高中数学竞赛初赛试题

2．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是 。

3．将60分成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是 。

4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。

5．右面残缺算式中已知三个“4”，那么补全后它的乘积是 。

6．有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为35，B 的各位数字之和为26，两数相加时进位三次，那么A+B 的各位数字之和是 。

7．苹果和梨各有若干只，如果5只苹果和3只梨装一袋，还多4只苹果，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只，那么苹果和梨共有______只。

8．甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是______分。

9．在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是 。

10．高中学生的人数是初中学生的56，高中毕业生的人数是初中毕业生的1217，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，那么高、初中毕业生共有 人。

11．如图，一个长方形的纸盒内，放着九个正方形的纸片，其中正方形A 和B 的边长分别为4和7，那么长方形(纸盒)的面积是 。

12．甲、乙两地相距100千米，张先骑摩托车从甲出发，1小时后李驾驶汽车从甲出发，两人同时到达乙地。

摩托车开始速度是50千米／d,时，中途减速为40千米／小时。

汽车速度是80千米／小时。

汽车曾在途中停驶10分钟，那么张驾驶的摩托车减速时在他出发后的_________小时。

。

3．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是_________。

4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。

5．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，…，⑩＝9×10×11，…如果，那么方框代表的数是________。

2021年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（word版）2021年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（5月5日8:00至10:00）一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程x2?2mx?m2?1?0的根大于?2，且小于4，则实数m的范围是． 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为．3．设实数x，y满足x2?4x?y?3?0，则x2?y2的最大值与最小值之差是．4．若存在正实数a，b满足(a?bi)n?(a?bi)n（i是虚数单位，n?N*），则n的最小值是．5．若三角形ABC的三边AB，BC，AC成等差数列，则?A的取值范围是．6．若数列?an?满足a4?9，(an?1?an?1)(an?1?3an)?0（n?N*），则满足条件的a1的所有可能值之积是．607．已知f(x)?x?94x?2021，则?n?302?f(n)?f(n)?? ．y?8．设x，y??0,2??，且满足2sinxcossixn?1coys??，则x?y的最大值2为．9．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是面ABC上的一个动点，满足P到面DAB、 DBC、DCA的距离成等差数列，则P到面DCA距离的最大值是．10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是．二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分． 11．设k为实数，0?k?6，椭圆E1:(x?k)92?y?1与椭圆E2:2x22?y?1交于点A和9C，E1的左顶点为B，E2的右顶点为D（如图），若四边形ABCD是正方形，求实数k．12．如图，梯形ABCD中，B、D关于对角线AC对称的点分别是B'、D'，A、C关于对角线BD对称的点分别是A'、C'．证明：四边形A'B'C'D'是梯形．13．设实数a，b满足0?a?14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．12?b?1．证明：2(b?a)?cos?a?cos?b．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

全国高中数学联赛初赛试卷含答案
全国高中数学联赛初赛试卷时间：120分钟满分：150分姓名：一、填空题（本题共10小题，每小题107分，满分70分.要求直接将
答案写在横线上.）函数的值域为____.已知，其中，是虚数单位，则的值为____.圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为_____.设函数，则不等式的解集为_____.已知等差数列的前12项的和为60，则的最小值为_____.已知
正四面体内切球的半径是1，则该四面体的体积为_____.在中，，且,设是平面上的一点，则的最小值为_____.设，其中，表示与的最大公约数，则的值为=_____.将，这9个数随即填入33的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不相同，则使每行、每列所
填的数之和都是奇数的概率为____.在中，能写成的形式，且不能被3整除的数有______个.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于两点，与轴交于点，设，求证：为定值.已知是公差为的
等差数列，且，求实数的值；若正整数满足，求数组和相应的通项公式.如图，在圆内接四边形中，对角线与交于点，与的内心分别为和，直线分
别与交于点，求证：.从这2050个数中任取2018个数组成集合，把中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，是使得有60
0个红数及600个蓝数满足下列两个条件：①这600个红数的和等于这600个蓝数的和；②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平
方和.参考答案：（1）；（2）5；（3）；（4）；（5）60；（6）；（7）；（8）520；（9）；（10）；（1
1）；（12）①，；②，；。

2022年全国高中数学联赛重庆市初赛选拔试题考试时间：80分钟一、填空题（每题8分，一共8题，一共64分）3.已知x ，y ，z 均为正实数，且满足2,5lg lg lg lg lg lg ==xy zx yz z y x z y x z y x ，则xyz=__________．4.将一枚骰子连续投掷五次，则事件“五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数”的概率为__________．5.在半径为1的实心球中挖掉一个体积最大的圆锥，再将该圆锥重新融成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为__________．6.若存在实数a 及正整数n 使得f(n)=cos2x-asinx 在()πn 0，内恰有2022个零点，则满足条件的正整数n 的值有__________个．的直线分别交圆O 1，O 2于C ，D 两点（C ，D 异于点A ），且AD AC 2=，则直线CD 的斜率为__________．8.已知a 1，()*212Ν∈+=+n a a n n λ,n 是正整数，若数列{a n }有上界，即存在常数M ，使得M a n ≤对*N n ∈恒成立，则实数y 的最大值为__________．二、解答题（第9题16分，第10，11题各20分）9.已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，a =2，且求()∑=1001][i i if ．其中[x ]代表不超过x 的最大整数．11设F 是双曲线:22:1x y Γ-=的左焦点，经过F 的直线与Γ相交于M ，N 两点． (1)若M ，N 都在双曲线的左支上，求OMN ∆面积的最小值；(2)是否存在x 轴上一点P ，使得PM PN ⋅ 为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。