(完整word版)贝叶斯决策的经典例题练习

例：某工程项目按合同应在三个月内完工，其施工费用与工程完工期有关。

假定天气是影响能否按期完工的决定因素，如果天气好，工程能按时完工，获利5万元；如果天气不好，不能按时完工，施工单位将被罚款1万元；若不施工就要付出窝工费2千元。

根据过去的经验，在计划实施工期天气好的可能性为30%。

为了更好地掌握天气情况，可以申请气象中心进行天气预报，并提供同一时期天气预报资料，但需要支付资料费800元。

从提供的资料中可知，气象中心对好天气预报准确性为80%，对坏天气预报准确性为90%。

问如何进行决策。

解：采用贝叶斯决策方法。

(1)先验分析根据已有资料做出决策损益表。

根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8（2）预验分析完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）=1.36（万元）完全信息价值： EVPI=EPPI- EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元）即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。

（3）后验分析①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x 1(好天气)、x 2(坏天气)将会出现哪一种状态。

从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率： 天气好且预报天气也好的概率 P （x 1/θ1）=0.8 天气好而预报天气不好的概率 P （x 2/θ1）=0.2 天气坏而预报天气好的概率 P （x 1/θ2）=0.1 天气坏且预报天气也坏的概率 P （x 2/θ2）=0.9②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。

预报天气好的概率1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.31预报天气坏的概率2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.69 预报天气好且天气实际也好的概率：111111()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.8/0.31=0.77预报天气好而天气坏的概率：212211()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.1/0.31=0.23预报天气坏而实际天气好的概率:121122()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.2/0.69=0.09预报天气坏且实际天气也坏的概率： 222222()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.9/0.69=0.91上述计算可以用表格表示：③ 后验决策：若气象中心预报天气好（x1）,则每个方案的最大期望收益值 E(d1/x1)=0.77×5+0.23×(-1)=3.62 E(d2/x1)=0.77×(-0.2)+0.23×(-0.2)=-0.2选择d1即施工的方案，相应在预报x1时的最大期望收益值E （X1）=3.62若气象中心预报天气不好（x2），各方案的最大期望收益值 E(d1/x2)=0.09×5+0.91×(-1)=-0.46 E(d2/x2)=0.09×(-0.2)+0.91×(-0.2)=-0.2选择d2即不施工的方案，相应在预报x2时的最大期望收益值E （X2）=-0.2④ 计算补充信息的价值：得到天气预报的情况下，后验决策的最大期望收益值：1122*()()()()()EMV P x E x P x E x =⋅+⋅后=0.31×3.62+0.69×（-0.2）=0.9842则补充的信息价值为：EMV*(后)-EMV*(先)=0.9842-0.8=0.1842补充信息价值大于信息费（800元），即这种费用是合算的。

贝叶斯公式典型例题
贝叶斯公式是一种计算条件概率的公式，常用于根据已知条件更新某个事件发生的概率。

下面是一个贝叶斯公式的典型例题：
例：假设有两种类型的围棋棋手，分别是专业棋手和业余棋手。

专业棋手在比赛中获胜的概率为0.9，而业余棋手获胜的概率为0.3。

已知在所有棋手中，专业棋手占70%，业余棋手占30%。

现在有一场比赛，我们只知道其中一位棋手获胜了，那么这位棋手是专业棋手的概率是多少？
解：首先，我们定义以下事件：
•A：棋手是专业的
•B：棋手获胜
根据题意，我们知道：
•P(A) = 0.7（专业棋手占比）
•P(¬A) = 0.3（业余棋手占比）
•P(B|A) = 0.9（专业棋手获胜的概率）
•P(B|¬A) = 0.3（业余棋手获胜的概率）
我们要找的是P(A|B)，即在已知棋手获胜的条件下，棋手是专业的概率。

根据贝叶斯公式，我们有：
P(A|B) = \frac{P(A) \times P(B|A)}{P(A) \times P(B|A) + P(¬A) \times P(B|¬A)}将已知的概率值代入公式中，我们得到：
P(A|B) = \frac{0.7 \times 0.9}{0.7 \times 0.9 + 0.3 \times 0.3} = \frac{0.63}{0.63
+ 0.09} = \frac{0.63}{0.72} = 0.875
所以，在已知棋手获胜的条件下，这位棋手是专业棋手的概率为0.875。

这个例题展示了贝叶斯公式在更新条件概率方面的应用。

通过已知的概率值和贝叶斯公式，我们可以计算出在给定条件下的未知概率。

第五章贝叶斯估计例题
第五章贝叶斯估计例题：
这是一个关于抽样分析的贝叶斯估计问题。

考虑总体N及其未知
的总体参数θ，设定如下模型：
在集合A中，X~Binomial(n,θ),θ~Beta(α，β) , α>0, β>0
在本题中，要求求出θ的贝叶斯估计量。

首先，设定一个合理的先验分布，记作π(θ)，π(θ)~beta(α，β)，∵α>0, β>0，所以可知α=1, β=1.
之后再计算条件概率分布P(A|θ)，即根据已知条件求得θ的后
验分布，此时
P(θ|A)=P(A|θ)π(θ)/P(A)=P(A|θ)π(θ)
由此可知
P(θ|A)=P(A|θ)π(θ)=[θ^x(1-θ)^(n-x)]*[Beta(θ;
α,β)]/P(A)
最后再根据后验分布的表示式，计算后验期望值E(θ|A), 即为贝
叶斯估计量
E(θ|A)=∫θ·P(θ|A)dθ
由此计算，考虑到先验分布π(θ)的特殊形式，可知
E(θ|A)=(x+α)/(n+α+β)
因此，求得θ的贝叶斯估计量为：(x+α)/(n+α+β)。

