“测试技术”第3章 测试装置的基本特性(第二讲)

H( jω) = ke
•
− jωt0
幅频和相频特性应分别满足： 幅频和相频特性应分别满足：
• 幅频特性： 幅频特性：
A(ω) = A0 相频特性： 相频特性：ϕ(ω) = −t ω 0
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3.3.3 一阶测量装置的特性
dy ） a1 + a0 y = b0 x （3-25） dt
• 具有上式输入 输出关系 具有上式输入-输出关系 的测量装置叫一阶系统或 一阶测量装置。 一阶测量装置。 • 图(a)为力学一阶系统 为力学一阶系统 • 图(b)为电学一阶系统 为电学一阶系统 • 图(c)为热学一阶系统 为热学一阶系统
• 式中：Ss = b0 / a0 式中： 测量装置的静态灵敏度
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n
n−1
m
m−1
（3-1） ）
y(t) = (b0 / a0 )x(t) = Ss x(t)
（3-17） ）
• 对上式等号两端进行傅立叶变换：可得到零阶测量装 对上式等号两端进行傅立叶变换： 置的频率响应函数： 置的频率响应函数：
• Y( jω ) = Ss X( jω ) ω ω
y( jω) = k∫ x(t − t0 )e
−∞
∞
− jωt
dt
（3-22） ）
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• 根据傅立叶变换的时移性质，从上式得到： 根据傅立叶变换的时移性质，从上式得到：
y( jω) = ke
− jωto
X ( jω)
y( jω) = ke
− jωto
X ( jω)
（3-22） ）
• 从上式可得到该测量装置的频率响应函数 H( jω ) ω 的幅值大小和相位角： 的幅值大小和相位角： • H( jω )的幅值大小为： ω 的幅值大小为： 的幅值大小为 • H( jω )的相位角为： ω 的相位角为： 的相位角为
• 由上式可得： 由上式可得：
y0 = H( jω) x0
（3-13） ）
• 或：
A(ω) = H( jω) = y0 / x0
φ = ∠H( jω)
φ(ω) = ∠H( jω)
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•
H( jω) ——动态测量系统的灵敏度 动态测量系统的灵敏度
• 静态测量的灵敏度 Ss=∆y/∆x 静态测量的灵敏度: • 动态测量装置灵敏度 A(ω) = H( jω) 动态测量装置灵敏度: • 静态测量中，测量装置的灵敏度一般是常数 静态测量中， • 动态测量装置的灵敏度通常是ω的函数 • 一个测量装置只要其 jω )已知，则任何简 一个测量装置只要其H( ω 已知 已知， 谐输入信号x(t)所引起的输出 均可确定。 所引起的输出y(t)均可确定 谐输入信号 所引起的输出 均可确定。
H( jω) = k
（3-23） ）
φ(ω) = ∠H( jω) = −ωt0
（3-24） ）
• 以上两个零阶测量系统的输出信号都能无畸变地 复现输入信号，因此可以说是实现了不失真测试。 复现输入信号，因此可以说是实现了不失真测试。
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a) 不失真测量系统的输入、输出信号在时域中的相互关系 不失真测量系统的输入、 b) 不失真测量系统的幅频特性 c) 不失真测量系统的相频特性
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• 由式（3-10）可知：若输入信号为 x(t)=x0ejωt 由式（ ）可知：
） • 对应的输出信号为：y(t)=y0ej(ωt+φ） 两者间应符合 对应的输出信号为：
公式： 公式：
y0e
j (ωt +φ )
1 jωt = Ss x0e 1+ jωτ
（3-27） ）
y0e
jφ
= Ss
1 1+ (ωτ )2
第３章 测试装置的基本特性
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3.3 测量装置的动态特性
• 测量装置的动态特性 —— 测量装置的输出对快速变化的输入信号 的动态响应特性。 的动态响应特性。 • 对测量动态信号的测量系统，要求其能迅 对测量动态信号的测量系统， 速而准确地测出信号的大小和真实地再现信 号的波形变化。 号的波形变化。即要求测量系统在输入量改 变时，其输出量能立即随之不失真地改变。 变时，其输出量能立即随之不失真地改变。 • 本节主要通过频率响应函数讨论测量装置 的频域特性。 的频域特性。
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• 判断一个动态测量装置动态性能的优劣， 判断一个动态测量装置动态性能的优劣，
应当将它的幅、 应当将它的幅、相频率特性 和理想不失真 测量装置的幅、相频率特性比较， 测量装置的幅、相频率特性比较，两者的 差异越小，性能越好。反之，性能越差。 差异越小，性能越好。反之，性能越差。
• “理想”是指能从满足测试要求的实际出 理想” 发，只要能使 y(t)与输入 x(t)相比有一定的 与输入 相比有一定的 幅值比例关系和一定的时延， 幅值比例关系和一定的时延，就能实现不 失真测量了。 失真测量了。
