高中数学第一章算法初步1.3.1辗转相除法与更相减损术教案新人教A版必修32017072214

第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程．2．理解秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．1．辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法①辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．②辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．(2)更相减损术的算法步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．(3)辗转相除法和更相减损术的区别与联系(1)秦九韶算法简介①秦九韶算法要解决的问题是求多项式的值．②秦九韶算法的特点通过一次式的反复计算，逐步得到高次多项式的值，即将一个n次多项式的求值问题归结为重复计算n个一次多项式的值的问题．③秦九韶算法的原理将f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为：f(x)＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，再由内向外逐层计算一次多项式v k的值．(2)秦九韶算法的操作方法①算法步骤如下第一步，输入多项式次数n、最高次项的系数a n和x的值．第二步，将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1.第三步，输入i次项的系数a i.第四步，v＝vx＋a i，i＝i－1.第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.②程序框图如图所示③程序如下INPUT “n＝”；nINPUT “an＝”；aINPUT “x＝”；xv＝ai＝n－1WHILE i＞＝0INPUT “ai＝”；av＝v*x＋ai＝i－1WENDPRINT vEND1．实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么？[提示] 先判断a，b是否为偶数，若是，都除以2再进行．2．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数．( )(2)求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法．( )(3)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．( )[提示] (1)√(2)×(3)√题型一辗转相除法和更相减损术的应用【典例1】用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．[思路导引] 将612作为大数，468作为小数，执行辗转相除法和更相减损术的步骤即可.[解] 用辗转相除法：612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，即612和468的最大公约数是36.用更相减损术检验：612和468为偶数，两次用2约简得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.求最大公约数的两种方法步骤(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．[针对训练1] 用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．[解] 80＝36×2＋8，36＝8×4＋4,8＝4×2＋0，即80与36的最大公约数是4.验证：80÷2＝40,36÷2＝18；40÷2＝20,18÷2＝9；20－9＝11,11－9＝2；9－2＝7,7－2＝5；5－2＝3,3－2＝1；2－1＝1,1×2×2＝4；所以80与36的最大公约数为4.题型二求三个正整数的最大公约数【典例2】求325,130,270三个数的最大公约数[思路导引] 求三个数的最大公约数，可先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数．[解] 解法一(辗转相除法)：因为325＝130×2＋65,130＝65×2，所以325和130的最大公约数为65.因为270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝5×2,所以65和270的最大公约数为5,故325,130,270三个数的最大公约数为5.解法二(更相减损术)：325－130＝195,195－130＝65,130－65＝65.所以325和130的最大公约数是65.270－65＝205,205－65＝140,140－65＝75,75－65＝10,65－10＝55,55－10＝45,45－10＝35,35－10＝25,25－10＝15,15－10＝5,10－5＝5.所以65和270的最大公约数为5，故325,130,270三个数的最大公约数为5.理解辗转相除法的实质，从计算结果上看，辗转相除法是以相除余数为零而得到结果的.[针对训练2] 求三个数175,100,75的最大公约数.[解] 先求175与100的最大公约数：175＝100×1＋75,100＝75×1＋25,75＝25×3,∴175与100的最大公约数是25.再求25与75的最大公约数：75－25＝50,50－25＝25,∴75和25的最大公约数是25.∴175,100,75的最大公约数是25.题型三秦九韶算法【典例3】已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值.[思路导引] 可根据秦九韶算法的原理，将所给的多项式改写，然后由内到外逐次计算．[解] 将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，由内向外依次计算一次多项式，当x＝5时的值：v0＝4；v 1＝4×5＋2＝22； v 2＝22×5＋3.5＝113.5； v 3＝113.5×5－2.6＝564.9； v 4＝564.9×5＋1.7＝2826.2； v 5＝2826.2×5－0.8＝14130.2.所以当x ＝5时，多项式的值等于14130.2.(1)用秦九韶算法求多项式f (x )当x ＝x 0的值的思路为： ①改写．②计算⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x 0＋a n －k (k ＝1，2，…，n ).③结论f (x 0)＝v n .(2)应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题 ①要正确将多项式的形式进行改写． ②计算应由内向外依次计算．③当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．[针对训练3] 用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时的值时，v 3的值为( )A ．－144B ．－136C ．－57D ．34[解析] 根据秦九韶算法多项式可化为f (x )＝(((((3x ＋5)x ＋6)x ＋0)x －8)x ＋35)x ＋12.由内向外计算v 0＝3；v 1＝3×(－4)＋5＝－7； v 2＝－7×(－4)＋6＝34； v 3＝34×(－4)＋0＝－136.[答案] B课堂归纳小结1.求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即根据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即根据r＝|a－b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止．2.秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，注意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行．1．辗转相除法可解决的问题是( )A．求两个正整数的最大公约数B．多项式求值C．求两个正整数的最小公倍数D．排序问题[解析] 辗转相除法可以求两个正整数的最大公约数.[答案] A2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为( )A．4 B．3C．5 D．6[解析] 120＝72×1＋48,72＝48×1＋24,48＝24×2.[答案] B3．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________．[解析] ∵36与134都是偶数，∴第一步应先除以2，得到18与67.[答案] 先分别除以2，得到18与674．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________.[解析] f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.