初中数学人教版八年级上册13.3等腰三角形教案新版新310-

等腰三角形的判定教学目标：1、理解掌握等腰三角形的判定；运用等腰三角形的判定进行证明和计算。

2、通过推理证明等腰三角形的判定定理，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力。

3、引导学生观察，发现等腰三角形的判定方法，让学生从思考中获得成功体验，增强学习兴趣。

教学重点：等腰三角形的判定定理教学难点:等腰三角形的判定定理的证明教学过程：一、情境引入如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？二、探究新知1、思考：在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？你能证明吗？已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C求证：AB=AC引导学生作辅助线：作BC边上的高AD或作∠BAC的平分线AD，然后证明△ABD≌△ACD2、归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）三、巩固新知例1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC求证：AB=AC练习：1、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。

2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD四、应用新知1、用尺规画一个底为a，底边上的高为b的等腰三角形（要求：写出已知和求作，保留作图痕迹）已知：求作：2、如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于点D，DE∥AC交AB于点E，求证：AE=BE五、课堂小结1、通过这堂课的学习，你学会了哪几种判定等腰三角形的方法？2、等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？六、作业。

等腰三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●通过观察发现等腰三角形的性质；●掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；●理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；●能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；●掌握等边三角形的特征和识别方法；●掌握一般文字命题的解题方法．重点难点：●重点：等腰三角形的性质与判定．●难点：比较复杂图形、题目的推理证明．学习策略：●通过轴对称的特征，探索出等腰三角形的性质及判定方法；在等腰三角形的基础上，探索等边三角形的性质和判定，并在此基础上体会“含30°角的直角三角形的性质”．二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看成由另一个图形经过后得到．（二）轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的、完全一样．（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被垂直平分．（三）作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：（1）作出一些关键点或特殊点的 ．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． （四）点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是 ；点P （x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是 ； 点P （x ，y ）关于原点对称的点的坐标是 ．（五）点P （x ，y ）关于直线x =m 对称的点的坐标是 ；点P （x ，y ）关于直线y =n 对称的点的坐标是 ．知识点一：等腰三角形、腰、底边有两边 的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫 ，第三条边叫 ，两腰的夹角叫 ，底边和腰的夹角叫 ．如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，则它叫 三角形，其中AB 、AC 为 ，BC 为 ，∠A 是 ，∠B 、∠C 是 ．知识点二：等腰三角形的性质（一）性质1：等腰三角形的两个底角 （简称“ ”）．性质2：等腰三角形的顶角 、底边上的 、底边上的互相重合（简称“ ”）． （二）这两个性质证明如下：知识要点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容．课堂笔记或者其它补充填在右栏．在△ABC中，AB=AC，如图所示．作底边BC的高AD，则有,. AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt△ABD≌．∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．于是性质1、性质2均得证．（三）说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴；或∵AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的，通常情况只有条对称轴．知识点三：等腰三角形的判定定理（一）定理内容及证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也（简称“”），如图所示．证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则______,________________,_______.B ADB AD ∠=⎧⎪∠==⎨⎪=⎩所以△ABD ≌△ACD （AAS ）． 所以，AB =AC ． （二）注意：（1）本定理的符号表示为：在△ABC中， ． （2）本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．知识点四：等边三角形（一）等边三角形定义：三边都 的三角形叫等边三角形，如图所示．（二）注意：（1）由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括 三角形．（2）等边三角形具有 三角形的一切性质．知识点五：等边三角形的性质（一）等边三角形的性质：等边三角形三个内角都 ，并且每一个内角都等于 ．（二）理由如下：如上图所示，由AB =AC 可得 ，同样可得∠A =∠C ，所以∠A =∠B =∠C ．而∠A+∠B+∠C = ．则有∠A =∠B =∠C = ．注意：这条性质只有等边三角形具有．知识点六：等边三角形的判定（一）等边三角形的判定：（1）三个角都 的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的 三角形是等边三角形． （二）证明如下：（1）如下图所示，若∠A =∠B =∠C ，可由∠A =∠B得， ； 由∠A =∠C 得， ．所以AB =AC =BC ．于是判定（1）成立．（2）如上图所示，在△ABC 中，AB =AC ，若∠A =60°，则有∠B = = ，于是∠A =∠B =∠C ．由判定（1）得△ABC 是等边三角形；若∠B =60°，则∠B = = ，于是∠A =60°，∠A =∠B =∠C ．由判定（1）得△ABC 是等边三角形．所以判定（2）成立．知识点七：直角三角形性质定理（一）定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是 ，那么它所对的直角边等于 的一半．（二）证明：如图所示，∠ACB =90°，∠A =30°．延长BC 至B '使CB CB '=，则有AC 垂直平分BB '，故AB AB '=．又可得∠B =60°．于是△ABB '是 ，故2AB BB BC '==，所以___________BC =．即定理成立．类型一：探究型题目例1．如图1，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =30°，请你设计三种不同的分法，把△ABC 分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形．（在等腰三角形的两个底角处标明度数）经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三．若有其它补充可填在右栏空白处．思路点拨：在三角形中，“等边对”“等角对 ”．本题应从角度入手进行考虑． 解析：总结升华： ． 举一反三：【变式1】如图3，D 是△ABC 中BC 边上的一点，E 是AD 上的一点，EB =EC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．请你先阅读下面的证明过程． 证明：在△AEB 和△AEC 中，12EB ECAE AE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以△ABE ≌△AEC （第一步）， 所以AB =AC ，∠1=∠2（第二步），所以AD ⊥BC （等腰三角形的“三线合一”）．上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程． 答案：【变式2】已知△ABC为等边三角形，在图4中，点M是线段BC上任意一点，点N 是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．（1）请猜一猜：图4中∠BQM等于多少度？（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件下不变，如图5所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．答案：类型二：与度数有关的计算例2．在△ABC 中，D 在BC 上，且AB =AC =BD ，∠1=30°，求∠2的度数． 思路点拨：解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2=∠1+ ，只要再找出∠C 与∠2的关系问题就好解决了，而∠C = ，所以把问题转化为欲找出∠2与∠B 之间有什么关系，变成△ABD 的角之间的关系，问题就容易的多了． 解析：总结升华： ． 举一反三：【变式1】如图，D 、E 在△ABC 的边BC 上，且BE =BA ，CD =CA ，若∠BAC =122°，求∠DAE 的度数． 答案：21DBCA【变式2】△ABC 中，AB =AC ，D 在BC 上，E 在AC 上，且AD =AE ，∠BAD =30°，求∠EDC 的度数． 答案：类型三：等腰三角形中的分类讨论例3．当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，求周长． （2）等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，求周长．DBCAE思路点拨：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“”，哪条边是“”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行讨论．解析：总结升华：．举一反三：☆【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数．答案：☆【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数．答案：☆【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数．答案：☆【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长．答案：类型四：证明题例4．已知：如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E．求证：BD+EC=DE．思路点拨：因为DE=DF+ ，即结论为BD+EC=，分别证明BD=，CE=即可，于是运用“在同一三角形中，”易证结论成立．解析：总结升华：．举一反三：☆【变式1】如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O．求证：（1）∠AOB=120°；（2）CM=CN；（3）MN∥AB．答案：☆【变式2】已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB（如图所示）．求证：（1）AB=2BC；（2）CE=AE=EB．答案：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

