2019版同步优化探究理数练习：第八章 第七节 双曲线 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y ＝0，选A. 答案：A4．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5D.12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A. 答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.5＋12B ．2 C. 2D ．2 2解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bca 2＋b 2＝a ，即bc c ＝a ，所以b a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋(b a)2＝2，故选C. 答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2 (5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B. 3 C ．23＋1 D.3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c2＝3＋1，选D.答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝251＝b a ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧42a 2－(3)2b2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4， 3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为 x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝113．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________．解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97.答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝ca ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5解析：不妨设B (x ，－bax )，|OB |＝x 2＋(－bax )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tan θ＝k 2－k 11＋k 1k 2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a 2c 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( ) A.1e B.e1＋eC.e 21＋eD.e 2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k 4－k 31＋k 3k 4，不妨设P (a 2c ，y )(y >0)，则k 3＝y a 2c －a ，k 4＝y a 2c －c .令m ＝a 2c －a ，n ＝a2c －c ，则tan θ＝y n －ym 1＋y n ×y m ＝m －n mn y＋y ，由m －n ＝c－a >0，得当mn y ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mny ＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n2mn ＝c －a2(a 2c －a )(a 2c－c )＝e21＋e，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为________． 解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x＝c ，得y ＝±b 2a ，所以A (c ，±b 2a )．因为点A 在圆F 上，所以b 2a＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以e ＝ca ＝ 2.答案： 211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为______________．解析：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝ba x 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－a b (x －c )，即y ＝－ab(x －c )．联立可得方程组⎩⎨⎧y ＝b ax ，y ＝－ab (x －c )，解得⎩⎨⎧x ＝a 2c，y ＝abc ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a 2c －c ，2abc)，将其代入双曲线的方程可得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c 2＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3,4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以9a 2－16b 2＝1，9a 2－164a2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝112．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是______．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)． 答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是________． 解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB→＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.答案：－38。

