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2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点十一圆锥曲线中的综合问题总分_______ 时间_______ 班级_______ 学号_______ 得分_______（一）选择题（12*5=60分）1.双曲线的左右焦点分别为，为右支上一点，且，，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】B2.【018届河南省商丘市2高三第一学期期末】以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意, 以为焦点的抛物线的准线y=代入双曲线,可得，∵△MNF为正三角形，∴，∵p>0,∴，∴抛物线C的方程为，故选：C.3.【2018届福建省福州市高三上学期期末】过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选A.5.已知圆的弦过点P（1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】因为弦长最短，所以该直线与直线OP垂直，又因为，所以直线的斜率为，由点斜式可求得直线方程为，故选A.6．【2018届湖南省常德市高三上学期期末】已知分别为双曲线的左右顶点，两个不同动点在双曲线上且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最小值时，双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设所以时取最小值，此时，选B7．【2018届安徽省马鞍山市高三上学期期末】已知圆与抛物线的准线相切，则的值是( )A. 0B. 2C. 或1D. 0或2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选D.8.【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】已知双曲线的右支与抛物线交于两点，是抛物线的焦点，是坐标原点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把代入双曲线，可得：，∵故选A.9.如图，是平面外固定的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，且等于直线与平面所成的角，则动点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】如下图所示，作，垂足为，连结，在内过作的垂线，建立空间直角坐标系，由题意得，设，，，∴，，∴，，∴，∴点的轨迹方程是抛物线，故选D．10.【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断】已知抛物线与圆，过点作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点，则下列关于的值的说法中，正确的是( )A. 等于1B. 等于16C. 最小值为4D. 最大值为4【答案】A11．已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∴点的轨迹为以为以点为圆心，1为半径的圆，，越小，越小，结合图形知，当点为椭圆的右顶点时，取最小值最小值是故选：C．12．【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】设为坐标原点，是以为焦点的抛物线（）上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】由题意可得，设，则，可得．当且仅当时取得等号，选A.（二）填空题（4*5=20分）13.【2018届安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查】已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点，若，则点的纵坐标为__________．【答案】【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为.14．【2018届四川省南充高级中学高三1月检测】已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为__________．【答案】（或）【解析】由可得：的最大值为（或15．【2018届广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）】双曲线的左右焦点分别为，焦距，以右顶点为圆心，半径为的圆过的直线相切与点，设与交点为，若，则双曲线的离心率为__________．【答案】2.【解析】因为以右顶点为圆心，半径为的圆过的直线相切与点，A= ，故可知直线的倾斜角为，设直线方程为设点P，根据条件知N点是PQ的中点，故得到，因为，故得到故答案为：2.16.【2018届湖北省稳派教育高三上学期第二次联考】已知椭圆的半焦距为c，且满足，则该椭圆的离心率e的取值范围是__________．【答案】【解析】∵，∴，即，∴，即，解得。
圆锥曲线中的综合问题1.已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点， M 是C 上一点， O 是坐标原点， FM 的延长线交y 轴于点N ，若2FN OM =，则M 点的纵坐标为__________．2．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ， ()()1122,,,M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点，若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为__________．3．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c +的圆过1F 的直线l 相切与点N ，设l 与C 交点为,P Q ，若2PQ PN =，则双曲线C 的离心率为__________．4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距为c ，且满足220c b ac -+<，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．5．已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足1AM =， 0PM AM ⋅=，则PM 的最小值是（ ） 232 D. 36.已知双曲线2222:(0,0)x y C a b a b-=>>的右支与抛物线24x y =交于,A B 两点， F 是抛物线的焦点， O 是坐标原点，且4AF BF OF +=，则双曲线的离心率为（ ）6 B. 32237．已知A B 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点，两个不同动点P Q 、在双曲线上且关于x 轴对称，设直线AP BQ 、的斜率分别为m n 、，则当42ln b a mn a b++取最小值时，双曲线的离心率为（ ） 3526 8.过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）A. 5⎛ ⎝B. 5⎫⎪⎪⎭C. 2⎛ ⎝D. 2⎫⎪⎪⎭9.以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)p >为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于,M N 两点，若MNF ∆为正三角形，则抛物线C 的标准方程为（ ）A. 226y x =B. 246y =C. 246x =D. 226x =10.