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18版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案1_21707192116

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2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版[1]

2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版[1]

2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充(1)学案苏教版(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3．1 数系的扩充[学习目标］1。

了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念。

3。

掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．［知识链接]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．[预习导引］1．复数的有关概念（1）复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R,i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i。

(3）复数集定义:全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系（1)复数(a＋b i，a，b∈R)错误!(2）集合表示：3．复数相等的充要条件设a,b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d。

18版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末复习课

18版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末复习课
→ (5)模：向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |a＋bi| 或 |z| ，即
2 2 a ＋ b |z|＝|a＋bi|＝_________(a，b∈R).
2.复数的几何意义
→ ＝(a，b)(a，b∈R)是 复数z＝a＋bi与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量OZ
一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (a±c)＋(b±d)i (ac－bd)＋(bc＋ad)i
解答
(2)z为虚数. 解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
2 x －3x－3>0， 所以log2x－3≠0， x－3>0，
3＋ 21 解得 x> 2 且 x≠4.
3＋ 21 所以当 x> 2 且 x≠4 时，z 为虚数.
解答
类型二
复数的运算
例2
z－5i 已知 z 是复数，z－3i 为实数， 为纯虚数(i 为虚数单位). 2－i
若不存在，说明理由.
解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解， ∴不存在实数a，使z为纯虚数.
解答
反思与感悟
(1) 正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念 ( 如实数、虚数、 纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提. (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
解答
类型三
数形结合思想的应用
例3
2 2 在复平面内，设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数 z ＋z 对应的点位于
一 第________ 象限.
解析
2 2 2 2 z ＋z ＝1＋i＋(1＋i)
2 ＝ ＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i， 1＋i

2017-2018版高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充教案 苏教版选修1-

2017-2018版高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充教案 苏教版选修1-

3.1数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结。

教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.自主学习合作探究成果展示精讲点拨巩固提高小结与作业1、【自主学习】(课前完成)阅读教材《§3.1.1 数系的扩充与复数的概念》内容，思考：(1) 你对数的发展的了解(2) 由得你有，何困惑？(3)方根2-=0无实根的原因是什么？如果扩充数系，使之有解，如何扩充？(4)虚数单位i的性质？i与实数的运算性质？(5)复数的有关概念？(6)实数集R与复数C的关系？2、【合作探究】探究任务一：数系的扩充过程。

问题1：回顾归纳从小学到昨天为止数系的扩充过程。

2017_2018版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3_1数系的扩充学案苏教版选修1_2

2017_2018版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3_1数系的扩充学案苏教版选修1_2

3.1 数系的扩充学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的概念及代数表示思考1 方程x 2＋1＝0在实数范围内有解吗？思考2 若有一个新数i 满足i 2＝－1，试想方程x 2＋1＝0有解吗？1．复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做______________，满足i 2＝________.全体复数所组成的集合叫做__________，记作C . 2．复数的表示复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的____________，a 与b 分别叫做复数z 的________与________．知识点二 复数的分类思考1 复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？思考2 实数集R 和复数集C 有怎样的关系？1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0， b ≠0当a ＝0时为纯虚数2．集合表示：知识点三 复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，规定a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是________________．类型一 复数的基本概念例1 下列命题中，正确命题的个数是________． ①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根．反思与感悟 (1)正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的真假性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的真假性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)复数的实部与虚部的确定方法首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部． 跟踪训练1 若复数z ＝3＋b i>0(b ∈R )，则b 的值是________． 类型二 复数的分类例2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 把例2中的“z ”换成“z ＝lg m ＋(m －1)i”，分别求相应问题．类型三复数相等例3 已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，若M∩P＝{3}，求实数m的值．反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．1．在2＋7，27i,0,8＋5i ，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为________．2．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是____________． 3．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝__________. 4．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．5．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．答案精析问题导学 知识点一 思考1 没有．思考2 有解，但不在实数范围内． 1．虚数单位 －1 复数集 2．代数形式 实部 虚部 知识点二 思考1 b ＝0. 思考2 R C . 1．实数 虚数 知识点三a ＝c 且b ＝d题型探究 例1 0解析 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题． ③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0也成立，所以③是假命题．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④是假命题． ⑤－1的平方根为±i，所以⑤是假命题． 跟踪训练1 0解析 只有实数才可比较大小，既然有z ＝3＋b i>0，则说明z ＝3＋b i 是实数，故b ＝0. 例2 解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2.跟踪训练2 解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数．(2)当m －1≠0且m >0时，即m >0且m ≠1时，复数z 是虚数．(3)当lg m ＝0且m －1≠0时，此时无解，即无论实数m 取何值均不能表示纯虚数． 例3 解 由题设知3∈M ， ∴(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3. 根据复数相等的定义，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4或m ＝－1，m ＝6或m ＝－1，∴m ＝－1.跟踪训练3 解 ∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3. 达标检测 1．2解析 27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i 是虚数．2．2－2i解析 2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2， ∴所求的复数z ＝2－2i. 3．2＋i解析 由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，即1＋x i ＝y ＋2i ，根据两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i.4．③解析 当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．5．解 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，即a ≠±1且a ≠6.∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．。