[答案] 195．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2，所以有v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1397.所以当x＝2时，多项式的值为1397.算法案例在实际生活中的应用通过算法案例的学习，知道算法的核心是一般意义上的解决问题的策略的具体化．对于一个实际问题，我们在分析、思考后可将之转化为数学问题，从而获得解决它的基本思路.【典例】现有长度为2.4 m和5.6 m两种规格的钢筋若干，要焊接一批棱上无接点的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？[思路导引] 要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋截成长度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使得每种规格的钢筋截取后没有剩余，因此截取的长度应为2.4与5.6的公约数；为使得正方体的体积最大，因此截取的长度应为2.4与5.6的最大公约数.[解] 用更相减损术来求2.4与5.6的最大公约数：5．6－2.4＝3.2,3．2－2.4＝0.8,2．4－0.8＝1.6,1．6－0.8＝0.8,因此2.4与5.6的最大公约数为0.8.所以使得正方体的棱长为0.8 m时，正方体的体积最大且不浪费材料.[针对训练] 甲，乙，丙三种溶液的质量分别为147 g，343 g，133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶中装入溶液的质量相同，问每瓶最多装多少？[解] 由题意，每个小瓶中装入的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求147与343的最大公约数：343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14,35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，所以147,343,133的最大公约数为7，即每瓶最多装7 g.课后作业(八)(时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是( )A．秦九韶算法与直接计算相比，大大节省了做乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单B．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度C．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度D．秦九韶算法避免了对自变量x单独做幂的计算，而且与系数一起逐次增长幂次，从而提高计算的精度[解析] 秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度，故选项C错误．[答案] C2．下列说法中正确的个数为( )①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1 B．2C．3 D．4[解析] ①、②、④正确，③错误．[答案] C3．利用秦九韶算法求f(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋6x5当x＝2时的值时，下列说法正确的是( )A．先求1＋2×2B．先求6×2＋5，第二步求2×(6×2＋5)＋4C．f(2)＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解D．以上都不对[解析] 利用秦九韶算法应先算a n x＋a n－1，再算(a n x＋a n－1)x＋a n－2，故选B.[答案] B4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34[解析] 该题考查程序框图的运行及考生的识图能力．由程序框图知，第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C.[答案] C5．用更相减损术求117和182的最大公约数时，需做减法的次数是( )A．8 B．7C．6 D．5[解析] ∵182－117＝65,117－65＝52,65－52＝13,52－13＝39,39－13＝26,26－13＝13，∴13是117和182的最大公约数，需做减法的次数是6.[答案] C6．用秦九韶算法求n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值，求f(x0)需要乘方、乘法、加法的次数分别为( )A.n(n＋1)2，n，n B．n,2n，nC．0,2n，n D．0，n，n[解析] 因为f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以乘方、乘法、加法的次数分别为0，n，n.[答案] D7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4的值时，其中v1的值为________．[解析] ∵f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6，∴v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×(－4)＋5＝－7.[答案] －78．378和90的最大公约数为________．[解析] 378＝90×4＋18,90＝18×5＋0，∴378与90的最大公约数是18.[答案] 189．求1356和2400的最小公倍数．[解] 2400＝1356×1＋1044，1356＝1044×1＋312，1044＝312×3＋108，312＝108×2＋96，108＝96×1＋12，96＝12×8.所以1356与2400的最大公约数为12.则1356与2400的最小公倍数为(1356×2400)÷12＝271200.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[解] f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)·x，所以v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＝21324.故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.应试能力等级练(时间20分钟)11．下列哪组的最大公约数与1855,1120的最大公约数不同( )A．1120,735 B．385,350C．385,735 D．1855,325[解析] ∵(1855,1120)→(735,1120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1855与1120的最大公约数是35，由以上计算过程可知选D.[答案] D12．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5[解析] 根据秦九韶算法，把多项式改写为f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A.[答案] A13．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r≤b)成立的q 和r的值分别为________．[解析] 用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24的商为13，余数是21.∴q＝13，r＝21.[答案] 13,2114．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．[解析] 多项式变形为f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，v0＝3，v1＝3×(－4)＋12＝0，v2＝0×(－4)＋6＝6，v3＝6×(－4)＋10＝－14，v4＝－14×(－4)－8＝48，所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.[答案] 6215．用辗转相除法和更相减损术两种方法求三个数72,120,168的最大公约数．[解] (辗转相除法)：先求120,168的最大公约数．因为168＝120×1＋48，120＝48×2＋24,48＝24×2，所以120,168的最大公约数是24.再求72,24的最大公约数．因为72＝24×3，所以72,24的最大公约数为24，即72,120,168的最大公约数为24.(更相减损术)：先求120,168的最大公约数．168－120＝48,120－48＝72，72－48＝24,48－24＝24，所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数．72－24＝48,48－24＝24，所以72,24的最大公约数为24，即72,120,168的最大公约数为24.。

