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For personal use only in study and research; not for commercial use平方差公式1、利用平方差公式计算：（1）(m+2) (m-2)(2)(1+3a) (1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算（1）(5+6x)(5-6x)(2)(x-2y)(x+2y)(3)(-m+n)(-m-n)3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-41x+y) (2)(ab+8)(ab-8)(3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算(1)(a+2)(a-2)(2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)5、利用平方差公式计算（1）803×797（2）398×4027．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b ）C ．（13a+b ）（b －13a ）D ．（a 2－b ）（b 2+a ） 8．下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－510．（－2x+y ）（－2x －y ）=______．11．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4．12．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2．13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．14．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．完全平方公式1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2 (2)(-2m+5n)2 (3)（2a+5b)2 (4)(4p-2q)22利用完全平方公式计算：（1）(21x-32y 2)2 (2)(1.2m-3n)2 (3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-32y)2 3 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2(a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简，再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9。
第一章因式分解 （第1.3节第1课时）【学习目标】1、知识与技能：运用平方差公式因式分解。
2、过程与方法：经过逆用乘法公式因式分解的过程，培养逆向思维能力。
3、情感态度、价值观：通过独立思考，合作交流，能较快的运用平方差公式因式分解，体裣学习的成功，掌握平方差公式的特点及运用此公式因式分解【使用说明与学法指导】通过预习教材P12—P14的内容，完成下列各题。
【自学导航】1、写出平方差公式：------------------2、把平方差公式从右到左使用，可将多项式24a -29b 因式分解为----------------------3、因式分解中哪一种方法叫公式法？举例说明。
4、你能把下列式子因式分解吗？试试看！【合作探究】教学点1 用平方差公式因式分解例1 把 1）4y 2-9 因式分解。
例2把(2)(x+p)2－p 2 因式分解例3把 ()()224c b a c b a +--++ 因式分解学生展示：运用公式法因式分解： （1）2249n m +- （2）x 2-14（3） 86273y x - （4）881y x - （5）53287mn n m- (6)()()m m y x y x +-++2 教学点2 平方差公式的识别(1)22x y -- (2)22a b -+ (3)()2229m n x --(4)22x y x --例4下列多项式是否能用平方差公式因式分解（1）x 2 + y 2 （2）x 2 － y 2（3）－x 2 +y 2 （4）-x 2 — y 2， ， （5）a 2-(-b) 2学生展示：2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？说说你的理由。
（1）b 2 + a 2 （2）m 2 － n 2（3）－b 2 +a 2 （4）-m 2 — n 2【能力提升】1.（1）分解因式x 4-y 4 （2）a 3b-ab通过这几题，你能归纳因式分解的步骤吗？2.计算:2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----3. 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，试证明()2222224b a c b a --+的值一定是负数。
（1）(m+2) (m-2)(2)(1+3a) (1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算（1）(5+6x) (5-6x)(2)(x-2y) (x+2y)(3)(-m+n)(-m-n)3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-41x+y)(2)(ab+8)(ab-8)(3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算(1)(a+2)(a-2)(2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)（1）803×797（2）398×4027．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a）D．（a2－b）（b2+a）8．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）（x+y）=－（x－y（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个9．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－510．（－2x+y）（－2x－y）=______．11．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．12．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．14．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．完全平方公式1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2 (2)(-2m+5n)2(3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)2 2利用完全平方公式计算：（1）(21x-32y 2)2 (2)(1.2m-3n)2(3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-32y)23 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2（3）(a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简，再求值：(x+y)2 —— 4xy,其中x=12,y=9。
提公因式与平方差公式在同一个题中显现时，要先考虑提公因式法，再考虑平方差公式；同时每个因式都要分解完全．
布置作业
课本P45习题12.5第1题中(3)(4)(5)，第3题3．通过总结能够让学生对因式分解有更进一步的明白得.
