当前位置：文档之家 › 【优质课件】高中数学人教B版必修四第2章《平面向量》总结优秀课件.ppt

【优质课件】高中数学人教B版必修四第2章《平面向量》总结优秀课件.ppt

  • 格式：ppt
  • 大小：852.50 KB
  • 文档页数：22

下载文档原格式

  / 22

合集下载

高中数学必修四第2章《平面向量》ppt课件

高中数学必修四第2章《平面向量》ppt课件

[解析] 解法一：2a－3b＝2(5,4)－3(3,2)＝(1,2)． 设与 2a－3b 平行的单位向量为(x，y)， 则xy2－＋2yx2＝＝01 ，
解得 x1＝
5 5
，或 x2＝－
5 5
.
y1＝2 5 5
y2＝－2 5 5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
解法二：与 2a－3b 平行的单位向量是
±|22aa－－33bb|＝±1，52＝±
55，2
5
5
∴所求的单位向量为 55，2 55或－ 55，－25 5.
▪ [例3] 设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a ＋b|的值．
▪ [分[解析析]] 解本法题一：考因查为|向3a－量2b的|＝模3，的求法及有关 数所量以积9a的2－运12a算·b＋．4b2＝9.
章末归纳总结
▪ 1．向量运算 ▪ (1)加法运算 ▪ 加法法则：
▪ 运算性质：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)，a＋0＝0＋a＝a.
▪ 坐标运算：设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
▪ (2)减法运算： ▪ 减法法则：
▪ 坐标运算：
▪ 设a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
▪ ▪
a设－Ab、A→＝B＝B(两x(x12－－点xx1的，2，y坐2－y标1y－1)分．y2别)．为(x1，y1)，(x2，y2)，
▪ (3)实数与向量的积
▪ 定义：λa，其中λ＞0时，λa与a同向，当λ ＜0时，λa与a反方向，当λ＝0时，0a＝0.
▪ 其中正确命题的序号为___a·b＝0，故①不正 确；
▪ ②由向量加减法的平行四边形法则知， a⊥b时，平行四边形为矩形，故对角线相 等，②正确．也可由a·b＝0证得|a＋b|＝ |a－b|；

高中数学复习课件-高中数学必修4课件 第二章总结平面向量

高中数学复习课件-高中数学必修4课件 第二章总结平面向量
专题一 向量的综合运算
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理

人教版B版高中数学必修4：第二章平面向量_本章小结_课件4

人教版B版高中数学必修4：第二章平面向量_本章小结_课件4

坐标相等 .

即: a 那么 a
(x1, b
y1),

x1
b

(x2, y2 )
x2且y1
y2
三、平面向量的基本定理
如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a，有且只有一对实数1, 2 ,使
a 1e1 2 e2
2019/9/29
(√ ）
6. a b a b ，则a b
(√ ）
2019/9/29
18
平面向量复习
2. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
AB+BC= AC
OA+OB= OC
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )




注 : AB a , AD b


(1) a b ,则四边形是什么图形?
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2019/9/29
6
向 量 几何表示 : 有向线段

高中数学必修四人教版第二章：平面向量4ppt课件

高中数学必修四人教版第二章：平面向量4ppt课件

一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
(5)0 a a 0 a
(6)0 0
(7)0 a 0
3.单位向量
a 与非零向量a共线的单位向量a0
|a|
一.基本概念
区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量
运算律
| b | cos 叫做向量b在a方向上的投影
ab |a|
可正可负可为零
二.基本运算（坐标途径）
若a ( x1, y1), b ( x2 , y2 ), 则
1)a b (x1 x2 , y1 y 2 )
2)a b (x1 x2 , y1 y 2 )
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
五.应用举例
向量加减法则
例1.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,
设OA a, OB b, 试用a, b表示MN
五.应用举例
向量的长度与夹角问题

例2.
已知两单位向量a与b的夹角为120 ，若 c 2a b, d 3b a, 试求c与d的夹角的 余弦值.
练习1、、若a (4,2),求与a垂直的单位向量. 变、若a (4,2),求与a平行的单位向量.
谢谢观看！
今日作业 1.系统复习平面向量一章的基础知识 2.完成《非常学案》中平面向量一章的习题 周二单元检测
| a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2 )
二.基本运算（向量途径）
3.实数与向量的积

