特征根法求解二次微分方程

n 阶微分方程的一般形式为：F(x,y, y',y",L ,y(n)) 0，一般情况下，求n阶微分方程的解是困难的.作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.一、二阶线性微分方程解的结构如果二阶微分方程y'' F(x,y,y')的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为y'' p(x)y' q(x)y f (x). ()如果f (x) 0 ，则方程()成为y'' p(x)y' q(x)y 0. ()方程()称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程()称为二阶非齐次线性微分方程.定理齐次线性微分方程解的叠加性定理•设y1和y2是二阶齐次线性微分方程()的两个解，则y c1y1 c2 y2也是微分方程()的解，其中c1,c2为任意常数•证：将y qy i C2『2代入方程()的左端，可得(c1y1 c2y2)'' p(x)(c1y1 c2y2)' q(x)(c1y1 c2y2)(C1y1'' C2y2'') p(x)(C1y1' C2y2') q(x)(C1y1 C2y2)=C1(y1'' p(x)y1' q(x)y1) C2(y2'' p(x)y2' q(x)y2)=0，所以，y c1y1c2 y2也是微分方程()的解• 口定理表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加• 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解y i和y，很容易得到含有任意常数C i, C2的解，y c i y i 5^2.如果解y i和y有一定关系，那么，解y C i y i C2『2中的任意常数C i,C2可以合并成一个任意常数•因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解• 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解y i和y2要满足哪些条件才能使解y C i y i C2y2成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念定义设函数y i和y2是定义在某个区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数C1 ,C2，使cy C2 y2 0在区间上恒成立，则称函数y1和y2在区间上是线性相关的，否则是线性无关的.确定两个函数y1和y2在区间上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比0是y2否为常数.如果业等于常数，则y i与y线性相关；如果上等于函数，则y i与y线性无y2 y2关.例如,匹3,则y i与y2线性相关.出 x,则y i与y线性无关•y2 y2定理二阶齐次线性微分方程的通解结构定理•如果y i和y2是二阶齐次线性微分方程（）的两个线性无关的特解，则y c i y i C2 y2是微分方程（）的通解，其中c i,c2为任意常数•例如，y i e x, y2 2e x, y a e x y°2e x都是二阶齐次线性微分方程y i 0的解,C i,C2是任意常数，则下列哪些选项表示微分方程y i 0的通解：A.c i y i C2y2B. c i y i C2y4C.C i y i C2D.C i y a C2y4E.c i y i y aF.y i c i y4G.C i(y i y2)C2W3y4)由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理，可知：选项B,G为该方程的通解• 本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程•定理非齐次线性微分方程的通解结构定理•如果y*是二阶非齐次线性微分方程（）的一个特解，Y是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（）的通解，即余函数，则y Y y*是二阶非齐次线性微分方程（）的通解•证：将y Y y*代入方程（）的左端，可得(Y y*)'' P(X)(Y y*)' q(x)(Y y*)(Y'' y*' ') p(x)(Y' y*' ) q(x)(Y y*)=(Y'' p(x)Y' q(x)Y) (y*' ' p(x)y*' q(x)y*) = f (x) ，所以，y Y y*是微分方程()的解，又 Y 是二阶齐次线性微分方程()的通解，它含有两个任意常数，即解中 y Y y* 含有两个任意常数，因此 y Y y* 是二阶非齐次线 性微分方程()的通解 . □上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础 . 根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为： (1)求对应的二阶齐次线性微分方程()的两个线性无关的特解 y 1和y 2，构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数 Y c 1y 1 c 2y 2；(2)求二阶非齐次线性微分方程()的一个特解 y* ；则，二阶非齐次线性微分方程() 的通解为 y Y y*.