【知识网络】
运用平方差公式分解因式
框架图式总结，更
容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
A．新课导入□B．情形导入□
导入时教师要提醒学生假如多项式是二项式，通常考虑应
用平方差公式；假如多项式中有公因式可提，应先提取公
因式，而且还要“提”得完全．
②[讲授成效反思]
A．重点□B．难点□C．易错点
运用平方差公式因式分解，第一应注意每个公式的特点．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．
③[师生互动反思]
师生出示幻灯片后要放手让学生独立摸索求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.。
专题9 因式分解 学生版引例：（1）224x x -= （2）223ab a b -=（3）322x x y -= （4）2ax ax -=一、因式分解定义：二、因式分解的方法：（一）提公因式法温故知新1. 下列变形错误的是（ ）A 2x(x 2+1)=2x 3+2xB x 2-x=xC (1-y)(1+y)=1-y 2D (x+2)2= x 2+4x+42.把下列多项式写成乘积的形式:(1)x 2+2x= (2)x 2-9= (3)m （a+b+c ）=3．在下列各式右边括号前添上适当的符号，使左式与右式相等：① a-b=____(b-a) ② -a+b=____(b-a)自主学习、合作探究 1．m(a+b+c)=ma+mb+mc 是整式乘法，反过来ma+mb+mc= m （a+b+c ）是多项式变为整式的积形式.又如： ax-ay+2a= a(x-y+2),是多项式变为整式的积形式，这种变形就叫做因式分解因式分解：把一个多项式化为几个整式的__________的形式叫做____________，也叫做把这 个多项式__________.因式分解与整式乘法是互逆变形的关系：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法.2．下列各多项式有没有共同的因式？如果有请找出并填在横线上：(1）a c+ b c ： ．（2） 3 x +x ： .(3) 3x+6： ． (4）30 m 3 b + 5m 5n b ： ．（5）—12a 3b 4 – 2a 2 b 3 + 6a 2b ： .（6）7 ( a – 3 ) – b ( a – 3)： ．3．确定多项式的公因式？找公因式有三定：(1)定系数；取各项系数的 (2)定字母；字母取各项的 (3)定指数.取各字母的指数 .用提公因式法分解因式的基本步骤：（1） ；（2） ．例1：把下列各式进行因式分解:（1）3a 2+12a (2) -4x 2y-16xy+8x 2解：(1) 3a 2+12a =3 a·a+ 3a·4=3 a （ ）(2) -4x 2y-16xy+8x 2=-4x·xy -4x·4y + 4x ·2(注：首项是负时要提负号)=-4x （ ）例2. 把下列各式进行因式分解（1）236x x - （2）233222251510x y x y x y -+- （3）332462a b a b ab -+-（4）222101520a bc bc ab c -+- （5）212124927m m m m ab a b ++++-+例3. 把下列各式进行因式分解（1）()()()32361824x y y x y x --+--- （2）()()()433m n m m n n n m -+-+-（3）()()222222ax by ay bx c y c x ++-++ （4）()()()()347811287a b a b a b b a --+--检测1.下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法？哪些是因式分解？哪些两者都不是？（1）ax+bx+cx+m=x(a+b+c)+m （2）mx-2m=m(x-2)（3）2a(b+c)=2ab+2ac （4）(x-3)（x+3）=（x+3）(x-3)(5) ()()2211x y x y x y --=+-- (6)(x-2)(x+2)=x2-4 2. 下列变形中，属于因式分解的是( )A a(b+c)=ab+acB x 3+2x-3=x 2(x+2)-3C a 2-b 2=(a+b)(a-b)D 2x 2+x=2x3. 下列因式分解正确的是( )A ．(a －4)(a ＋4)＝a 2－16B ．y 2－16＋y ＝y (y －1)－16C ．x 2－4＋x ＝(x ＋2)(x －2)＋xD ．4a 2b ＋5ab ＋3a ＝a (4ab ＋5b ＋3)4. 多项式 6a 3b 2－3ab 2的公因式是( )A 3a 2bB 3ab 2C 3a 3b 2D 3a 2b 25. 多项式3x 3-6xy+x 因式分解正确的是（ ）A 3(x 3-2xy)+xB 3x( x 2-2y)+xC x( 3x 2-6y)D x( 3x 2-6y+1)6. .利用因式分解计算26×3.14+99×3.14-25×3.14的结果是( )A 314B 31.4C 316D 31.67.多项式27x 3+9x 2y 的公因式是 多项式4x 2y 3z-36x 3y 2z 的公因式是8．将多项式-5a2+3ab 提出公因式-a 后，另一个因式为__________________9.分解因. (1)4a 3+16a 2+20a (2) 6（x-2）+x （2-x ）10.先分解因式,再求值: 2a （b+c ）-3（b+c ），其中a=3 b= -2 c= -1拓展训练1.多项式8x 2n -4x n 的公因式是( )A 4B 4xC x n D4x n2.多项式-3a 3m-6a 2m +12am 的公因式是3.若︱a+2︱+(b-1)2=0 ，求22ab b a +的值.