高中数学人教B版必修四第二章《平面向量本章回顾》ppt同步课件

高中数学人教B版必修四第二章《平面向量本章回顾》ppt同步课件

例 1 如图所示，若物体重量为 G，被两根不等长的绳子 吊起，绳子两端点 A 和 B 保持同一高度，且绳子与竖直方向的 夹角分别为 α 和 β，试研究拉力 f1、f2 的大小．
剖析 物体处于静止状态，受力平衡，即 f1 和 f2 的合力和 物体重力是平衡力，可以应用力的分解解决．于是可以应用向 量的正交分解来处理本题．
答案 D
三、转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采 用某种手段，通过变换，将问题转化为易解决的问题的一种方 法． 例 3 在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明：EF⊥CD. 剖析 建立适当的平面直角坐标系，将证明 EF⊥CD 转化 为证明E→F·C→D＝0.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
27
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
28
∴x(mx－1)>0.
当 m>0 时，解得 x<0，或 x>m1 ；
当 m＝0 时，解得 x<0； 当 m<0 时，x(－mx＋1)<0，解得m1 <x<0. 综上所述，当 m>0 时，x∈(－∞，0)∪m1 ，＋∞； 当 m＝0 时，x∈(－∞，0)；当 m<0 时，x∈m1 ，0.
解得|f1|＝cosα＋|Gsi|nαcotβ， |f2|＝cosβ＋|Gsi|nβcotα .
故两根绳子的拉力大小为cosα＋|Gsi|nαcotβ和cosβ＋|Gsi|nβcotα.
规律技巧 (1)当 α＝β 时，是本题的一种特例． (2)此处应用了向量的正交分解，因此可以应用直角坐标来 解决． (3)可以得出： 若 α>β，则|f1|<|f2|，若 α＝β，则|f1|＝|f2|.

高中数学人教B版必修四第二章《平面向量章末归纳总结》ppt课件

高中数学人教B版必修四第二章《平面向量章末归纳总结》ppt课件

＝
－
F
→
C
－C
→
D
－D
→E ＝
C
→F ＋
D→C ＋E→D .
①
在四边形 ABFE 中，
E→F ＋F→B ＋B→A ＋A→E ＝0，
∴E→F ＝B→F ＋A→B ＋E→A .
②
①＋②，得
2E→F＝C→F ＋D→C ＋E→D ＋B→F ＋A→B ＋E→A ＝(C→F ＋B→F )＋
(E→D ＋E→A )＋(A→B ＋D→C )．
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
31
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
32
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
[解析] 如图，作 O→A ＝a，O→B ＝b，
以 OA、OB 为邻边作▱OACB，
则 O→C ＝a＋b，B→A ＝a－b.
由|a|＝|b|＝|a＋b|，
知 OA＝OB＝OC＝AC＝BC， 故四边形 OACB 为菱形，△OBC 为等边三角形． ∵BA 平分∠OBC，且∠OBC＝60°， ∴∠CBA＝30°.
垂直，16a＋11b 与 2a－7b 垂直，试求 a 与 b 的夹角．.

高中数学人教B版必修四第2章《平面向量》ppt总结课件


平面向量的坐标运算
(1) 向 量 的 坐 标 表 示 实 际 上 是 向 量 的 代 数 表 示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完 全化为代数运算，实现数与形的统一． (2)通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、 向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等 问题．
例2 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)， c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n； (2)(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1， 求d.
例1 如图，▱OADB 中，O→A＝a，O→B＝b，B→M＝13B→C，C→N
＝13C→D，若M→N＝xa＋yb，求实数 x、y 的值．
【分析】 先看清有关的比例关系，再把M→N用 a，b 表示出来，待定系数法求 x，y.
【解】 B→M＝13B→C＝16B→A＝16(O→A－O→B)＝16(a－b)， O→M＝O→B＋B→M＝b＋16a－16b＝16a＋56b， C→N＝13C→D＝16O→D， ∴O→N＝O→C＋C→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1， ∴4x－x－442＋－2y－y－112＝＝10 ，
x＝4＋
5 5
x＝4－
5 5
解得
，或
，
y＝1＋25 5
y＝1－25 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
【解】 设 M(x，y)是轨迹上任一点，设 A(0，b)， Q(a,0)(a>0)， 则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)， ∵A→M＝－32M→Q， ∴a＝13x，b＝－2y， ∴A(0，－2y)，Q(x3，0)， ∴P→A＝(3，－2y)，A→M＝(x，32y)．