上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解 .二、 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y'' py' qy 0.()其中p ，q 为常数•根据定理，要求二阶常系数齐次线性微分方程()的通解，只要求出 该方程的任意的两个线性无关的特解y 1和y 2即可•注意到方程()的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数 y ，其导数 y'' ， y' 和 y则有q)e x 0 ，即 q0为二阶常系数齐次线性微分方程()的 特征多项式 ，特征方程的根之间只相差一个常数，该函数就可能是方程()的特解 . 而基本初等函数中的指数函数恰好具有这个性质. 因此， 设方程()的解为 y，其中 为待定常数， 将 yx、ye x 和 y" 2ex x代入微分方程 ()，我们称方程 ()为二阶常系数齐次线性微分方程)的特征方程 ，而称 F( )2p q称为二阶常系数齐次线性微分方程（）的 特征根•因为微分方程（）的特征方程（）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别 讨论并给出微分方程（）的通解 .2（1） 当p 4q 0时，特征方程有两个相异的实根i 和2，因此，微分方程有两个特解y i e ix,y 2 e 2X由于 上 e（ 1 2）x，所以y i , y 线性无关•故二阶常系数齐次线性微y 2分方程（）的通解为y c 1e ix c 2e 2X（ G ,C 2为任意常数）（）（2）当p 2 4q 0时，特征方程有重根12，因此，微分方程只有一个特解XXy 1 e .设 y h （x ）y 1 h （x ）e 是微分方程（）另一个特解，求导得：y\ h'（x ）e X h （x ）e X ， y= h"（x ）e x 2 h'（x ）e x 2h （x ）e x . 将2Py 2, y'2, y"2代入微分方程（），注意到方程 p q 0和，化简后得：2h"（x ） 0.满足这个条件的函数无穷多，取最简单的一个 h （x ） x ，则微分方程（）另一个特解为y 2 xe x ，且y 1, y 线性无关•故二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解为找两个线性无关的实数解ix.由欧拉公式e cosx i sin x 可得XXy 1 e (cos x i sin x), y 2e (cos x isin x),根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理，有1 x1X2(% y 2)e X cosx2(y 1y ?) e x sin x.1,2P . P 2 4q"2(3)其中因为 yy 2xy (C 1 C 2x)e（C 1, C 2为任意常数）()2p 4q 0时，特征方程有一对共轭复根1丄也—.因此，微分方程有两个特解2y 1e ()x,y 2e ( i )xe 2i x ，所以y 「y 2线性无关.为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式xxe cos x e cos x 和e sin x 均为微分方程（）的解•而 xcot x .故二阶常系数齐e sin x次线性微分方程（）的通解为Xy （C i cos x C 2 sin x ）e（ 为任意常数）• （）综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解，只须先求出其特征方程（）的 根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（）、（）或（），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：(1) 写出的特征方程； (2)求出特征根；(3) 根据特征根的三种不同情况，分别用公式（） 、（）或（）写出微分方程（）的通解特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解解: 特征方程为234 0,特征根i 4，21,所求通解为解： 特征方程为2 ,1 0,B f 特征根1 . 1,2,所求通解为22例4求方程y" 4y' 4y 0的满足定解条件y （0） 1，y'（0） 4的特解.例1求方程y" 3y' 4y 0的通解•y C i ec ?e（C i ,C 2为任意常数）例2 求方程 y" 2y' y 0的通解•解： 特征方程为221 0,特征根121,所求通解为y (C 1 c 2x)e x（c 1, c 2为任意常数）例3 求方程 y"y' y 0的通解•(C i cos 空x2c ? sinx)e 2（C 1, c 2为任意常数）4xx4 0,特征根 1 2 2, 所求通解为y (c 1 c 2 x)e 2x对上式求导，得由定解条件 y(0) 1， y'(0) 4代入： c 1 1， c 2 2, 因此，所求特解为2xy (1 2x)e 2x .