课时作业A组一一基础对点练1 .已知F为双曲线C: x2—3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. 3C. 3mD. 3m2 2解析：双曲线方程为3m—鲁二1,焦点F到一条渐近线的距离为，3.选A.答案：A2 22.已知双曲线拿一卷二1(a>0)的离心率为2,则a=( )CF解析:2 2因为双曲线的方程为?一3 =31,所以e2= 1 + T = 4,因此a2= 1, a = 1.选 D.a答案:3.双曲线x2—4y2=—1的渐近线方程为(A. x±y= 0C . x±!y=0 2解析：依题意，题中的双曲线即1 —x2^ 1,4B. yi2x= 0D . y±4x=因此其渐近线方程是2t —x2= 0, 即卩xi2y= 0,选A.4答案：A24 .已知双曲线倉—y2= 1的左、右焦点分别为F1, F2,点P在双曲线上，且满足|PF1| + |PF2| = 2 5, 则厶PF1F2的面积为( )A . 1 B. 3C..5D.|解析：在双曲线x3 —y2= 1中，a= .3, b= 1,c= 2.不防设P点在双曲线的右支上，则有|PF1|—|PF2| =2a = 2 3，又|PF1|+|PF2|= 2 5,A |PF1匸5+ .3, |PF2|= 5—, 3.又|F1F2| = 2c= 4,而|PF1|2A A+ |PF2|2= |F1F2^,A PF1 丄PF2,.・. SA PF1F2=|PF1|X |PF2|=十( .5+ . 3)X ( . 5—. 3)= 1•故选A.答案：A2 25.已知双曲线C ：拿―b 2= 1(a>0, b>0)，直线I : y =2x — 2•若直线I 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为D . 422b解析：根据题意，双曲线C 的方程为彩—缶=1(a>0, b>0),其焦点在x 轴上，渐近线方程为y =±bx ,又由直线I 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知2 = 2,直线I : y = 2x — 2与x 轴的交点坐标为 a (1,0),即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0),即a = 1,则b = 2a = 2,故双曲线C 的焦点到渐近线 的距离为2,故选B.答案：B6.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，贝U 该双曲线的离心率为C. 2解析：不妨设双曲线的方程为 令一y}= 1(a>0, b>0)，因为焦点F(c,0)到渐近线bx — ay = 0的距离 为a ，所以爲畀孑a ，即学=a ，所以b =1所以该双曲线的离心率e =a = 故选C. 答案：Cb 2 51 + 2=,又右焦点为 F 2(5,0), a2 + b 2= c 2,所以 a 2= 16, b 2 = 9,故双曲 a 4C. .57.已知双曲线 C : 2 2A ——匚=1 A.4 3 1 x 2 y C.x6—9 =1x 2 V 25孑一亩=1的离心率e = 4，且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C 的方程为()2 2一 V- = 1B .916_12 2=解析：由题意得e =2 2线C的方程为16-首=1.答案：C2 28.已知双曲线拿一存=1(a>0, b>0)的焦距为2 5,且双曲线的一条渐近线与直线2x+ y= 0垂直, 则双曲线的方程为()2巧-y2=1C3x! 3y C.202 B. x2-y=142 2D3X_-3y_= 15 20解析: 由题意得c= 5, b= 2，则a= 2, b= 1,所以双曲线的方程为^4 — /= 1. 答案:9. (2018山西八校联考)已知双曲线2 2C:学—狰=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，焦距为2c,直线y= c)与双曲线的()A. 2C. 2 .3+ 1解析：•••直线y= ~33(x+ c)过左焦点/ F2PF仁90° 即F i P丄F2P. •••|PF2 个交点P满足/ PF2F I = 2/PF1F2,则双曲线的离心率e为B. 3D. 3+ 1F1,且其倾斜角为30° A/ PF1F2= 30° / PF2F1 = 60° 二1匸2尸卡2|= C, |PF1|= |F I F2|S in 60°=寸3c，由双曲线的定义得2a=|PF1|—|PF2|=A/3C— c,.••双曲线 C 的离心率e=£ = 一1,选 D.a73c— c2答案：D2 210.已知F1, F2是双曲线C:拿一*= 1(a>0, b>0)的两个焦点，P是双曲线C上一点，若|PF1|+ |PF2| = 6&,且厶PF1F2最小内角的大小为30°则双曲线C的渐近线方程是( )A. 2xiy= 0 B . x±. 2y= 0C. 2x±y= 0D. x±2y= 0解析: 不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|—|PF2|=2a,|PF1|+ |PF2|= 6a,所以|PF1|= 4a, |PF2| = 2a,且IF1F2匸2c,即|PF2|为最小边，即/ PF1F2= 30° 则厶PF1F2 为直角三角形，所以2c = 2.3a ,所以b = 2a ，即渐近线方程为y =±, 2x ,故选A. 答案：A•••双曲线C 的方程为20—彳=1. 答案：A42x 2 所以~4—(J3)2 =入所以入=1,故双曲线方程为才—y 2= 1. 2x13.双曲线r /—1(a>0, b>0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离为 3,贝U r 的实轴长等解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y = ；x ,即ax — by = 0的距离为.［订呼二¥= b = 3,所以a =法二：因为双曲线的渐近线方程为y = X 2 ，故可设双曲线为4y 2= X 疋0),又双曲线过点(4, 3), 11•已知双曲线 C ：2 2x y 孑一1(a>0, b>0)的焦距为10,点P(2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为()2 2A x_ — y_ 1A .205x 2y 22BL5 20— 丫= 120 80解析：依题意a 2+ b 2= 251= bX 2 aa 2= 20，解得b 2二5，12 .