（5）()()2222x y x y +-- （6）()()22169121a b a b +--例2. 把下列各式进行因式分解（1）()()22am n b n m -+- （2）4416a b - （3）5a a -（4）()22323m x y mn -- （5）22a b ac bc -++ （6）()()2234x x x +++-练习：（1）()2221a a +- （2）()()34a b a b +-+ （3）()()22192a a -++-检测1．判断下列各式能不能用平方差公式分解(能的打√不能的打×)(1) x 2+64 ( ) (2) -x 2-4y 2 ( ) (3) 9m 2-25 ( )(4)-9x 2-(-4y 2) ( ) (5) -9x 2+(-4y 2) ( ) (6) -1/4m 2+1 ( )2.下列多项式中，能用平方差分解因式的是( )A x 2 –x 2yB x 2 +xy 2C x 2 –y 2D x 2 +y 23.下列多项式不能直接运用平方差公式分解因式的是( )A x 2+1B 25m 2-9C 36x 2-81y 2D (x+y)2-14. 下列运用平方差公式分解因式中，正确的是( )A ．x 2＋y 2＝(x ＋y )(x －y )B ．x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )C ．－x 2＋y 2＝(－x ＋y )(－x －y )D ．－x 2－y 2＝－(x ＋y )(x －y )5．把多项式分解因式：(1) 3x 3y –12xy (2) 424255b m a m (3)（x+y ）2－49（x-y ）26. 运用简便方法计算：(1)25×1012－992×25= (2) 20072-497. 若n 为整数，则（2n ＋1)2－(2n －1)2能被8整除吗拓展训练1. 把下列各式分解因式结果为( -x+2y ）（x+2y ）的多项式是（ ）A ．x 2-4yB ．x 2+4y 2C ．-x 2+4y 2D ．-x 2-4y 22．把多项式分解因式(1)(x+y+z)2 - (x-y-z)2 (2)x m+2-x m2.运用完全平方公式因式分解温故知新1.判断下列各式是因式分解的有( )A (x+2)(x-2)=x 2-4B x 2-4 =(x+2)(x-2)C x 2-4 +3x= (x+2)(x-2)+3xD -x 2+y2 =(x+y)(x-y)2．将下列式子分解因式（1）(m+n)2-9； （2）16-(2a+3b)2；（3）x 2+4x+4.自主学习、合作探究问题：x 2+4x+4＝(x+2)2是分解因式吗？为什么？有什么样的结构特征呢？1．探究：填空： 根据左面式子填空：（1）(x+3)2 = ； （1）x 2+6x+9= ；（2）(4x-y ）2= ； （2）16x 2-8x+y 2= ；（3）(1-2x)2= ； （3）1-4x+4x 2= ；（4）(3m+2n)2= ． （4）9m 2+12mn+4n 2= .观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？a2±2ab+b2=(a±b)2即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于.完全平方式的特点：1．有三部分组成；2．其中有两部分分别是，且这两部分．另一部分是，．即2.填空：将下列式子补成完全平方式(1) x2+( )+9=x2+2( )( )+( )2 (2) (a+b)2+( )+4==(a+b)2+2( )( )+( )2 (3)( )2-6xy+y2=( )2-2( )( )+( ) 2 (4) 9x2-30xy+( )=( )2+2( )( )+( )2（4）()222224x yx y +- （5）()()2222221x x x x -+-+（6）()()2222669x y x y x y +-++-检测1.下列多项式中，是完全平方式的是( )A 、x 2 -6x-9B 、a 2 -16a+3C 、x 2 -2xy+4yD 、4a 2 -4a-12.下列多项式分解因式正确的是( )A 、1+4x 2 =(1+2x)2B 、6a-9-a 2 = -(a-3)2C 、1+4m-4m 2 =(1-2m)2D 、x 2 +xy+y 2 =(x+y)23. .把x 4 -2x 2 y 2 +y 4 分解因式，结果是（ ）A 、 (x-y)4B (x 2 –y 2 )4C 、 (x+y) 2 (x-y)2D 、 (x+y)2 (x-y)4.若多项式x 2+kx+16是完全平方式，则k=( )A 4B -8C 8D ±85. 填空：16x 2－8x+_______=（4x －1）26．用简便方法计算：20122-4024×2011+20112=7. 分解因式：(1)a 2+10a+25 (2) 225105my mxy mx +-(3)2222)2()(xy y x -+ (4)234242x x x ++8.已知 x=-19, y=12, 求代数式4x 2 +12xy+9y 29.若x+y=2，则12x 2+xy+12y 2的值是______． 10.若x 2+y 2-4x+6y+13=0，求xy 的值.。
