北京市海淀区2014届高三上学期期中考试 文科数学 Word版含答案

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文科） 2014.4一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.52i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -解析：55(2)22(2)(2)i i i i i +==+--+2. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈=则A.1 B.0 C. 1 D.解析：{0}B =，所以{0}A B ⋂=3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个B.1个C. 2个D. 4个解析：根据抛物线的定义抛物线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，有两个点。

4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = A.1B. 3C.5D. 7解析：()a a b a a a b +=•+•=4+1=5 5. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是A B C D解析：由题得函数为奇函数，关于原点对称，x=1时，函数值为正，答案为A 。

6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为A ．1B ．2C ．12D ．3 解析：根据题意有22132()S a S S +=+，2111112()a a q a a q a q +=++解得q=3.OyxOyxOyxOyx7. 已知()x f x a 和()x g x b 是指数函数，则“(2)(2)f g ”是“ab ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：根据题意函数式指数函数，a ，b>0,所以22a b >，a b >，反之也成立，所以为充分必要条件。

8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．4解析：A(1,0),设0,0(ln )B x x 则AB 的中点坐标001ln (,)22x x +，因为中点在1y x =上，所以00(1)ln 4x x +=，利用数形结合，满足条件的点个数1个。

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|1}B x x =≥，则A B =( )A. {2}B. {1,2}C. {1,2}-D. {1,1,2}-2.下列函数中，为奇函数的是( )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2xf x =D. ()sin f x x =3.已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，则实数m 的值为( )A. 2-B.12-C. 12D. 2【答案】C 【解析】试题分析：因为，向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，所以，11,122m m -==-，选C. 考点：平面向量的坐标运算，共线向量.4.“π6α=”是“1sin2α=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知数列{}na的前n项和为n S，且*1110,3()n na a a n+=-=+∈N，则nS取最小值时，n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.若函数tan,0,()2(1)1,0x xf xa x xπ⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在π(,)2-+∞上单调递增，则实数a的取值范围( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,)+∞ D. (0,)+∞【答案】A7.若函数()sinf x x kx=-存在极值，则实数k的取值范围是( )A. (1,1)- B. [0,1) C. (1,)+∞ D. (,1)-∞-8.已知点(1,0)B，P是函数e xy=图象上不同于(0,1)A的一点.有如下结论：①存在点P使得ABP∆是等腰三角形；②存在点P使得ABP∆是锐角三角形；③存在点P使得ABP∆是直角三角形.其中，正确的结论的个数为( )A. 0B.1C. 2D. 3【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2013-2014学年度第一学期北京育才学校高三数学（文科）期中考试试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1. 若集合{}20A x x x =-<，{}03B x x =<<，则A B 等于（ ） A ．{}01x x <<B ．{}03x x <<C ．{}13x x <<2．运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为（ A ．10 B ．11 C ． 12 D ． 93．设l ，m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则正确的命题为（ ） A ．若,l αβα⊥⊥，则//l β B ．若,,l αβα⊥⊂则l β⊥ C ．若,,l m m n ⊥⊥则//l n D .若,//m n αβ⊥且//αβ,则m n ⊥4．平面向量a 与b 的夹角为0120， (2,0),||1a b == ，则|2|a b += （ ）A B ． C ． 4 D ． 2 5．实数60.7=a ，0.7log 6=b ，0.76=c 的大小关系正确的是( )A ．<<a c bB ．<<a b cC ．<<b a cD ．<<b c a6．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是( )A ．2sin(2)4y x π=- B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+7．若110a b<<,则下列不等式:①a b ab +<;②||||a b >;③a b <;④2b a a b+>中,正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．设12x x <，定义区间12[,]x x 的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为( )A ．3 B ．2 C ．1 D ．0.5 二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.) 9．i-12= __________ ．10．在ABC ∆中，若1b =，c =23π∠=C ，则=a ． 11．平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自△ABE 内部的概率为______．12．正三棱柱的底面边长为a , 如右图所示摆放，三棱柱的主视图面积为22a ,则左视图的面积为 . 13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且317S a =，则{}n a 的公比q 的值为 .14．规定一种运算：⎩⎨⎧>≤=⊗ba b ba ab a ,,，例如：121⊗=，322⊗=，则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 .三、解答题：(本大题共6小题，共80分.)15. (本小题满分13分) 在三角形ABC 中，若B c a C b cos )2(cos -=， （1）求角B 的大小； （2）若7=b ，4=+c a ，求三角形ABC 的面积.16. (本小题满分13分)为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17. (本小题满分14分)如图，三棱锥-P ABC 中，⊥PA 底面ABC ，△ABC 为等边三角形，,D E 分别是BC ，CA 的中点.