3…M n，则S△P1M1M2+S△P2M2M3+…S△Pn﹣1Mn﹣1Mn＝．必考点7： 待定系数法求反比例函数解析式反比例函数y =kx （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．例题7 已知反比例函数y =kx（k ≠0），当x ＝﹣3时，y =43． （1）求y 关于x 的函数表达式． （2）当y ＝﹣4时，求自变量x 的值．变式19 已知y 与x ﹣1成反比例，且当x ＝4时，y ＝1． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在该函数图象上．变式20已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．（1）y与x的函数表达式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．变式21已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x+1成反比例，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2．求y 与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．必考点8：反比例函数与一次函数交点问题例题8如图，等腰直角△ABC位于第二象限，BC＝AC＝2，直角顶点C在直线y＝﹣x上，且点C的横坐标为﹣3，边BC，AC分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=kx与△ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为．变式22如图，直线y＝1与反比例函数y=kx（x＜0），y=2x（x＞0）的图象分别交于点A和点B，线段AB的长是8，若直线y＝n（x+2）（n≠0）与y=2x（x＞0）的图象有交点，与y=kx（x＜0）无交点，则n的取值范围为（）A．﹣6＜n＜0B．0＜n＜6 C．﹣6＜n＜0或0＜n＜6D．0＜n＜2变式23在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y＝x+b与双曲线y=−4 x相交于点P（x1，y1）、Q（x2，y2），与直线AB相交于点R（x3，y3）．若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是（）A．b＞4B．b＞4或b＜﹣4C．−295＜b＜﹣4或b＞4D．4＜b＜295或b＜﹣4变式24平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y=14x+b的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（）A．−54≤b＜1或74＜b≤114B．−54≤b＜1或−74＜b≤114C．−54≤b＜﹣1或−74＜b≤114D．−54≤b＜﹣1或74＜b≤114必考点9：反比例与一次函数综合例题9如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≤mx的解集；（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．变式25如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．与x轴交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．（3）在y轴上找一点P，使P A+PB的值最小，直接写出满足条件的点P的坐标是．变式26如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出不等式kx+b＞mx的解集．变式27 如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =mx（x ＞0）的图象在第一象限交于点A ，B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E ，D ．已知A （4，1），CE ＝4CD ．（1）求反比例函数的解析式． （2）求一次函数的解析式． （3）根据图象直接写出m x＜kx +b 时x 的取值范围．（4）若点M 为一次函数图象上的动点，过点M 作MN ∥y 轴，交反比例函数y =m x（x ＞0）的图象于点N ，连结ME ，NE ，当△MNE 的面积为98时，直接写出点M 的横坐标．必考点10：反比例函数的应用例题10为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．变式28学校的学生专用智能饮水机里水的温度y（℃）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃～45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？变式29实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）与时间x（时）变化的图象，如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．（1）求部分双曲线AB的函数解析式；（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：30在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．变式30饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．（2）求图中t的值；（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？必考点11：反比例函数存在性问题（三角形）例题11如图，反比例函数y1=kx和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．变式31如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．变式32如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．变式33如图，函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．（1）求n和k的值；（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y=kx（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．必考点12： 反比例函数存在性问题（四边形）例题12 已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 的坐标为（2，4），反比例函数y =m x （x ＞0）的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求线段DE 的长；（2）在线段OD 上存在一点M ，当△MOE 的面积等于34时，求点M 的坐标； （3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O 、D 、E 、N 四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．变式34如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO=38S矩形OABC．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．变式35如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=kx的图象过点A．（1）求k的值．（2）点P为反比例图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．（3）点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．变式36如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），点B、C在第三象限内．（1）点B的坐标；（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

反比例函数1.定义：形如y ＝x k （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

xy=k 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x 和y=-x 。

对称中心是：原点。

由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、性质：①x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是y ≠0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

①x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y随x 的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

如下图，过反比例函数)0(≠=k xk y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙。

k S k xy xk y ==∴=,, 。

5.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限，x 增大y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x 、y 的顺序可交换。

