中考专题复习--方程与不等式

中考分类汇编—方程与不等式一、解方程与不等式（组）。

1．（2011昌平二模）解不等式组：2(21)413.2x x x x --⎧⎪⎨+>⎪⎩≤-，2.（2011朝阳二模） 解不等式组： ,并把解集在数轴上表示出来。

3.（2011西城二模）解分式方程：11322x x x -+=--．4.（2011房山二模）解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．5.（2011海淀二模）解方程：32322x x x +=+-。

6.（2011门头沟二模）解不等式组245(2),3(1)3,x x x x +≤+⎧⎨-<+⎩ 并求它的正整数解.7.（2011石景山二模）用配方法解方程：01632=--x x8.（2011西城二模）已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.9.（2011昌平一模）解不等式：512x -≤2(43)x -，并把它的解集在数轴上表示出来．1–x > 03x –(x –5)≥ 5 1 2 3 0 1-2-3- 1 2 3 0 1-2-3-0-4-3-2-10432110.（2011大兴一模） 解不等式组1(4)223(1) 5.x x x ⎧+<⎪⎨⎪-->⎩，11.（2011东城一模）求不等式组46,1(3)22x x +≤⎧⎪⎨->-⎪⎩ 的整数解．12.（2011房山一模）解方程：xx x --=--31132．13.（2011丰台一模）解不等式4-5x ≥3(2x+5),并把它的解集在数轴上表示出来．14.（2011海淀一模）解不等式组：48011.32x x x -<⎧⎪+⎨-<⎪⎩，15.（2011门头沟一模）解分式方程6133x x x +=+-．16.（2011密云一模）解不等式1315>--x x ，并将解集在数轴上表示出来．17.（2011通州一模）解方程：542332xx x +=--.二、列方程解应用题。

中考数学专题复习：方程与不等式一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元一次方程1、一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）2、一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）3、解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

4、一元一次方程有唯一的一个解。

三、一元二次方程1、一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）2、一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法3、一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根 5、一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，ac x x =⋅21 6、以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 三、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解法： 一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