已知双曲线过点(4 ,3), 且渐近线方程为y 二±2x ,则该双曲线的标准方程解析：法一：因为双曲线过点(4,3)且渐近线方程为y = ±2x ,故点(4,3)在直线y =*x 的下方.设 该双曲线的标准方程为a 2— £= 1(a>42 \[3 2孑— 0, b>0)，所以 ab 1 b 2a = 2,，解得a = 2,故双曲线b = 1,答案：4—y 2二 1程为y =吃X ，则双曲线C 的方程为 ___________________ 解析：易得椭圆的焦点为(一5, 0), ( 5, 0),a 2 +b 2= 5,二 a 2= 1, b 2 = 4,2•••双曲线C 的方程为X 2— y 4 = 1.2答案：x 2—” 1X 2y 215. (2018合肥市质检)双曲线M :孑一看1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为 F 1, F 2，直线x = a1与双曲线M 的渐近线交于点P ,若sin /PF 1F 2=3则该双曲线的离心率为 __________________________ . 解析：不妨设P 为直线x = a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，贝UP 点坐标为(a , b),因为 sin / PF 1F 2 = 3,所以|PF 1|= 3b ,所以(a + c)2+ b 2= 9b 2，即 9a 2+ 2ac — 7c 2= 0,7e 2— 2e — 9=0,9又e>1,解得e = 7.B 组一一能力提升练C :字一£= 1(a>0, b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点 P 满足2|PF i+ PF 2|W |F i F 2|，则双曲线的离心率的取值范围是()A • (1, .2]B . (1,2] C. [,2,+x)D . [2 ,+x)—》 —》 —》 —》 —》 c —》cC解析：T 2|PF 1 + PF 2|< |F 1F 2|? 4|0P|W 2c? |OP|< ，又 |OP|> a ,： a ^., 即 卩 c > 2a,A e =—》2.2 2 a故选D. 答案：D4,2a = 8.1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方1 •已知F i , F 2是双曲线14.已知双曲线C :x 2 xb>0)与椭圆9 +2 2 2 22•若实数k 满足0<k<9，则曲线25-冷=1与曲线25X Tk —y9二1的( )A •离心率相等B •虚半轴长相等C .实半轴长相等D •焦距相等解析：由0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上，由25+ 9— k = 25 — k + 9，得两双 曲线的焦距相等. 答案：D3. (2018云南五市联考)设P 为双曲线x 2—£= 1右支上一点，M , N 分别是圆(x + 4)2+ y 2= 4和(x — 4)2 + y 2= 1上的点，设|PM|— |PN|的最大值和最小值分别为 m , n ,则|m — n 匸( )A . 4B . 5C . 6F 1( — 4,0), F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别min= |PF 2| — 1, 故 |PM|— |PN| 的最大值为(|PF 1| + 2)—(|PF 2|— 1) |PN|的最小值为(|PF 1|— 2)— (|PF 2|+ 1) = (|PF 1— |PF 2|) — 3 =—x 2 y 2曲线C ： — — ； = 1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1, F 2=0,则点P 到x 轴的距离为()B .V 2解析：由题意知F 1( — 6, 0), F 2( .6, 0),不妨设I 的方程为y = 2x ,点P(x 0, ,2x 0)，由PF 1 PF 2 =(—.6 — X 0,— 2x 0) ( 6 — X 0,— 2x 0) = 3x o — 6 = 0,得 x °= ±. 2,故点 P 到 x 轴的距离为.2|x °| =2,故选C. 答案：Cx 2y 25.已知双曲线4 —器=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A , B , C , D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )解析：易知双曲线的两个焦点分别为 为 2,1，所以 |PM|max = |PF 1|+ 2，|PN=(|PF 1— |PF 2|) + 3 = 5,同理 |PM —1，所以|m — n| = 6,故选C. 答案：C4. (2018江南十校联考)已知I 是双分别是C 的左、右焦点，若PF 1 PF 2A. 3 C . 2D.2,63略34°= 1近线交于点B ,若FB = 2FA ,贝吐匕双曲线的离心率为()A. 2 C . 2c — a b b b c — a b小所以A(~2 , 2)，又点A 在直线y = ax 上，则a •厂二2，c = 2a , e = 2.答案:8.若直线|1和直线12相交于一点，将直线11绕该点逆时针旋转到与12第一次重合时所转的角为9, k 2 一 k 1 x 2则角9就称为l 1到l 2的角，tan A 亓匚危，其中k 1, k 2分别是l 1, l 2的斜率，已知双曲线E :孑一2 2x y ‘ C<r — = 1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD 为矩形•双曲线的渐近线方程为y =字,圆的方程为x 2 + y 2 = 4,不妨设交点 A 在第一象限，由y = bx,x 2 + y 2= 4得X A = /—^=2，『A = j 2,2 v 4+ b \!4+ b故四边形ABCD 的面积为4x A y A =秽：2= 2b ,解得b 2= 12,故所求的双曲线方程为》—卷=1,选D.答案：D2 26•已知双曲线拿一” 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F i 、F 2,以|F I F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),贝吐匕双曲线的方程为()B x ! y !