练习题1．下列函数，①y ＝2x ，②y ＝x ，③y ＝x －1，④y ＝11x +是反比例函数的个数有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．反比例函数y ＝2x的图象位于()A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限3．已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关系用图象表示大致为()4．已知关于x 的函数y ＝k (x +1)和y ＝－k x(k ≠0)它们在同一坐标系中的大致图象是( )5．已知点(3，1)是双曲线y ＝k x (k ≠0)上一点，则下列各点中在该图象上的点是()A ．(13，－9)B ．(3，1)C ．(－1，3)D ．(6，－12)6．某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa 时， 气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应()A ．不大于2435m 3B ．不小于2435m 3C ．不大于2437m 3D ．不小于2437m 3第6题图第7题图7．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I A ．与电阻R (Ω)成反比例，如右图所表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为()．A ．I ＝6R B ．I ＝－6R C ．I ＝3R D ．I ＝2R 8．函数y ＝1x 与函数y ＝x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个9．若函数y ＝(m +2)|m |－3是反比例函数，则m 的值是()．A ．2B ．－2C ．±2D ．×210．已知点A (－3，y 1)，B (－2，y 2)，C (3，y 3)都在反比例函数y ＝4x 的图象上，则()．A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3二、填空题11．一个反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象经过点P (－2，－1)，则该反比例函数的解析式是________．12．已知关于x 的一次函数y ＝kx +1和反比例函数y ＝6x 的图象都经过点(2，m )，则一次函数的解析式是________．13．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x 与完成任务所需的时间y 之间的函数关系式为________．14．正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，如图所示，则四边形ABCD 的为_______．第14题图第15题图第19题图15．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_________．16．反比例函数y ＝21039n n x --的图象每一象限内，y 随x 的增大而增大，则n ＝_______．17．已知一次函数y ＝3x +m 与反比例函数y ＝3m x -的图象有两个交点，当m ＝_____时，有一个交点的纵坐标为6．18．若一次函数y ＝x +b 与反比例函数y ＝k x 图象，在第二象限内有两个交点， 则k ______0，b _______0，(用“＞”、“＜”、“＝”填空)19．两个反比例函数y ＝3x ，y ＝6x 在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2005，在反比例函数y ＝6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2005，纵坐标分别是1，3， 5 ……， 共2005年连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线与y ＝3x 的图象交点依次是Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，Q 3(x 3，y 3)，…，Q 2005(x 2005，y 2005)，则y 2005＝________．20．当＞0时，两个函数值y ，一个随x 增大而增大，另一个随x 的增大而减小的是( )．A ．y ＝3x 与y ＝1x B ．y ＝－3x 与y ＝1x C ．y ＝－2x +6与y ＝1x D ．y ＝3x －15与y ＝－1x 21．在y ＝1x 的图象中，阴影部分面积为1的有（）22．如图，已知一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝m x(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ， 若OA ＝OB ＝OD ＝1．(1)求点A 、B 、D 的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式．23．如图，已知点A (4，m )，B (－1，n )在反比例函数y ＝8x的图象上，直线AB 分别与x 轴，y 轴相交于C 、D 两点，(1)求直线AB 的解析式．(2)C 、D 两点坐标．(3)S △AOC ：S △BOD 是多少？第23题24．已知y ＝y 1－y 2，y 1y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝－14，x ＝4时，y ＝3．求(1)y 与x 之间的函数关系式．(2)自变量x 的取值范围．(3)当x ＝14时，y 的值．25．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于A 、B 两点．(1)利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．26．如图，双曲线y ＝5x在第一象限的一支上有一点C (1，5)， 过点C 的直线y ＝kx +b (k ＞0)与x 轴交于点A (a ，0)．(1)求点A 的横坐标a 与k 的函数关系式(不写自变量取值范围)．(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D 的横坐标是9时，求△COA 的面积．第26题图反比例函数测试题答案1．B ．；2．D ．；3．A ．；4．A ．；5．B ．；6．B ．；7．A ．；8．B ．；9．A ．；10．D ．；11．y ＝2x；12．y ＝x +1；13．y ＝20x ；14．2；15．y ＝－8x ；16．n ＝－3；17．m ＝5；18．＜，＞；19．2004．5；20．A ．；B ．；；21．A ；C ；D ；22．解：(1)∵OA ＝OB ＝OD ＝1，∴点A 、B 、D 的坐标分别为A (－1，0)，B (0，1)，D (1，0)．(2)∵点AB 在一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象上，∴01k b b -+=⎧⎨=⎩解得11k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y ＝x +1，∵点C 在一次函数y ＝x +1的图象上， 且CD ⊥x 轴，∴C 点的坐标为(1，2)，又∵点C 在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴m ＝2， ∴反比例函数的解析式为y ＝2x ．；23．(1)y ＝2x －6；(2)C (3，0)，D (0，－6)；(3)S △AOC ：S △BOD ＝1：1．；24．(1)y ＝216x 提示：设y ＝k －22k x，再代入求k 1，k 2的值．(2)自变量x 取值范围是x ＞0．(3)当x ＝14时，y ＝－162＝255．；25．解：(1)由图中条件可知，双曲线经过点A (2，1)∴1＝2m ，∴m ＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝2x ．又点B 也在双曲线上，∴n ＝21-＝－2，∴点B 的坐标为(－1，－2)．∵直线y ＝kx +b 经过点A 、B ．∴122k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得11k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为y ＝x －1．(2)根据图象可知，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时， 一次函数的值大于反比例函数的值，即x ＞2或－1＜x ＜0．；26．解：(1)∵点C (1，5)在直线y ＝－kx +b 上，∴5＝－k +b ，又∵点A (a ，0)也在直线y ＝－kx +b 上，∴－ak +b ＝0，∴b ＝ak将b ＝ak 代入5＝－k +a 中得5＝－k +ak ，∴a ＝5k+1．(2)由于D 点是反比例函数的图象与直线的交点∴599y y k ak⎧=⎪⎨⎪=-+⎩∵ak ＝5+k ，∴y ＝－8k +5③将①代入③得：59＝－8k +5，∴k ＝59，a ＝10．∴A (10，0)，又知(1，5)，∴S △COA ＝12×10×5＝25．；。