1.什么叫贝叶斯决策？如何进行贝叶斯决策？风险型决策方法是根据预测各种事件可能发生的先验概率，然后再采用期望值标准或最大可能性标准来选择最佳决策方案。

这样的决策具有一定的风险性，因为先验概率是根据历史资料或主观判断所确定的概率，未经试验证实，为了减少这种风险，需要较准确的掌握和估计这些先验概率。

这就要通过科学实验，调查，统计分析等方法获得较为准确的情报信息，以修正先验概率，并据以确定各方案的期望损益值，拟订可供选择的决策方案，协助决策者做出正确的决策。

一般来说，利用贝叶斯定理要求得后验概率，据以进行决策的方法称为贝叶斯决策方法。

贝叶斯决策方法步骤：(1)进行预后验分析，决定是否值得搜集补充资料以及从补充资料中可能得到的结果和如何决定最优对策。

(2)收集补充资料，取得条件概率，包括历史概率和逻辑概率，对历史概率要加以检验，辨明其是否适合计算后验概率。

(3)用概率的乘法定理计算联合概率，用概率的加法定理计算边际概率，用贝叶斯定理计算后验概率。

(4)用后验概率进行决策分析。

2.如何进行预后验分析和后验分析？预后验分析是后验概率决策分析的一种特殊形式的演算，这里的特殊形式是指用一套概率对多种行动策略组合进行多次计算，从中择优。

预后验分析有两种形式，一是扩大型，预后验分析，这实际上是一种反推决策树分析，二是常规型预后验分析，这实际上是一种正向分析，用表格形式进行。

扩大型分析要解决的问题是搜集追加信息对决策者有多大的价值，如果试验应采取什么行动策略，常规型分析要解决的问题是，如果试验应采取什么行动策略，但是这两种分析方法所得出的结论是一致的。

根据预后验分析，如果认为采集信息和进行调查研究是值得的，那么就应该决定去做这项工作。

一旦取得了新的信息，决策者就结合这些新信息进行分析，计算各种方案的期望损益值，选择最佳的行动方案，结合运用这些信息并修正先验概率，称为后验分析，这正是发挥贝叶斯决策理论威力的地方。

3.什么是先验分析？先验分析就是决策者要详细列出各种自然状态及其概率，各种备选行动方案与自然状态的损益值，并根据这些信息对备选方案作出抉择的决策过程，当时间，人力和财力不允许搜集更完备的信息时，决策者往往用这类方法进行决策，在贝叶斯决策中，先验分析是进行更深入分析的必要条件。

习题2：条件概率与全概率、贝叶斯概率一、 条件概率与乘法公式 P20:A3,4；B5；1.据统计，某市发行A ，B ，C ，3种报纸，订阅情况为:()0.6,(|)0.5,(|)0.3(|)0.5,P C P B C P A BC P A C ====， 求订阅A 和C 报但不订阅B 报的概率. 解：()()(|)0.3,()()1(|)0.3P AC P C P A C P BC P C P B C ⎡⎤===-=⎣⎦()()(|)0.30.50.15.P ABC P BC P A BC ==⨯=()()()0.30.150.15.P ABC P AC P ABC =-=-=2. 已知()1/4,(|)1/3,(|)1/2,P A P B A P A B ===求(|)P A A B U .解：1()1()()(|).().12(|)6P AB P AB P A P B A P B P A B ====1()()34(|)111()()()()44612P A P A P A A B P A B P A P B P AB ====+-+-U U 二、 全概率P23:A5,6；4. 某人去外地参加会议，乘火车，汽车，飞机的概率分别为0.3,0.2,0.5 . 若乘飞机，不会迟到，若乘火车和汽车，则迟到的概率分别为0.1和0.2，求最终不迟到的概率.解：设A 1=“乘火车”，A 2=“乘汽车”，A 3=“乘飞机”，B=“不迟到”，123123()0.3,()0.2,()0.5,(|)0.9,(|)0.8,(|)1.P A P A P A P B A P B A P B A ======31()()(|)0.30.90.20.80.510.93.i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑5. 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收为 B 的概率为 0.02，B 被误收为A 的概率为0.01,信息 A 与 B 传递的频繁程度比为3:2. 求接收站收到的信息为B 的概率为多少？解：设A=“发送信息A ”，B=“接收信息B ”，()0.6,(|)0.02,(|)0.01,P A P B A P B A ===()()(|)()(|)0.60.020.40.990.408.P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=三、 贝叶斯概率P26:A2, 3，5；6. 一批零件，合格品占92%，一检验员随机地取一件进行检验，合格品误检为不合格品的概率是0.05，而不合格品误检为合格的概率是0.1，求当产品检为合格时，实际取的是不合格品的概率.解：设A=“取到合格品”，B=“检验为合格品”，()0.92,(|)0.05,(|)0.1,P A P B A P B A ===()(|)0.080.1(|)0.009.0.920.950.080.1()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===⨯+⨯+ 7. 某公司从四家厂购入同一产品，数量之比为9:3:2:1，已知四家厂次品率分别为1%，2%，3%，1%，现随机取到一件次品，问该次品是哪家的责任最大？解：设A i =“第i 家厂的产品”，B=“次品”，123412349321(),(),(),(),15151515(|)0.01,(|)0.02,(|)0.03,(|)0.01.P A P A P A P A P B A P B A P B A P B A ========41932122()()(|)0.010.020.030.01.151515151500i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯+⨯=∑ 111234()(|)9661(|),(|),(|),(|).()22222222P A P B A P A B P A B P A B P A B P B ===== 答：由四个贝叶斯概率可知第一家责任最大。