_ 1 x 2y 2D — — —= 1x 2 y 2A•花- 9 二 12 2Cx_—y _ 二解析: 因为以|F I F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c = 5,+ b 2, 所以a = 3, b = 4,所以此双曲 2 2线的方程为x 9 —务=1.C2 27.过双曲线拿一^2= 1(a>0, b>0)的 答案: 个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ,与另一条渐B. 3 D. 5解析: 不妨设B(x ,—,OB|=x 2 + — ；x 2= c ,可取B( — a , b),由题意可知点A 为BF 的中占I2 2滸=1（a>0, b>0）的右焦点为F , A 是右顶点，P 是直线x =三上的一点，e 是双曲线的离心率，直 线PA 到PF 的角为9,则tan B 的最大值为（） B. ；i e+eC. 2 1+ e答案：C2 -9. （2018淄博模拟）过双曲线拿一^2= 1（a>0, b>0）的左焦点F 1，作圆x 2 + / = a 2的切线交双曲线的右支于点P ,切点为T , PF i 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（）b — a = |M0| —|MT| b — a>|MO|— |MT|b — a = |MO| + |MT|解析：如图，连接OT ,贝U OT 丄F 1T ,在直角三角形 OTF 1；|OF 1|2—|OT|2= b ,连接 PF 2,••• M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点，•••|MO| —|MT|= 2|PF 2|— 2|PF 1|— |F 1T| = 2(|PF 2|— |PF 1|)+ b =qx (— 2a) + b = b — a ,故选 A.答案：A X 2 y 210. (2018昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：孑一詁=1(a>0, b>0)的一个焦点，以点F 为圆心的A.1 e D.f解析：设PA , PF 的斜率分别为k 3, k 4, 由题意可知 tan2k 4— k 3 aak ，不妨设 P(_c , y)(y>0),则 ky . ) 人 =，k4=a^~. 令—a — c2 a m =c — a , n2a=——c ,贝U tan y —y n mm — n r ‘口 9== ，由 m — n = c — a>0，得 y y mn ' '当号+ y 取得最小值时 AlZtan 9取最大值，又y>0, m<0, *0,所以罗+ y > 2 :'mn ,当且仅当y = : mn时等号成立，此时tan m — n A ------2 mnc — a：-a - c=2 J + e ，故选 C.C . b — a<|MO|— |MT|中，|F 1T| =圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A , B 两点，若AF 丄x 轴，则C 的离心率为 解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F(c,O)，易知双曲线的渐近线方程为y =,贝U 双曲线的焦点F 到渐近线的距离d = 严 尸b,所以圆F 的半径为b.在双曲线方程中，令x = c,得，寸 a 2 * * 5+ b 2ab2 _______________________________________________•因为点A 在圆F 上，所以占=b ,即a = b ,所以c= • a 2+ b 2= 2a ,所以所以A(c ,c e=_ a2.答案：22 211•双曲线拿一皆1(a>0, b>0)上一点M( — 3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2, 则该双曲线的标准方程为 _____________________________ .x 2 y 2b解析：不妨设双曲线孑一生二1的右焦点F 2(C ,0)关于渐近线y = ax 对称的点在双曲线上, 则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y — 0二—早仪―c)，a即 y = — b （x —c ）-联立可得方程组b 尸a x ， a尸一b x —c ，2ab ）c）解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2丄X 轴时，|PF 1|+|PF 2| 有最大值8;当/ P 为直角时，|PF i |+ |PF 2|有最小值2.7因为△ F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF i | + |PF 21的取值范围为（2 .'7，8）. 答案：（2 7, 8）X 213.（2018沈阳质量监测）已知P 是双曲线—y 2= 1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A ，B ,求PAPB 的值.x解析：设P （x o ，y o ）,因为该双曲线的渐近线分别是 — y =0，X 0 騙+ yo1|PB| =— ，又 cos / APB = — cos / AOB = — cos2/ AOx = 2 lX0-y21 1 (—刁 | cos / APB = 3 1 =3X (—2) IIIII II II II II II I III II II In—cos 3=I II II II I 舟，所以PA PB = |P A | |P BI IIIII I I I III I I I I I I II II I II II I I I .x o , I 羽-y o ly = 0,所以可取|PA|=讨丘—，W 1x2方程为x4—y2= 1.1 1 1 12a x= c 解得「aby=石，由中点坐标公式可得F2关于渐近线对称的点的坐标为(2? —c，2 2— 2 2 2将其代入双曲线的方程可得―a_2c2 —= 1,化简可得c2= 5a2, c2= a2+ b2= 5a2,所以b2= 4a2.a c c因为M(—3, 4)在双曲线拿一£= 1上，所以事一学=1,事一着=1,所以a2= 5, b2= 20,则该2 2双曲线的标准方程为x—= 1.5 202 2答案：x一2o二112.设双曲线x2—£ = 1的左，右焦点分别为F i, F2若点P在双曲线上，且△ F1PF2为锐角三角形，则|PF i|+ |PF2|的取值范围是。

