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高中数学复数解读教案模板教学目标：学生能够理解复数的概念，掌握复数的表示形式，进行复数的运算。
一、复数的概念与表示1. 复数的定义：复数是形如a+bi的数，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，i^2=-1。
2. 复数的表示形式：标准形式、三角形式、指数形式等。
3. 复数平面：复数可以用平面上的点表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标。
二、复数的运算1. 复数的加减法：实部相加，虚部相加。
2. 复数的乘法：使用分配律及虚数单位i的平方等于-1进行计算。
3. 复数的除法：先将分母有理化，再进行除法运算。
三、复数的应用1. 复数在几何中的应用：向量的表示、测量等。
2. 复数在物理中的应用：交流电路中的阻抗等。
教学过程：1. 复数的概念与表示（30分钟）- 教师引导学生了解复数的概念，并通过例题演示不同表示形式。
- 学生掌握复数的概念及表示方法。
2. 复数的运算（40分钟）- 教师讲解复数的加减法、乘法和除法，并进行相关例题讲解。
- 学生完成相关练习，巩固复数的运算规则。
3. 复数的应用（30分钟）- 教师介绍复数在几何和物理领域中的应用，引导学生理解复数的实际意义。
- 学生通过实际问题解决复数的应用题目。
教学反馈：- 教师根据学生的掌握情况进行课堂检测与反馈，帮助学生弥补不足，巩固学习成果。
教学资源：- PowerPoint课件、复数计算工具、复数应用案例等。
教学评价：- 学生能够准确理解复数的概念和运算规则，能够运用复数解决实际问题。
教学延伸：- 学生可自主学习复数的高级运算、复数的根和方程等内容，拓展复数的应用领域。
教学反思：- 教师应根据学生的学习状况调整教学内容和方法，有效提高学生的学习兴趣和成绩。
高中数学必修课教案复数的运算与应用高中数学必修课教案：复数的运算与应用第一节：复数的定义和表示复数是由实数和虚数组成的数，其中实数部分和虚数部分分别用符号表示。
复数可以用二元有序数对的形式表示，即z=a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
第二节：复数的四则运算1.加法将两个复数的实数部分相加，虚数部分相加，得到它们的和。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2.减法将两个复数的实数部分相减，虚数部分相减，得到它们的差。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3.乘法按照分配律和虚数单位的乘法规则进行计算。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i4.除法将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，然后按照分配律和虚数单位的乘法规则进行计算。
例如：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)第三节：复数的应用1.复数在电路中的应用复数可用于描述交流电路中的电压和电流关系，通过复数运算可以计算交流电路中的电阻、电感和电容等参数。
2.复数在几何图形中的应用复数可用于描述几何图形在平面上的旋转、变形等运动，可以通过复数运算计算图形的变换和变形过程。
3.复数在信号处理中的应用复数可用于描述信号的频率、相位等特性，通过复数运算可以进行信号的滤波、变换等操作。
4.复数在数学分析中的应用复数可用于求解多项式方程、微分方程等数学问题，通过复数运算可以简化计算和求解过程。
总结：本节课主要介绍了复数的定义和表示方式，以及复数的四则运算。
复数不仅在数学上有重要的意义，还广泛应用于电路、几何、信号处理和数学分析等领域。
深入理解和掌握复数的运算规则和应用方法，对于学生的数学素养和综合能力提升具有重要意义。
高中数学备课教案复数的基本概念与运算高中数学备课教案复数的基本概念与运算一、引言高中数学中，复数是一个重要的概念。
它既可以表示实数范围之外的数，也可以用于解决实数范围内的问题。
本教案旨在介绍复数的基本概念与运算，帮助学生理解复数的含义、性质，并能熟练运用复数进行计算。
二、复数的定义与表示法1. 复数定义复数是由实部与虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，且满足i² = -1。
2. 复数表示法复数可以用代数形式、几何形式和指数形式等方式进行表示。
三、复数的性质1. 加法性质复数的加法遵循实部相加、虚部相加的规则，即(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i。
2. 减法性质复数的减法可通过加负数实现，即(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i。
3. 乘法性质复数的乘法满足分配律、交换律和结合律，即(a+bi)·(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法性质复数的除法可通过乘以倒数实现，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
四、复数的运算规则与常用公式1. 共轭复数复数a+bi的共轭复数为a-bi，表示为conjugate(a+bi)。
2. 模与幅角复数a+bi的模定义为|a+bi| = √(a²+b²)，即复数对应点到原点的距离；复数a+bi的幅角定义为arg(a+bi) = arctan(b/a)，即与实轴正半轴的夹角。
3. 乘方公式复数的乘方可通过将复数转化为指数形式，然后利用指数的运算法则进行计算。
4. 根式公式复数的根可通过将复数转化为指数形式，并利用指数的根式运算法则进行计算。
五、解决实际问题通过复数的基本概念与运算，我们可以解决一些实际问题，如以下两个例子：1. 电路问题当电路中存在交流电场时，复数可以用于表示电压和电流的相位差，从而帮助我们分析电路的行为。
高中复数教案一、教学目标1.了解复数的概念及其运算法则；2.掌握复数的加、减、乘、除法运算方法；3.能够解决与复数相关的实际问题；4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点1.复数的概念及其运算法则；2.复数的加、减、乘、除法运算方法。
三、教学难点1.复数的乘、除法运算方法；2.能够解决与复数相关的实际问题。
四、教学内容1. 复数的概念及其运算法则1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i2=−1。
1.2 复数的实部和虚部对于一个复数z=a+bi，a称为它的实部，b称为它的虚部，记作Re(z)= a和Im(z)=b。