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案3 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案3 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案3 新人教A版选修1-2的全部内容。

3.2。

2复数代数形式的乘除运算教学过程一、学生探究过程：1.虚数单位i:（1）它的平方等于-1,即21i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根,方程x2=－1的另一个根是－i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i，i4n=14。

复数的定义：形如(,)+∈的数叫复数,a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数a bi ab R所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3。

复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)=+∈，把复数表示成a+biz a bi a b R的形式，叫做复数的代数形式4。

复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈,当且仅当b=0时，a bi ab R复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5。

2018_2019版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算

2018_2019版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算
解答
②C→A表示的复数； 解 因为C→A＝O→A－O→C， 所以C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③O→B表示的复数. 解 O→B＝O→A＋O→C， 所以O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 3，求|z1－z2|.
解答
引申探究 若将本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝ 3”改为“|z1－z2|＝1”，求|z1＋z2|. 解 如图，向量B→A表示的复数为 z1－z2， ∴|B→A|＝1，则△AOB 为等边三角形，∴∠AOC＝30°， 则|O→D|＝ 23，∴|O→C|＝ 3，O→C表示的复数为 z1＋z2， ∴|z1＋z2|＝ 3.
A.1
B.2
√C.－2
D.－2或1
解析 由 z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i 是纯虚数，得aa22－ －23＋ a＋a＝ 2≠00，，
得 a＝－2.
12345
解析 答案
3.在复平面内，O 是原点，O→A，O→C，A→B表示的复数分别为－2＋i，3＋ 2i,1＋5i，则B→C表示的复数为
解析 答案
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝_－__4_＋__3_i _. 解析 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝ x2＋y2，
∴|z|＋z＝( x2＋y2＋x)＋yi＝1＋3i，
∴ x2＋y2＋x＝1， y＝3，
解得xy＝ ＝－ 3，4，
∴z＝－4＋3i.
∴z＝1＋43i.
解析 答案
反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部 相加减. (2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x， y∈R).

2017-2018学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第10课时 复数代数形式的加减运算及几何意义教案 新