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• 式中：Y( jω ) —— 输出信号 y(t) 的傅立叶变换 式中： ω
3.3.2 理想测量装置的特性
• 对于零阶（或称静态）测量装置，输入信号 对于零阶（或称静态）测量装置，输入信号x(t)和 和 输出信号y(t)之间的微分方程式（3-1）中的微分项 之间的微分方程式（ ） 输出信号 之间的微分方程式 的系数均为0： 的系数均为 ：
（3-9） ）
• 上式可写为： 上式可写为：
y(t) = H( jω)x(t)
m m−1
（3-10） ）
bm ( jω) + bm−1 ( jω) + ... + b1 jω + b0 H( jω) = n n−1 an ( jω) + an−1 ( jω) + ... + a1 jω + a0
H( jω ) —— 线性测量系统的频率响应函数，是由系 线性测量系统的频率响应函数， ω 统物理性能决定的一个复数，是信号频率ω的函数。 统物理性能决定的一个复数，是信号频率ω的函数。
x0e− j arctanωτ = Ss A(ω)x0e jφ (ω)
（3-28） ）
• 一阶测量装置的幅频特性： A(ω) = 一阶测量装置的幅频特性：
1 1+ (ωτ )2
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• 一阶测量装置的相频特性：φ(ω)=-arctanωτ 一阶测量装置的相频特性： τ
y0 = Ss A(ω)x0
（3-31） ）
• 延时环节： 延时环节：
y(t) = kx (t -t0)
（3-20） ）
• 其输出 y(t) 精确地复现输入信号， t0为时间滞后 精确地复现输入信号， • 延时环节为理想的的不失真测量系统 • 如：在气动测量系统中，气压信号从输气管的一端 在气动测量系统中， 传到另一端需要时间，两端气压信号关系符合上式。 传到另一端需要时间，两端气压信号关系符合上式。 设：管子长度为 l，气压波传播速度 ，则 t0=l /v ，气压波传播速度v， • 对式（3-20）两端作傅立叶变换，得： 对式（ ）两端作傅立叶变换，
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• 一阶测量装置的频率响应函数为： 一阶测量装置的频率响应函数为：
b0 b0 1 1 H( jω) = = × = Ss a1 jω + a0 a0 1+ (a1 / a0 ) jω 1+ jωτ
3-26） （3-26）
• 式中：Ss=b0/a0 是测量装置的静态灵敏度 式中：
τ =a1/a0 是测量装置的时间常数
t = φ(ω) / ω = −arctan ωτ / ω ≈ −τ
当ωτ≈0时 τ 时
•当输入信号的频率 较低，ωτ 较小，φ(ω)不大时 输 当输入信号的频率ω较低 当输入信号的频率 较低， τ 较小， 不大时 出信号相对于输入信号滞后的时间就是常数τ 出信号相对于输入信号滞后的时间就是常数τ。 • 因此，τ 被称为测量装置的时间常数。 因此， 被称为测量装置的时间常数。 • 通常定义允许的幅值测量误差为
（3-18） ）
• H( jω ) = Y( jω ) / X( jω ) = Ss =常数 （3-19） ω ω ω 常数 ） • 上式说明：输出信号无畸变地复现输入信号 上式说明： • 输出信号的频谱无畸变地复现输入信号的频谱 • 理想的零阶测量装置不存在动态测量误差 • 如：比例放大器、延时环节就是零阶测量装置 比例放大器、 9
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• 式（3-9）可进一步简化为： ）可进一步简化为：
y0e
jϕ
= H( jω) x0e
j ∠H (ω)
频率响应函数H( ω 的模 幅度） 的模（ H( jω) —— 频率响应函数 jω )的模（幅度）
∠H( jω) —— 频率响应函数H( jω )的幅角（相位角） 频率响应函数H( ω )的幅角 相位角） 的幅角（
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3.1 频率响应函数 H( jω ) ω
• 设输入信号
x(t) = x0e
jωt
对应的输出信号
y(t) = y0e
j (ωt +φ )
代入线性定常系统的微分方程式（ ） 将 x(t)和 y(t)代入线性定常系统的微分方程式（3-1） 和 代入线性定常系统的微分方程式
dy d y dy dx d x dx an n + an−1 n−1 +... + a1 + a0 y = bm m +bm−1 m−1 +... +b1 +b0x dt dt dt dt dt dt
• 定义动态灵敏度：SD= y0/x0 = SsA(ω) 定义动态灵敏度： ω 是常数， • 测量装置的静态灵敏度 Ss是常数，可归一化为 Ss =1
• 所以得到： SD= y0/x0 =A(ω) 所以得到： ω • 由上式可见，在规定 s =1的条件下，A(ω)就是 由上式可见，在规定S 的条件下 的条件下， ω 就是 测量装置的动态灵敏度， 又称为幅频特性。 测量装置的动态灵敏度， 又称为幅频特性。