双曲线2221y x b -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF =，120PF PF •=，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．22y x =±B ．26y x =±C ．5y x =±D ．34y x =±11.已知圆922=+y x 的弦过点P （1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ）A ．052=-+y xB ．02=-yC ．02=-y xD ．01=-x 12．已知圆()22:1C x a y -+=与抛物线24y x =-的准线相切，则a 的值是( )A. 0B. 2C. 0或1D. 0或213.如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线14.已知抛物线24y x =与圆22:20F x y x +-=，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D ，则下列关于AB CD ⋅的值的说法中，正确的是( )A. 等于1B. 等于16C. 最小值为4D. 最大值为415．设O 为坐标原点， P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点， M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） 2 B. 23316.设O 为坐标原点，已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>3，抛物线22:C x ay =-的准线方程为12y =． （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线t 与椭圆1C 交于不同的两点,P Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直 线t 的斜率k 的取值范围．17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ， C 上的动点P 到两焦点的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的上顶点时，直线1PF 恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A B 、，若PA PB 、交直线6x =于M N 、两点.问以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的一个焦点()21,0F ，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，右顶点为A ，经过点2F 的动直线l 与椭圆交于,B C 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆E 上一点， 12F MF ∠的角平分线交x 轴于N ，求MN 的长； （3）在x 轴上是否存在一点T ，使得点B 关于x 轴的对称点B 落在CT 上？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的焦距为2，且经过点()2,1.过点()0,2D -的斜率为k 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，与x 轴交于P 点，点A 关于x 轴的对称点C ，直线BC 交x 轴于点Q .（1）求k 的取值范围；（2）试问： OP OQ ⋅是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点在直线:10l x -=上，且离心率12e =. （1）求该椭圆的方程；（2）若P 与Q 是该椭圆上不同的两点，且线段PQ 的中点T 在直线l 上，试证： x 轴上存在定点R ，对于所有满足条件的P 与Q ，恒有RP RQ =；（3）在（2）的条件下， PQR ∆能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.21.已知点()1,0A ，点P 是圆C :()2218x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线C P 交于点E ． （Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．。
专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题一、选择题1．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4解析：设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，因为－2≤x ≤2，所以－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案：B2．(2017·沈阳二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( )A ．2 B.12 C.14D.18解析：根据题意，点P 在抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d有最小值18，即|PF |min ＝18.答案：D3．(2017·北京西城区调研)过抛物线y 2＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 22－y 2＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2＞0，则k 的取值范围是( )(导学号 55410132)A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析：易知双曲线两渐近线y ＝±22x ，当k ＞22或k ＜－22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2＞0.答案：D4．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，点A ，B 是长轴的两端点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[1，3)C ．(0，3)D ．(0，1]解析：依题意，当0＜m ＜3时，焦距在x 轴上，要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°，即3m≥ 3.解得0＜m ≤1.答案：D5．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(2，0)D ．(1，0)解析：设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝－12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝－12x 2x －y 2，又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程， 代入得－2＝－12x 1t －y 1，－2＝－12x 2t －y 2，这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程 －2＝－12xt －y ，则直线AB 的方程为y －2＝－12tx ，直线AB 恒过点(0，2)．答案：B二、填空题6．设双曲线C ：x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0＞1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．解析：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝b a x 消去y ，得b 2a 2x 2＝x .由x 0＞1，知b 2a2＜1，b 2＜a 2.