3、检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。

（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。

因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。

（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。

知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2021年（广东省考卷）中考数学复习专题测试卷-----方程与不等式（满分120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．把不等式5x＜3x+6的解集在数轴上表示，正确的是（）A．B．C．D．2．下列等式的变形，正确的是（）A．若a2＝5a，则a＝5B．若a＝b，则C．若a＝b+2，则2a＝2b+2D．若x+y＝2y，则x＝y3．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（）A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3 4．若2（a+3）的值与﹣5互为相反数，则a的值为（）A．B．C．D．55．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k6．若关于x，y的方程组的解满足方程x﹣y＝13，则k的值是（）A．﹣10B．﹣8C．10D．87．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）A．3B．﹣C．D．﹣28．关于x的不等式组的整数解只有4个，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m≤﹣1B．﹣2≤m≤﹣1C．﹣2≤m＜﹣1D．﹣3＜m≤﹣2 9．某校计划购买篮球和排球共100个，其中篮球每个110元，排球每个80元．若购买篮球和排球共花费9200元，该校购买篮球和排球各多少个？设购买篮球x个，购买排球y个，根据题意列出方程组正确的是（）A．B．C．D．10．已知关于x的分式方程﹣4＝的解为正数，则k的取值范围是（）A．﹣8＜k＜0B．k＞﹣8且k≠﹣2C．k＞﹣8 且k≠2D．k＜4且k≠﹣2二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．代数式与代数式的值相等，则x＝．12．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为．13．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．14．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为．15．关于x的分式方程+2＝0的解为正数，则m的取值范围是．16．若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是．17．对于实数a，b，定义运算“a*b＝”例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝．三．解答题（共8小题，满分62分）18．（6分）解二元一次方程组：．19．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．20．（6分）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？21．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．22．（8分）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求x2+y2的值．23．（8分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？24．（10分）某玩具生产厂家A车间原来有30名工人，B车间原来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使A车间工人总数是B车间工人总数的2倍．（1）新分配到A、B车间各是多少人？（2）A车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现要制作一批玩具，若A车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务？25．（10分）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求甲种树苗数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【解答】解：5x＜3x+6，移项得：5x﹣3x＜6，合并得：2x＜6，解得：x＜3，故选：A．2．【解答】解：A．当a＝0时，根据a2＝5a不能推出a＝5，故本选项不符合题意；B．当x＝±1，根据a＝b不能推出＝，故本选项不符合题意；C．∵a＝b+2，∴乘以2得：2a＝2b+4，故本选项不符合题意；D．∵x+y＝2y，∴x+y﹣y＝2y﹣y，即x＝y，故本选项符合题意；故选：D．3．【解答】解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；D、①﹣②×3无法消元，符合题意．故选：D．4．【解答】解：∵2（a+3）的值与﹣5互为相反数，∴2（a+3）+（﹣5）＝0，∴a＝﹣，故选：C．5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．6．【解答】解：方程组的解为，把代入x﹣y＝13得：﹣＝13，解得：k＝8，故选：D．7．【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．故选：A．8．【解答】解：不等式组整理得：，解集为m＜x＜3，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，﹣1，∴﹣2≤m＜﹣1，故选：C．9．【解答】解：由题意得：．故选：D．10．【解答】解：分式方程﹣4＝，去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k，去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，解得：x＝，由分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，解得：k＞﹣8且k≠﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．【解答】解：根据题意得：＝，去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，解得：x＝7，经检验x＝7是分式方程的根．故答案为：7．12．【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．13．【解答】解：把代入二元一次方程ax+y＝3中，a+2＝3，解得a＝1．故答案是：1．14．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，据题题意：240x＝150x+12×150，故答案为：240x＝150x+12×15015．【解答】解：去分母得：m+4x﹣2＝0，解得：x＝，∵关于x的分式方程+2＝0的解是正数，∴＞0，∴m＜2，∵2x﹣1≠0，∴2×﹣1≠0，∴m≠0，∴m的取值范围是m＜2且m≠0．故答案为：m＜2且m≠0．16．【解答】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，综上所述，m的取值范围是≤m≤6．故答案为：≤m≤6．17．【解答】解：x2﹣8x+16＝0，解得：x＝4，即x1＝x2＝4，则x1*x2＝x1•x2﹣x22＝16﹣16＝0，故答案为0．三．解答题（共8小题，满分62分）18．【解答】解：①+②得：6x＝6，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝﹣1，则方程组的解为．19．【解答】解：，解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x＞﹣2，∴不等式组的解集是﹣2＜x≤2．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：．20．【解答】解：设八年级捐书人数是x人，则七年级捐书人数是（x﹣150）人，依题意有×1.5＝，解得x＝450，经检验，x＝450是原方程的解．故八年级捐书人数是450人．21．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根，∴△＝（）2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，解得：m≥0．（2）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，解得：m＝9．22．【解答】解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：，整理得：，②﹣①得：11a2＝275，解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，∴方程组的解为：或，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，当a＝5时，x+y＝4，xy＝5，∴x＝4﹣y，代入xy＝5，可得y2﹣4y+5＝0，此时△＝16﹣20＜0，方程无解，故不符合题意，当a＝﹣5时，x2+y2＝26，因此x2+y2的值为26．23．【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）2＝24200解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．24．【解答】解：（1）设新分配到A车间x人，分配到B车间y人．由题意可得，，解得，∴新分配到A车间20人，分配到B车间5人．（2）由（1）可得，分配后，A车间共有50人，∵每条生产线配置5名工人，∴分配工人前共有6条生产线，分配工人后共有10条生产线；分配前，共需要的天数为30÷6＝5（天），分配后，共需要的天数为30÷10＝3（天），∴5﹣3＝2（天），∴A车间新增工人和生产线后比原来提前2天完成任务．25．【解答】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元．依题意得：，解这个方程组得：，答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，由题意得，，解得，200≤a≤400．∴甲种树苗数量a的取值范围是200≤a≤400．（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，总费用为W，∴W＝60a+100（500﹣a）＝50000﹣40a．∵﹣40＜0，∴W值随a值的增大而减小，∵200≤a≤400，∴当a＝400时，W取最小值，最小值为50000﹣40×400＝34000元．即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．。

第1课时方程（组）与不等式（组）问题类型之一 根据图表信息列方程(组)或不等式解决问题 在具体的生活中根据图示得到方程或不等式，由此解决实际问题，根本在于得到数量之间的关系。

1.（•河北省）如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g ．【解析】由天平的平衡得到巧克力和果冻重量之间的数量关系设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克，由题意列方程组得：⎩⎨⎧=+=5023y x yx ，解方程组即可。