三、二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为y'' py' qy f (x). ( p , q 为常数)由定理可知，如果 y* 是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分 方程的通解为yY y*其中Y 为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得•当f (x)为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐 次线性微分方程一个特解y*，代入公式()即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解•现就 f (x) 为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解 y* 的方法 . 1、当f (x) m (x)e x ，其中为常数，m (x)为m 次多项式：m(x) b 0x m b 1x m 1 b m 1x b m ， m 0 .因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程()的一个特解为y* z(x)e x ， z(x)x k m (x)其中 m (x) 为 m 次待定多项式 .2 例如,(x) 3,则设 0(x) B 0; 1(x) x, 1(x) B 0x B 1; 2(x) x 21,则设2(x) B o x 2 B i X B 2.以 y*" [z"(x) 2 z'(x)2z(x)]e x ，代入微分方程()，整解： 特征方程为y' 2xc 2e2x2(c 1 c 2 x)e ,理后可得 待定系数平衡公式( 2 p q)z(x) (2 p)z'(x) z''(x) m (x)或F( )z(x) F '( )z'(x) z''(x) m (x). ()m 1 个联立方程：( 2 p ( 2pq)B 0q)B 1b 0,2( p)mB 0 b 1,确定 B i (i 0,1,2,,m) ，就可以确定待定多项式z(x) ，得到微分方程()的一个特解y* xz(x)e .(2)当 F( )2pq 0 ，即 是特征方程的单根时， F'( )0.要使平衡公式() 的两端恒等，z'(x)与m( x )为同次多项式，设z(x) x m (x)x(B 0x m B 1x m1 B m1x B m ).用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解y* z(x)e x .(3) 当 F( )2pq 0 ， F'( ) 2 p 0 ，即 是特征方程的重根时，要使平衡公式()的两端恒等，z''(x)与m (x)为同次多项式，设z(x) x 2 m (x)x 2(B 0x m B 1x m 1 B m1x B m ).用与( 1)同样的方法，就可以确定 z(x) ，得到微分方程()的一个特解 y* z(x)e由此，通过比较两端 x 的同次幂的系数确定待定多项式 kz(x) x k m (x) 中的待定系数 . 因为特征方程的根不同，z(x) 的次数也不同，分别讨论之 1) 当 F( ) 2p q 0 ，即 不是特征方程的根时，要使平衡公式()的两端恒等， z(x) 与m(x) 应为同次多项式，即z(x)x 0 m (x) B 0 x mB 1x m 1B m 1x B m代入平衡公式()，比较等式两端x 的同次幂的系数，可得含有待定系数B 0,B 1, ,B m 的上述讨论可归纳如下：当f(x)m(x)e x ，其中常数 ，m 次多项式m(x)已知，微分方程的特解形式为y* z(x)e x x k m (x)e x ，即 z(x) x k m (x)，其中：m(x)与m (x)为同次多项式；k 0,1,2，分别根据不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定2、当f(x) e x (acos x bsin x)，其中a,b,,为常数时，可得复数 分方程的特解形式为y* x k (A 1 cos x A 2 sin x)e x ，对共轭复根而确定•以y*, y*' ,y*"代入原方程，比较同类项的系数，解得 A 1, A 2.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为y Y y*其中Y 为余函数， 2,，1(x) 7x 2可用待定系数平衡公式确定7B °x (5B Q 7B I ) 7x 2.比较系数，7B Q 7, 5B Q 7B I2,得 B Q 1,B I1,即y (x 1)e 2x .其特征根为1 3i ，余函数为1,22Y (C 1 3 cos- x 23 -xc 2 sin x)e 2 c 1, c 2为任意常数特征多项式为F( )21，且 F ( ) 2 1,解：特征方程为21 0,2不是特征方程的根i .设微其中：A ?为待定常数；k 0,1,分别根据i 不是特征方程的根或是特征方程的一例5 求方程y" y' y(7x 2)e 2x 的通解.设 y* z(x)e 2x , z(x)B o x B.根据待定系数平衡公式F(2)z(x) F (2)z(x)z (x) 7(B o X B) 5B Q2x ,比较等式两端x 同次幕的系数，可得B 。

