第三节 定积分的换元法和分部积分法3

0
0
a
f ( t )dt ,
① f ( x ) 为偶函数，则 f ( t ) f ( t ),
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
2 f ( t )dt ;
0 a
a
0
a
f ( x )dx
② f ( x ) 为奇函数，则 f ( t ) f ( t ),
则 有 f ( x )dx
a
b


f [ ( t )] ( t )dt .
证
设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
( t ) F [( t )],
dF dx ( t ) f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), dx dt
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
a
0
a
f ( x )dx 0.
例6
计算
1
2 x x cos x
2
1
1 1 x
2x
2
2
dx .
1
解 原式 1
x
1
1 1 x
偶函数
2 2
2
dx
2
x cos x 1 1 x
奇函数
2
1
2
dx
4
1
0
1 1 x
dx 4
2
1
x (1 1 x ) 1 (1 x )
2
0
dx
4 (1 1 x )dx 4 4
0
1
1
0
1 x dx
2
4 .
单位圆的面积
例7
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
2 2
（1） f (sin x )dx f (cos x )dx ;
必象计算不定积分那样再要把 (t ) 变换成原
t 变量 x 的函数，而只要把新变量 的上、下限 分别代入 (t ) 然后相减就行了.
例1
计算 cos 5 x sin xdx.
0
2
解
令 t cos x ,
x 2
dt sin xdx ,
t 0,
5
x 0 t 1,
2
0
f sin t dt 2
0
2
f (cos t )dt
0
2
f (cos x )dx;
（2）设 x t dx dt ,
x 0 t ,
x t 0,
0
0
xf (sin x )dx ( t ) f [sin( t )]dt
b
(t ) 是 f [ ( t )] ( t )的一个原函数.
f [( t )]( t )dt ( ) (),

( ) a 、 ( ) b ,
( ) ( ) F [ ( )] F [ ( )]
F (b) F (a ),

a f ( x )dx F (b) F (a ) ( ) ( )

注意
b



f [ ( t )] ( t )dt .
当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t ) 把变量 x 换成新变量t
相应的改变. 时，积分限也
（2） 求出 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数 (t ) 后，不
cos t sin t cos t
dt
1
2
2 0
cos t sin t 1 dt sin t cos t
1 1 2 . ln sin t cos t 0 4 2 2 2

例 5 当 f ( x ) 在[ a , a ]上连续，且有 ① f ( x ) 为偶函数，则
e4 e

.例4 解计算 0a1 x a x
2 2
dx .
( a 0)
令 x a sin t ,
x a t

dx a cos tdt ,
,
2
x 0 t 0,
a cos t
2 2
原式

2
0
a sin t a (1 sin t )
dt

0
2
a
a
f ( x )dx 2 f ( x )dx ；
0
a a
a
② f ( x ) 为奇函数，则
f ( x )dx 0 .
a
证
a f ( x )dx a f ( x )dx 0
在
0 a
a
0
f ( x )dx ,
f ( x )dx 中令 x t ,
a f ( x )dx a f ( t )dt 0

0 ( t ) f (sin t )dt ,

0

xf (sin x )dx f (sin t )dt tf (sin t )dt
0 0 0 0


f (sin x )dx xf (sin x )dx ,


0

xf (sin x )dx
0
2
cos x sin xdx
0 5
t dt 1
t
6 1

0
1 6
.
6
例2
计算 0

sin x sin xdx .
3 5
解
f ( x)



3 0

3 5 sin x sin x cos x sin x 2
5
3
sin x sin xdx
3

0

cos x sin x 2 dx
3
3
0
2 5
2
cos x sin x 2 dx cos x sin x 2 dx
3
2 3
0 sin x 2 d sin x sin x 2 d sin x
2

sin x 2
5
2
2

2 5
sin x 2
第三节 定积分的换元法和分部积分法
• 一、定积分的换元法 • 二、分部积分法 • 三、小结
一、定积分的换元法
定理 假设
（1） f ( x ) 在[a , b]上连续； （2）函数 x (t ) 在[ , ] 上是单值的且有连续 导数；
（3）当t 在区间[ , ] 上变化时， x (t ) 的值 在[a , b]上变化，且 ( ) a 、 ( ) b ，
0 0
（2） xf (sin x )dx
0


2 0
2

f (sin x )dx .
dx .
由此计算

x sin x 1 cos x
0
证 （1）设 x
2
t 2 ,
dx dt ,
x 2
x 0 t
t 0,
0

2
f (sin x )dx
5
2

4 5
.
0
3
例3
计算
e4 e
dx x ln x (1 ln x )
3
.
解
原式
3
e4 e
d (ln x ) ln x (1 ln x )
3


e4 e
d (ln x ) ln x (1 ln x )
3
2
6
e4 e
d ln x 1 ( ln x )
2
2arcsin( ln x )



2 0

f (sin x )dx .
0 1 cos 2 x dx


x sin x
0 1 cos 2 x dx 2
2
sin x
0 1 cos 2 x d (cos x ) 2


2
1
arctan(cos x )0

. ( ) 4 2 4 4