2.（•济南市）教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．【答案】解：设康乃馨每支x 元，水仙花每支y 元由题意得：3192218x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：54x y =⎧⎨=⎩ 第三束花的价格为353417x y +=+⨯= 答：第三束花的价格是17元．3.（•济南市）某厂工人小王某月工作的部分信息如下： 信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表： 生产甲产品件数(件)生产乙产品件数(件)所用总时间(分)10 10 350 3020850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元． 根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？【解析】通过表格当中的信息，我们可以利用列方程组来求出生产甲、乙两种产品的时间，然后利用列函数关系式表示出小王得到的总钱数，然后利用一次函数的增减性求出钱数的最大值.【答案】（1）解：设生产一件甲种产品需x 分，生产一件乙种产品需y 分，由题意得：10103503020850x y x y +=⎧⎨+=⎩即353285x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组得：1520x y =⎧⎨=⎩ ∴生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（2）解：设生产甲种产品用x 分，则生产乙种产品用(25860)x ⨯⨯-分，则生产甲种产品15x 件，生产乙种产品2586020x ⨯⨯-件．258601.5 2.81520x xw ⨯⨯-∴=⨯+⨯总额 120000.1 2.820xx -=+⨯0.116800.14x x=+-0.041680x =-+又6015x ≥，得900x ≥由一次函数的增减性，当900x =时w取得最大值，此时0.0490016801644w =-⨯+=（元）此时 甲有9006015=（件），乙有：25860900120009005552020⨯⨯--==（件）类型之二 借助方程组合或不等式（组）解决方案问题 借助二元一次方程组和一元一次不等式（组）求解方案问题是中考一种新题型，考察了同学们综合运用方程组和不等式深入的分析、比较、归纳和说理的能力.4.（·济南市）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．4.【答案】解：（1）由租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8-x)辆由题意得：4030(8)2901020(8)100x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥解得：56x ≤≤即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆； 第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆． （2）第一种租车方案的费用为520003180015400⨯+⨯=元； 第二种租车方案的费用为620002180015600⨯+⨯=元 ∴第一种租车方案更省费用．5.（·宜宾市）暑假期间,小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动.一天小明随父亲从银行换回来58张,共计200元的零钞用于顾客付款时找零.细心的小时清理了一下,发现其中面值为1元的有20张,面值为10元的有7张,剩下的均为2元和5元的钞票.你能否用所学的数学方法算出2元和5元的钞票的各有多少张吗?请写出演算过程.【答案】解：设面值为2元的有x 张，设面值为5元的有y 张，依题意得2520012071058207x y x y +=-⨯-⨯⎧⎨+=--⎩解得1615x y =⎧⎨=⎩经检验，符合题意答：面值为2元的有16张，面值为5元的有15张.6.（•重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市A 、B 、C 三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D 、E 两县。