贝叶斯博弈例题及答案在游戏理论中，贝叶斯博弈是一个重要的概念，它是游戏理论在实际应用中使用博弈模型考虑比较复杂系统中的市场行为。

在贝叶斯博弈中，每位参与者都有一定的概率估计其未知变量的状态。

在这种情况下，每个参与者都将利用这些估计的概率，以某种程度上有利于其自身的方式玩游戏。

贝叶斯博弈也可以用于分析多个玩家或者博弈者之间的交互行为，并评估玩家的决策是否是最优的，以及如果有必要的话，改善玩家的行为。

下面我们将介绍一些典型例题，以便大家来学习和理解贝叶斯博弈。

例题一：假设Alice和Bob正在玩一个回合制的博弈游戏，其中Alice有攻击和防守两种行为，Bob有反击和缩减两种行为，他们同时选择行为时，Alice的最终的分数等于Alice的行为加上Bob的反击和Bob 的缩减。

答案：一般情况下，Alice和Bob之间的贝叶斯博弈是一个多阶段博弈模型，Alice首先选择行为，随后Bob选择反击和缩减，之后Alice计算最终得分（Alice的行为加上Bob的反击和缩减）。

Alice 在决定行动时，可以根据Bob的行为应用贝叶斯博弈模型来估计Bob 会怎么反应，从而决定自己使用什么样的行动。

同样，Bob也可以应用贝叶斯博弈模型，估计Alice的行为来决定自己的行动。

例题二：现在Alice和Bob正在玩一个抢夺食物的游戏，游戏中Alice和Bob可以选择攻击或逃跑，如果Alice攻击了Bob，而Bob却逃跑了，Alice将获得所有的食物；如果Alice逃跑了，而Bob攻击了Alice，那么Bob将获得所有的食物；如果两者都攻击，则每人都获得一半的食物。

答案：在这种情况下，Alice和Bob可以用贝叶斯博弈模型推断彼此的行为，来决定自己的行动。

Alice可以根据Bob的行动准确预测Bob会选择什么样的行动，来决定自己是攻击还是逃跑；Bob也可以根据Alice的行动准确预测Alice会选择什么样的行动，来决定自己是攻击还是逃跑。

贝叶斯博弈例题
贝叶斯博弈是一种非常具有挑战性的统计学原理，它主要关注一对对手之间的策略比较和定量比较，以挖掘优势和弊端，最终实现更优的博弈结果。

在游戏研究中，贝叶斯博弈是解决博弈结果的有效策略，它不仅可以挖掘双方的策略优势，还能提出强势的策略以实现获胜的可能性。

本文以一个实际的贝叶斯博弈例题为基础，分析其应用的原理及方法，力求指导解决类似例题的步骤及技巧。

例题：一位男子有一次机会抽取一样物品，可供抽取的物品有A、B、C，男子假设其中有一个物品比较珍贵，价值最高，请用贝叶斯博弈确定他要抽取哪一样？
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贝叶斯纳什均衡例题
贝叶斯纳什均衡 (Bayesian Nash Equilibrium) 是一种非合作的博弈理论。

在贝叶斯纳什均衡中，每个参与者根据其他参与者的策略和历史数据，计算出自己在给定其他参与者的策略下的最大收益，并采取最优策略。

以下是一个贝叶斯纳什均衡的例题。

假设有三个人，分别是 A、B、C，他们玩一个猜拳游戏。

游戏规则如下:
1. A 和 B 随机猜拳，胜负概率均为 50%。

2. 如果 A 和 B 获胜，则 C 获胜的概率为 25%。

3. 如果 A 和 B 失败，则 C 获胜的概率为 75%。

现在问，谁是游戏的胜者，如果 A 和 B 采取随机策略，而 C 采取最优策略。

根据贝叶斯纳什均衡的定义，我们需要计算出每个参与者在给定其他参与者策略下的最优策略。

首先，对于 A 和 B，由于他们是随机的，所以可以采取任何策略，因此他们的最优策略是随机。

其次，对于 C，他需要计算出自己在 A 和 B 随机策略下的最大收益。

根据游戏规则，如果 A 和 B 随机，则 C 的最大收益为 25%。

因此，C 的最优策略是采取赢的概率为 25% 的拳法。

最后，由于 C 已经采取了最优策略，A 和 B 将不得不采取随机策略。

因此，游戏的胜者是 C。

需要注意的是，贝叶斯纳什均衡只适用于非合作的博弈理论。

在合作博弈中，参与者之间的策略选择需要基于信任和相互利益。

贝叶斯决策的例题练习公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]一、贝叶斯决策(Bayes decision theory)【例】某企业设计出一种新产品，有两种方案可供选择：—是进行批量生产，二是出售专利。