（Ⅰ）证明：⊥BE 平面PAC ；（Ⅱ））若2==PA AB ，求三棱锥-P ABC 的体积.（Ⅲ）在BC 上是否存在一点F ，使//AD 平面PEF ？并说明理由. 18. (本小题满分13分)已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R .（Ⅰ）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；（Ⅱ）若对任意[)0,∈+∞x ，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.19. (本小题满分13分)已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令=n b =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．(本小题满分14分)已知函数)()(2R x a ax x x f ∈+-=，在定义域内有且只有一个零点，存在21x x 0<<， 使得不等式)x (f )x (f 21>成立. 若*N n ∈，)(n f 是数列}{n a 的前n 项和.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+k k c c 的正整数k 的个数称为这个数列{}n c 的变号数，令nn a c 41-=（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数；（Ⅲ）设61n +=n a T （2≥n 且*n ∈N ），使不等式 321)1)...(1()1(30732+∙++∙+≤n T T T m n 恒成立，求正整数m 的最大值．2013——2014高三数学文科期中答案一、选择题：ABDD CBBC二、填空题：]2214.[-1,，3-或2.13，a 3.1221.11，610.，i 1.92π+三、解答题：15题分-13---------43323321acsinB 21S 分-10---------------------23sinB 分9---------3ac ，2ac b -c a cosB ）2（分7---------------3B ），，0（B 分5---------------------21cosB 0sinA ），C B （sin sinA ，C B A 分2-------------2sinAcosB ）C B （sin 分-1-cosB ）sinC -2sinA （sinBcosC ：由正弦定理2法分7---------------3B ），，0（B 分5-----------21cosB ，ac b -c a 分2----------------,2a cosB 分1-----------,2cosC ：1法)1(222222222222=⨯⨯====∴+==∴∈=∴≠+=∴=++=+∴==∴∈==+∴-+=-+= πππππacb c abc b a 分13-------------，答题1511）A （P 分，10-----种11包含A 事件分9---------------------种15共,）c ，b ）（c ，b ）（b ，b （）c ，a ）（b ，a ）（b ，a ）（c ，a ）（c ，a ）（b ，a ）（b ，a ）（a ，a （）c ，a ）（b ，a ）（b ，a ）（a ，a ）（a ，a 试验所有结果为（c组同学为5第,b ，b 名学生同学分别为2组4记第a ，a ，a 名同学分别为3组3记第名学生不在同一个组，2表示A ）设事件2（分3------------------------------------1,2,3）1（题：162121323131222123212111322121，321=分14---------PEF 面||AD ，PEF 面AD ，PEF 面EF 又分12------AD ||EF 分别为中点，F ，E 中，ACD 证明：在分10-----------PEF 面||AD 中点时，CD 为F ）存在，当3（分9------------332PA S 31V ，3S ）2（分5---------------PAC 面BE ，A AC PA 分3-----------------PA BE ，ABC 面PA AC BE 中点，AC 是E ，CB AB 中，ABC ）证明：在1（题：17ABC ∴⊄⊂∴∆=⨯==⊥∴=⊥∴⊥⊥∴=∆∆1x ，1-x ，0）x （f 令分1-----）1-x ）（1x （1-x ）x （f ）1（题：1821/2/===+==-------------------3分分13230综上，，不合题意0）0（f ）a -（f ）x （f ）上增函数，，a -）上减函数，在（a -，0）在（x （f 时，0a 当分11230，0）a （f ）x （f ）上增函数，，a ）上减函数，在（a ，0）在（x （f 时，0a 当分-8-不合题意0）0（f ）x （f ）上增函数，，[0）在x （f 时，0a 当a x ，-a x ，0）x （f ），令a x ）（a -x （）x （f ）2（分5---------------67）x （f 67）2（f ，21）0（f min min min 21//max ----------------------------<<<<=∴∞+<-------------------<<>=∴∞+>==∴∞+====+==∴==a a 分13-------------------）1n （4n ）1n 1-1（41]）1n 1-n 1（）31-21（）21-1（[41T 分9)111(41)2（分5---------------------------1n 2a 分3------2d ，13a ，26a 2a a ）1题：（19n n 6675+=+=++++=---------------------+-=+===∴==+ n n b n 20．解：（I ）∵)(x f 函数在定义域内有且只有一个零点40042===-=∆∴a a a a 或得……1分当a =0时，函数2)(x x f =在),0(+∞上递增 故不存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立 …… 2分综上，得44)(,42+-==x x x f a …….3分442+-=∴n n S n⎩⎨⎧≥-==-=∴-2,521,11n n n S S a n n n…………4分（II ）解法一：由题设⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-=2n ,5n 2411n ,3c n 3n ≥ 时，0)3n 2)(5n 2(83n 245n 24c c n 1n >--=---=-+3n ≥∴时，数列{}n c 递增031c 4<-=由505241≥>--n n 得 可知0a a 54<⋅即3n ≥时，有且只有1个变号数； 又3c ,5c ,3c 321-==-=即0c c ,0c c 3221<⋅<⋅ ∴此处变号数有2个综上得数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3 ……9分解法二：由题设⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-=2n 5n 2411n 3c n 当2n ≥时，令03272529201<--⋅--<⋅+n n n n c c n n 得4229272523==<<<<n n n n 或解得或即又5c ,3c 21=-= 1n =∴时也有0c c 21<⋅ 综上得数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3…………9分（Ⅲ）2≥n 且*n ∈N 时，121+=n T n321)1211)...(711)(511(307+∙++++≤n n m 可转化为3211222122...9107856307+∙++∙-∙∙≤n n n n n m ． 