初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析一、反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6∴反比例函数解析式为：把C（﹣1，n）代入，得：n=﹣6∴C（﹣1，﹣6）把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：所以一次函数解析式为y1=2x﹣4（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形如图，过B作BP1⊥y轴于P1，∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形此时，P1（0，2）过B作BP2⊥AB交y轴于P2∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形在Rt△P1AB中，在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB∴∴P2（0，）综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE=．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．【答案】（1）解：作AD⊥x轴于D，如图，在Rt△OAD中，∵sin∠AOD= = ，∴AD= OA=4，∴OD= =3，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y= 得m=﹣4×3=﹣12，所以反比例函数解析式为y=﹣；把B（6，n）代入y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，把A（﹣3，4）、B（6，﹣2）分别代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2（2）解：当y=0时，﹣x+2=0，解得x=3，则C（3，0），所以S△AOC= ×4×3=6（3）解：当x＜﹣3或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值【解析】【分析】（1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣3，4），再把A点坐标代入y= 可求得m=﹣12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（6，n）代入反比例函数解析式求出n，然后把A和B点坐标分别代入y=kx+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．3．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

反比例函数知识点及培优练习一、反比例函数的概念（1）y =k x（k≠0）可以写成y =x −1（k≠0）和xy=k （k≠0）的形式，（2） 反比例函数y =kx 的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y 轴无交点．二、反比例函数的图象：双曲线 三、反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：y =k x （k≠0）2．自变量的取值范围：x≠0 3．图象：（1）图象的形状：双曲线．|k |越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k |越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． ②当k ＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；③当k ＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：①图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（－a ，－b ）在双曲线的另一支上． ②图象关于直线y=±x 对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（b ，a ）和（－b ，－a ）在双曲线的另一支上．（4）k 的几何意义图1①如图1，设点P （a ，b ）是双曲线y =kx 上任意一点，作PA⊥x 轴于A 点，PB⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是|k |（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是12|k |）．②如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为2|k |．（5）说明：①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． ②直线y=k 1x 与双曲线y =k 2x的关系：当k 1k 2＜0时，两图象没有交点；当k 1k 2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．四、精品练习1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）．A ．y=3xB ．y －3=2xC ．3xy=1D ．y=x 2 （2）下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）． A ．y =14x B ．y =−1x 2 C ．y =1x−1 D ．y =1+1x 2．图象和性质（1）已知函数y =（k +1）x k2+k−3是反比例函数。