这种新产品投放市场，估计有3种可能：畅销、中等、滞销，这3种情况发生的可能性依次估计为：，和。

方案在各种情况下的利润及期望利润如下表。

企业可以以1000元的成本委托专业市场调查机构调查该产品销售前景。

若实际市场状况为畅销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和；若实际市场状况为中等，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和；若实际市场状况为滞销，则调查结果为畅销、中等和滞销的概率分别为、和。

问：企业是否委托专业市场调查机构进行调查解：1.验前分析：记方案d1为批量生产，方案d2为出售专利E(d1)=*80+*20+*(-5)=(万元)E(d2)=40*+7*+1*=(万元)记验前分析的最大期望收益为E1，则E1=max{E(d1),E(d2)}=(万元)因此验前分析后的决策为：批量生产E1不作市场调查的期望收益2.预验分析：（1）设调查机构调查的结果畅销、中等、滞销分别用H1、H2、H3表示由全概率公式P(H1)=*+*+*=P(H2)=*+*+*=P(H3)=*+*+*=（2）由贝叶斯公式有P(?1|H1)=*=P(?2|H1)=*=P(?3|H1)=*=P(?1|H2)=*=P(?2|H2)=*=P(?3|H2)=*=P(?1|H3)=*=P(?2|H3)=*=P(?3|H3)=*=（3）用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值a)当市场调查结果为畅销时E(d1|H1)=80* P(?1|H1)+20* P(?2|H1)+(-5)* P(?3|H1)=80*+20*+(-5)*=(万元)E(d2|H1)=40* P(?1|H1)+7* P(?2|H1)+1* P(?3|H1)=40*+7*+1*=(万元)因此，当市场调查畅销时，最优方案是d1，即批量生产b)当市场调查结果为中等时E(d1|H2)=80* P(?1|H2)+20* P(?2|H2)+(-5)* P(?3|H2)=(万元)E(d2|H2)=40* P(?1|H2)+7* P(?2|H2)+1* P(?3|H2)=40*+7*+1*=(万元)所以市场调查为中等时，最优方案是：d1，即批量生产c)当市场调查结果为滞销时E(d1|H3)=80* P(?1|H3)+20* P(?2|H3)+(-5)* P(?3|H3)=80*+20*+(-5)*=（万元）E(d2|H3)=40* P(?1|H3)+7* P(?2|H3)+1* P(?3|H3)=40*+7*+1*=（万元）因此市场调查为滞销时，最优方案是：d2，即出售专利（4）通过调查，该企业可获得的收益期望值为E2= E(d1|H1)* P(H1)+ E(d1|H2)* P(H2)+ E(d2|H3)* P(H3)=*+*+*=（万元）通过调查，该企业收益期望值能增加E2-E1=（万元）因此，在调查费用不超过万元的情况下，应进行市场调查3.验后分析（1）本题中调查费用1000<9600,所以应该进行市场调查（2）当市场调查结果为畅销时，选择方案1，即批量生产（3）当市场调查结果为中等时时，选择方案1，即批量生产（4）当市场调查结果为滞销时，选择方案2，即出售专利。

1.办公室新来了一个雇员小王，小王是好人还是坏人大家都在猜测 按人们主观意识，一个人是好人或坏人的概率均为 0.5。

坏人总是 要做坏事，好人总是做好事，偶尔也会做一件坏事，一般好人做 好事的概率为0.9，坏人做好事的概率为0.2，—天，小王做了一 件好事，小王是好人的概率有多大，你现在把小王判为何种人。

0.82>0.18所以小王是个好人、2.设 m = 1,k = 2 ，X 1 ~ N (0,1)，X 2 ~ N (3,2 2 ) ，试就C(2 | 1) = 1，C(1 | 2) = 1 ，且不考虑先验概率的情况下判别样品2，1属于哪个总体，并求出 R = (R1, R2 )。

解:1 12 2P(x)「2exp{-2(x-7) /J }i =1,21 1 1P(2) =-^=exp{—丄(2—0)2} = -^=e‘ =0.0542 2 2 二 F 2(2) ： —1 exp{-丄(2 -3)2/4}： —Le^8 =0.1762、2 2 2.2-解：A ：小王是个好人 a : 小王做好事B ： 小王是个坏人B ：小王做坏事P(A/a)二P(A)P(a/A)P(A)P(a/A) P(B)P(a/B)0.5*0.9 0.5*0.90.5*0.2-0.82P(B/b)=P(B)P(a/B) P(A)P(a/A) P(B)P(a/ B)0.5*0.2 0.5*0.90.5*0.2=0.18由于R(2)V P2(2)，所以2属于兀21 12 1 1/2P(1)=存exp{_q(1_0)2}=肓 e 』2 =0.242 R(1)： —! exp^1(^3)2/4f —1e 」/2 =0.120 2j 2 兀 2 2,2R(1)>B ⑴，所以1属于眄1 12 1 1 2 P(x) = exp{ —§ x } =F 2(x) = 2Q^exp{—?(x —3) /4}x,0 ：： x _1 t =R (x)=绘一X,1 vx 兰2 f 2 = P 2(x) = <1(5 —x)/4,3 <x 兰5[o,其他 [o,其他使判别X 1= 9，X 2=2所属总体。