设=)(n g 3211222122...9107856+∙++∙-∙∙n n n n n ， 则当2≥n 且*n ∈N ，3211222 (9107856521)32421222...9107856)()1(+∙++∙∙+∙++∙++∙∙=+n n n n n n n n n g n g2423n n +==+24124n n +=>===+.所以)()1(n g n g >+，即当n 增大时，)(n g 也增大．要使不等式321)1)...(1)(1(30732+∙+++≤n T T T m n 对于任意的*n ∈N 恒成立.。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科）2014.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.B2.B3.C4.C5.A6.D7. C8.B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 1 10. 方案三11. 35,712. ③,2()817f x x x=-+13. 15214.π[0,)2{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成π(0,)2不扣分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.解：（Ⅰ）ππππ()sin sin()6663f=-----------------------------------1分ππsin sin()66=-----------------------------------2分ππsin sin66=+---------------------------------3分π2sin16==---------------------------------4分（Ⅱ）1()sin sin22f x x x x=-+---------------------------------6分1sin2x x=+sin()3xπ=+--------------------------------8分因为ππ22x-≤≤所以ππ5π636x-≤+≤--------------------------------10分所以1πsin()123x -≤+≤ --------------------------------12分所以()f x 的取值范围是1[,1]2- --------------------------------13分16.解：(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A55()10.45100P A =-= --------------------------------5分 (Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机 ，选出两人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 共7种.记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M ，则7()0.710P M == --------------------------------13分 17.解：（Ⅰ）因为D ,M 分别为,AC BD 中点，所以DM //EF ---------------------2分 又1EF A EF ⊂平面，1DM A EF ⊄平面所以1//DM A EF 平面. -----------------------4分 （Ⅱ）因为1A E BD ⊥，EF BD ⊥且1A EEF E =所以1BD A EF ⊥平面 -------------7分 又11A F A EF ⊂平面所以1BD A F ⊥ ------------------------9分（Ⅲ）直线1A B 与直线CD 不能垂直 ---------------------------------------10分因为1A BD BCD ⊥平面平面,1A BDBCD BD =平面平面,EF BD ⊥,EF CBD ⊂平面，所以 1EF A BD ⊥平面. ---------------------------------------12分 因为11A B A BD ⊂平面，所以1A B EF ⊥， 又因为//EF DM ，所以1A B DM ⊥. 假设1A B CD ⊥，因为1A B DM ⊥，CDDM D =，所以1A B BCD ⊥平面， ------------------------------------------13分 所以1A B BD ⊥，这与1A BD ∠为锐角矛盾所以直线1A B 与直线CD 不能垂直. ---------------------------------------14分18.解：(Ⅰ) 定义域为()0,+∞ ------------------------------------1分'()ln 1f x x =+ ------------------------------------2分令'()0f x =，得 1ex =------------------------------------3分 '()f x 与()f x 的情况如下：分所以()f x 的单调减区间为1(0,)e ，单调增区间为1(,)e+∞--------------------------6分 (Ⅱ) 证明1：设1()ln g x x x=+，0x > ------------------------------------7分 22111'()x g x x x x-=-= -------------------------------8分 '()g x 与()g x 的情况如下：所以()(1)1g x g ≥=，即 1ln 1x x+≥在0x >时恒成立， ----------------------10分 所以，当1k ≤时，1ln x k x+≥， 所以ln 1x x kx +≥，即ln 1x x kx ≥-，所以，当1k ≤时，有()1f x kx ≥-. ------------------------13分 证明2：令()()(1)ln 1g x f x kx x x kx =--=-+ ----------------------------------7分'()ln 1g x x k =+- -----------------------------------8分令'()0g x =，得1e k x -= -----------------------------------9分'()g x 与()g x 的情况如下：分()g x 的最小值为11(e )1e k k g --=- -------------------11分当1k ≤时，1e 1k -≤，所以11e 0k --≥故()0g x ≥ -----------------------------12分 即当1k ≤时，()1f x kx ≥-. ------------------------------------13分 19.解：（Ⅰ）证明：因为,A B 在椭圆上，所以2211222224,2 4.x y x y ②①ìï+=ïíï+=ïî -----------------------------------1分 因为,A B 关于点(1,0)M 对称，所以12122,0x x y y +=+=， --------------------------------2分将21212,x x y y =-=-代入②得2211(2)24x y -+= ③，由①和③消1y 解得11x =， ------------------------------------------4分 所以 121x x ==. ------------------------------------------5分 （Ⅱ）当直线AB不存在斜率时，(0,A B -，可得AB MA ==∆ABM 不是等边三角形. -----------------------6分当直线AB 存在斜率时，显然斜率不为0.