概率论与数理统计7.4

2.和（并）：
3.互斥（互不相容）：对立：
事件的运算：
伯努利大数定律：当试验次数n足够大时，事件发生的频率就约等于事件发生的概率。

全概率公式、贝叶斯公式
定义：
引入随机变量后，可用随机变量的
等式或不等式来表达随机事件；
随机变量的函数一般也是随机变量
0-1分布是n=1时的二项分布
定义：性质：
定义：
F(x)是X的分布函数，X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简称概率密度
性质：
均匀分布：
标准正态分布N(0,1)
标准正态分布的分位数
举例：
期望反映了随机变量取值的平均，又称均值。

—习题解答●7.1— 7.1 假设总体X服从参数为??的泊松分布，nXXX21??是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值，2S是样本方差，对于任意实数??，证明12SXE是??的无偏估计量．熟知，对于任何总体，样本均值X是总体数学期望的无偏估计量，样本方差2S是总体方差的无偏估计量；对于泊松分布的总体，数学期望和方差都等于分布参数??，因此．11122SXSXEEE 7.2 设总体X服从参数为??的泊松分布；21nXXX??是来自X的简单随机样本，求2??的无偏估计量．熟知XXDE．设X为样本均值，则．，2222221nnXnXnXXXEEDE 由此可见2??的无偏估计量为．XnX12?? 7.3 设21mXXX??是来自正态总体2NX的简单随机样本，统计量1121niiiXXkD 是总体方差2??的无偏估计量，求常数k．由条件知：222XE．由于统计量D是总体方差2??的无偏估计量，则．22112221112211121122222 nkkXXXXkXXkDniniiiiiniiiEEE 由此可见121nk．7.4 总体2??aNX2??bNY；基于分别来自总体X和Y的两个相互独立的简单随机样本21mXXX??和21nYYY??，得样本均值X和Y及样本方差2xS和2yS；证明总体X和Y的联合样本方差1121222yxxySnSmnmS 是总体X和Y的共同方差2??的无偏估计量，并且计算其方差．熟知，对于任意总体，样本方差2xS和2yS都是2??的无偏估计量，可见22221121yxxySnSmnmSE，—习题解答●7.2—即联合样本方差2xyS是2??的无偏估计量．由正态总体的抽样分布，知2222 xySnm?? 服从自由度为2 nm＝??的2??分布；而自由度为??的2??变量的方差等于2??：事实上，设??UUU21??是独立标准正态分布随机变量，则服从自由度为??的2??分布的随机变量X可以表示为：22221??UUUX．由于10NUi，可见21102iUUUiiiEDE；．33de23e21de2122223244222 iuuuiUuuuuuUEE ??????．由此可见21UXEE．因此．22222222422222222 nmnmnmnmSnmnmSxyxy????????????DDD2 7.5 设总体X 服从参数为pm的二项分布，其中m已知；21nXXX??是来自X的简单随机样本，1 求未知参数p的最大似然估计量；2 证明所得估计量是无偏的．1 总体X的概率函数可以表示为．，若不然；，若；0 10 1Cmxpppxpxmxxm?? 参数p的似然函数为XnmnXnniXmniipppXppLi1C11；，其中X为样本均值．对数似然方程为0111ln1lnlnClnln1pXnmnpXnppLpXnm npXnpLniXmi；其解mXp即未知参数p的最大似然估计量．2 由于总体X的数学期望为mp，而对于任何总体X，样本均值X是其数学期望的无偏估计量，可见X 是mp的无偏估计量，从而mXp是未知参数p的无偏估计量．—习题解答●7.3—7.6 设总体X服从区间0??上的均匀分布，21nXXX??是来自X的简单随机样本，1 求未知参数??的最大似然估计量；2 假如所得估计量是有偏估计量，将其修正为无偏估计量． 1 总体X的概率密度函数为．，若不然；，若；001xxf 未知参数??的似然函数为，若不然．；，若；0 0111nnniiXXXfL?? 易见，似然函数??L无驻点．需要直接求??L的最大值点，记nnXXXXmax21；由于nX，且??L随??减小而增大，所以当??nX 时??L达到最大值，故??nX就是未知参数??的最大似然估计量．2 现在验证估计量??nX的无偏性．为此，首先求??nX的概率分布．总体X的分布函数为．，若，，若，若 1 0 0 0 xxxxxF 由于nXXX21??独立同分布，可见??nX的分布函数为，11nnnnnxFxXxXxXxXxXxFPPPP???? 其概率密度为．，若不然，，若0 0dd11xnxxFxFnxFxxfnnnnn 因此，有1dd01??nnxnxxxxxfXnnnnE．这样，??nX是??的有偏估计量．容易验证，??的无偏估计量为1nXnn??．7.7 已知随机变量X的概率密度为若不然．若0 101xxxf 试根据来自X的简单随机样本21nXXX??，求未知参数??的最大似然估计量．—习题解答●7.4—未知参数??的似然函数和对数似然函数为．；；10ln1lnln21n1112111niinnniiXXXXnLXXXXfL??????????由此，得似然方程n1 0lnlniiXnL；其惟一解是niinXnXXn11lnln??????．于是，就是未知参数??的最大似然估计量．7.8 设ugt??是严格单调函数且有惟一反函数．证明，若是未知参数??的最大似然估计量，则gtgT????是的最大似然估计量．设??L是未知参数??的似然函数．记th是??gt??的惟一反函数，则??LthL??．设D是函数??gt??的值域，由“是未知参数??