所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＜2，因此1＜e ＜ 2.答案：(1，2)7．已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ →的最小值为________．解析：如图，FP →·FQ →＝|FP →|2＝|FQ →|2－1.由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|FQ →|min ＝2，所以FP →·FQ →的最小值为3.答案：38．(2017·济南模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：不妨设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)(y 2＜0)． 则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224＋y 1.又y 1y 2＝－p 2＝－4.所以|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2＜0)．利用导数易知y ＝y 224－4y 2在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当y 2＝－2时，|AC |＋|BD |的最小值为3.答案：3 三、解答题9．(2017·西安调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q (x Q ，y Q )(点Q 异于点P )，若0＜x Q ＜1，求直线l 斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y －32＝k (x －1)，代入方程x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋(43k －8k 2)x ＋(4k 2－43k －1)＝0， 所以x Q ·1＝4k 2－43k －11＋4k 2. 因为0＜x Q ＜1，所以0＜4k 2－43k －11＋4k 2＜1， 即⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－43k －11＋4k2＞0，4k 2－43k －11＋4k2＜1.解得－36＜k ＜3－22或k ＞3＋22，经检验，满足题意． 所以直线l 斜率k 的取值范围是－36＜k ＜3－22或k ＞3＋22. 10．(2017·新乡三模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(导学号 55410133)(1)D 是抛物线C 上的动点，点E (－1，3)，若直线AB 过焦点F ，求|DF |＋|DE |的最小值；(2)是否存在实数p ，使|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为直线2x －y ＋2＝0与y 轴的交点为(0，2)， 所以F (0，2)，则抛物线C 的方程为x 2＝8y ，准线l ：y ＝－2. 设过D 作DG ⊥l 于G ，则|DF |＋|DE |＝|DG |＋|DE |， 当E ，D ，G 三点共线时，|DF |＋|DE |取最小值为2＋3＝5.(2)假设存在实数p ，满足条件等式成立． 联立x 2＝2py 与2x －y ＋2＝0， 消去y ，得x 2－4px －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p ，所以Q (2p ，2p )． 因为|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|， 所以QA ⊥QB ，则QA →·QB →＝0.因此(x 1－2p )(x 2－2p )＋(y 1－2p )(y 2－2p )＝0. (x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )·(2x 2＋2－2p )＝0， 5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2－8p ＋4＝0，把x 1＋x 2＝4p ，x 1x 2＝－4p 代入得4p 2＋3p －1＝0，解得p ＝14或p ＝－1(舍去)．因此存在实数p ＝14，使得|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →|成立．11．(2017·唐山一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，得a 2＝2b 2，①又点Q ⎝⎛⎭⎪⎫b ，a b 在椭圆C 上，所以b 2a 2＋a 2b4＝1，②联立①、②得a 2＝8，且b 2＝4. 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 的方程为x ＝2或x ＝－2，从而有|PN |＝23，S ＝12|PN |·|OM |＝12×23×22＝26；当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)；将PN 的方程代入C 整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k2. 由OM →＝OP →＋ON →，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 2，2m 1＋2k 2. 将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2. 又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k2，|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝2 6.综上可知，平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6.[典例] (本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．规范解答：(1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而圆心A (－1，0)，|AD |＝4. 所以|EA |＋|EB |＝4.(2分) 又因为B (1，0)，所以|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(4分)(2)解：当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.(6分) 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.(8分) 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3.(9分) 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．(10分) 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8， 故四边形MPNQ 的面积为12.综上可知，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．(12分)1．正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义．2．注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分10分，导致失2分.3．写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．解题程序 第一步：利用条件与几何性质，求|EA |＋|EB |＝4. 第二步：由定义，求点E 的轨迹方程x 24＋y 23＝1(y ≠0)．第三步：联立方程，用斜率k 表示|MN |.第四步：用k 表示出|PQ |，并得出四边形的面积． 第五步：结合函数性质，求出当k 存在时S 的取值范围． 