设直线AB ：3y kx =+，AB 中点为00(,)N x y ，联立2224,3,x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)12140k x kx +++=， ------------------7分2221444(12)143256k k k ∆=-+⋅=-由0∆>，得到274k >① -----------------------------------8分 又1221212kx x k -+=+, 1221412x x k⋅=+ 所以0002263,31212k x y kx k k -==+=++， 所以 2263(,)1212k N k k-++ -------------------------------------------10分 假设∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， 又因为(1,0)M ，所以1MNk k ⨯=-， 即2231216112k k kk +⨯=---+， ---------------------11分 化简 22310k k ++=，解得1=-k 或12k =----------------12分 这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意k 不能使得⊥MN AB ,故∆ABM 不能为等边三角形. ------------14分 20.解：（Ⅰ）有序整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列.-------------------------1分理由如下：由题设可知 1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ,1223(2,3)(33)B B B B ==-，，, 因为 12120=A A B B ,23230=A A B B 所以 12122323⊥⊥A A B B A A B B ，.所以整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列. ----------------------------3分 （Ⅱ）证明 ：由题意可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)B B B B B B λλλ=-==-，,123λλλ∈，，Z 因为1144,与与A B A B 相同，所以有λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9①3+3+3=1②因为λλλ∈123，，Z ，方程②不成立，所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列.----------8分 （Ⅲ）存在无正交点列的整点列(5)A . -------------------------------------------9分当5n =时，设1(,),,,i i i i i i A A a b a b +=∈Z 其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,4i = 若有序整点列12345,,,,B B B B B 是点列12345,,,,A A A A A 的正交点列, 则1(,),1,2,3,4i i i i i B B b a i λ+=-= ，由441i+1=11+==∑∑i i i i i A AB B得44=1144=11,.i i i i i i i i i i b a a b λλ==⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①②取1,(0,0)A =3,1,2,3,4i a i =,12342,1,1,1b b b b ==-==- 由于12345,,,,B B B B B 是整点列，所以有,1,2,3,4i i λ∈=Z .等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以存在无正交点列的整点列(5)A . -----------------------------------13分。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准 2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）πcosππ2()2sinππ44sin cos44f=+=+=+------------------------3分（Ⅱ）由sin cos0x x+≠得ππ,4x k k≠-∈Z.因为cos2()2sinsin cosxf x xx x=++22cos sin2sinsin cosx xxx x-=++9． 2 10． 16 11. 712．{1,2,4} 13． 50，1015 14．1-;①②③------------------------------------5分cos sin x x =+ π)4x =+， -------------------------------------7分所以()f x 的最小正周期2πT =. -------------------------------------9分因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z , ------------------------------11分 又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z ,所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .-----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =.----------------------------------4分（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=.----------------------------------9分（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分17．（本小题共14分）Array解：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以//CD AB又因为CD⊄平面PAB，所以//CD平面PAB. --------------------------4分（Ⅱ）因为PA PB=，点E是棱AB的中点，所以PE AB⊥. ----------------------------------5分因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB平面ABCD AB=,PE⊂平面PAB,----------------------------------7分所以PE⊥平面ABCD, ------------------------------------8分因为AD⊂平面ABCD,所以PE AD⊥. ------------------------------------9分（Ⅲ）因为CA CB=，点E是棱AB的中点，所以CE AB⊥. --------------------------------10分由（Ⅱ）可得PE AB⊥，---------------------------------11分所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分又因为AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PEC .--------------------------------14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分因为1y x a =++是增函数，所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分（Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分(),'()f x f x 的情况如下：--------------------------------------10分①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2e a ≥，所以此时，2e a ≥；--------------------------------------11分②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，所以a 不存在；------------------------12分③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,所以此时，a 不存在.