1.3 复数的共轭对于一个复数z=a+bi，它的共轭复数为z=a−bi，即实部不变，虚部取相反数。
1.4 复数的模对于一个复数z=a+bi，它的模为|z|=√a2+b2，表示复数到原点的距离。
1.5 复数的运算法则复数的加减法运算法则与实数相同，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
复数的乘法运算法则为(a+bi)×(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i。
2. 复数的加、减、乘、除法运算方法2.1 复数的加减法运算方法复数的加减法运算方法与实数相同，即将实部和虚部分别相加减即可。
2.2 复数的乘法运算方法复数的乘法运算方法为先将两个复数的实部和虚部分别相乘，然后将实部的乘积与虚部的乘积相加即可。
2.3 复数的除法运算方法复数的除法运算方法为先将除数的共轭复数乘以被除数，然后将结果除以除数的模的平方。
3. 与复数相关的实际问题3.1 复数在电路中的应用在电路中，复数可以用来表示电压和电流的相位关系，从而方便计算电路中的各种参数。
3.2 复数在几何中的应用在几何中，复数可以用来表示向量的长度和方向，从而方便计算向量的运算。
3.3 复数在信号处理中的应用在信号处理中，复数可以用来表示信号的频率和相位，从而方便计算信号的变换和滤波。
高中数学必修4复数教案教学目标：1.了解复数的定义和性质。
2.掌握复数的加减乘除运算。
3.能够将函数用复数形式表示。
4.能够解决复数方程和不等式。
教学重点：复数的概念和运算。
教学难点：复数方程和不等式的解法。
教学方法：讲解结合实例演练。
教学过程：一、复数的定义和性质1. 复数的定义：复数是由实数和虚数单位（i）组成的数，一般表示为a+bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，且i²=-1。
2. 复数的性质：（1）复数的加减法：实部相加，虚部相加。
（2）复数的乘法：按照分配律和虚数单位i的平方等于-1，进行计算。
（3）复数的除法：利用共轭复数的概念，进行分子分母有理化。
二、复数的运算1. 复数的加减法：（1）例题展示：(3+2i)+(4-5i)=(3+4)+(2-5)i=7-3i（2）实例练习：计算(1+3i)-(2-4i)和(5-2i)+(7+3i)。
2. 复数的乘法：（1）例题展示：(1+2i)(3+4i)=1*3+1*4i+2i*3+2i*4i=3+4i+6i-8=3+10i-8=10+10i（2）实例练习：计算(2-3i)(-1+2i)和(1+i)(2-i)。
3. 复数的除法：（1）例题展示：(1+2i)/(1-i)=([(1+2i)(1+i)])/(1²-(-i)²)= (1-2+i(1+2))/(1+1)= 3+i （2）实例练习：计算(3+2i)/(1-i)和(5-4i)/(2+i)。
三、函数的复数形式表示1. 复数为函数的解：（1）函数f(x)=x²-4x+13=0的解是x=2±3i。
（2）函数f(x)=3x²+2x+7=0的解是x=-1±2i。
2. 应用实例：（1）已知函数f(x)=x²+4x+5，求函数的解。
（2）已知函数f(x)=2x²-3x+7，求函数的解。
四、复数方程和不等式1. 复数方程的解法：（1）例题展示：解方程2x²+5x+2=0。
教案数学高中复数1. 理解复数的概念，掌握复数的表示方法。
2. 掌握复数的运算规则，包括加减乘除。
3. 能够利用复数进行解方程、画出复数在复平面上的表示。
教学重点：1. 复数的定义及表示法。
2. 复数的四则运算规则。
3. 复数在复平面上的表示。
教学难点：1. 复数的四则运算。
2. 复数在复平面上的表示。
教学准备：1. 复数的概念板书。
2. 复数的四则运算练习题目。
3. 复数对应的复平面图纸。
教学步骤：一、复数的定义和表示法（10分钟）1. 介绍复数的概念，解释实部和虚部的含义。
2. 讲解复数的表示方法，包括代数形式和三角形式。
二、复数的四则运算规则（20分钟）1. 讲解复数的加减法规则，提供实例进行讲解和练习。
2. 讲解复数的乘法规则，提供实例进行讲解和练习。
3. 讲解复数的除法规则，提供实例进行讲解和练习。
三、复数在复平面上的表示（15分钟）1. 讲解复数在复平面上的表示方法，包括实部、虚部和模的含义。
2. 讲解如何根据复数画出对应的复平面图形。
四、综合练习（15分钟）1. 给学生出一些综合运算的题目，让学生巩固复数的运算规则。
2. 让学生在复平面上画出所给复数的位置。
五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，包括复数的练习题和复数在复平面上的表示。
2. 提醒学生复习本节课的知识点。
教学反思：本节课主要是对高中数学中的复数进行讲解和练习，通过实例和练习让学生掌握复数的表示方法和运算规则。
同时，也让学生了解复数在复平面上的表示，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在教学过程中，要多与学生互动，引导学生积极思考和解决问题。
复数的四则运算【第一课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？ 二、新知探究探究点1：复数的加、减法运算（1）计算：（5－6i ）＋（－2－i ）－（3＋4i ）；（2）设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i （x ，y ∈R ），且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2． 解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i ． （2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ，所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i ．解决复数加、减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．探究点2：复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i ．（1）求AO→表示的复数；（2）求CA→表示的复数．解：（1）因为AO→＝－OA →，所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i ． （2）因为CA→＝OA →－OC →， 所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i ． 互动探究：1．变问法：若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i ．