第六步：求出斜率不存在时面积S 的值，正确得出结论．[跟踪训练] (2017·郴州三模)已知抛物线E ：y 2＝8x ，圆M ：(x －2)2＋y 2＝4，点N 为抛物线E 上的动点，O 为坐标原点，线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C .(导学号 55410057)(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(x 0≥5)是曲线C 上的点，过点Q 作圆M 的两条切线，分别与x 轴交于A ，B 两点，求△QAB 的面积的最小值．解：(1)设P (x ，y )，则点N (2x ，2y )在抛物线E ：y 2＝8x 上，所以4y 2＝16x ，所以曲线C 的方程为y 2＝4x ；(2)设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝x 0－y 0k. 圆心(2，0)到切线的距离d ＝|2k ＋y 0－kx 0|k 2＋1＝2，整理得(x 20－4x 0)k 2＋(4y 0－2x 0y 0)k ＋y 20－4＝0. 设两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＋k 2＝2x 0y 0－4y 0x 20－4x 0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4x 0.所以△QAB 面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－y 0k 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－y 0k 2y 0＝2·x 20x 0－1.设t ＝x 0－1∈[4，＋∞)，则f (t )＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t＋2在[4，＋∞)上单调递增， 所以f (t )≥252，即△QAB 面积的最小值为252.。
知能专练（十八） 圆锥曲线中的热点问题一、选择题1．(2017·河北衡水中学模拟)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆解析：选D 因为点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→)，所以点P 是线段QF 1的中点．设P (x ，y )，由F 1为椭圆C ：x 216＋y 210＝1的左焦点，得F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，又点Q 在椭圆C ：x 216＋y210＝1上，所以(2x ＋6)216＋(2y )210＝1，即⎝⎛⎭⎫x ＋6224＋y 252＝1，所以点P 的轨迹是椭圆，故选D.2.(2017·安徽六安一中模拟)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.3．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的一点．若|PF 1|2|PF 2|＝8a ，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1,3]D ．[3，＋∞)解析：选C 设|PF 2|＝y ，则(y ＋2a )2＝8ay ⇒(y －2a )2＝0⇒y ＝2a ≥c －a ⇒e ＝ca ≤3，又因为e >1，可得e 的取值范围为(1,3]．4．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6,2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离|MM 1|min ＝3－1＝2.二、填空题5．已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|PA |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，所以P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x >1)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 29－y 24＝1的左、右焦点，P ，Q 为C 上的点，且满足条件：①线段PQ 的长度是虚轴长的2倍；②线段PQ 经过F 2，则△PQF 1的周长为________．若只满足条件②，则△PQF 1的周长的最小值为________．解析：由题意得a ＝3，b ＝2，c ＝13，|PQ |＝4b ＝8.由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，|QF 1|－|QF 2|＝6，△PQF 1的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2(|PF 2|＋|QF 2|)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2|PQ |＝6＋6＋2×8＝28.若只满足条件②，△PQF 1的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PF 2|＋|QF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|)＋2(|PF 2|＋|QF 2|)＝12＋2|PQ |，当PQ ⊥x 轴时弦|PQ |最短，令x ＝13，则有y 2＝4×⎝⎛⎭⎫139－1＝169，解得y ＝±43，此时|PQ |＝83，所以△PQF 1的周长的最小值为12＋2×83＝523. 答案：28523三、解答题7．(2017·浙东北三校模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离为217. (1)求椭圆C 的方程；(2)若O 为坐标原点，过点O 作两条相互垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求|AB |的最小值．解：(1)由题意得椭圆的离心率e ＝c a ＝12，右焦点为(c,0)，又右焦点到直线x a ＋yb ＝1的距离为217，所以|bc －ab |a 2＋b 2＝217，又a 2＝b 2＋c 2，故a ＝2，b ＝3，c ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的斜率不存在时，x 2＝x 1，y 1＝－y 2，且y 21＝x 21，又x 214＋y 213＝1，解得|x 1|＝127＝2217，即点O 到直线AB 的距离为2217.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆的方程联立消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝0，即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(k 2＋1)·4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0，整理得7m 2＝12(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离为|m |k 2＋1＝127＝2217. 因为OA ⊥OB ，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2≥2|OA |·|OB |，当且仅当|OA |＝|OB |时取等号． 由2217·|AB |＝|OA |·|OB |≤|AB |22得|AB |≥2×2217＝4217，即|AB |的最小值为4217.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－2，0)，B (2，0)，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为－12.