的最大似然估计量”，可见maxmax??thLLLThLDt，即gT??是??gt??的最大似然估计量．7.9 设21nXXX??是来自总体X的简单随机样本，总体X的概率密度为：；，，，若若xxxfx0e 试求未知参数??的最大似然估计量1和矩估计量2． 1 参数??的似然函数为．nXniXniiniiiXfL??1ee11 由此可见，其似然方程无解，需要直接求其似然函数，，，若不然若0 exp211nniiXXXnXL?? 的最大值．当nXXX21??时0L，而当nXXX21??，即nXXXmin21??时??L随??的增大而增大，可见当nXXXmin21??时??L达到最大值．参数??的最大似然估计量为nXXXmin??211??．—习题解答●7.5— 2 求参数??的矩估计量．总体X 的数学期望为：．1edeeded xxxxxxxxxxxfXE 用样本均值X估计XE：1??2X，可得参数??的矩估计量为1??2??X＝??．7.10设每次射击的命中率为p．接连不断独立地进行射击直到命中目标为止，nkkk21??是n轮射击各轮实际射击的次数，求命中率p 的最大似然估计量和矩估计量．1 设X表示实际射击的次数，则X服从参数为p的几何分布，而nkkk21??是来自总体X的简单随机样本．总体X的概率函数为2111xpppxpx．命中率p的似然函数为．，1lnlnln1111111pnkpnpLpppppkppLniininknkniiniii将该式两侧对p求导数并令其等于0，得似然方程：．011dlnd1pnkpnppLnii 其惟一解niiknp1 ?? 就是命中率p的最大似然估计量． 2 设X是实际射击的次数，而nkkk21??是来自总体X的简单随机样本，则样本均值为pXknXnii111E，．于是，由pX??1 ??，得未知参数p的矩估计量niiknXp1 1??．7.11 设来自总体X的简单随机样本21nXXX??，总体X的概率分布为22112321????????X，其中0lt??lt1．试求—习题解答●7.6—1 未知参数??的最大似然估计量1；2 未知参数??的矩估计量2；3 当样本值为（112132）时的最大似然估计值1和矩估计值2． 1 求参数??的最大似然估计量．分别以2121n和表示21nXXX?? 中1，2和3出现的次数，则似然函数和似然方程为．，，01222dlnd1ln22ln22lnln1211221212121222222212122121 nLnLLnn 似然方程的惟一解就是参数??的最大似然估计量：n22??211．2 求参数??的矩估计量．总体X的数学期望为221314XE．在上式中用样本均值X估计数学期望XE，可得??的矩估计量：321??2X． 3 对于样本值（112132），由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值；321223222??211n?????? 矩估计值326523321??2X??．7.12 设随机变量X的分布函数为．，若，，若＝1 0 111xxxxF 其中参数1．设nXXX21??为来自总体X的简单随机样本，求 1 未知参数??的矩估计量；2 未知参数??的最大似然估计量．由条件知随机变量X的概率密度为．，若，，若1 0 11xxxxf 1 X的数学期望为1d11xxxXE．用样本均值X估计XE得—习题解答●7.7— 1X，1XX?? 就是未知参数??的矩估计量．2 未知参数??的似然函数和对数似然函数为；，，，若不然；若ininnnniiXnLXXXXXXXfL1211211ln1lnln 01 似然方程为0lndlnd1niiXnL??????，其唯一解niiXn1ln???? 就是未知参数??的最大似然估计量．7.13 设随机变量X的分布函数为．，，，＝xxxxF 0 122 其中0．设nXXX21??为来自总体X的简单随机样本，求未知参数??的最大似然估计量．由条件知随机变量X的概率密度为．，若，，若xxxxf 0 232 未知参数??的似然函数为．若若，，，nnnnnniiXXXXXXXXXXfL ***********??????似然函数??L显然无驻点，需要直接求其最大值点．由??L值随??增大而增大，可见??L的最大值点为nXXXmin??21??．于是nXXXmin??21??就是未知参数??的最大似然估计量．7.14 为观察一种橡胶制品的耐磨性，从这种产品中各随意抽取了5件，测得如下数据：—习题解答●7.8— 185.82，175.10，217.30，213.86，198.40．假设产品的耐磨性2NX，求2和的无偏估计值．样本容量n5．经计算，得样本均值X198.10，样本方差23.3240063.1822S．于是??的无偏估计值；10.198X?? 23.3242??S是2??的无偏估计．7.15 对某种袋装食品的质量管理标准规定：每袋平均重500克，标准差10克．现在从一商店的一批这种袋装食品中随意抽取了14袋，测量每袋的重量，得如下数据：500.90，490.01，501.63，500.73，515.87，511.85，498.39，514.23，487.96，525.01，509.37，509.43，488.46，497.15．假设这种袋装食品每袋的重量X服从正态分布2N．试利用??和??的0.95置信区间，说明抽查结果是否表明这一批袋装食品每袋平均重??和标准差??符合标准．经计算样本均值，64.503??X样本标准差11.11??S正态总体的数学期望??的1置信区间的一般形式为：XX，其中??的表达式区分202已知和2??未知两种情形：未知，若，已知，若 1 00nStnun 其中??u是标准正态分布水平??双侧分位数（附表3），1??nt??是自由度为1n??的t分布水平??双侧分位数（附表4）。

