8.4__平行线的判定定理

年 级七年级 学 科 数学版 本山东教育版（五四制）课程标题 第八章8.4平行线的判定定理 编稿老师 仓猛一校黄楠二校林卉审核郭莹平行线的判定及应用【考点精讲】知识脉络图两直线平行内错角相等 同位角相等 同旁内角互补两直线平行的条件① 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；简称：同位角相等，两直线平行；如图，若∠1＝∠2，则AB ∥CD ；② 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；简称：内错角相等，两直线平行；如图，若∠2＝∠3，则AB ∥CD ；③ 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；简称：同旁内角互补，两直线平行。

如图，若∠2＋∠4＝180°，则AB ∥CD 。

判断两直线是否平行，我们可从数量关系来探究。

即同位角、内错角是否相等、同旁内角是否互补，来判断两直线是否平行。

先要找准同类型的角，再研究它们的数量关系，最终得出两直线是否平行的结论，并能有条理地写出证明的步骤。

【典例精析】例题1 （永州）如图，下列条件中能判断直线1l ∥2l 的是（ ） A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠5C. ∠1＋∠3＝180°D. ∠3＝∠5答案：当AF 与AB 的夹角为55°时，AB ′∥BD ，即∠BAF ＝55°时，有AB ′∥BD 。

理由是：在长方形ABCD中，∠BAD＝90°∵∠ABD＝70°，∴ADB＝20°（三角形内角和定理）由折叠知∠BAF＝∠B′AF，且∠BAF＝55°∴∠B′AF＝55°∴∠B′AD＝110°－90°＝20°∴∠B′AD＝∠ADB（等量代换）∴AB′∥BD（内错角相等，两直线平行）点评：一是要理解折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等。

二是能从构成的角的类型中，反过来推导要使两直线平行的条件。

平行线的判定方法平行线是指在同一个平面内不相交且不重合的两条直线。

在几何学中，判定两条直线是否平行是一个常见的问题，有多种方法可以用来进行判定。

本文将介绍几种常用的平行线判定方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的几何概念。

首先，我们来介绍两条平行线的定义。

两条直线如果在同一个平面内，且不相交且不重合，那么它们就是平行线。

这是最基本的平行线定义，也是我们进行平行线判定的出发点。

其次，我们来看一种常用的平行线判定方法——同位角相等。

同位角是指两条直线被一条截线分成的两对相对角，如果两条直线被一条截线分成的同位角相等，那么这两条直线就是平行线。

这一方法在实际问题中应用较为广泛，因为同位角相等是平行线的充分必要条件，即如果两条直线的同位角相等，那么这两条直线一定是平行线。

另外，我们还可以利用平行线的性质来进行判定。

平行线具有许多特殊的性质，比如平行线之间的对应角相等、内错角相等、同位角相等等。

如果我们能够通过观察两条直线之间的角度关系，发现它们满足了平行线的性质，那么我们就可以判定这两条直线是平行线。

除此之外，我们还可以利用平行线的判定定理来进行判定。

在几何学中，有一些著名的平行线判定定理，比如同位角相等定理、内错角相等定理、对顶角相等定理等。

这些定理为我们提供了判定两条直线是否平行的有效方法，通过运用这些定理，我们可以快速准确地判定两条直线的平行关系。

最后，需要指出的是，判定平行线的方法并不是孤立的，而是相互联系、相互补充的。

在实际问题中，我们通常会结合多种方法来进行平行线的判定，以确保判定的准确性和全面性。

在使用这些方法时，我们需要灵活运用，结合实际问题的特点，选择最合适的方法进行判定。

总之，平行线的判定是几何学中的一个重要问题，掌握平行线的判定方法对于解决实际问题具有重要意义。

本文介绍了几种常用的平行线判定方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

在实际问题中，我们应该灵活运用这些方法，结合具体问题进行分析，以便准确判定两条直线的平行关系。

一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理二、学习目标：1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．三、学习重难点重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达.四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合五、使用课时：2课时六、学习导航考点一平行线的判定公理1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ．（1） （2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。

达标训练： 一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°， 其中能判定a ∥b 的条件是( )A ．(1)(3)B ．(2)(4)C ．(1)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CDC ．∠3=∠4D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°二．填空题5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．αγβED CBAD6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比 为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空． （1）∵∠A =_______（已知） ∴AC ∥ED （ ） （2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （ ） （3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （ ）三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ． 求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.根据下面的条件完成证明． 已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：CFDEBAOHG321EFD C BA1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等.定理：两直线平行，内错角相等.定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D ，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。

初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。

在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。

同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。

2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。

即如果l||n且m||n，则l||m。

3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。

即如果l∠n且m∠n，则l||m。

4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。

即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。

5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。

即如果l||m且m||n，则l||n。

6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。

即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。

7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。

8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。

9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。

以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。

教学设计备课时间2014年3月26日课题平行线的判定定理共1 课时课型新授教材分析图形的判定与图形的性质，是研究图形时必须要解决的两类问题，判定两条直线平行，是指根据直线具备的某个条件，就可以得到这两条直线平行的结论。