《辗转相除法与更相减损术》说课稿说课流程一教材分析二教学目标分析三教学方法与手段分析四学法分析五教学过程分析六教后反思各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《算法案例1辗转相除法与更相减损术》，该节内容选自于新课程人教A版必修3第一章第三节，课时安排为一个课时。

下面我将从教材分析、教学目标、教学方法与手段、学法分析、教学过程和教后反思等六个环节来加以介绍：一、教材分析1．教材所处的地位和作用算法思想是贯穿在高中数学课程始终的基本思想。

例如，二分法求方程的解、立体几何性质定理的证明过程，一元二次不等式，线性规划等等内容中，都运用了算法思想。

中国古代数学注重实际问题的解决，以算法为中心，寓理于算，其中蕴涵了丰富的算法思想，在世界数学史上一度处于领先地位。

用我国传统的开方术求高次方程的近似根，就是算法上的一大成就。

现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴。

因此，本节内容不仅是前两节内容的延续与拓展，也是对学生已学知识状况的巩固与提高，更是培养学生民族自豪感与爱国情怀、激发学生学习热情的有效手段。

（二）、学情分析（1）学生已经学习了一些简单的算法，对算法已经有了一个初步的了解，对算法的三种基本逻辑结构和基本算法语句也有了一定的认识。

（2）学生的知识经验较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。

（3）学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

（4）学生层次参差不齐，个体差异比较明显，特别在利用算法思想解决实际问题方面还存在很大不足。

二、教学目标分析根据教学大纲的要求及教材内容的设置，结合本班学生的具体情况，我制定了如下教学目标（一）、三维目标1．知识与技能⑴理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。

⑵基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

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1。

3.1 辗转相除法与更相减损术一、三维目标（a）知识与技能1。

理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析。

2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。

（b）过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别,并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。

（c)情态与价值观1。

通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

2。

在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。

二、教学重难点重点:理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。

三、学法与教学用具学法:在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序.教学用具：电脑,计算器，图形计算器四、教学设计（一）创设情景，揭示课题1。