(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设过点F (1,0)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且|PM |＝|PN |，求点P 的纵坐标的取值范围．解：(1)设动点E 的坐标为(x ，y )，依题意可知y x ＋2·y x －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．所以动点E 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1并整理得，(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.设MN 的中点为Q ，则x Q ＝2k 22k 2＋1，y Q ＝k (x Q －1)＝－k2k 2＋1，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.由题意可知k ≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 22k 2＋1.令x ＝0，解得y P ＝k 2k 2＋1＝12k ＋1k.当k >0时，因为2k ＋1k ≥22，所以0<y P≤122＝24，当且仅当k ＝22时等号成立；当k <0时，因为2k ＋1k ≤－22，所以0>y P ≥－122＝－24，当且仅当k ＝－22时等号成立．综上所述，点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤－24，24. 9.(2017·杭州模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，直线l ：y ＝x ＋1与抛物线C 交于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2(其中O 为坐标原点)，且k 1·k 2＝－14.(1)求p 的值；(2)如图，已知点M (x 0，y 0)为圆：x 2＋y 2－y ＝0上异于O 点的动点，过点M 的直线m 交抛物线C 于E ，F 两点．若M 为线段EF 的中点，求|EF |的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋1代入抛物线C ：x 2＝2py ，得x 2－2px －2p ＝0，则x 1x 2＝－2p .所以k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝x 1x 24p 2＝－12p ＝－14，所以p ＝2.(2)设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，直线m ：y ＝k (x －x 0)＋y 0，与抛物线C ：x 2＝4y 联立，得x 2－4kx ＋4kx 0－4y 0＝0，(*)则x 3＋x 4＝4k ＝2x 0，所以k ＝12x 0.此时(*)式为x 2－2x 0x ＋2x 20－4y 0＝0，所以x 3·x 4＝2x 20－4y 0.所以|EF |＝1＋k 2·|x 3－x 4|＝1＋k 2·(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝1＋x 204·16y 0－4x 20＝(4＋x 20)·(4y 0－x 20).又x 20＋y 20－y 0＝0，所以|EF |＝(4＋y 0－y 20)·(3y 0＋y 20)≤(4＋y 0－y 20)＋(3y 0＋y 20)2＝2＋2y 0≤4(y 0≤1)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4＋y 0－y 20＝3y 0＋y 20，y 0＝1，即y 0＝1时取等号．所以|EF |的最大值为4.三、解答题10．(2017·宁波模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (－2,0)与点(1,1)．(1)求椭圆的方程；(2)过P 点作两条互相垂直的直线PA ，PB ，交椭圆于A ，B . ①证明：直线AB 经过定点； ②求△ABP 面积的最大值．解：(1)由题意得⎝ ⎛4a 2＋0b 2＝1，1a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝43，椭圆的方程为x 24＋3y 24＝1.(2)①证明：由对称性知，若存在定点，则必在x 轴上，当k PA ＝1时，l PA ：y ＝x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＋3y 2＝4， ∴x 2＋3(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x ＝－1. 以下验证：定点为(－1,0)，由题意知，直线PA ，PB 的斜率均存在，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．则x 2＋3k 2(x 2＋4x ＋4)＝4⇒x A ＝2－6k 21＋3k 2，y A ＝4k 1＋3k 2，同理x B ＝2k 2－6k 2＋3，y B ＝－4kk 2＋3， 则y A x A ＋1＝4k 3－3k 2＝y Bx B ＋1，得证． ②由于直线不与x 轴平行，设直线AB 方程为x ＝ty －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋3y 24＝1，x ＝ty －1，∴(t 2＋3)y 2－2ty －3＝0， ∴y A ＋y B ＝2tt 2＋3，y A y B ＝－3t 2＋3，S △PAB ＝12×1×|y A －y B |＝12×(y A ＋y B )2－4y A y B＝12×4t 2＋12t 2＋36t 2＋3＝4t 2＋9t 2＋3， 令4t 2＋9＝λ∈[3，＋∞)，则t 2＝λ2－94，∴S △PAB ＝λλ2－94＋3＝4λλ2＋3＝4λ＋3≤44＝1，当且仅当λ＝3，即t ＝0时取等号．11.(2017·杭州模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率e ＝32，过点P (1,0)的直线交椭圆E 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线x ＝3于M ，N 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)以线段MN 为直径的圆是否过定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意，a ＝2，e ＝c a ＝32，则c ＝3，故b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)过定点．设直线BC 的方程为x ＝ty ＋1(t ∈R)，点B ，C 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 2＋4y 2＝4得(t 2＋4)y 2＋2ty －3＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋4，y 1·y 2＝－3t 2＋4，所以x 1x 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1) ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＝4－4t 2t 2＋4，x 1＋x 2＝(ty 1＋1)＋(ty 2＋1)＝t (y 1＋y 2)＋2＝8t 2＋4，又k AB ＝y 1x 1＋2，直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理，N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，假设过定点Q (m,0)，则QM ―→·QN ―→＝⎝⎛⎭⎫3－m ，5y 1x 1＋2·⎝⎛⎭⎫3－m ，5y 2x 2＋2＝(3－m )2＋25y 1y 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(3－m )2＋25y 1y 2x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝(3－m )2－7536＝0，m ＝3－536或m ＝3＋536， 即定点为⎝⎛⎭⎫3－536，0或⎝⎛⎭⎫3＋536，0.12．