二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)的全部内容。

二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。

关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。

预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。

如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。

1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。

2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。

求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。

2）的通解。

将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。

二阶常系数微分方程解法微分方程是数学中一个非常重要的部分，它描述了很多现实生活和科学问题。

其中，二阶常系数微分方程是应用广泛的一种类型的微分方程，其解法也相对较为简单，下面将详细介绍解这类微分方程的方法。

一、二阶常系数微分方程的定义和形式二阶常系数微分方程指的是形如 y''+ay'+by=f(x) 的微分方程，其中 y、f(x)均为函数，a和b均为常数。

这类微分方程中，y”表示 y 对自变量 x 的二次导数，y'表示 y 对 x 的一次导数。

二、特征方程法解二阶常系数微分方程最常用的方法是特征方程法。

根据 y=Ae^{mx} 这种形式，我们可以将 y" 和 y' 带入 y 中，得到以下等式：(Ae^{mx})''+a(Ae^{mx})'+bAe^{mx}=0化简后可得：m^2+am+b=0以上所得到的方程式称为特征方程，解特征方程的根 m_{1}, m_{2} 就可以得到二阶常系数微分方程的通解。

1、特征方程有两个不相等的实根如果特征方程有两个不相等的实根 m_{1} 和 m_{2}，那么通解为：y=C_{1}e^{m_{1}x}+C_{2}e^{m_{2}x}其中，C_1、C_2 为任意常数，分别由初始值条件所决定。

2、特征方程有两个相等的实根如果特征方程有两个相等的实根 m，那么通解为：y=(C_1+C_2x)e^{mx}其中，C_1、C_2 为任意常数。

3、特征方程有两个共轭复根如果特征方程有两个共轭复根α+iβ 和α-iβ，那么通解为：y=e^{αx}(C_1\cos βx+C_2\sin βx)其中，C_1、C_2为任意常数。

三、拉普拉斯变换法除了特征方程法外，拉普拉斯变换法也可以用来求解二阶常系数微分方程。

我们将 y、y' 和 y" 进行拉普拉斯变换，得到：L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)L\{y'\}=sY(s)-y(0)L\{y\}=Y(s)将以上三个式子带入二阶常系数微分方程中，消去 Y(s)，就可以得到：s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+a(sY(s)-y(0))+bY(s)=F(s)其中 F(s) 为右侧函数的拉普拉斯变换。

微分方程是数学中常见且重要的概念之一，解决方程的过程通常涉及诸多技巧和方法。

本文将介绍一些常见的微分方程的解法，希望能够帮助读者更好地理解和应用微分方程。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程中，函数只依赖于一个独立变量，如 y=f(x)，而偏微分方程中，函数依赖于多个独立变量，如 u=f(x, y, z)。

常微分方程有很多种解法，我们首先来介绍几种常见的解法。

一种常用的解法是分离变量法。

当微分方程可以表达为 dy/dx=f(x)g(y)的形式时，我们可以将该方程转化为 1/g(y)dy=f(x)dx，然后进行分离变量，再进行积分得到解。

举个例子，如对于微分方程 dy/dx=x/(1+y^2)，我们可以将方程转化为 (1+y^2)dy=x dx，然后分离变量并积分两边，即可得到解 y=tan(x+C)。

另一种常见的解法是常系数齐次线性微分方程的特征根法。

这类微分方程的一般形式为 d^n y/dx^n+a_{n-1}d^{n-1} y/dx^{n-1}+...+a_1 dy/dx+a_0 y=0，其中 a_i (i=0,1,2,...,n-1) 为常数。

我们可以假设一个解 y=e^(rx)，其中r 为待确定的常数。

代入微分方程后，通过整理可得到一个关于 r 的代数方程，解此方程即可得到微分方程的通解。

例如，对于微分方程 d^2y/dx^2+2dy/dx+y=0，我们可以设 y=e^(rx) 为解，代入微分方程后得到r^2e^(rx)+2re^(rx)+e^(rx)=0，化简后可得到 (r+1)^2 e^(rx)=0，解得 r=-1。

因此通解为 y=C_1e^(-x)+C_2xe^(-x)，其中 C_1 和 C_2 为常数。

此外，变量替换法也是解微分方程常用的方法之一。

当微分方程的形式较为复杂时，我们可以通过变量替换的方式将其转化为更容易求解的形式。

例如，对于微分方程 dy/dx=y^2+xxy，我们可以通过变量替换 y=vx，将方程转化为 v+x dv/dx=v^2+xv。

二阶微分方程解法推导二阶微分方程是数学中的一个重要的分支，它在物理、工程学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍二阶微分方程的解法推导，从而让读者更深入地理解二阶微分方程的求解方法。

首先，我们需要了解什么是二阶微分方程。

二阶微分方程是一个关于未知函数 y(x) 及其导数 y'(x) 和 y''(x) 的方程。

一般形式如下：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)其中 p(x)、q(x)、f(x) 都是已知函数。