贝叶斯博弈例题及答案贝叶斯博弈是概率论和数理统计中研究决策理论的一个重要方面。

它是游戏理论的一种集合，可以将概率论和统计学与决策理论结合，从而使决策者能够在不确定的环境中作出正确的决策。

贝叶斯博弈的主要术语有：贝叶斯博弈矩阵、贝叶斯博弈策略和贝叶斯博弈操作。

贝叶斯博弈矩阵是一个3行3列的二维数组，分别是玩家A的策略，玩家B的策略和数值。

玩家A与玩家B之间的博弈情况就是通过贝叶斯博弈矩阵来描述的，每一行代表一个玩家，每一列代表另一个玩家，并且每一个单元格都是一个数值，表示该玩家在该情况下所获得的效益程度。

贝叶斯博弈策略是指玩家在贝叶斯博弈中可以采取的不同策略，如:攻击策略，防御策略，逃跑策略等。

贝叶斯博弈操作是指玩家在不同情况下根据自身可获得的信息，以及结合玩家之间的战略，运用贝叶斯博弈策略和贝叶斯博弈矩阵的数据，作出不同的博弈决策，以追求自身最大利益。

下面是一个贝叶斯博弈例题：有两个玩家，A和B，A有两种选择，攻击和逃跑，B有三种选择，攻击，防御和逃跑。

A选择攻击，B选择防御，结果是A得到2点，B得到1点；A选择攻击，B选择逃跑，结果是A得到3点，B得到0点；A选择逃跑，B选择攻击，结果是A得到0点，B得到2点；A选择逃跑，B选择防御，结果是A得到1点，B得到1点。

以上例题的贝叶斯博弈矩阵如下：A 击跑B 击 2 0防御 1 1逃跑 3 0利用贝叶斯博弈矩阵，当双方玩家都想获取最大利益时，A玩家最好选择攻击策略，而B玩家最好选择防御策略。

这样，两个玩家的效益都能达到最大值，A获得2点，B获得1点。

贝叶斯博弈是一种数学模型，它可以让玩家在贝叶斯博弈矩阵的基础上，根据不同的信息量和策略结合，使玩家在不确定的情况下作出最优选择，最终获得最大收益。

贝叶斯博弈可以在生活中得到广泛运用，从商业谈判中到家庭冲突，都可以使用贝叶斯博弈分析，以便更好地分析环境，并做出最优决策。

此外，贝叶斯博弈也可用来分析投资和经济行为，以及社会政治等。

主观贝叶斯方法例题嘿，咱今儿来聊聊主观贝叶斯方法例题哈！你说这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能打开好多知识的大门呢！咱就说有这么个例子，好比你要判断明天会不会下雨。

你根据以往的经验，觉得有 60%的可能会下雨，这就是你的先验概率。

然后呢，你又看到今天的天空特别阴沉，这就是一个新的证据。

那这时候，你就得用主观贝叶斯方法来重新调整你对明天是否下雨的判断啦！就好像你走在路上，突然看到前面有个黑影，你一开始可能觉得有点害怕，觉得那可能是个坏人。

但等你走近一看，发现原来是个大树的影子，你这时候的判断不就完全变了嘛！这主观贝叶斯方法不就跟这差不多嘛！再比如说，你去买彩票。

你一开始觉得自己中大奖的概率挺低的，但是如果这时候有人告诉你，这个彩票的号码有一些特别的规律，那你对中大奖的概率判断是不是也得变一变呀！这也是主观贝叶斯方法在起作用呢！咱生活中很多事儿不都这样嘛！你开始有个想法，然后随着新的信息出现，你就得不断调整自己的看法。

这不就是主观贝叶斯方法的精髓所在嘛！你想想看，要是没有这种方法，咱得有多糊涂呀！就好比你闭着眼睛走路，那不得撞得满头包呀！咱再深入一点说，主观贝叶斯方法能让咱更理性地看待问题。

比如说你对一个人的看法，一开始可能觉得他挺不错的，但是后来发现他有些行为让你不太满意，那你就得根据这些新的信息来调整你对他的看法呀！不能死脑筋，一直觉得他就是完美的，对吧？而且呀，这主观贝叶斯方法还能帮咱在做决策的时候更明智呢！就像你要选择走哪条路，你得考虑各种因素，比如路况呀、距离呀、安全程度呀等等。

这时候，你就得根据你已有的知识和新的信息，用主观贝叶斯方法来算出走哪条路最合适。

你说这多重要呀！要是没有它，咱不得像只无头苍蝇一样乱撞呀！总之呢，主观贝叶斯方法就像是我们生活中的一个好帮手，能让我们更聪明、更理性地面对各种问题。

咱可得好好掌握它，让它为我们的生活服务呀！你说是不是这个理儿？。

贝叶斯准则例题⼀、贝叶斯准则：例题1：设⼆元假设检验的观测信号模型为：H 0: x = -1+n H 1: x = 1+n其中n 是均值为0，⽅差为212nσ=的⾼斯观测噪声。