(2017·台州模拟)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点P (1,0)作斜率为k 的直线l ，且直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .(1)设点A (0,2)，k ＝1，求△AMN 的面积；(2)设点B (t,0)，记直线BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2.问是否存在实数t ，使得对于任意非零实数k ，(k 1＋k 2)·k 为定值？若存在，求出实数t 的值及该定值；若不存在，请说明理由．解：(1)当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x －1，得x ＝0或x ＝85，当x ＝0时，y ＝－1，当x ＝85时，y ＝35，不妨设N (0，－1)，M ⎝⎛⎭⎫85，35.所以|AN |＝3.所以S △AMN ＝12×3×85＝125.(2)由题意知，直线MN 的方程为y ＝k (x －1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.由k 1＝y 1x 1－t ，k 2＝y 2x 2－t ，得(k 1＋k 2)·k ＝k ⎝⎛⎭⎫y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1－t ＋x 2－1x 2－t＝k 2[(x 1－t )(x 2－1)＋(x 2－t )(x 1－1)](x 1－t )(x 2－t )＝k 2[2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ]x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＝k 2(2t －8)k 2(4－8t ＋4t 2)＋t 2－4. 若2t －8＝0，则t ＝4，(k 1＋k 2)·k ＝0为定值． 若2t －8≠0，则当t 2－4＝0，即t ＝±2时，(k 1＋k 2)·k ＝2t －84－8t ＋4t 2为定值．所以当t ＝4时，(k 1＋k 2)·k ＝0； 当t ＝2时，(k 1＋k 2)·k ＝－1； 当t ＝－2时，(k 1＋k 2)·k ＝－13.。
第13讲 圆锥曲线中的综合问题题型1 圆锥曲线中的定值问题(对应学生用书第43页)■核心知识储备………………………………………………………………………·解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． [解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． [类题通法] 定值问题的常见方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． ■对点即时训练………………………………………………………………………·已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－6，0)，e ＝22.图131(1)求椭圆C 的方程；(2)如图131，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．[解] (1)由题意得，c ＝6，e ＝22，解得a ＝23， ∴椭圆C 的方程为x 212＋y 26＝1.(2)由已知，直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x ，且与圆R 相切， ∴|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－4＝0， 同理，可得(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－4＝0，∴k 1，k 2是方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0的两个不相等的实数根，∴x 20－4≠0，Δ＞0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4.∵点R (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2012＋y 206＝1，即y 20＝6－12x 20，∴k 1k 2＝2－12x 20x 20－4＝－12.(3)|OP |2＋|OQ |2是定值18.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x x 212＋y26＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝121＋2k 21y 21＝12k211＋2k21，∴x 21＋y 21＝＋k 211＋2k 21， 同理，可得x 22＋y 22＝＋k 221＋2k 22. 由k 1k 2＝－12，得|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝＋k 211＋2k 21＋＋k 221＋2k 22＝＋k 211＋2k 21＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫－12k 121＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 12＝18＋36k 211＋2k 21＝18.综上：|OP |2＋|OQ |2＝18.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 3)题型2 圆锥曲线中的最值、范围问题(对应学生用书第44页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．解决圆、圆锥曲线范围问题的方法(1)圆、圆锥曲线自身范围的应用，运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围． (2)参数转化：利用引入参数法转化为三角函数来解决．(3)构造函数法：运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识． 2．求最值的方法(1)代数法：设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值．注意灵活运用配方法、导数法、基本不等式法等．(2)几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 如图132，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．图132(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).【导学号：07804094】[解] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0. ①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2. ②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.[类题通法]在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解.易错警示：在设直线方程时，若要设成y ＝kx ＋m 的形式，注意先讨论斜率是否存在；若要设成x ＝ty ＋n 的形式，注意先讨论斜率是否为0.