所以点B 所对应的复数为1＋6i ．2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数．解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为（1，6），得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M对应的复数为12＋3i ．复数加、减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 三、课堂总结1．复数加、减法的运算法则及加法运算律（1）加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i ．（2）加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）． 2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→．四、课堂检测1．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）的结果为（ ） A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8iD ．7－2i解析：选C ．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i ＝7－8i ． 2．已知复数z 1＝（a 2－2）－3a i ，z 2＝a ＋（a 2＋2）i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a 的值为____________．解析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋（a 2－3a ＋2）i 是纯虚数，得⎩⎨⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2．答案：－23．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i ． （1）求z 1－z 2；（2）在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．解：（1）由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝（－2＋i ）－（－1＋2i ）＝－1－i ．（2）在复平面内作复数z 1－z 2所对应的向量，如图中OZ→．【第二课时】【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？ 二、新知探究探究点1： 复数的乘法运算（1）（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（ ）A ．1＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－3＋i（2）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则（a ＋b i ）2＝（ ） A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4iD ．3＋4i（3）把复数z 的共轭复数记作z －，已知（1＋2i ） z －＝4＋3i ，求z ．解：（1）选B ．（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i （1＋i ）＝（1－i ）（1＋i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝（1－i 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i ． （2）选D ．因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以（a ＋b i ）2＝（2＋i ）2＝3＋4i ． （3）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，由已知得，（1＋2i ）（a －b i ）＝（a ＋2b ）＋（2a －b ）i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知，{a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ．复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i 2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a ＋b i ）2＝a 2＋2ab i ＋b 2i 2＝a 2－b 2＋2ab i ，（a ＋b i ）3＝a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3ab 2＋（3a 2b －b 3）i ．探究点2： 复数的除法运算计算：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i；（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i．解：（1）（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i ．（2）（1－4i ）（1＋i ）＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i 3＋4i＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i ．复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．探究点3： i 的运算性质（1）复数z ＝1－i1＋i，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 解析：（1）z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1． （2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 22 019＝i 2 019＝（i 4）504·i 3＝1504·（－i ）＝－i ．答案：（1）B （2）－i（1）i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0（n ∈N *）． （2）记住以下结果，可提高运算速度． ①（1＋i ）2＝2i ，（1－i ）2＝－2i ．