（1）(m+2) (m-2)(2)(1+3a) (1-3a)(3) (x+5y)(x-5y)(4)(y+3z) (y-3z)2、利用平方差公式计算（1）(5+6x) (5-6x)(2)(x-2y) (x+2y)(3)(-m+n)(-m-n)3利用平方差公式计算（1）(1)(-41x-y)(-41x+y)(2)(ab+8)(ab-8)(3)(m+n)(m-n)+3n 24、利用平方差公式计算(1)(a+2)(a-2)(2)(3a+2b)(3a-2b)(3)(-x+1)(-x-1)(4)(-4k+3)(-4k-3)（1）803×797（2）398×4027．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（13a+b）（b－13a）D．（a2－b）（b2+a）8．下列计算中，错误的有（）①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）（x+y）=－（x－y（x+y）=－x2－y2．A．1个B．2个C．3个D．4个9．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）A．5 B．6 C．－6 D．－510．（－2x+y）（－2x－y）=______．11．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4．12．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．14．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．完全平方公式1利用完全平方公式计算：（1）（21x+32y)2 (2)(-2m+5n)2(3)（2a+5b)2(4)(4p-2q)2 2利用完全平方公式计算：（1）(21x-32y 2)2 (2)(1.2m-3n)2(3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-32y)23 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2（3）(a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2(5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2—（mn-1)(mn+1)4先化简，再求值：(x+y)2 —— 4xy,其中x=12,y=9。
平方差公式、完全平方公式应用例说例1 计算（1）)1)(1(+-ab ab ；（2）)32)(32(---x x ；（3）1022；（4）992. 解：（1）)1)(1(+-ab ab =11)(222-=-b a ab ；（2）)32)(32(---x x = )23)(23(x x --+-=22249)2()3(x x -=--；（3）1022= 2)2100(+=1040444001000022100210022=++=+⨯⨯+；（4）992=2)1100(-=98011200100001110021002=+-=+⨯⨯-.例2 计算 （1）)1)(1(-+++b a b a ；（2）2)2(p n m +-.解：（1）)1)(1(-+++b a b a =121)(]1)][(1)[(222-++=-+=-+++b ab a b a b a b a ；（2）2)2(p n m +-=222)2(2)2(])2[(p p n m n m p n m +⋅-⋅+-=+- =2224244p np mp n mn m +-++-.例3 当2)2()23)(23(1,1b a b a b a b a ---+=-=时，求的值.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a 、b 的值代入计算出结果.解：)44(49)2()23)(23(22222b ab a b a b a b a b a +---=---+=2222228484449b ab a b ab a b a -+=-+--；当时，1,1=-=b a222848)2()23)(23(b ab a b a b a b a -+=---+=8（-1）81)1(42-⨯-+=-4. 例4 求证：当n 为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(--+n n 是8的倍数.证明:22)12()12(--+n n =)144(14422+--++n n n n=n n n n n 814414422=-+-++，又∵n 为整数,∴8n 也为整数且是8的倍数.例5 观察下列等式：10122=-，31222=-，52322=-，73422=-，……请用含自然数n 的等式表示这种规律为：________________.例6已知2294y Mxy x +-是一个完全平方式,求M 的值.解：根据2)32(y x ±=229124y xy x +±得: 12±=-M .∴12±=M答:M 的值是±12.例7 计算 1584221)211)(211)(211)(211(+++++. 【点拨】若按常规思路从左到右逐个相乘，比较麻烦；如果乘或除以一个数或一个整式，将本来复杂的问题转化成我们已知的、熟悉的，从而找到问题的捷径.解:1584221)211)(211)(211)(211(+++++ =158422121)211)(211)(211)(211)(211(+÷++++- =1584222121)211)(211)(211)(211(+÷+++- =158442121)211)(211)(211(+÷++- =15882121)211)(211(+÷+- =15162121)211(+÷-=2-15152121+=2. 第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (2x+12)(2x-12) 6. (a+2b)(a-2b)7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)第二种情况：运用公式使计算简便1、 1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、（100-13）×（99-23）7、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的 ，. 。