中考复习专题-------方程（组）与不等式（组）班级姓名第1课时 一元一次方程复习一、考点分析1. 判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：⑴方程是整式方程；⑵化简后方程中只含有一个未知数；⑶经整理后方程中未知数的次数是1.2. 方程的基本变形：①方程两边都加上或减去同一个数或整式，方程的解不变； ②方程两边都乘以或除以同一个不等于零的数，方程的解不变. 二、一些固定模型中的等量关系：①数字问题：abc 表示一个三位数，则有10010abc a b c =++②行程问题：甲乙同时相向行走相遇时：甲走的路程+乙走的路程=总路程甲走的时间=乙走的时间；甲乙同时同向行走追及时：甲走的路程－乙走的路程=甲乙之间的距离 ③工程问题：各部分工作量之和 = 总工作量； ④储蓄问题：本息和=本金+利息⑤商品销售问题：商品利润=商品售价－商品成本价=商品利润率×商品成本价或商品售价=商品成本价×（1+利润率） 三、典型例题例1. 已知方程2x m －3+3x=5是一元一次方程，则m= . 例2. 已知2x =-是方程ax 2－（2a －3）x+5=0的解，求a 的值. 例3. 解方程2（x+1）－3（4x －3）=9（1－x ）.例4 解方程 1.6122030x x x x +++=例 5. 参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，•保险公司制度的报销细则如下 ）A. 2600元B. 2200元C. 2575元D. 2525元例6. 我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费. 如果某户居民今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为__________立方米.例7. 足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：⑴前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？ ⑵这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？⑶通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？例8. 某市参加省初中数学竞赛的选手平均分数为78分，其中参赛的男选手比女选手多50%，而女选手的平均分比男选手的平均分数高10%，那么女选手的平均分数为____________.四、习题精炼：1. 几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（ ） A 、28 B 、33 C 、45 D 、572. 下列各方程中，是一元一次方程的是（ ）A 、3x+2y=5B 、y 2－6y+5=0C 、x x 1331=- D 、3x －2=4x －7 3. 已知y=1是方程2－yy m 2)(31=-的解，则关于x 的方程m （x+4）=m （2x+4）的解是（ ）A 、x=1B 、x=－1C 、x=0D 、方程无解4. 某种商品的进价为1200元，标价为1750元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5﹪，则至多可打（ ）A 、6折B 、7折C 、8折D 、9折5 母亲26岁结婚，第二年生了儿子，若干年后，母亲的年龄是儿子的3倍. 此时母亲的年龄为（ ） A 、39岁 B 、42岁 C 、45岁 D 、48岁6. 欢欢的生日在8月份．在今年的8月份日历上，欢欢生日那天的上、下、左、右4个日期的和为76，那么欢欢的生日是该月的 号.7. 一家商店将某型号彩电先按原售价提高40﹪，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”. 经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款. 求每台彩电的原价格.第2课时 一元一次不等式和不等式组一、复习要点：1、了解一元一次不等式（组）的有关概念，掌握不等式的性质；2、会用数轴表示不等式（组）的解集，会求特殊解；3、熟悉一元一次不等式（组）的解法；4、能根据具体问题中的不相等关系列出一元一次不等式（组）解决实际问题. 二、精选例解【例1】（2010·宁德）解不等式2151132x x -+-≤，并把它的解集在数轴上表示出来. 【变式训练】1、解不等式2313284x x +-+≥- 考点二 一元一次不等式组的解法【例2】解不等式组3012123x x x -≤⎧⎪--⎨->⎪⎩考点三 【例3】（2010·威海）求不等式组13325122(43)xx x x +⎧->-⎪⎨⎪-≤-⎩的整数解.【变式训练】3、不等式组4231 33 2(1)31x xx x⎧-<-⎪⎨⎪-≤-⎩的整数解有 .考点四不等式（组）与方程（组）之间的联系【例4】已知方程组2315x y kx y k-=⎧⎨+=-⎩的解x与y的和为负数，求k的取值范围.【变式训练】4、若不等式组2123x ax b-<⎧⎨->⎩的解集为11x-<<，那么(1)(1)_____.a b+-=考点五不等式（组）的应用【例5】服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服，该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？三、习题精选：1、不等式50x--≤的解集在数轴上表示正确的是（）2、不等式组201xx-<⎧⎨≥⎩的解集为（）A.12x≤<B.1x≥C.2x<D.无解3、不等式组2752312x xxx-<-⎧⎪⎨++>⎪⎩的整数解是.4、关于x的方程4132x m x-+=-的解是负数，则m的取值范围是.5、一个两位数，十位数字与个位数字的和是6，且这两位数不大于42，则这样的两位数共有个.6 、一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。