2020年高中数学必修3《辗转相除法与更相减损术》教案精品版《辗转相除法与更相减损术》教案教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3.1节.一．教学目标（1）知识目标：①理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.②基本能根据程序框图与算法语句的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力.②培养学生自主探索和合作学习的能力.（3）情感目标：①通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.②在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力.③创设和谐融洽的教学氛围，使学生在课堂活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情.二、教学重点、难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.三、教学方法和手段教学方法：启发、引导、探究、讨论等.教学手段：多媒体辅助教学.四、教学用具:多媒体教学平台教具准备：多媒体课件（Powerpoint）、QB应用程序、课时讲义．五、授课类型：新授课六、教学程序《辗转相除法与更相减损术》教案说明这堂课设计上先求两个简单数的最大公约数，再变大这两个数（其实这个思路是辗转相除法的逆过程），慢慢让学生体会其中的最大公约数原理，由简单的例子让学生自己去探索规律，然后求两个较大数的最大公约数，从而引出用欧几里德辗转相除法求两个数的最大公约数的思想方法,组织学生讨论如何把它转换成程序框图和程序并上机验证;接着介绍更相减损术,以例2为例介绍其算理,引导学生发现其算法特点,思考如何设计程序框图并转化为程序上机验证.这部分内容是新课程新增进的内容，对案例的分析让学生对算法有了进一步的认识,并从程序的学习中体会数学的严谨性，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤.本节课的重点是学会用辗转相除法与更相减损术求两个正整数的最大公约数，难点是把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程中，从实例出发，引用历史背景，借助多媒体手段教学，提高教学效率，激发学生的学习兴趣，由简单慢慢加深让学生自主探索，巧妙引导，发现规律，使教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.。

舜耕中学高一数学必修3导学案(教师版) 编号周次 上课时间 月 日周 课型 新授课 主备人 使用人课题 1.辗转相除法与更相减损术教学目标 1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；.教学重点理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法 教学难点 辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言课前准备多媒体课件 教学过程：一、〖创设情境〗1.在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？2我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大（如求8251与6105的最大公约数）而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，使用上述方法求最大公约数就比较困难，我们又应该怎样求它们的最大公约数？这就是我们这一节课所要探讨的内容.二、〖新知探究〗（一）辗转相除法例1 求8251和6105的最大公约数.分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.解：8251＝6105×1＋2146由此可得，6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，同样8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等.重复上述步骤：6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则最后的除数37就是148和37的最大公约数，也就是8251与6105的最大公约数.以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法,也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.〖思考〗：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？算法步骤如下：第一步：给定两个正整数m ，n .第二步：计算m 除以n 所得的余数r .第三步：r n n m ==，.第四步：若0=r ，则m ，n 的最大公约数等于m ；否则，返回第二步.程序框图：程序：UNTIL型语句INPUT "m,n="; m, nDOr = m MOD nm = nn = rLOOP UNTIL r = 0PRINT mENDWHILE型语句INPUT "m,n="; m, nr = m MOD nWHILE r <> 0r = m MOD nm = nn = rWENDPRINT mEND〖思考〗：你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试写出算法步骤、程序框图和程序.随堂练习：1.利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）.2.课本P45 1（二）更相减损术中国古代的数学专著《九章算术》中也有求最大公约数的算法，就是更相减损术.即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”翻译为现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，98与63的最大公约数是7.随堂练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数（答案：12）（三）比较辗转相除法与更相减损术（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主， 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别 较明显；（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术 则以减数与差相等而得到.三、〖归纳小结〗辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写.四、〖书面作业〗课本P48习题1.3 A 组1.五、〖板书设计〗六、〖教后记〗1.2.七、〖巩固练习〗1.《自主学习丛书》P14例1；2．《自主学习丛书》P15的巩固练习.八、〖课后探究〗1.根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数；2.可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能，说明无法实现的理由.3.利用辗转相除法是否可以求两数的最小公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC 中实现.(一)辗转相除法 随堂练习： 1、 2、 程序框图： 程序： （二）更相减损术 随堂练习： 1、 思考 （三）比较辗转相除法与更相减损术（1）（2）。