若两种假设是等先验概率的，⽽代价因⼦为000110111,8,4,2,c c c c ==== 试求贝叶斯（最佳）表达式和平均代价C:解：因为两种假设是等先验概率的所以 011()()2P H P H ==，这样，贝叶斯准备的似然⽐函数()x λ为：① 122110221(1)exp 1122(|)22()exp(4)(|)(1)1exp 112222x p x H x x p x H x πλπ--?==?=+ ?-??⽽似然⽐检测门限η为：010********(41)()()21()()(82)2P H c c P H c c η--=?=-- =1/2于是贝叶斯判决表达式为11exp(4)2H x H ><，两边取⾃然对数，并整理的最简判决表达式为10.1733H x H >-<②现在计算判决概率01(|)P H H 和00(|)P H H ，由于本例中检验统计量()l x x =，所以在两个假设下检验统计量的概率密度函数分别为：122012211(1)(|)exp 1122221(1)(|)exp 112222l p l H l p l H ππ+=-???-=-???这样，0.17330111220.1733(|)(|)1(1)exp 0.0486112222P H H p l H dll dl π--∞--∞=-=-=0.17330001220.1733(|)(|)1(1)exp 0.8790112222P H H p l H dll dl π--∞--∞=+=-=最后，利⽤贝叶斯平均代价表达式，01011110111010100000()()()()(|)()()(|)C P H c P H c P H c c P H H P H c c P H H =++---代⼊0000110(),(|),(|),P H P H H P H H c 等各数据，计算得： 1.8269C=总结：如果我们把判决表达式中的检测门限-0.1733稍作调整，例如调整为-0.1700极品-0.1800，则计算出的平均代价均⼤于检测门限为-0.1733的平均代价，这⼀结果从侧⾯验证了贝叶斯准则的确能使平均代价最⼩。

贝叶斯分类例题以下是一个贝叶斯分类的例子：假设我们要根据一个人的身高和体重来判断其性别，已知训练集中有一些人的身高、体重以及性别的标签。

我们可以使用贝叶斯分类器来预测新样本的性别。

训练集如下：人1：身高160cm，体重50kg，性别女性人2：身高175cm，体重70kg，性别男性人3：身高168cm，体重55kg，性别女性人4：身高180cm，体重80kg，性别男性现在我们希望根据一个新样本（身高170cm，体重65kg）来预测其性别。

首先，我们需要计算训练集中男性和女性各自的先验概率P(男性)和P(女性)。

训练集中有2个男性和2个女性，所以P(男性) = 2/4 = 0.5，P(女性) = 2/4 = 0.5。

接下来，我们需要计算对于每个特征值的条件概率P(特征值|男性)和P(特征值|女性)。

对于身高特征值170cm，训练集中男性中有1个人的身高大于170cm，所以P(身高 > 170cm|男性) = 1/2 = 0.5，女性中有0个人的身高大于170cm，所以P(身高 > 170cm|女性) = 0/2 = 0。

对于体重特征值65kg，男性中有1个人的体重大于65kg，所以P(体重 > 65kg|男性) = 1/2 = 0.5，女性中有0个人的体重大于65kg，所以P(体重 > 65kg|女性) = 0/2 = 0。

最后，我们可以使用贝叶斯公式来计算新样本为男性和女性的后验概率，然后选择后验概率较大的性别作为预测结果。

P(男性|170cm, 65kg) = P(身高 > 170cm|男性) * P(体重 > 65kg|男性) * P(男性) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125P(女性|170cm, 65kg) = P(身高 > 170cm|女性) * P(体重 > 65kg|女性) * P(女性) = 0 * 0 * 0.5 = 0因此，根据贝叶斯分类器，我们预测新样本的性别为男性。

朴素贝叶斯经典例题朴素贝叶斯算法是一种基于概率统计的分类方法，它的特点是简单、高效、易于实现。

在文本分类、垃圾邮件过滤等领域得到广泛应用。

下面我们来看一个经典的朴素贝叶斯例题。

假设有两个类别A和B，每个类别有三个样本，如下所示：类别A：(1, 2, 3)类别B：(4, 5, 6)其中，每个样本都有两个特征x和y，如下所示：(1, 2) (2, 3) (3, 4) (4, 5) (5, 6) (6, 7)现在给定一个新的样本(2, 4)，我们要将它归为哪个类别？首先需要计算出每个类别的先验概率P(A)和P(B)，即在没有任何信息的情况下，一个样本属于A或B的概率分别是多少。

由于A和B各有三个样本，因此P(A)=P(B)=0.5。

接下来需要计算出给定特征条件下属于A或B的概率P(x=2|A)，P(y=4|A)，P(x=2|B)和P(y=4|B)。

这里需要用到训练集中已知样本的信息。

例如，P(x=2|A)表示在类别A中，特征x等于2的样本占总样本数的比例。

根据训练集可知，在类别A中，x等于2的样本有1个，因此P(x=2|A)=1/3；同理，P(y=4|A)=0/3，P(x=2|B)=0/3，P(y=4|B)=1/3。

现在需要计算出给定特征条件下属于A或B的后验概率P(A|x=2,y=4)和P(B|x=2,y=4)。

根据朴素贝叶斯算法的假设，在给定特征条件下，各个特征之间是相互独立的。

因此可以使用贝叶斯定理将条件概率转化为后验概率：P(A|x=2,y=4) = P(x=2|A) * P(y=4|A) * P(A)------------------------------P(x=2|A)*P(y=4|A)*P(A)+ P(x=2|B)*P(y=4|B)*P(B)= 0 * 0.33 * 0.5-----------------(0*0.33*0.5)+(0*0.33*0.5)= 0同理可得：P(B|x=2,y=4) = 1 * 0.33 * 0.5-----------------(1*0.33*0.5)+(0*0.33*0.5)= 1由此可见，给定特征条件下，样本(2, 4)属于类别B的概率更大，因此该样本应该被归为类别B。