教科书通过“同位角相等，两直线平行”的公理推出其余判定方法。

学情分析以前学生接触的是一步推理，而且因果关系比较明显。

判定定理的推导需要先通过角的关系，找符合判定公理的条件，涉及两步推理，学生需要思考的问题复杂了一些，可能一时适应不了问题的思考方法。

教学时注意引导，随时归纳总结使学生逐渐学会思考和分析。

教学目标知识与技能：经历观察、操作、推理、交流等活动，探索并掌握平行线的三个判定方法，并会正确识别图中的同位角、内错角和同旁内角。

过程与方法：经历探索直线平行的条件的过程，发展空间观念和有条理的表达能力。

情感态度与价值观：在自己独立思考的基础上，积极参与小组活动对直线平行条件的讨论，敢于表达自已的观点，并从中受益。

教学重难点重点：平行线的判定公理及两个判定定理．难点：使学生初步理解说理的步骤和基本方法。

教学策略引导—发现教学法教学资源班班通课时安排2课时教学过程（4月2号 1、7.2；2、7.1）一．创设情景我们有哪些方法判定两条直线平行？（1）定义判定（2）公理判定除此以外还可以如何判定两条直线平行？二、新授：1、平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行即同位角相等，两直线平行∵∠1=∠2∴a‖b （同位角相等，两直线平行）2、同旁内角具有什么关系时，也能判定两直线平行呢?教师引导学生：将同旁内角设法转化为利用同位角相等．通过合作学习，提出猜想．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

我们能不能根据条件和结论完成做图，并写出已知、求证。

如图，已知，∠ 1和∠ 2是直线a 、b被直线c截出的同旁内角，且∠ 1+∠ 2=180°。

平行线的判定与性质平行线是几何学中一个重要的概念，它在许多数学问题中起着重要的作用。

本文将介绍平行线的判定方法以及平行线的一些性质。

一、平行线的判定判定两条直线是否平行，可以通过以下几种方法进行判断：1. 两线的斜率相等：设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。

如果k1=k2，那么L1和L2是平行线。

2. 两线的倾斜角相等：直线的倾斜角是指与x轴夹角的大小。

如果两条直线L1和L2的倾斜角相等，那么它们是平行线。

3. 两线的截距比相等：设有两条直线L1和L2，它们的截距分别为b1和b2。

如果b1/b2=k，k为常数，那么L1和L2是平行线。

二、平行线的性质平行线有以下几个重要的性质：1. 平行线上的任意一对对应角相等：设有两条平行线L1和L2，它们被一条横切线交于点A和点B，那么∠CAB=∠CBA，∠CDA=∠CDB，∠EAF=∠FAG等。

2. 平行线上的内角和为180度：设有两条平行线L1和L2，它们被一条横切线交于点A和点B，那么∠CAB+∠CBA=180度。

3. 平行线上的外角相等：设有两条平行线L1和L2，它们被一条横切线交于点A和点B，那么∠ADB=∠EBC。

4. 平行线与直角线的关系：如果两条直线L1和L2相互垂直，而且L1和L2中的任意一条与第三条直线L3(横切线)平行，那么L1和L2也是平行线。

5. 平行线与三角形的性质：如果一条直线与一个三角形的两边分别平行，那么这条直线与第三边也平行。

三、实例分析举个例子来说明平行线的判定和性质。

设有两条直线L1:y=2x+1和L2:y=2x+5。

首先，我们可以通过比较两条直线的斜率，发现它们的斜率相等，即k1=k2=2，因此L1和L2是平行线。

根据平行线的性质，我们可以得到一系列结论：1. 如果L1和L2是平行线，那么它们上的对应角必定相等，即∠CAB=∠CBA，∠CDA=∠CDB，∠EAF=∠FAG等。

2. 如果L1和L2是平行线，那么它们上的内角和为180度，即∠CAB+∠CBA=180度。

平行线的性质与定理平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

在数学中，平行线有一系列的性质和定理，下面将对其中的一些进行探讨。

1. 平行线的定义平行线的定义是指在同一平面内，两条直线没有任何交点。

如果两条直线在平面上没有交点，我们就可以称它们是平行线。

2. 平行线的判定判定两条直线是否平行有多种方法，其中一种常见的方法是通过线与线之间的夹角关系来判断。

如果两条直线的夹角为180度，则它们是平行线。

3. 平行线的性质平行线具有以下性质：- 平行线具有等斜率：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线。

这是判断平行线的常用方法之一。

- 平行线的角度关系：当两条直线被一条横穿时，所形成的对应角、内错角、同旁内角都是相等的。

这个性质有助于我们解决与平行线相关的角度问题。

- 平行线与平行线之间的距离关系：如果在两条平行线上分别取一点，并以这两个点为顶点画两条垂直于平行线的线段，这两条线段的长度相等。

这个性质被称为平行线之间的距离关系。

4. 平行线的定理- 同位角定理：当两条平行线被一条横穿时，同位角是相等的。

- 同旁内角定理：当两条平行线被一条横穿时，同旁内角是互补的，即角的度数之和为180度。

- 内错角定理：当两条平行线被一条横穿时，内错角是相等的。

- 对顶角定理：当两条平行线被一条横穿时，对顶角是相等的。

5. 实际应用平行线的概念和定理在几何学中有广泛的应用。

例如，在平行线剖分问题中，我们可以利用平行线的性质来解决线段的分割和角度的测量问题。

此外，在解决平面图形的相似性问题中，平行线的性质也经常被应用。

总结：通过探讨平行线的性质与定理，我们可以更加深入地理解平行线的概念，并利用这些性质解决各种几何问题。

无论是在学术研究中还是实际应用中，平行线的相关内容都具有重要的作用。

理解和掌握平行线的性质与定理，无疑是我们学习数学和几何学的重要一步。