《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。

能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。

参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。

参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。

⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。

当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。

本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。

由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。

第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。

例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。

现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。

问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。

灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。

即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。

另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。

这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。

究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。

假如给定显著性⽔平05.0=α。

在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

《概率论与数理统计》教案第一章：概率的基本概念1.1 随机现象与样本空间1.2 事件及其运算1.3 概率的定义与性质1.4 条件概率与独立性第二章：随机变量及其分布2.1 随机变量的概念2.2 离散型随机变量及其分布2.3 连续型随机变量及其分布2.4 随机变量的数字特征（期望、方差）第三章：多维随机变量及其分布3.1 多元随机变量的概念3.2 联合分布及其性质3.3 独立性及其检验3.4 随机向量的数字特征（协方差、相关系数）第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律4.2 中心极限定理4.3 样本均值的分布4.4 样本方差的分布第五章：假设检验与置信区间5.2 常用的检验方法5.3 置信区间的估计5.4 功效分析与错误类型第六章：抽样调查与样本分布6.1 抽样调查的基本概念6.2 随机抽样方法6.3 样本分布的性质6.4 抽样误差的估计第七章：回归分析与相关分析7.1 线性回归模型7.2 回归参数的估计7.3 回归模型的检验与诊断7.4 相关分析与判定系数第八章：时间序列分析8.1 时间序列的基本概念8.2 平稳时间序列的模型8.3 时间序列的预测8.4 季节性分析与指数平滑第九章：非参数统计与生存分析9.1 非参数统计的基本概念9.2 非参数检验方法9.4 生存函数与生存分析的估计第十章：贝叶斯统计与统计软件应用10.1 贝叶斯统计的基本原理10.2 贝叶斯参数估计与预测10.3 贝叶斯统计的应用10.4 统计软件的使用与实践重点和难点解析一、随机现象与样本空间补充说明：事件的关系与包含关系，概率的基本性质（互补性、传递性等），概率的计算方法。