贝叶斯精炼纳什均衡解经典例题和解答贝叶斯精炼纳什均衡（Bayesian refinement of Nash equilibrium）是博弈论中的一个概念，它结合了贝叶斯理论和纳什均衡的概念，用于描述在不完全信息博弈中玩家对其他玩家类型的不确定性。

这里我将为你提供一个经典的例题，并给出相应的解答。

考虑一个简化的拍卖场景，有两个潜在的买家：买家A和买家B。

拍卖的物品是一幅画，卖家想以尽可能高的价格卖出这幅画。

买家A和买家B对这幅画的估值分别服从正态分布，其均值和标准差如下：买家A的估值：均值为100，标准差为20买家B的估值：均值为120，标准差为15拍卖的规则如下：卖家首先设定一个底价p（reserve price），然后买家A和买家B分别出价。

如果买家A的出价高于底价p，并且买家B的出价也高于底价p，那么拍卖的赢家是出价最高的买家，并且他们需要支付自己的出价。

如果只有一个买家的出价高于底价p，那么这个买家获胜，并以底价p购买这幅画。

如果两个买家都没有出价高于底价p，那么拍卖失败，画作不会被卖出。

现在我们来解答这个问题：1. 假设卖家设定底价p为90，请计算在这个底价下，买家A和买家B的最优出价以及对应的期望收益。

为了计算买家A和买家B的最优出价，我们可以使用贝叶斯精炼纳什均衡的概念。

在这个场景中，买家A和买家B都面临不完全信息，即对方的估值是未知的。

我们需要通过贝叶斯理论来计算每个买家对对方估值的后验概率分布，然后根据这些概率分布来确定最优出价。

买家A的后验概率分布可以通过贝叶斯定理计算得到：P(v_A|p) = P(p|v_A) * P(v_A) / P(p)其中，v_A表示买家A对画作的估值，P(v_A)表示买家A对估值的先验概率分布（正态分布），P(p|v_A)表示在买家A估值为v_A的情况下，底价p被设定的概率，P(p)表示底价被设定为p的概率。

根据题目中给出的信息，买家A的估值服从均值为100，标准差为20的正态分布，我们可以计算P(v_A)。

解：采用贝叶斯决策方法。

根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8（2）预验分析完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）=1.36（万元）完全信息价值： EVPI=EPPI- EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元） 即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。

（3）后验分析①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x 1(好天气)、x 2(坏天气)将会出现哪一种状态。

从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率：天气好且预报天气也好的概率 P （x 1/θ1）=0.8天气好而预报天气不好的概率 P （x 2/θ1）=0.2天气坏而预报天气好的概率 P （x 1/θ2）=0.1天气坏且预报天气也坏的概率 P （x 2/θ2）=0.9②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。

预报天气好的概率 1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+ =0.31预报天气坏的概率 2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+ =0.69预报天气好且天气实际也好的概率：111111()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.8/0.31=0.77 预报天气好而天气坏的概率：212211()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.1/0.31=0.23 预报天气坏而实际天气好的概率:121122()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.2/0.69=0.09 预报天气坏且实际天气也坏的概率：222222()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.9/0.69=0.91。

Equation Chapter 1 Section 1例：某工程项目按合同应在三个月内完工，其施工费用与工程完工期有关。

假定天气是影响能否按期完工的决定因素，如果天气好，工程能按时完工，获利5万元；如果天气不好，不能按时完工，施工单位将被罚款1万元；若不施工就要付出窝工费2千元。

根据过去的经验，在计划实施工期天气好的可能性为30%。

为了更好地掌握天气情况，可以申请气象中心进行天气预报，并提供同一时期天气预报资料，但需要支付资料费800元。

从提供的资料中可知，气象中心对好天气预报准确性为80%，对坏天气预报准确性为90%。

问如何进行决策。

解：采用贝叶斯决策方法。

先验分析根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8（2）预验分析完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）=1.36（万元）完全信息价值： EVPI=EPPI- EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元） 即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。

（3）后验分析①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x1(好天气)、x2(坏天气)将会出现哪一种状态。

从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率： 天气好且预报天气也好的概率 P （x1/θ1）=0.8 天气好而预报天气不好的概率 P （x2/θ1）=0.2 天气坏而预报天气好的概率 P （x1/θ2）=0.1 天气坏且预报天气也坏的概率 P （x2/θ2）=0.9②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。