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案一、反比例函数1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y= x+ ，把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；（3）解：如下图所示：设P点坐标为（t，t+ ），∵△PCA和△PDB面积相等，∴• •（t+4）= •1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到• •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.3．平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数y1= （x＞0）图象上的两点，点P是y2=﹣（x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．（1）求△APQ的面积；（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；（3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：∵点A的横坐标为m,且在函数上，AP∥x轴,且点P在函数上，∴点A（m, ）,点P（－m, ）,∴MN=m-(-m)=2m,PM= ,∴S矩形PMNA＝2m╳ =8,∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,∴S△PQM＝S△PRQ， S△ANQ＝S△ARQ,∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4（2）解：当PQ x轴时，则PQ＝，,AP=2m,∵PQ=AP∴2m= ,∴m=∴ ,当PQ＝AQ时，则（3）解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，∴OA＝OB，∵A（m, ）,B(n, )，∴∴mn=4.【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M，PN ⊥ x轴交x轴于点N，QR ⊥ AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，根据点A的横坐标为m，利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论。

反比例函数知识点归纳总结与典型例题(一)反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y = — ( k是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。

x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = k (k w 0) , (B) xy = k (k 丰 0) (C) y=kx-1 (kw0)x例题讲解：有关反比例函数的解析式1 1 1 x 1 (1)下列函数，① x(y 2) 1②.y ——③y /④.y ——⑤y —⑥y —；其中是y关x 1 x 2x 2 3x 于x的反比例函数的有：。

a2 2 ....... …(2)函数y (a 2)x 是反比例函数,则a的值是( )A.—1B. — 2C. 2D.2 或—21 .................(3)若函数y 七彳勤是常数)是反比例函数，则m=,解析式为 .xk(4)反比例函数y — (k 0)的图象经过(一2, 5)和(J2 , n),x求1) n的值；2)判断点B ( 4J2 , 短)是否在这个函数图象上，并说明理由(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：(1)当k>0时双曲线分另位于第象限内；(2)当k<0时，双曲线分另位于第象限I 3、增减性：(1)当k>0 时,,y 随x的增大而 ;(2)当k<0时,,y随x的增大而。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点; (2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如：y = 6和丫= ―)来说，它们是关于x轴，y轴。

x x例题讲解：反比例函数的图象和性质：(1)写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限m2 2⑵若反比例函数v (2m 1)x的图象在第二、四象限，则m的值是( )A—1或1； B、小于-的任意实数；C、一1; D、不能确定2(3)下列函数中，当x 0时，y随x的增大而增大的是( )1 一一4 _ 1A y 3x 4B y - x 2 C. y - D. y ——.3 x 2x2 ____ ,. 一 . 一(4)已知反比例函数y ——的图象上有两点A ( x1，y1)，B ( x2, y2),且x1 x2,则y i y 的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定2 .（5）右点（x i, y 1）、（X 2, y 2）和（X 3,y 3）分别在反比例函数 y —的图象上，且X iX 2 0 X 3,x则下列判断中正确的是（）A . y i y y 3B . y 3 y i y 2C . y 2 y 3 y iD . y 3 y y ik 1 ................... 一 ...（6）在反比例函数 y --- 的图象上有两点（x1，y 1）和（x 2, y 2）,右x 10 x 2时，y i y 2 ,则k 的x取值范围是.（7）老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第二象限；乙:函数的图象经过第四象限；丙:在每个象限内，y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 ：.（三）反比例函数与面积结合题型。