第8课时辗转相除法与更相减损术知识点一辗转相除法1．有关辗转相除法，下列说法正确的是( )A．它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r<n为止C．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r(0≤r<n)，若r≠0，则将n的值赋给m，r的值赋给n，继续前面步骤，直至r＝0为止D．以上说法皆错答案 C解析由辗转相除法的步骤易知C项正确．2．90与252的最大公约数是( )A．9 B．18 C．27 D．63答案 B解析利用辗转相除法求解．252＝90×2＋7290＝72×1＋1872＝18×4＋0，∴90与252的最大公约数为18．知识点二更相减损术3．更相减损术可解决下列问题中的( )A．求两个正整数的最大公约数B．求多项式的值C．进位制的转化计算D．排序问题答案 A解析更相减损术是解决求两个或两个以上的正整数的最大公约数的．4．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析第一次执行，输入a＝14，b＝18，因为a<b，所以b＝18－14＝4；第二次执行，因为a＝14，b＝4，a>b，所以a＝14－4＝10；第三次执行，因为a＝10，b＝4，a>b，所以a ＝10－4＝6；第四次执行，因为a＝6，b＝4，a>b，所以a＝6－4＝2；第五次执行，因为a ＝2，b＝4，a<b，所以b＝4－2＝2，此时a＝b＝2．故选B．5．用更相减损术求319与261的最大公约数．解319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，故319与261的最大公约数是29．易错点更相减损术求最大公约数时忽略乘约简数致误6．用更相减损术求612和468的最大公约数．易错分析当两个数均为偶数时，由于忽略用2约分，而导致错误．正解因为612和468都为偶数，所以两次用2约分化简，得153和117．用更相减损术求153和117的最大公约数，步骤如下：153－117＝36，117－36＝81，81－36＝45，45－36＝9，36－9＝27，27－9＝18，18－9＝9，所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36．一、选择题1．用更相减损术求得81与135的最大公约数是( )A．54 B．27 C．9 D．81答案 B解析因为135－81＝54，81－54＝27，54－27＝27，所以81与135的最大公约数是27．2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )A．3 B．9 C．17 D．51答案 D解析459＝357×1＋102，357＝102×3＋51，102＝51×2，所以459和357的最大公约数为51．3．用辗转相除法计算60和48的最大公约数时，需要做的除法次数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析60＝48×1＋12，48＝12×4＋0，故只需要做两次除法运算．4．下列说法中正确的个数为( )①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析易知①②④正确；对于③，更相减损术也可求最大公约数，故③错误．5．运行下面的程序，当输入数据为78和36时，输出的值为( )INPUT “输入两个不同正整数m，n＝”；m，nDOIF m>n THENm＝m－nELSE n＝n－mEND IFLOOP UNTIL m＝nPRINT mENDA．24 B．18 C．12 D．6答案 D解析由程序语句知，此程序是用更相减损术求输入的两个数的最大公约数，因为78－36＝42，42－36＝6，36－6＝30，30－6＝24，24－6＝18，18－6＝12，12－6＝6，所以选D．二、填空题6．用更相减损术求104与65的最大公约数是________．答案13解析由于65不是偶数，把104和65以大数减小数，并辗转相减，即104－65＝39，65－39＝26，39－26＝13，26－13＝13，所以104与65的最大公约数为13．7．三个数72，120，168的最大公约数是________．答案24解析120＝72×1＋48，72＝48×1＋24，48＝24×2，168＝24×7．8．阅读程序：INPUT “m，n＝”；m，nIF n>m THENt＝mm＝nn＝tEND IFDOr＝m MOD nm＝nn＝rLOOP UNTIL r＝0PRINT mEND若INPUT语句中输入m，n的值分别是161，368，则程序运行的结果为________．答案23解析该程序的功能是用辗转相除法求两个数的最大公约数．输入161，368，可求出它们的最大公约数为23．三、解答题9．用辗转相除法和更相减损术两种方法求80和36的最大公约数．解用辗转相除法：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0．故80和36的最大公约数是4．用更相减损术：先用2约简得40和18，再用2约简得20和9，20－9＝11，11－9＝2，9－2＝7，7－2＝5，5－2＝3，3－2＝1，2－1＝1，∴80和36的最大公约数是4．10．某化工厂有三种溶液，分别为4200毫升，3220毫升和2520毫升，现要将它们分别装入小瓶中，每个瓶子装入液体的体积相同，问：要使所有溶液都刚好装满小瓶且所用瓶子最少，则小瓶的容积应为多少毫升？解为了使所有溶液都装入瓶中，恰好都装满且所用瓶子最少，求所用瓶子的容积，也就是求这三种溶液的体积的最大公约数．先求4200和3220的最大公约数，4200＝3220×1＋980，3220＝980×3＋280，980＝280×3＋140，280＝140×2，所以4200和3220的最大公约数是140．再求140和2520的最大公约数，2520＝140×18，所以140和2520的最大公约数是140．综上，4200，3220和2520的最大公约数是140．所以小瓶的容积应为140毫升．。

过程与方法体会算法的基本思想，提高逻辑思教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想）怎样用短除法求最大公约数？样用更相减损术求最大公约数？，3(x0)的值共需要1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。