高中数学人教B版必修四2.2.1《平面向量基本定理》ppt课件

htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
已知△ABC 中，D 为 BC 的中点，E、F 为 BC 的三等分点，
若 A→B ＝a，A→C ＝b，用 a、b 表示 A→D 、A→E 、A→F . [解析] 如图，A→D ＝A→B ＋B→D ＝A→B ＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E ＝A→B ＋B→E ＝A→B ＋13B→C ＝a＋13(b－a)＝23a＋13b； A→F ＝A→B ＋B→F ＝A→B ＋23B→C ＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.
C 的轨迹是什么图形？简单说明理由．
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
[解析] 解法一：3λ＋(1－3λ)＝1 且 λ∈R，结合直线的向
量参数方程式可知点 C 的轨迹是直线 AB． 解法二：将已知向量等式两边同时减去O→A，得 O→C－O→A＝(3λ－1) O→A＋(1－3λ) O→B ＝(1－3λ)( O→B－O→A)＝(1－3λ) A→B， 即A→C＝(1－3λ) A→B，λ∈R， ∴A、B、C 三点共线，即点 C 的轨迹是直线 AB．
[分析] 本题直接用 c、d 表示A→B、A→D有一定的困难可以 换一个角度，先由A→B、A→D表示A→N、A→M，进而求出A→B、A→D.
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
[解析] 设A→B＝a，A→D＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的 中点，所以B→N＝12b，D→M＝12a，于是有
• 3．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基 底，那么( )
• A．若实数λ1、λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1 ＝λ2＝0
• B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2， 这里λ1、λ2是实数

高中数学课件-第二章 平面向量 章末归纳总结 课件(北师大版必修4)

[例 1] 下列结论正确的是( ) A．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等，且方向相同或相反 B．若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向，则A→B >C→D C．若 a＝b，则 a∥b D．由于零向量方向不定，故零向量不能与任一向量平行
[答案] C
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
∴(13－3t )a＋tb＝(14－4s)b＋sa. ∴t13＝－143t－＝4ss.， 解得st＝＝112311.， 故有A→P＝131a＋121b.
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
[规律总结] 用待定系数法解决问题的关键是构造一个同 一向量的不同表达形式，怎样去构造是难点，这要把握所给图 形加以分析．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
(3)已知两向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则|b|cosθ 叫作向 量 b 在 a 方向上的射影．
(4)已知两个向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，我们把|a||b|cosθ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cosθ.
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
[例 3] 已知四边形 ABCD 中，A→B＝(6,1)，B→C＝(x，y)，C→D ＝(－2，－3)．
(1)若 B→C∥D→A，求 y＝f(x)的解析式； (2)在(1)的条件下，若A→C⊥B→D，求 x，y 的值以及四边形 ABCD 的面积． [思路分析] (1)利用向量平行的坐标表示，整理可得函数 的解析式； (2)根据条件先求出 x，y 的值，然后求出|A→C|、|B→D|，再利 用 S 四边形 ABCD＝12|A→C||B→D|求面积．

高中数学北师大版必修4第二章《平面向量》ppt课件


知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
1.向量的加法运算 三角形法则
AB+BC= AC
A
C BO
平行四边形法则
B
C
OA+OB= OC
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
例2
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
练习4 n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n)
共线且方向相同?
答案： n= 2
思考: 何时 n=±2 ?
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
例3 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
非零向量平行（共线）的充要条件
向量表示： a∥b
a=λb （λ∈R,b≠0）
坐标表示：设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则
平面向量复习
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析 巩固练习
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要量的基本定理
向量的数量积
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