对于这个方程，我们可以通过以下步骤来求解：第一步，找到其特征方程。

特征方程是 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0 的解。

我们可以假设其解为 y(x) = e^(mx)，将其代入特征方程中得到：m^2 + p(x)m + q(x) = 0解这个二次方程，可以得到两个根 m1、m2，它们可以是实数或复数。

第二步，根据根的情况分类讨论。

如果 m1 和 m2 都是实数且不相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = c1e^(m1x) + c2e^(m2x)其中 c1、c2 是任意常数。

如果 m1 和 m2 都是实数且相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = (c1 + c2x)e^(mx)其中 c1、c2 是任意常数。

如果 m1 和 m2 是复数共轭，即 m1 = a + bi，m2 = a - bi，那么 y(x) 的通解为：y(x) = e^(ax)[c1cos(bx) + c2sin(bx)]其中 c1、c2 是任意常数。

第三步，根据边界条件确定具体解。

通解中的常数需要根据边界条件来确定，从而得到具体的解。

通过以上三个步骤，我们可以求解二阶微分方程的解。

需要注意的是，当特征方程产生相同的根时，其求解方法会有所不同。

此外，对于特殊类型的二阶微分方程，也可以采用其他方法来求解。

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:'''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。

微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。

那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。

而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。

设二阶常系数线性非齐次方程为'''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。

为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。

1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。

则方程(1) 可以写成'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---=记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程'1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰[5] (3) 知其通解为1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+⎰这里0()xh t dt ⎰表示积分之后的函数是以x 为自变量的。

再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰ 解得12212()()340012[(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-⎰⎰ 应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰ 1122121200121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰ (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为'''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]xkx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'10()xkx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+⎰ 即10()()xkx kt de y ef t dt c dx --=+⎰故120()()xkx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++⎰(5)例1 求解方程'''256x y y y xe -+=解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 32()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是332222321200x x x t t x t t xxy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200x xx t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132x x xx x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里321c c =-.例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=解 特征方程2210k k -+= 有重根1 , ()ln x f x e x =.由公式(5) 得到方程的解是 120()ln x x t t x x y ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln x x x x e x t tdt c xe c e =-++⎰ 1200[ln ln ]x xxx x e x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰ 21213ln 24x x x x e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦ 二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是'''()y py qy f x ++=, (6) '''0y py qy ++= , (7) 其中p q 、 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方程(7) 的通解。

微分方程特征根公式
摘要：
一、微分方程特征方程的概念
二、微分方程特征根的含义和求解方法
三、特征根与原微分方程的关系
四、特征根法的应用举例
五、总结
正文：
一、微分方程特征方程的概念
微分方程特征方程是指一个与微分方程有关的方程，它可以通过求解特征方程来寻找微分方程的解。

特征方程是由微分方程中的系数和变量组成的，它通常是一个关于未知函数的二次或更高次方程。

微分方程特征方程公式可以帮助我们理解微分方程的性质和解的结构。

二、微分方程特征根的含义和求解方法
微分方程特征根是指特征方程的解，也称为特征值或特征向量。

特征根是微分方程解的一部分，可以用来描述系统的稳定性和动态行为。

求解特征根的方法通常使用特征方程，可以通过一系列的代数运算和求解方程来找到特征根。

三、特征根与原微分方程的关系
特征根与原微分方程的关系非常密切，它们之间存在着一种对应关系。

原微分方程的解可以表示为特征根的线性组合，每个特征根对应着原微分方程的
一个解。

特征根可以帮助我们找到原微分方程的解，从而解决实际问题。

四、特征根法的应用举例
特征根法是一种求解微分方程的方法，它可以通过求解特征方程来找到微分方程的解。

特征根法在物理、化学、工程学等领域有广泛的应用。

例如，在空气阻力为速度函数的落体运动问题中，可以使用特征根法求解微分方程，从而得到落体运动的轨迹。

五、总结
微分方程特征方程和特征根是微分方程理论中的重要概念，它们可以帮助我们理解微分方程的性质和解的结构。

特征根法是一种求解微分方程的方法，具有广泛的应用前景。

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程:一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数。

如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解。

我们看看， 能否适当选取r ， 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程， 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得（r 2+pr +q ）e rx =0。