预报天气好的概率1111212()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.31预报天气坏的概率2121222()()(/)()(/)P x P P x P P x θθθθ=+=0.69 预报天气好且天气实际也好的概率：111111()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.8/0.31=0.77预报天气好而天气坏的概率：212211()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.1/0.31=0.23预报天气坏而实际天气好的概率:121122()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.3×0.2/0.69=0.09预报天气坏且实际天气也坏的概率： 222222()(/)(/)()P P x P x P x θθθ⋅==0.7×0.9/0.69=0.91上述计算可以用表格表示：③ 后验决策：若气象中心预报天气好（x1）,则每个方案的最大期望收益值 E(d1/x1)=0.77×5+0.23×(-1)=3.62 E(d2/x1)=0.77×(-0.2)+0.23×(-0.2)=-0.2选择d1即施工的方案，相应在预报x1若气象中心预报天气不好（x2） E(d1/x2)=0.09×5+0.91×(-1)=-0.46 E(d2/x2)=0.09×(-0.2)+0.91×(-0.2)=-0.2选择d2即不施工的方案，相应在预报x2时的最大期望收益值E （X2）=-0.2④ 计算补充信息的价值：得到天气预报的情况下，后验决策的最大期望收益值：1122*()()()()()EMV P x E x P x E x =⋅+⋅后=0.31×3.62+0.69×（-0.2）=0.9842则补充的信息价值为：EMV*(后)- EMV*(先)=0.9842-0.8=0.1842补充信息价值大于信息费（800元），即这种费用是合算的。

贝叶斯决策的经典例题练习一、贝叶斯决策(bayesdecisiontheory)【例】某企业设计出一种新产品，有两种方案可供选择：―是进行批量生产，二是出售专利。

这种新产品投放市场，估计有3种可能：畅销、中等、滞销，这3种情况发生的可能性依次估计为：0.2，0.5和0.3。

方案在各种情况下的利润及期望利润如下表。

企业可以以1000元的成本委托专业市场调查机构调查该产品销售前景。

若实际市场状况为受欢迎，则调查结果为受欢迎、中等和供不应求的概率分别为0.9、0.06和0.04；若实际市场状况为中等，则调查结果为受欢迎、中等和供不应求的概率分别为0.05、0.9和0.05；若实际市场状况为供不应求，则调查结果为受欢迎、中等和供不应求的概率分别为0.04、0.06和0.9。

问：企业与否委托专业市场调查机构展开调查？求解：1.验前分析：记方案d1为批量生产，方案d2为出售专利e(d1)=0.2*80+0.5*20+0.3*(-5)=24.5(万元)e(d2)=40*0.2+7*0.5+1*0.3=11.8(万元)记验前分析的最小希望收益为e1，则e1=max{e(d1),e(d2)}=24.5(万元)因此验前分析后的决策为：批量生产e1不予市场调查的希望收益2.预验分析：（1）设调查机构调查的结果畅销、中等、滞销分别用h1、h2、h3表示由全概率公式p(h1)=0.9*0.2+0.06*0.5+0.04*0.3=0.232p(h2)=0.05*0.2+0.9*0.5+0.05*0.3=0.475p(h3 )=0.04*0.2+0.06*0.5+0.9*0.3=0.308（2）由贝叶斯公式有p(?1|h1)=0.9*0.2/0.232=0.776p(?2|h1)=0.06*0.5/0.232=0.129p(?3|h1)=0.04*0.3/0.2 32=0.052p(?1|h2)=0.05*0.2/0.475=0.021p(?2|h2)=0.9*0.5/0.475=0.947p(?3|h2)=0.05 *0.3/0.475=0.032p(?1|h3)=0.04*0.2/0.308=0.026p(?2|h3)=0.06*0.5/0.308=0.097p(?3 |h3)=0.9*0.3/0.308=0.877（3）用后验分布代替先验分布，计算各方案的期望收益值a)当市场调查结果为受欢迎时e(d1|h1)=80*p(?1|h1)+20*p(?2|h1)+(-5)*p(?3|h1)=80*0.776+20*0.129+(-5)*0.052=64.4(万元)e(d2|h1)=40*p(?1|h1)+7*p(?2|h1)+1*p(?3|h1)=40*0.776+7*0.129+1*0.052=31.995(万元)因此，当市场调查畅销时，最优方案是d1，即批量生产b)当市场调查结果为中等时e(d1|h2)=80*p(?1|h2)+20*p(?2|h2)+(-5)*p(?3|h2)=20.46(万元)e(d2|h2)=40*p(?1|h2)+7*p(?2|h2)+1*p(?3|h2)=40*0.021+7*0.947+1*0.032=7.501(万元)所以市场调查为中等时，最优方案是：d1，即批量生产c)当市场调查结果为滞销时e(d1|h3)=80*p(?1|h3)+20*p(?2|h3)+(-5)*p(?3|h3)=80*0.026+20*0.097+(-5)*0.877=-0.365（万元）e(d2|h3)=40*p(?1|h3)+7*p(?2|h3)+1*p(?3|h3)=40*0.026+7*0.097+1*0.877=2.596（万元）因此市场调查为供不应求时，最优方案就是：d2，即为出售专利（4）通过调查，该企业可获得的收益期望值为e2=e(d1|h1)*p(h1)+e(d1|h2)*p(h2)+e(d2|h3)*p(h3)=64.4*0.232+20.46*0.475+2.596*0 .308=25.46（万元）通过调查，该企业收益期望值能够减少e2-e1=25.46-24.5=0.96（万元）因此，在调查费用不少于0.96万元的情况下，应当展开市场调查3.检后分析（1）本题中调查费用1000<9600,所以应该进行市场调查（2）当市场调查结果为畅销时，选择方案1，即批量生产（3）当市场调查结果为中等时时，选择方案1，即批量生产（4）当市场调查结果为滞销时，选择方案2，即出售专利。