■对点即时训练………………………………………………………………………·如图133，点F 1为圆(x ＋1)2＋y 2＝16的圆心，N 为圆F 1上一动点，且F 2(1,0)，M ，P 分别是线段F 1N ，F 2N 上的点，且满足MP →·F 2N →＝0，F 2N →＝2F 2P →.图133(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过点F 2的直线l (与x 轴不重合)与轨迹E 交于A ，C 两点，线段AC 的中点为G ，连接OG 并延长交轨迹E 于点B (O 为坐标原点)，求四边形OABC 的面积S 的最小值． [解] (1)由题意，知MP 垂直平分F 2N ， 所以|MF 1|＋|MF 2|＝4.所以动点M 的轨迹是以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点的椭圆， 且长轴长为2a ＝4，焦距2c ＝2， 所以a ＝2，c ＝1，b 2＝3. 轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，G (x 0，y 0)． 设直线AC 的方程为x ＝my ＋1，与椭圆方程联立， 可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2.由弦长公式可得|AC |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝＋m24＋3m2，又y 0＝－3m 4＋3m 2，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋3m 2，－3m 4＋3m 2.直线OG 的方程为y ＝－3m 4x ，与椭圆方程联立得x 2＝164＋3m2，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋3m 2，－3m 4＋3m 2.点B 到直线AC 的距离d 1＝4＋3m 2－11＋m2， 点O 到直线AC 的距离d 2＝11＋m2. 所以S 四边形OABC ＝12|AC |(d 1＋d 2)＝613－1＋3m2≥3，当且仅当m ＝0时取得最小值3.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 4)题型3 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)(对应学生用书第45页)圆锥曲线中的存在性(探索性)问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否存在．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(2015·全国Ⅰ卷T20、2015·全国Ⅱ卷T20) ■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (本小题满分12分)(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a a ＞交于M ，N 两点.①(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程②；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ③？说明理由． [审题指导]或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).2分又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，④C 在点(2a ，a )处的切线方程为 y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.4分y ＝x 24在＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0或ax ＋y ＋a ＝0.⑤6分(2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0.8分故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2⑥＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x2＝k a ＋ba.[阅卷者说][1．定点问题的解法：(1)直线过定点：化为y －y 0＝k (x －x 0)， 当x －x 0＝0时与k 无关．(2)曲线过定点：利用方程f (x ，y )＝0对任意参数恒成立得出关于x ，y 的方程组，进而求出定点． 2．存在性问题的解题步骤：一设：设满足条件的元素(点、直线等)存在；二列：用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组；三解：解方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线等)存在；否则，元素(点、直线等)不存在．■对点即时训练………………………………………………………………………·已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【导学号：07804095】[解] (1)由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ， ① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且该圆与直线2x －2y ＋6＝0相切， 所以a ＝|6|22＋－22＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 26＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k x －，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1x 2＝12k 2－61＋3k 2.根据题意，假设x 轴上存在定点E (m,0)，使得EA →2＋EA →·AB →＝(EA →＋AB →)·EA →＝EA →·EB →为定值，则EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2)＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝m 2－12m ＋k 2＋m 2－1＋3k2，要使上式为定值，即与k 无关，只需3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，解得m ＝73，此时，EA →2＋EA →·AB →＝m 2－6＝－59，所以在x 轴上存在定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0使得EA →2＋EA →·AB →为定值，且定值为－59.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2) 三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第46页)1．(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程．(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.∴动圆圆心M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．2．(2016·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A中小学最新教育资料中小学最新教育资料 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．[解] (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3. 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．。