人教版初二数学上册教学设计（共四课时）13.3.1 等腰三角形(1)教学目标①经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形．②能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质．③培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力．教学重点：等腰三角形的性质的探索和应用．教学难点：等腰三角形的性质的验证．教学准备长方形的纸片、剪刀．教学设计剪一剪师生拿出课前准备好的长方形的纸片，按教科书第140页的要求剪出△ABC．设问1：△ABC有什么特点?学生思考后发现，上述过程中，剪刀剪过的两边是相等的，即△ABC中AB＝AC．像这样有两边相等的三角形叫等腰三角形．并结合△ABC介绍等腰三角形的“腰”“底边”“顶角”“底角”等概念．注：结合亲自剪出的等腰三角形学习相关概念，加深印象．折一折设问2：△ABC是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?让学生认识到动手操作也是一种验证方式．猜一猜设问3：你还发现了什么现象，继而猜想等腰三角形ABC有哪些性质?学生讨论、汇报：①∠B＝∠C →两个底角相等②BD=CD →AD为底边BC 上的中线③∠BAD＝∠CAD →AD为顶角∠BAC的平分线④∠ADB＝∠ADC＝90°→AD 为底边BC上的高用语言叙述为：性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(可简记为“三线合一”性质)证一证设问4：你能用所学的知识验证等腰三角形的性质吗?1．证明等腰三角形底角的性质．教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形，写出已知和求证．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．师生共同分析证明思路并证明．强调以下两点： (1)利用三角形全等来证明两角相等． (2)添加辅助线的方法可以多样．例如，常见的作顶角∠BAC的平分线，或作底边BC上的中线或作底边BC上的高等．让学生选择一种辅助线完成证明过程．2．证明等腰三角形的“三线合一”性质．（注：鼓励学生用多种方法证明．）用一用练习1(1)已知等腰三角形的一个底角是70°，则其余两角为_______________.(2)已知等腰三角形一个角是70°，则其余两角为_______________.(3)已知等腰三角形一个角是110°，则其余两角为_______________.出示课本142页例1如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．改编为：(1)图中共有几个等腰三角形?分别写出它们的顶角与底角．(2)你能求出各角的度数吗?议一议等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗? 由等腰三角形是轴对称图形，还可以得到等腰三角形中问题较复杂，引导学生合作探究，更深入地认识等腰三角形哪些线段相等?作业教科书第143页练习1、2、3．教学后记：学生对等腰三角形的“三线合一”性质不熟悉，而它的应用又很广泛．因此，设计了多个问题、多种形式以加深印象．此外应用性质计算、证明时，要注意引导学生对解题思路和方法进行总结，切实提高学生分析问题，解决问题的能力．13.3.1 等腰三角形(2)教学目标①会阐述、推证等腰三角形的判定定理．②学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别．③经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值．教学重点：等腰三角形的判定定理的探索和应用．教学难点：等腰三角形的判定与性质的区别．教学准备师生准备作图工具．教案设计：创设情境，提出问题出示课本143页思考题．学生思考、回答后教师设问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系?。