------------------------------13分综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞.19. （本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分又由题意可得12c a =，所以2a =，----------------------------------2分所以2223b a c =-=, ----------------------------------3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=.---------------------------------4分所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分代入圆F 的方程，可得21r =,所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分（Ⅱ）法1：假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件，-----------------------------7分由22(2),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分 设11(,)B x y ，则21216243k x k +=+,---------------------------------9分可得中点22286(,)4343k k P k k -++， --------------------------------11分由点P 在圆F 上可得2222286(1)()14343k k k k --+=++ 化简整理得20k = --------------------------------13分又因为0k ≠，所以不存在满足条件的直线l .--------------------------------14分（Ⅱ）法2：假设存在直线l 满足题意.由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径，-----------------------------7分所以OP AB ⊥. ------------------------------8分由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分设点11(,)B x y ，则由题意可得2211143x y +=. --------------------------------10分 又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分所以22222211111||3(1)3444x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分20. （本小题共13分）解：（Ⅰ）只有y =是N 函数. ----------------------------3分（Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数.证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<，即11e e k k x -≤≤<.因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数.---------------------------------------8分（Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.---------------------------9分（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ⋅≤⋅， 所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.-----------------11分③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)a mb a >⋅-， 所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>， 所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅， 所以12()(1)f k n n f k <<≤+.又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ∀∈N ，都有*1{()|}n f x x ∉∈N ， 所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分 综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。

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考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。

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一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

1. 已知会合 A { 1,0,1,2} ， B{ x | x 1} ，则 A B( B )A. {2}B. {1,2}C. {1,2} D. { 1,1,2}2. 以下函数中，为奇函数的是 ( D )A. f ( x) xB. f (x) ln xC. f (x) 2xD. f ( x) sin x3. 已知向量a(1, 2), b ( m, 1) ，且 a / /b ，则实数 m 的值为 (C )A.2B.11 D. 22C.24. “π” “1 ” A是 sin的（ ）62A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件5. 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 a 110,a n 1 a n 3 (n N * ) ，则 S n 取最小值时，n 的值是（ B ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 若函数 f ( x)tan x,2 x0,π,) 上单一递加，则实数a 的取值范围 ( A )在 (a( x 1) 1, x 02A. (0,1]B. (0,1)C. [1, )D. (0,)7.若函数f ( x)sin xkx 存在极值，则实数 k 的取值范围是 ( A)A. ( 1,1)B. [0,1)C. (1, )D.( ,1)8.已知点 B(1,0) ， P 是函数 ye x 图象上不一样于 A(0,1)的一点 .有以下结论：①存在点 P 使得 ABP 是等腰三角形； ②存在点 P 使得 ABP 是锐角三角形；③存在点 P 使得ABP 是直角三角形.此中，正确的结论的个数为( B )A. 0 C. 2 D. 3二、填空题 :本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学文海淀区高三年级第一学期期中练习(答案)数学（文科） 2013.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