由此可见， 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0， 函数y =e rx 就是微分方程的解。

特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1q p p r -±+-= 求出。

特征方程的根与通解的关系:(1）特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时， 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为，函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解， 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数。

因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=。

（2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时， 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解。

这是因为, x r e y 11=是方程的解， 又x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ，所以xr xe y 12=也是方程的解， 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=。

目 录待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法关键词：微分方程，特解，通解，二阶齐次线性微分方程常系数微分方程 待定系数法解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1)d x dxL x a a x dt dt≡++=12,.a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++=(1.1)(1)特征根是单根的情形设12,,,nλλλ是特征方程的(1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如下2个解：12,t t e e λλ (1.2)如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程(1)的通解可表示为 1212t tx c e c e λλ=+如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。

设iλαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解(i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=-它们的实部和虚部也是方程的解。

这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解cos ,sin .t t e t e t ααββ（2）特征根有重跟的情形若10λ=特征方程的k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解211,t,t ,k t -。

若这个k 重零根10,λ≠设特征根为12,,,,m λλλ其重数为1212,,,k (k 2)m m k k k k ++=。

方程(1)的解为 11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ---对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--例1 求方程220d xx dt -=的通解。

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程ypyqy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye rx 代入方程 ypyqy 0得r 2prqe rx 0由此可见 只要r 满足代数方程r 2prq 0 函数ye rx 就是微分方程的解特征方程 方程r 2prq 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 求出特征方程的根与通解的关系1特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=2特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为 x r e y 11=是方程的解 又0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以xr xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=3特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数ye ix 、ye ix是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数ye x cos x 、ye x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数y 1e ix 和y 2e ix 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ix e x cos xi sin xy 2e ix e xcos xi sin x y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解因此方程的通解为ye x C 1cos xC 2sin x求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy 0的通解的步骤为第一步 写出微分方程的特征方程r 2prq 0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解例1 求微分方程y 2y 3y 0的通解解 所给微分方程的特征方程为r 22r 30 即r 1r 30其根r 11 r 23是两个不相等的实根 因此所求通解为yC 1e x C 2e 3x例2 求方程y 2yy 0满足初始条件y |x 04、y | x 02的特解解 所给方程的特征方程为r 22r 10 即r 120其根r 1r 21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为yC 1C 2xe x将条件y |x 04代入通解 得C 14 从而y 4C 2xe x将上式对x 求导 得yC 24C 2xe x再把条件y |x 02代入上式 得C 22 于是所求特解为x 42xe x解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112i r212i是一对共轭复根因此所求通解为ye x C1cos2xC2sin2xn阶常系数齐次线性微分方程方程y n p1y n1p2 y n2 p n1yp n y0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2 p n1p n都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D 及微分算子的n次多项式L D=D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作D n p1D n1p2 D n2 p n1D p n y0或L D y0注 D叫做微分算子D0yy D yy D2yy D3yy D n yy n分析令ye rx则L D yL D e rx r n p1r n1p2 r n2 p n1rp n e rx Lre rx因此如果r是多项式Lr的根则ye rx是微分方程L D y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程Lrr n p1r n1p2 r n2 p n1rp n0称为微分方程L D y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Ce