学习资料第八章平面解析几何第七节双曲线课时规范练A组—-基础对点练1．双曲线错误!－错误!＝1(0＜m＜3）的焦距为(）A．6B．12C．36 D。

236－2m2解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6。

双曲线的焦距为12。

答案：B2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0，3),则k的值是（)A．1 B．－1C.错误!D。

－错误!解析:kx2－错误!＝1,焦点在y轴上，c＝3，解得k＝－1。

答案:B3．(2020·山东滕州月考）已知双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点，O为坐标原点，则｜NO|等于（)A.错误!B．1C．2 D.4解析：由双曲线x225－错误!＝1，知a＝5，由双曲线定义｜MF2|－｜MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8,∴|NO|＝错误!|MF1｜＝4。

答案：D4．(2020·湖南永州模拟)焦点是（0，±2)，且与双曲线错误!－错误!＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A．x2－错误!＝1 B．y2－错误!＝1C．x2－y2＝2 D。

y2－x2＝2解析:由已知，双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线，故选D。

答案：D5．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程是()A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D。

y＝±错误!x解析：双曲线错误!－错误!＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.答案:C6．（2020·石家庄模拟）若双曲线M：x2a2－错误!＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,P为双曲线M上一点,且｜PF1|＝15,|PF2｜＝7，｜F1F2｜＝10，则双曲线M的离心率为(）A．3 B．2C。

错误!D。

错误!解析：P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，｜PF2｜＝7，｜F1F2|＝10，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8,｜F1F2｜＝2c＝10，则双曲线的离心率为:e＝错误!＝错误!.答案：D7．（2020·彭州模拟)设F为双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P、Q，若|PQ|＝2|QF｜，∠PQF＝60°，则该双曲线的离心率为（)A.错误!B．1＋错误!C．2＋ 3 D。