BDCA B A AB 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.(,1][0,)-∞-+∞U 10.111. 312.2π3,π613. 314.3；6(31)n-（说明：第12和14题的两空，第一空3分，第二空2分）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分14分） 解：（I）π()32cos(2)2f x x x =+----------------------------------------2分 32sin 2x x=+-------------------------------------------------4分π2sin(2)3x =+-------------------------------------------------6分()f x 最小正周期为T π=，-------------------------------------------------8分（II ）因为ππ32x -≤≤，所以ππ4π2333x -≤+≤ --------------------------------------10分所以3πsin(2)13x ≤+≤---------------------------------------12分所以π32sin(2)23x -≤+≤，所以()f x 取值范围为[3,2]-.---------------14分16.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由60A =o和33ABC S ∆=可得133sin602bc =o ,---------------------------2分所以6bc =，--------------------------------------3分又32,b c = 所以2,3b c ==.------------------------------------5分 （Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =o,由余弦定理2222cos a b c bc A=+-可得------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a bA B=可得72sin B=o ，---------------------------------12分所以21sin B =.------------------------------------13分 17.（本小题满分13分）解：（I ）设等比数列{}na 的公比为q ，由313a a -=得21(1)3a q -=①----------------------------------2分由123a a+=得1(1)3a q +=②----------------------------------4分两式作比可得11q -=，所以2q =， ----------------------------------5分把2q =代入②解得11a =，----------------------------------6分所以12n n a -=.----------------------------------7分（II）由（I）可得21141n n n b a -=+=+----------------------------------8分易得数列1{4}n -是公比为4的等比数列， 由等比数列求和公式可得 141(41)143nnnS n n -=+=-+-.------------------------------13分 （说明：未舍1q =-扣1分，若以下正确，给一半分；两个求和公式各2分，化简结果1分）18.（本小题满分13分） 解：（I ）由已知可得1x t+=，所以点P 的横坐标为21t -,----------------------------2分因为点H 在点A 的左侧，所以2111t-<，即2323t -<<由已知0t >，所以023t <<，-------------------------------------4分所以2211(1)12,AH tt =--=-所以APH∆的面积为21()(12),0232f t t t t =-<<.---------------------------6分（II）233'()6(2)(2)22f t t t t =-=-+---------------------------7分由'()0f t =，得2t =-（舍）,或2t =.--------------------------8分函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：(0,2) 2(2,23) '()f t + 0 -()f t↗极大值↘------------------------------------12分 所以当2t =时，函数()f t 取得最大值8.------------------------------------13分19.（本小题满分14分）解：（I ）当1a =时，()ln f x x x=+，1'()1(0)f x x x=+>------------------------------1分 (1)1f =，'(1)2f =-------------------------------3分所以切线方程为210x y --=--------------------------------5分 （II ）'()(0)x af x x x+=>-----------------------------6分当0a ≥时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x >，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-8分当0a <时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：x (0,)a - a - (,)a -+∞'()f x - 0 +()f x ↘ 极小值↗------------------------------------10分 （III ）由（II ）可知①当0a ≥时，(0,)+∞是函数()f x 的单调增区间，且有11()1110aaf e e--=-<-=，(1)10f =>，---------------11分所以，此时函数有零点，不符合题意；---------------12分②当0a <时，()f a -是函数()f x 的极小值，也是函数()f x 的最小值，所以，当()(ln()1)0f a a a -=-->，即e a >-时，函数()f x 没有零点，-------13分综上所述，当e 0a -<<时，()f x 没有零点.-----------------14分 20.（本小题满分13分） 解：（I ）集合A的所有元素为：4,5,6,2,3,1.----------------------3分（说明：学生若写成{4,5,6,2,3,1}A =，不扣分，写不全的两个元素给1分）（II ）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为ka ，如果ka 是3的倍数，则113k k a a +=；如果ka 是被3除余1，则由递推关系可得22k ka a +=+，所以2k a +是3的倍数，所以3213k k a a ++=；如果ka 被3除余2，则由递推关系可得11k k a a +=+，所以1k a +是3的倍数，所以2113k k aa ++=.所以，该7项的等比数列的公比为13. 又因为*na ∈N ，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为p ，则p 是被3除余1或余2的正整数，则可推得63kap =⨯因为67320143<<，所以63ka=或623ka=⨯.由递推关系式可知，在该数列的前1k -项中，满足小于2014的各项只有：1k a -=631,-或6231⨯-,2k a-=632,-或6232⨯-,所以首项a 的所有可能取值的集合为{663,23⨯,6631,231,-⨯-6632,232-⨯-}.-----------------------8分（III ）若ka 被3除余1，则由已知可得11k ka a +=+,2312,(2)3k k k ka a a a ++=+=+； 若ka 被3除余2,则由已知可得11k ka a +=+,21(1)3k k aa +=+,31(1)13k ka a +≤++； 若ka 被3除余0，则由已知可得113k k aa +=,3123k k a a +≤+；所以3123k k aa +≤+，所以312(2)(3)33kk k k k aa a a a +-≥-+=-所以，对于数列{}na 中的任意一项ka ，“若3ka>，则3kk aa +>”.因为*ka ∈N ，所以31kk aa +-≥.所以数列{}na 中必存在某一项3ma≤（否则会与上述结论矛盾！）若1ma =,结论得证. 若3ma=,则11m a+=；若2ma=,则123,1m m aa ++==,所以1A ∈. -----------------------------------------13分说明：对于以上解答题的其它解法，可对照答案评分标准相应给分。