3 新课堂·互动探究 考点一 复数的加减法运算
例 1(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝__________. (2)已知 z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y 为 实数，若 z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝__________.
解析：(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. (2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y) －(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
考点三 |z－z0|(z，z0∈C)几何意义的应用 例 3 已知 z∈C，指出下列等式所表示的几何图形：
(1)|z＋1＋i|＝1. (2)|z－1|＝|z＋2i|. (3)|z＋1|＋|z＋1－i|＝2.
解：(1)表示以点(－1，－1)为圆心，以 1 为半径的圆． (2)以点(1,0)，(0，－2)为端点的线段的垂直平分线． (3)以点(－1,0)和(－1,1)为焦点，长轴长为 2 的椭圆．
【练习 2】 计算：2＋3i－(－1－i)－(－3＋4i)
【解析】 原式＝(2－(－1)－(－3))＋(3－(－1)－4)i ＝6＋0·i＝6. 【答案】 6
2 新视点·名师博客 1.如何理解复数代数形式的加、减运算法则？ 复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算， 其合理性可以从以下几点理解： (1)当复数的虚部为零时，与实数的加、减法法则一致． (2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立． (3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数． (4)可以推广到多个复数进行加、减运算．
则 z＋|z|＝5＋ 3i，即 a＋ a2＋b2＋bi＝5＋ 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
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3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义1．熟练掌握复数的代数形式的加减运算法则．(重点)2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 复数代数形式的加法运算及几何意义 阅读教材P 56～P 57“思考”以上内容，完成下列问题． 1．运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.2．加法运算律如图3­2­1，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →.图3­2­1在复平面内，向量OZ 1→对应的复数为－1－i ，向量OZ 2→对应的复数为1－i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为________．【解析】 由复数加法运算的几何意义知，OZ 1→＋OZ 2→对应的复数即为(－1－i)＋(1－i)＝－2i.【答案】 －2i教材整理2 复数代数形式的减法运算及几何意义阅读教材P 57“思考”以下至“例1”以上内容，完成下列问题． 1．运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数减法的几何意义如图3­2­2所示，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且OZ 1→，OZ 2→不共线，则这两个复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→(即Z 2Z 1→)对应，这就是复数减法的几何意义．图3­2­2这表明两个复数的差z 1－z 2(即OZ 1→－OZ 2→)与连接两个终点Z 1，Z 2且指向被减数的向量对应．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 1－z 2对应的点位于第________象限． 【解析】 z ＝z 1－z 2＝(2＋i)－(1＋2i)＝(2－1)＋(1－2)i ＝1－i ，对应的点为(1，－1)位于第四象限．【答案】 四[小组合作型]计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)； (2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)； (3)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(4)(a ＋b i)－(3a －4b i)＋5i(a ，b ∈R )．【精彩点拨】 解答本题可根据复数加减运算的法则进行． 【自主解答】 (1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(4)原式＝(－2a ＋5b i)＋5i ＝－2a ＋(5b ＋5)i.1．复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行． 2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．3．准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．[再练一题] 1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.1233＋3i ，以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．【精彩点拨】 AD →＝AB →＋AC →→z 4－z 1＝z 2－z 1＋z 3－z 1→z 4→|z 4－z 1|【自主解答】 如图所示：AC →对应复数z 3－z 1， AB →对应复数z 2－z 1， AD →对应复数z 4－z 1，由复数加减运算的几何意义得AD →＝AB →＋AC →， ∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)， ∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i ， ∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算． 2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．[再练一题]2．复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．【解】 ∵BA →对应的复数为1＋2i ，BC →对应的复数为3－i ， ∴AC →＝BC →－BA →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵OC →＝OA →＋AC →，∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.[探究共研型]12【提示】|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．探究2 满足条件|z＋2－2i|＝1的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么？【提示】法一(代数法)设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|(x＋y i)＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，∴x＋2＋y－2＝1.∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1，即复数z对应复平面上的点Z的轨迹为以(－2,2)为圆心，1为半径的圆．法二(几何法)|z＋2－2i|＝|z－(－2＋2i)|＝1，∴复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆．已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．【精彩点拨】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．【自主解答】法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.图(1) 图(2)法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.复数模的最值问题解法(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．[再练一题]3．已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．【解】由复数及其模的几何意义知：满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1.复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r，最大值为|AC|＋r.∴|z－3－2i|min＝＋2＋－2－1＝4.|z－3－2i|max＝＋2＋－2＋1＝6.1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )A．－1＋i B．1－iC．i D．－i【解析】(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.【答案】 A2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵z＝z2－z1＝(1＋5i)－(3＋i)＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i.【答案】 B3．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点Z ( ) A ．在实轴上 B ．在虚轴上 C ．在第一象限D ．在第二象限【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －1|＝|z ＋1|，得(x －1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2， 化简得x ＝0. 【答案】 B4．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC →对应的复数为________. 【导学号：81092045】【解析】 ∵BC →＝－(OA →－OC →＋AB →)，∴BC →对应的复数为－[(－2＋i)－(3＋2i)＋(1＋5i)]＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i] ＝－(－4＋4i)＝4－4i. 【答案】 4－4i5．如图3­2­3所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.图3­2­3求：(1)AO →表示的复数； (2)CA →表示的复数； (3)OB →表示的复数． 【解】 (1)因为AO →＝－OA →， 所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( ) A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8iD ．7－2i【解析】 (6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i ＝7－8i. 【答案】 C2．在复平面内，复数1＋i 和1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝( )A. 2 B ．2 C.10D ．4【解析】 由复数减法运算的几何意义知， AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2. 【答案】 B3．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4【解析】 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.【答案】 A4．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．【答案】 B5．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋－2＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i. 【答案】 C 二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝_________.【解析】 原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i. 【答案】 16i7．z 为纯虚数且|z －1－i|＝1，则z ＝________.【解析】 设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，|z －1－i|＝|－1＋(b －1)i|＝1＋b －2＝1，解得b ＝1，∴z ＝i. 【答案】 i8．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．【解析】 |z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.【答案】 22＋1 三、解答题 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.【解】 z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋a ＋－[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i.10．如图3­2­4，已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C ，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．图3­2­4【解】 法一：设正方形的第四个点D 对应的复数为 x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴AD →＝OD →－OA →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ， BC →＝OC →－OB →对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. ∵AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.法二：∵点A 与点C 关于原点对称，∴原点O 为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x ＋y i)＝0， ∴x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.[能力提升]1．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1【解析】 z 1－z 2＝(y ＋x i)－(－x ＋y i)＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1，∴xy ＝1. 【答案】 A2．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝11 |z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) 【导学号：81092047】A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【解析】 由已知z 对应的点到z 1，z 2，z 3对应的点A ，B ，C 的距离相等．所以z 对应的点为△ABC 的外心．【答案】 D3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．【解析】 |z －2|＝ x －2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝ 3. 【答案】 3 4．在复平面内，A ，B ，C 三点分别对应复数1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，AC →，BC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.∴OA →，OB →，OC →对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i(O 为坐标原点)，∴OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)．∴AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)．即AB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为－2＋2i ，BC →对应的复数为－3＋i.(2)∵|AB →|＝1＋1＝2，|AC →|＝－2＋22＝8， |BC →|＝－2＋1＝10，∴|AB →|2＋|AC →|2＝10＝|BC →|2.又∵|AB →|≠|AC →|，∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.。