②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ． ③1i ＝－i ． 探究点4：在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程． （1）x 2＋5＝0； （2）x 2＋4x ＋6＝0．解：（1）因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5，又因为（5i ）2＝（－5i ）2＝－5， 所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i ． （2）法一：因为x 2＋4x ＋6＝0， 所以（x ＋2）2＝－2，因为（2i ）2＝（－2i ）2＝－2， 所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ， 即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ． 法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i （a ，b ∈R 且b ≠0）， 则（a ＋b i ）2＋4（a ＋b i ）＋6＝0， 所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得（a 2－b 2＋4a ＋6）＋（2ab ＋4b ）i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝±2． 所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i ．在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求解方法 （1）求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac2a ．②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i2a．（2）利用复数相等的定义求解设方程的根为x＝m＋n i（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解．三、课堂总结1．复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋b i）（c＋d i）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．（2）复数乘法的运算律2．复数除法的运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（c＋d i≠0）（a，b，c，d∈R），则z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋d i≠0）．对复数除法的两点说明（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．四、课堂检测1．若复数（1＋b i）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2 B．－1 2C．12D．2解析：选D．因为（1＋b i）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．2．已知i为虚数单位，则复数i2－i的模等于（）A． 5 B． 3C．33D．55解析：选D．因为i2－i＝i（2＋i）（2－i）（2＋i）＝i（2＋i）5＝－15＋25i，所以|i2－i |＝|－15＋25i|＝（－15）2＋（25）2＝55，故选D．3．计算：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018；（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．解：（1）2＋2i（1－i）2＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i2 018＝2＋2i－2i＋⎝⎛⎭⎪⎫22i1 009＝i（1＋i）＋⎝⎛⎭⎪⎫1i1 009＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1．（2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i）＝22－14i＋25－25i＝47－39i．。
高中数学教案：《复数的运算和应用》一、引言复数在高中数学中是一个重要的概念，它不仅能为我们提供解决实际问题的工具，还有助于拓宽我们对数学的理解。
本教案将围绕着复数的运算和应用展开教学，在加深学生对复数概念的理解和掌握的同时，培养他们分析问题、解决问题的能力。
二、知识点梳理2.1 复数定义及代数表示复数定义为形如a+bi（其中a,b∈R）的数，其中a为实部，bi为虚部。
在直角坐标系中，复平面上每个复数都可以用一个有序实数组(a, b) 唯一地表示，并且满足四则运算规则。
2.2 复数运算2.2.1 加减法：按照实部和虚部相应相加减即可。
2.2.2 乘法：利用FOIL法则进行计算。
2.2.3 除法：根据分子与分母各取共轭并化简。
三、教学步骤3.1 引入复数概念核心内容：在引导学生了解实数存在无法求根的问题后，介绍并引入复数的概念，强调求平方根的实际需求和复数解决问题的优势。
3.2 复数的运算核心内容：3.2.1 加减法：- 分别对实部和虚部进行加减运算。
- 通过实例练习巩固学生的运算能力。
3.2.2 乘法：- 引导学生利用FOIL法则展开计算，并对结果进行合并整理。
- 给予多个例题进行练习，培养学生分析问题、推理解决问题的能力。
3.2.3 除法：- 培养学生正确化简公式、应用共轭原理来实现除法操作。
- 以实例演示解答过程，并鼓励自主思考与讨论。
3.3 复数的应用核心内容：将复数应用于解析几何中线段比较等实际问题上，帮助学生理解复数在实际问题中的重要性和灵活性。
以行车路线等实例引出与其他知识点结合，培养学生利用复数解决工程问题的能力。
四、教学重点与难点4.1 教学重点4.1.1 引导学生正确理解复数定义及代数表示方法。
4.1.2 培养学生对于复数加减乘除四则运算规则的掌握。
4.1.3 帮助学生理解复数在实际问题中的应用方法。
4.2 教学难点4.2.1 引导学生正确理解复数定义，克服对虚部的概念的困惑。
4.2.2 培养学生对于复数乘法和除法的运算技巧和思维方式。
高中数学复数计算教案
目标：学生能够理解复数的概念，掌握复数的加减乘除运算方法，并能够应用到数学问题中。
教学方式：讲解、示范、练习、讨论
教学内容：
1. 复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为$a+bi$，其中$a$为实部，