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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.52i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i - 2. 已知集合{}{}1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈=则 A.{}1- B.{}0 C. {}1 D.Æ 3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = A.1B.3C.5D. 75. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是A BCD6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为 A.1 B.2C.12D.3 7. 已知()x f x a =和()x g x b =是指数函数，则“(2)(2)f g >”是“a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线221 3x y m -=的离心率为2，则m =__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______方案一： 方案二： 方案三：11. 在ABC ∆中，3a =，5b =，120C =，则s i n ______,_______.s i n Ac B==12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)xp f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++. 能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________. 13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组20,20x y x ay ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω.(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.O y x O y xO yxO y x 俯视图主视图侧视图求()f x 在[,]22-上的取值范围.16．（本小题满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题，答题情况如下表：(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ；（Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.18. （本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立. 19. （本小题满分14分）已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 关于点(1,0)M 对称时，求证：121x x ==；（Ⅱ）当直线AB 经过点(0,3) 时，求证：MAB ∆不可能为等边三角形. 20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,nA A A A 与()B n ：123,,,,nB B B B ，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，则称()A n 与()B n 互为正交点列.（Ⅰ）试判断(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B ：123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列，并说明理由；（Ⅱ）求证：(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ；（Ⅲ）是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ？并证明你的结论.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科） 2014.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.A. B. C. D.2. 已知集合A. B. C. D.3. 抛物线上到其焦点距离为5的点有A.0个B.1个C. 2个D. 4个4. 平面向量满足，，且的夹角为，则=A.1B. 3C.5D. 75. 函数的部分图象可能是A B C D6. 已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比为A．1 B．2 C． D．37. 已知和是指数函数，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点.那么曲线关于曲线的关联点的个数为A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.双曲线的离心率为2，则__________.10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______方案一：方案二：方案三：11. 在中，，，，则12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①，；②；③.能较准确反映商场月销售额与月份x关系的函数模型为 _________（填写相应函数的序号），若所选函数满足，则=_____________.13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为__________.14. 设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为.(1) 若与有且只有一个公共点，则＝ ;(2) 记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求;（Ⅱ）求在上的取值范围.16．（本小题满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题，答题情况如下表：答对题目89数女213128男337169(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.17. （本小题满分14分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，于（不同于点），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥，如图2所示.（Ⅰ）若M是FC的中点，求证：直线//平面；（Ⅱ）求证：BD⊥；（Ⅲ）若平面平面，试判断直线与直线CD能否垂直？并说明理由.18. （本小题满分13分）已知函数.(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ) 当时，求证：恒成立.19. （本小题满分14分）已知是椭圆上两点，点的坐标为.（Ⅰ）当关于点对称时，求证：；（Ⅱ）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.（Ⅰ）试判断：与：是否互为正交点列，并说明理由；（Ⅱ）求证：：不存在正交点列；（Ⅲ）是否存在无正交点列的有序整数点列？并证明你的结论.。