一、填空题1．已知点M (－2,0)、N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，则动点P 的轨迹方程为________．解析：因为|MN |＝4,22<4，所以动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为22的双曲线靠近点N 的一支，即x 2－y 2＝2，x ≥2.答案：x 2－y 2＝2(x ≥2)2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 212＝1的渐近线为y ＝±3x ，c ＝4＋12＝4，其焦点坐标为(±4,0)，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为431＋(±3)2＝2 3.答案：2 3 3．与双曲线x 29－y 216＝1有公共渐近线且经过点A (－3,23)的双曲线的方程是________．解析：由条件可设所求双曲线方程为x 29－y 216＝k (k >0)，将点A (－3,23)代入得k ＝(－3)29－(23)216＝14，所以所求双曲线方程为4x 29－y 24＝1.答案：4x 29－y 24＝14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B |sin A －sin C |为________． 解析：由题意得a ＝4，b ＝3，c ＝5.A 、C 为双曲线的焦点，∴||BC |－|BA ||＝8，|AC |＝10.由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝|AC |||BC |－|BA ||＝108＝54.答案：545．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝________.解析：如图，设|PF1|＝m ，|PF 2|＝n .则⎩⎪⎨⎪⎧ |m －n |＝2，(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2mn ＋n 2＝4，m 2－mn ＋n 2＝8.∴mn ＝4. 即|PF 1|·|PF 2|＝4.答案：46．已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 点在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF 2F 1＝90°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ，∴(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0.∵e >1，∴e ＝2＋1. 答案：2＋17．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于________．解析：由离心率公式，得a 2＋3a 2＝22(a >0)，解得a ＝1.答案：18．A 、F 分别是双曲线9x 2－3y 2＝1的左顶点和右焦点，P 是双曲线右支上任一点，若∠PF A ＝λ·∠P AF ，则λ＝________.解析：特殊值法，取点P 为(23，1)，得∠PF A ＝2∠P AF ，故λ＝2.答案：29．若双曲线x 24－y 2b 2＝1 (b ＞0) 的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．解析：双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b 2＝0，即y ＝±b 2x (b >0)，∴b ＝1.答案：1二、解答题10.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)，B (0，－b )两点，原点O 到直线l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解析：(1)依题意，l 的方程为x a ＋y －b＝1， 即bx －ay －ab ＝0，由原点O 到l 的距离为32， 得ab a 2＋b 2＝ab c ＝32， 又e ＝c a ＝233，∴b ＝1，a ＝ 3.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，则点M 、N 坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧ y ＝kx －1x 23－y 2＝1的解，消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.①依题意，1－3k 2≠0，由根与系数关系，知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝63k 2－1＋1.又∵OM →·ON →＝－23，∴63k 2－1＋1＝－23，k ＝±12，经检验知，当k ＝±12时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.12．A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B的北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4 s后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．解析：如图所示，以直线BA为x轴、线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|.∴点P在线段BC的垂直平分线上．∵k BC＝－3，BC中点为D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|P A|＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．设P(x，y)，则双曲线方程为x24－y25＝1(x≥0)．②由①、②解得x＝8，y＝53，所以P(8,53)．因此k P A＝538－3＝ 3.故炮击的方位角为北偏东30°.。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第八章第七节双曲线含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1．已知 F 为双曲线 C ：x 2－my 2＝ 3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 ()A. 3 B ．3C. 3mD ．3mx2y2分析：双曲线方程为 3m － 3 ＝1，焦点 F 到一条渐近线的距离为 3.选 A.答案： A22x y2．已知双曲线 a 2－ 3 ＝ 1(a>0)的离心率为 2，则 a ＝ ()6A ．2 B. 25C. 2D ．1x 2 y 2232分析： 由于双曲线的方程为 a 2－ 3 ＝1，所以 e ＝ 1＋ a 2＝ 4，所以 a ＝ 1， a ＝ 1. 选 D.答案： D2 2)3．双曲线 x －4y ＝－ 1 的渐近线方程为 (A ． x ±2y ＝0B ．y ±2x ＝0C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0y 2 2y 2 2分析：依题意，题中的双曲线即 1 －x ＝1，所以其渐近线方程是1 － x ＝0，即 x ±2y44＝ 0，选 A.答案： Ax 224．已知双曲线 3 －y ＝1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 在双曲线上，且知足 |PF 1|＋|PF 2|＝2 5，则△ PF 1F 2 的面积为 ( )A ． 1B. 3。