不等式与不等式组一、知识要点概述1、不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式不等号的方向不变．(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．2、不等式(组)的解法(1)解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．(2)解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．(3)设a＜b，那么：①不等式组的解集是x＞b(大大取大)；②不等式组的解集是x＜a(小小取小)；③不等式组的解集是a＜x＜b(大小、小大中间找)；④不等式组的解集是空集(大大、小小题无解)．3、不等式(组)的应用会列一元一次不等式(组)解决实际问题，其步骤是：(1)找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．二、典例剖析例1、(1)已知不等式3x－a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是________．(2)已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________．分析：对于(1)，由题意知不等式的解在x＜4的范围内；对于(2)，从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分．解：(1)由题意得，∴9≤a＜12．(2)由(1)得x＞a，由(2)得x≤3，因不等式组无解，∴a≤3．说明：确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定．例2、解下列关于x的不等式(组)．(1)|x－2|≤2x－10；(2)(2mx＋3)－n＜3x．分析：对于(1)确定“零界点”x=2(令x－2=0得x=2)分x≥2和x＜2，去掉绝对值后求出不等式的解集；对于(2)，化为ax＜b的形式，再就a的正负性讨论．说明：涉及未知系数或绝对值式子的题目，均可用零点分段讨论法解答．例3、已知3a＋2b－6=ac＋4b－8=0且a≥b＞0求c的取值范围．分析：消去a，b得到关于c的不等式组，解不等式组得c的取值范围．分析：已知不等式组的解集，求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应用，处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照已知“对号入座”，应取有针对性的方法．例6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方法：甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本．(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式；(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种更省钱的购买方案．分析：(2)中比较哪种优惠办法更省钱与购买练习本的数量有关，因此应分类讨论；(3)中因为可同时用两种优惠办法购买，所以需要重新建立关于毛笔枝数的关系式求解．解：(1)依题意，可得y甲=25×10＋5(x－10)=5x＋200(x≥10)；y乙=(25×10＋5x)×90%=4.5x＋225(x≥10)(2)由(1)有y甲－y乙=0.5x－25当y甲－y乙=0时，解得x=50；当y甲－y乙＞0时，解得x＞50；当y甲－y乙＜0时，解得x＜50．所以，当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款，当购买本数在10～50之间时，选择优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙更省钱．(3)①因为60＞50，由(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买．若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本需付款(25×10＋5×60)×90%=495(元)②若用优惠办法乙购买m支毛笔，则须用优惠办法甲购买(10－m)支毛笔，用优惠办法乙购买60－(10－m)=m＋50本书法练习本，设付款总金额为P，则：P=25(10－m)＋[25m＋5(m＋50)]×90%=2m＋475(0≤m≤10)所以，当m=0即用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本时，P取得最小值为：2×0＋475=475(元)故选用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．例7、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B 两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．(1)该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请你设计出来．(2)设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种生产的件数为x，试写出y与x之间的关系式，并利用关系式说明(1)中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？分析：若设安排生产A种产品x件，根据题意可建立关于x的不等式组，解出不等式组得x 的取值范围．由x为整数在取值范围内确定x的取值，从而得出生产方案，然后由成本的已知条件求出x与y之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本．解：(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得：解得：34≤x≤36因为x为整数，所以x只能取34或35或36．所以该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案：第一种：生产A种产品34件，B种产品46件；第二种：生产A种产品35件，B种产品45件；第三种：生产A种产品36件，B种产品44件．(2)设生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得：y=120x＋200(80－x)即y=－80x＋16000(x取34或35或36)由式子可知，当x取最大值36时，y取最小值为－80×36＋16000=13120元，即第三种方案；生产A种产品36件，B种产品44件，总成本最低，最低生产成本是13120元．说明：利用列不等式组然后求出不等式组的集，在其解集内求出符合条件(一般是整数)的值，是解方案设计型应用题的常用方法．方程与方程组一、知识要点概述1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质．2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况．(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1．(2)最简方程ax=b的解有以下三种情况：①当a≠0时，方程有唯一解；②当a=0，b≠0时，方程无解．③当a=0，b=0时，方程有无穷多解．3、一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0(a≠0)其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．4、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的求根公式是：注意：求根公式成立的条件为：①a≠0；②b2－4ac≥0．5、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．当△=0时，方程有两个相等的实数根，即；当△＜0时，方程没有实根，反之成立．6、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则7、以两数α、β为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(α＋β)x＋αβ=0．8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法．9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”．①若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解．10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解．11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究．二、典例剖析点评：灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧．(1)若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；(3)恰当用整体思想．例2、解下列关于x的方程．(1)4x＋b=ax－8(a≠4)(2)mx－1=nx(3)分析：把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论．例4、已知m是整数，方程组有整数解，求m的值．分析：先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数．解：由原方程组解得，若y有整数解，则2m＋9=±1或±2或±17或±34，经检验当2m＋9=±1或±17时，m为整数且x也为整数，得m=4或－4或－5或－13．例5、已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根．(1)求m的取值范围；例7、解下列方程(2)3x2＋x－7=0分析：对于(1)首先应回避复杂的小数运算，注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质．对于(2)此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式．解：(1)原方程化简得方程两边都乘以12(即去分母)得3(35x－5)=4(5－x)－6(25x＋5)去括号得：105x－15=20－4x－150x－30移项及合并同类项得：259x=5例8、如果关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实根，试说明关于x的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．分析：由一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，从而求出k的取值范围，再由k的取值范围来说明(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．解：∵关于kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，解得k＞4当k=5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元一次方程，－14x＋5=0，此时方程的根为．当k≠5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元二次方程∴△=[－2(k＋2)]2－4(k－5)·k=4(9k＋4)∵k＞4且k≠5，∴△=4(9k＋4)＞0∴此时方程必有两不等实数根，综上可知方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．点评：(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别．方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”，则表示此时方程一定为一元二次方程．点评：构造一元二次方程是解题的常用技巧，构造的主要方法有：(1)当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程；(2)对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．分式方程一、知识要点概述1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程．2、解分式方程的基本思想方法是：3、解分式方程必须验根．二、典型例题剖析例1、解方程．分析：根据解分式方程的一般步骤来解此题．解：方程两边同乘以(x＋3)(x－2)得：10＋2(x－2)=(x＋3)(x－2)化简，整理得：x2－x－12=0解之得x1=－3或x2=4经检验可知：x1=－3是原方程的增根，x2=4是原方程的根．∴原方程的根是x=4．分析：用换元法解这些分式方程．解：(1)设x2－x=y，则原方程变为解这个方程得y1=－2，y2=6，当y1=－2时，x2－x=－2，此方程无解；当y2=6时，x2－x=6，∴x1=－2，x2=3．经检验可知：x1=－2，x2=3都是原方程的根．∴原方程的解为x1=－2，x2=3．例3、当m为何值时，关于x的方程无实根？分析：先将分式方程化为整式方程，如果整式方程有实根，那么这些根均是原方程的增根，这样x=0或x=1是所得整式方程的根，如果整式方程无实根，那么原方程也无实根．解：原方程去分母，整理得：x2－x＋2－m=0①(1)若方程①有实根，根据题意知，方程①的根为x=0或x=1．把x=0或x=1代入方程①得m=2．而x=0或x=1是原方程的增根．∴当m=2时原方程无实根．(2)若方程(1)无实根，则△=(－1)2－4(2－m)＜0解之得∴当时，原方程无实根．综合之，当m=2或时，原方程无实根．例4、若方程有增根，试求m的值．分析：分式方程将会产生增根，即最简公分母x2－4=0，故方程产生增根有两种可能：x1=2，x2=－2．由增根的定义知：x1=2，x2=－2是原分式方程去分母化成整式方程的根，由根的定义即可求出m的值．解：将原方程去分母得：2(x＋2)＋mx=3(x－2)整理得：(m－1)x=－10 (1)∵原方程有增根，∴x2－4=0∴x1=2，x2=－2．将x1=2代入(1)得2(m－1)=－10∴m=－4将x2=－2代入(1)得－2(m－1)=－10∴m=6所以m的值为－4或6．点评：(1)增根的求法：令最简公分母为0；(2)求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．例5、已知a2－a－1=0且求x的值．分析：为求x的值，须将x与a2分离，联想到分式的基本性质，从而原等式含，这样应从条件出发构造倒数关系．解：。