二、随机变量及其分布补充说明：概率质量函数与概率密度函数的区别与联系，分布函数的性质，随机变量的期望与方差的计算。

三、多维随机变量及其分布补充说明：二维随机变量的联合分布函数，条件概率的计算，独立性的数学表述与检验方法。

四、大数定律与中心极限定理补充说明：大数定律的数学表述及其含义，中心极限定理的条件与结论，样本均值与标准差的性质。

2020年大学必修课概率论与数理统计期末考试卷及答案（精华版）一、单选题1、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D2、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A3、设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D)(1,1)F m n -- 【答案】C4、若X ～()t n 那么2χ～A ）(1,)F nB ）(,1)F nC ）2()n χD ）()t n 【答案】A5、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ且Y X ,相互独立，则A ） 9/1,9/2==βαB ） 9/2,9/1==βαim 211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()rA i i i S m y y ==-∑C ） 6/1,6/1==βαD ） 18/1,15/8==βα 【答案】A6、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D7、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 【答案】C8、在一次假设检验中，下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误 【答案】A9、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H 【答案】A10、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本，则2()E X 的矩估计是im 211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()rA i i i S m y y ==-∑（A ）22111()1n i i S X X n ==--∑（B ）22211()n i i S X X n ==-∑（C ）221S X + （D ）222S X + 【答案】D 二、填空题1、设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）=，则D （Y ）= 【答案】462、设X的概率密度为2()xf x -=，则()D X ＝【答案】1/23、设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ～2(2)χ。

概率论与数理统计(李慧斌)复习大纲Chapter 7 Confidence Intervals置信区间7.1 Sampling Distribution 抽样分布统计量的分布称为抽样分布。

在本节中，我们将从正态分布推导出随机样本的样本方差分布，以及样本均值和样本方差的各种函数的分布。

复习：Thm 5.5.2若X1, X2,…, X n独立且满足，i= 1,2,…,n，若C1, C2,…, C n不全为零，则Corollary 5.5.2 设随机变量X1, X2,…, X n组成随机样本，满足正态分布，其中均值μ和方差σ2，则7.2 χ2Distribution卡方分布定义：若随机变量X1, X2,…, X n独立同分布且其中每个随机变量都满足标准正态分布，所以有着以n阶自由度卡方分布(χ2distribution with n degrees of freedom)，记作，n来源于独立随机变量中以n阶自由度的χ2分布的概率密度函数其中欧拉函数定义为χ2分布的性质：定理1定理2 （χ2分布的可加性）若X ~χ2 (n) , Y ~χ2(m)，X, Y独立，则X+Y ~ χ2 (n+m)例：设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，证明Thm 7.3.1 设X1, X2,…, X n是正态分布的随机样本，则：（1）与独立；（2）注：，虽然基于n个，但是它们之和为0，所以指定数量的n-1确定剩余值。

因此有n-1阶自由度。

结果表明，只有从正态分布中抽取随机样本，样本均值和样本方差才是独立的。

证明如下：的联合概率分布函数为其中A为正交矩阵(orthogonal matrix)，且的联合概率分布函数为因此独立且⇒与独立且7.4 The t Distribution t分布定义：设X ~ N(0, 1), Y ~χ2 (n)且X和Y独立，则随机变量所满足的分布称为n阶自由度t分布，记作，其中的概率密度函数为t分布的性质：（1）f(x)图像呈钟型，且中心为0；（2）它的一般形状类似于平均分布0的正态分布的概率密度函数。

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100分一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题,每小题3分，总计15分）1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ). （A）1/3 (B）2/3 (C)1/6 (D）3/6 2．设随机变量的概率密度，则K=（ B ）。

(A)1/2 (B）1 （C)—1 (D）3/2 3．对于任意随机变量，若,则（ B ）。

（A) (B)（C) 一定独立（D)不独立5．设,且，，则P{-2<<4}=( A )。

（A）0。

8543 （B)0。

1457 （C)0.3541 （D)0。

2543 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．设A、B为互不相容的随机事件则( 0.9 ）.2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为( 1/10 ）。

3．设随机变量X的概率密度则（ 8/10 ）。

4．设D()=9， D(）=16，，则D()=（ 13 ）。

*5．设，则( N(0，1) )。

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％,35％，40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0。

04,0.02。

现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？（1）全概率公式2．设连续型随机变量的密度为(1）确定常数A (2)求（3)求分布函数F（x).（2)①故A=5 。

②（3分）③当x<0时,F（x）=0； (1分)当时, （2分)故。

（1分)3．设二维随机变量（）的分布密度求关于和关于的边缘密度函数。

（3）4．设连续型随即变量的概率密度,求E（x）,D（x)（4) （4分)（3分）（3分）四．证明题（本大题共2小题,总计10分）2．设是独立随机变量序列,且，试证服从大数定理。

第二章 随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。