$b$为虚部，$i$为虚数单位，且$i^2=-1$。
2. 复数的加减运算：将实部和虚部分别相加或相减。
3. 复数的乘法运算：将两个复数进行分配律展开，然后整理得到结果。
4. 复数的除法运算：将除数和被除数同时乘以共轭复数，再进行分式化简，得到最终结果。
教学步骤：
1.引入：简要介绍复数的定义和概念，以及复数的运算规则。
2.讲解：详细讲解复数的加减乘除运算方法，并通过示例演示每种运算的步骤。
3.练习：让学生进行练习，巩固所学知识，提高运算能力。
4.讨论：让学生互相交流讨论复数运算中的问题，加深理解。
5.总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点，留出时间给学生提出问题。
作业布置：布置相关的练习题，要求学生独立完成，下节课检查订正。
课堂总结：强调复数在数学中的应用，鼓励学生多加练习，掌握复数的计算方法。
教学反馈：在下节课开始前，对本节课教学效果进行反馈，根据学生反馈情况调整教学方法。
复数教案高中数学一、教学目标1. 知识与技能：掌握复数的概念，能够进行复数的加减乘除运算。
2. 过程与方法：通过举例分析和练习巩固复数的相关知识点。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学知识的兴趣，提高数学学习的积极性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：复数的概念和基本运算法则。
2. 教学难点：复数的乘法和除法运算。
三、教学内容1. 复数的定义和表示方法2. 复数的加减运算3. 复数的乘除运算四、教学过程1. 复数的定义和表示方法- 引导学生了解复数的定义：将形如a+bi的数称为复数，其中a和b分别是实数，i是虚数单位。
- 通过示例讲解复数的表示方法，如2+3i、-4-5i等。
2. 复数的加减运算- 讲解复数的加减运算规则：实部相加，虚部相加，结果为新的复数。
- 通过例题演练，让学生掌握复数的加减法则。
3. 复数的乘除运算- 解释复数的乘法规则：通过公式(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i-bd，进行乘法运算。
- 教授复数的除法方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭，然后进行运算。
- 进行例题练习，让学生熟练掌握复数的乘除运算。
五、课堂练习1. 计算以下复数的和差：- (3+4i) + (5+2i)- (7-2i) - (4+3i)2. 计算以下复数的乘积和商：- (2+3i) × (1+2i)- (4-3i) ÷ (2+1i)六、作业布置1. 完成课堂练习题。
2. 熟练掌握复数的加减乘除运算方法。
3. 预习下节课内容：复数的绝对值和幂。
七、教学反思通过本节课的教学，学生应该能够理解复数的概念，掌握复数的加减乘除运算方法。
教师应多设计实际例题，引导学生合理运用复数知识解决问题，促进学生对数学知识的深入理解和掌握。
课 题： 4．2复数的运算（二）教学目的：1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题教学重点：复数代数形式的除法运算教学难点：对复数除法法则的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)二、讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.3. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bi a ++ 4.除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )， 即(a +bi )÷(c +di )=x +yi∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222dc ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di c bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法5*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数三、讲解范例：例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算(12)(34)i i +÷-解：(12)(34)i i +÷-1234i i+=- 22(12)(34)386451012(34)(34)342555i i i i i i i i ++-++-+====-+-++ 例3 i 43+ 解：ii i i 4342)1)(41(++++-22143247(7)(34)343434i i i i i i i +-++++-===+++ 21432825251.2525i i i i ++--===- 例4已知z 是虚数，且z +z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数. 证明：设z =a +bi (a 、b ∈R 且b ≠0)，于是 z +z 1=a +bi +bia +1=a +bi +ib a b b b a a a b a bi a )(222222+-+++=+-. ∵z +z 1∈R ，∴b －22b a b +=0. ∵b ≠0，∴a 2+b 2=1.∴22)1(])1][()1[()1()1(11ba bi a bi a bi a bi a z z ++-++-=+++-=+- .11212012])1()1[(12222i a b a bi a b a i b a b a b a +=+++=+++--+++-= ∵b ≠0，a 、b ∈R ，∴i a b 1+是纯虚数四、课堂练习：1.设z =3+i ,则z1等于 A.3+iB.3－iC.101103+iD.i 101103+ 2.aib bi a ai b bi a +-+-+的值是 A.0B.iC.－iD.1 3.已知z 1=2－i ,z 2=1+3i ,则复数521z z i +的虚部为 A.1B.－1C.iD.－i 4.设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R ,y ∈R ),则x =___________,y =___________.答案：1.D 2.A 3.A 4.53 , －59 五、小结 ：复数的乘法法则是：(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是：2222d c ad bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：。