2023年中考数学解答题专项复习：方程与不等式1．（2021•镇江）（1）解方程：﹣＝0；（2）解不等式组：．2．（2021•汉川市模拟）“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买1棵柏树比1棵杉树多50元，且花费900元购买杉树与花费1200元购买柏树的数量相同．（1）求柏树和杉树的单价各是多少元；（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍．为完成这次绿化任务，村里筹措了资金15000元，问该村完成这次绿化任务有几种方案？3．（2021•宁夏）学校计划购买甲、乙两种品牌的羽毛球拍若干副．已知购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元．（1）甲、乙两种品牌球拍的单价分别是多少元？（2）学校准备购买这两种品牌球拍共100副，要求乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，那么购买多少副甲种品牌球拍最省钱？4．（2021•北碚区校级模拟）第35届西部汽车博览会于2021年5月15日﹣16日在重庆江北区金源广场顺利举行．某品牌汽车有A、B两种车型，若2辆A种车型和3辆B种车型的生产成本之和为65万元，且4辆B种车型比5辆A种车型的生产成本多10万元．（1）求每辆A、B两种车型的生产成本各为多少万元？（2）本次车展该品牌出售A种车型的数量是B种车型的2倍，生产成本共350万元；在销售过程中，A 种车型的售价为生产成本提高a%后降价1.5万元，B种车型的售价为生产成本提高5a%后打a折；其销售额为458万元，求a的值．5．（2021•济南）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？第1页共13页。