rx一对单复根r12i对应于两项e x C1cos xC2sin xk重实根r对应于k项e rx C1C2x C k x k1一对k重复根r12i 对应于2k项e x C1C2x C k x k1cos x D1D2x D k x k1sin x例4 求方程y42y5y0 的通解解这里的特征方程为r42r35r20 即r2r22r50它的根是r1r20和r3412i因此所给微分方程的通解为yC1C2xe x C3cos2xC4sin2x解 这里的特征方程为r 4 40 它的根为)1(22,1i r ±=β )1(24,3i r ±-=β 因此所给微分方程的通解为 )2sin 2cos (212x C x C e y x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程 方程ypyqyfx称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p 、q 是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yYx 与非齐次方程本身的一个特解yyx 之和yYx yx当fx 为两种特殊形式时 方程的特解的求法一、 fxP m xe x型当fxP m xe x 时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为yQxe x 将其代入方程 得等式 Qx 2pQx 2pxP m x1如果不是特征方程r 2prq 0 的根 则2pq 0 要使上式成立 Qx 应设为m 次多项式 Q m xb 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解yQ m xe x2如果是特征方程 r 2prq 0 的单根 则2pq 0 但2p 0 要使等式 Qx 2pQx 2pxP m x成立 Qx 应设为m 1 次多项式QxxQ m xQ m xb 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解yxQ m xe x3如果是特征方程 r 2prq 0的二重根 则2pq 0 2p 0 要使等式 Qx 2pQx 2pxP m x成立 Qx 应设为m 2次多项式Qxx 2Q m xQ m xb 0x m b 1x m 1 b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0 b 1 b m 并得所求特解 yx 2Q m xe x综上所述 我们有如下结论 如果fxP m xe x 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy fx 有形如 yx k Q m xe x的特解 其中Q m x 是与P m x 同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2例1 求微分方程y 2y 3y 3x 1的一个特解解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数fx 是P m xe x型其中P m x 3x 1 0 与所给方程对应的齐次方程为 y 2y 3y 0它的特征方程为r 22r 30由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为 yb 0xb 1把它代入所给方程 得3b 0x 2b 03b 13x 1比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 3b 03 2b 03b 11 由此求得b 01 311=b 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y例2 求微分方程y 5y 6yxe 2x 的通解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且fx 是P m xe x 型其中P m xx 2 与所给方程对应的齐次方程为 y 5y 6y 0它的特征方程为r 25r 60特征方程有两个实根r 12 r 23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 YC 1e 2x C 2e 3x由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为 yxb 0xb 1e 2x把它代入所给方程 得2b 0x 2b 0b 1x比较两端x 同次幂的系数 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b 2b 01 2b 0b 10 由此求得210-=b b 11 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=从而所给方程的通解为 x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=提示 yxb 0xb 1e 2x b 0x 2b 1xe 2xb 0x 2b 1xe 2x 2b 0xb 1b 0x 2b 1x 2e 2xb 0x 2b 1xe 2x 2b 022b 0xb 12b 0x 2b 1x 22e 2xy 5y 6yb 0x 2b 1xe 2x 5b 0x 2b 1xe 2x 6b 0x 2b 1xe 2x2b 022b 0xb 12b 0x 2b 1x 22e 2x 52b 0xb 1b 0x 2b 1x 2e 2x 6b 0x 2b 1xe 2x2b 042b 0xb 152b 0xb 1e 2x 2b 0x 2b 0b 1e 2x方程ypyqye x P l x cos xP n x sin x 的特解形式应用欧拉公式可得 e x P l x cos xP n x sin x x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++= 其中)(21)(i P P x P n l -= )(21)(i P P x P n l += 而m max{l n } 设方程ypyqyPxe ix 的特解为y 1x k Q m xe ix 则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解 其中k 按i 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 于是方程ypyqye xP l x cos xP n x sin x 的特解为x k e x R 1m x cos xR 2m x sin x综上所述 我们有如下结论如果fxe x P l x cos xP n x sin x 则二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyfx的特解可设为yx k e x R 1m x cos xR 2m x sin x其中R 1m x 、R 2m x 是m 次多项式 m max{l n } 而k 按i 或i 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1例3 求微分方程yyx cos2x 的一个特解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且fx 属于e x P l x cos xP n x sin x 型其中0 2 P l xx P n x 0 与所给方程对应的齐次方程为 yy 0它的特征方程为r 210由于这里i 2i 不是特征方程的根 所以应设特解为 yaxb cos2xcxd sin2x把它代入所给方程 得3ax 3b 4c cos2x 3cx 3d 4a sin2xx cos2x 比较两端同类项的系数 得 31-=a b 0 c 0 94=d 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-= 提示 yaxb cos2xcxd sin2xya cos2x 2axb sin2xc sin2x 2cxd cos2x2cxa 2d cos2x 2ax 2bc sin2xy 2c cos2x 22cxa 2d sin2x 2a sin2x 22ax 2bc cos2x 4ax 4b 4c cos2x 4cx 4a 4d sin2xy y 3ax 3b 4c cos2x 3cx 4a 3d sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a b 0 c 0 94=d。