a1b1＋a2b2 a21＋a22 b21＋b22
.
向量的应用
平面向量的应用主要体现在三个方面：一是在 平面几何上的应用，向量的加减和数乘运算法 则，线段相等、平行、垂直、距离和夹角等平 面几何的相关问题；二是向量在解析几何上的 应用，主要利用向量平行和垂直的坐标条件求 直线的方程；三是在物理中的应用，主要解决 力、速度等问题．
【点评】 解决轨迹问题时，先设轨迹上一动 点M(x，y)，再根据条件建立x，y的关系式．
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意
第2章 本章优化总结 课件（人教 B版必修4）
知识体系网络
本
章
优
专题探究精讲
化
总
结
章末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
平面向量的线性运算
(1)向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通 常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算 法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线 段相等、求点的坐标等问题． (2)向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向 量的有关问题时，一定要结合图形进行判断求解， 这是研究平面向量的重要方法与技巧．
【解】 设 M(x，y)是轨迹上任一点，设 A(0，b)， Q(a,0)(a>0)， 则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)， ∵A→M＝－32M→Q， ∴a＝13x，b＝－2y， ∴A(0，－2y)，Q(x3，0)， ∴P→A＝(3，－2y)，A→M＝(x，32y)．
又∵P→A·A→M＝0，∴3x－34y2＝0，即 y2＝4x， ∴所求动点 M 的轨迹方程为 y2＝4x(x>0)．
已知两单位向量a与b的夹角为120°， 若c＝2a－b，d＝3b－a，试求c与d的夹角的余 弦值．
【分析】 根据已知首先求出|c|、|d|、c·d 三个值的大小，然后代入到夹角公式 cosθ ＝|cc|·|dd|，求出夹角 θ 的余弦值．
【解】 由题意，|a|＝|b|＝1，且 a 与 b 的夹角为 120°， 所以，a·b＝|a||b|cos120°＝－12， ∵|c|2＝c·c＝(2a－b)·(2a－b) ＝4a2－4a·b＋b2＝7，∴|c|＝ 7， 同理可得：|d|＝ 13.
【分析】 分别利用向量相等、向量平行、向
量的模等坐标公式求解即可．
【解】 (1)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴－m＋4n＝3 ⇒ m＝59，
2m＋n＝2
n＝89.
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)， a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即 k＝－1163.
例1 如图，▱OADB 中，O→A＝a，O→B＝b，B→M＝13B→C，C→N
＝13C→D，若M→N＝xa＋yb，求实数 x、y 的值．
【分析】 先看清有关的比例关系，再把M→N用 a，b 表示出来，待定系数法求 x，y.
【解】 B→M＝13B→C＝16B→A＝16(O→A－O→B)＝16(a－b)， O→M＝O→B＋B→M＝b＋16a－16b＝16a＋56b， C→N＝13C→D＝16O→D， ∴O→N＝O→C＋C→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D
【点评】 向量的坐标运算是将几何问题代数 化的有力工具，它是转化、函数与方程、分类 讨论、数形结合等思想方法的具体体现．
平面向量的数量积及其应用
平面向量的数量积是向量的核心内容，向量 的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位 置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量 特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂 直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长 度例等3 ．
例4 已知点 P(－3,0)，点 A 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴 的正半轴上，点 M 在直线 AQ 上，满足P→A·A→M＝0，A→M ＝－32M→Q.当点 A 在 y 轴上移动时，求动点 M 的轨迹 方程．
【分析】 设出点 M 的坐标，利用已知条件A→M＝－32 M→Q，表示出点 A 的坐标，再利用P→A·A→M＝0 求解．
平面向量的坐标运算
(1) 向 量 的 坐 标 表 示 实 际 上 是 向 量 的 代 数 表 示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完 全化为代数运算，实现数与形的统一． (2)通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、 向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等 问题．
例2 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)， c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n； (2)(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1， 求d.
＝23(O→A＋O→B)＝23(a＋b)， M→N＝O→N－O→M＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
由 xa＋yb＝12a－16b 得(x－12)a＋(y＋16)b＝0.
x－12＝0 ∵a 与 b 不共线，∴
y＋61＝0，Biblioteka 解得 x＝12，y＝－16.
【点评】 理解向量的有关概念(如平行向量 (共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本 定理、单位向量等)及其相应运算的几何意义； 并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角 形法则等，是求解有关向量线性运算的基础．
而 c·d＝(2a－b)·(3b－a)＝7a·b－3b2－2a2＝－127，
设 θ 为 c 与 d 的夹角，
则 cosθ＝|cc|·|dd|＝2
－17 7×
13＝－1718291.
【点评】 对于非零向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＝0，cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1， ∴4x－x－442＋－2y－y－112＝＝10 ，
x＝4＋
5 5
x＝4－
5 5
解得
，或
，
y＝1＋25 5
y＝1－25 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.