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)附详细答案一、反比例函数1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴△CEO∽△DEB∴= =3，设D（10﹣m，m），其中m＞0，∴C（3m，3m），∵点C、D在双曲线上，∴9m2=m（10﹣m），解得：m=1或m=0（舍去）∴C（3，3），∴k=9，∴双曲线y= （x＞0）（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，∴四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．2．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．【答案】（1）3；（2）﹣4（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直），；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，由得，即点M（﹣，），由得：，即点N（﹣，），则﹣≤x≤﹣，图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），即图形W与图形N之间的距离为d，d===∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，即图形W和图形N之间的距离．【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，故答案分别为：3，；（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，由得，即点F（﹣，），则OF= = ，∴OE=OF+EF=2 ，在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，则有OG=EG= OE=2，∴点E的坐标为（﹣2，2），∴k=﹣2×2=﹣4，故答案为：﹣4；【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.3．如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为 .（1）求k的值；（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.【答案】（1）解：把x= 代入，得y= ，∴A（，1），把点代入，解得：；（2）解：∵把y=3代入函数，得x= ，∴C ，设过，两点的直线方程为：，把点，，代入得：，解得：，∴，设与轴交点为，则点坐标为，∴；（3）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，根据，即得：，解得： .故点坐标为：或 .【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C 点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得，求出a的值即可.4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= （k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．（1）填空：OA=________，k=________，点E的坐标为________；（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点．①当点P在双曲线y= 上时，求证：直线MN与双曲线y= 没有公共点；②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．【答案】（1）6；-6；（﹣，4）（2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1由题意得：解得∵抛物线y=﹣过点M、N∴解得∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）∵P在双曲线y=﹣上∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6∴t=此时直线MN解析式为：联立∴8x2+35x+49=0∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点∴4=5t﹣2，得t=当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点∴，得t=∴t= 或t=③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）∴y P=5t﹣当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大此时，点P在直线x=﹣1上向上运动∵点F的坐标为（0，﹣）∴y F=﹣∴当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动∴1≤t≤4当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）当t=4﹣时，直线MN过点A．当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为S=【解析】【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）∴OA=6∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=∴k=﹣6y=4时，x=﹣∴点E的坐标为（﹣，4）故答案为：6，﹣6，（﹣，4）【分析】（1）根据A点的坐标即可得出OA的长，将C点的坐标代入双曲线y=，即可求出k的值，得出双曲线的解析式，根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点得出点E的纵坐标为4，将y=4代入双曲线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而得出E点的坐标；（2）①用待定系数法求出直线MN解析式，将M,N两点的坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，根据顶点坐标公式表示出P点的坐标，再将P点的坐标代入双曲线即可求出t的值，从而得出直线MN解析式，解联立直线MN解析式与双曲线的解析式组成的方程组，根据根的判别式的值小于0，得出直线MN与双曲线没有公共点；②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，故4=5t﹣2，求解得出t的值，当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点，故,求解得出t的值，综上所述得出答案；③根据P点的坐标判断出当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大，此时，点P在直线x=﹣1上向上运动进而表示出F点的坐标，将F点的纵坐标配成顶点式，得出当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大，此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动，故1≤t≤4，当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），当t=4﹣时，直线MN过点A．根据割补法算出当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积。

九年级数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案一、反比例函数1．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．（1）点C的坐标________；（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF，求点P的坐标．【答案】（1）（3，0）（2）解：∵AB=CD=3，OB=1，∴A的坐标为（1，3），又C（3，0），设直线AC的解析式为y=ax+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．∵点E（2，m）在直线AC上，∴m=﹣ ×2+ = ，∴点E（2，）．∵反比例函数y= 的图象经过点E，∴k=2× =3，∴反比例函数的解析式为y=（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC， M（3，﹣0.5）．在y= 中，当x=3时，y=1，∴F（3，1）．过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF．设直线EF的解析式为y=a'x+b'，∴，解得，∴y=﹣ x+ ．设直线PM的解析式为y=﹣ x+c，代入M（3，﹣0.5），得：c=1，∴y=﹣ x+1．当x=1时，y=0.5，∴点P（1，0.5）．同理可得点P（1，3.5）．∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．【解析】【解答】解：（1）∵D（3，3），∴OC=3，∴C（3，0）．故答案为（3，0）；【分析】（1）由D的横坐标为3，得到线段OC=3，即可确定出C的坐标；（2）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由D的纵坐标确定出CD的长，即为AB的长，再由B的坐标确定出OB的长，再由A为第一象限角，确定出A的坐标，由A与C的坐标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线AC解析式中，求出m的值，确定出E的坐标，代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；（3）延长FC至M，使CM=CF，连接EM，则S△EFM=S△EFC， M（3，﹣0.5）．求出F（3，1），过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，利用平行线间的距离处处相等得到高相等，再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF．此时直线EF与直线PM的斜率相同，由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标，代入反比例解析式中，确定出F坐标，由E与F坐标确定出直线EF斜率，即为直线PM的斜率，再由M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的坐标．2．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【答案】（1）解：设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，把B（10，40）代入得，k1=2，∴y1=2x+20．设C、D所在双曲线的解析式为y2= ，把C（25，40）代入得，k2=1000，∴当x1=5时，y1=2×5+20=30，当，∴y1＜y2∴第30分钟注意力更集中．（2）解：令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8令y2=36，∴，∴∵27.8﹣8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【解析】【分析】（1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式，和C、D所在双曲线的解析式；把x1=5时和进行比较得到y1＜y2，得出第30分钟注意力更集中；（2）当y1=36时，得到x1=8，当y2=36，得到，由27.8﹣8=19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.3．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。