双曲线及其标准方程测试题及解析（人教版）§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程课时目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为__________________________________________．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F1________，F2__________.(3)双曲线中a、b、c的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若ax2＋by2＝b(ab0)，则这个曲线是()A．双曲线，焦点在x轴上B．双曲线，焦点在y轴上C．椭圆，焦点在x轴上D．椭圆，焦点在y轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．y2－x23＝1D．x22－y22＝14．双曲线x2m－y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为()A．12B．1或3C．1＋22D．2－125．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为()A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1题号123456答案二、填空题7．设F1、F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1→PF2→＝0，则|PF1||PF2|＝______. 8．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．9．F1、F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1||PF2|＝32，则∠F1PF2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sinB －sinC＝12sinA，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP→FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F1F2|以F1，F2为端点的两条射线不存在(2)双曲线的焦点双曲线的焦距2．(1)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)(－c,0)(c,0)(2)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)(0，－c)(0，c)(3)c2＝a2＋b2作业设计1．B[根据双曲线的定义，乙&#8658;甲，但甲乙，只有当2a|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．] 2．B[原方程可化为x2ba＋y2＝1，因为ab0，所以ba0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]3．A[∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a2－32b2＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.]4．A[∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝12.]5．C[由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B[设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因为c＝5，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以x2a2－y25－a2＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a2－165－a2＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－y24＝1.故选B.]7．2解析∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝25，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1||PF2|＝2.8．－1k1解析因为方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)0.所以(k＋1)(k－1)0.所以－1k1.9．90°解析设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosα，∴cosα＝(r1－r2)2＋2r1r2－4c22r1r2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有42a2－(±15)2b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5. 所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．所以2a＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y24－x25＝1.11．解设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R，代入sinB－sinC＝12sinA，得|AC|2R－|AB|2R＝12|BC|2R，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝12.所以A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)．12．B[由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P(x，y)(x≥3)，∴OP→FP→＝(x，y)(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1(x≥3)．令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g(3)＝3＋23.OP→FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，且c＝7，则a2＋b2＝7.①由MN中点的横坐标为－23知，中点坐标为－23，－53.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∵x1＋x2＝－43y1＋y2＝－103，且y1－y2x1－x2＝1，∴2b2＝5a2.②由①，②求得a2＝2，b2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x22－y25＝1.。

课时作业组——基础对点练．已知为双曲线：－＝(>)的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为( )．．解析：双曲线方程为－＝，焦点到一条渐近线的距离为.选.答案：．已知双曲线－＝(>)的离心率为，则＝( )．．解析：因为双曲线的方程为－＝，所以＝＋＝，因此＝，＝.选.答案：．双曲线－＝－的渐近线方程为( )．±＝．±＝．±＝．±＝解析：依题意，题中的双曲线即－＝，因此其渐近线方程是－＝，即±＝，选.答案：．已知双曲线－＝的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且满足＋＝，则△的面积为( )．解析：在双曲线－＝中，＝，＝，＝.不防设点在双曲线的右支上，则有－＝＝，又＋＝，∴＝＋，＝－.又＝＝，而＋＝，∴⊥，∴△＝××＝×(＋)×(－)＝.故选.答案：．已知双曲线：－＝(>，>)，直线：＝－.若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为( )．．．解析：根据题意，双曲线的方程为－＝(>，>)，其焦点在轴上，渐近线方程为＝±，又由直线平行于双曲线的一条渐近线，可知＝，直线：＝－与轴的交点坐标为()，即双曲线的一个顶点坐标为()，即＝，则＝＝，故双曲线的焦点到渐近线的距离为，故选.答案：．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )．．解析：不妨设双曲线的方程为－＝(>，>)，因为焦点()到渐近线－＝的距离为，所以＝，即＝，所以＝，所以该双曲线的离心率＝＝＝，故选.答案：．已知双曲线：－＝的离心率＝，且其右焦点为 ()，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：由题意得＝＝，又右焦点为()，＋＝，所以＝，＝，故双曲线的方程为－＝.答案：．已知双曲线－＝(>，>)的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线＋＝垂直，则双曲线的方程为( )．－＝－＝－＝－＝解析：由题意得＝，＝，则＝，＝，所以双曲线的方程为－＝.答案：．(·山西八校联考)已知双曲线：－＝(>，>)的左、右焦点分别为，，焦距为，直线＝(＋)与双曲线的一个交点满足∠＝∠，则双曲线的离心率为( )＋．＋解析：∵直线＝(＋)过左焦点，且其倾斜角为°，∴∠＝°，∠＝°，∴∠＝°，即⊥.∴＝＝，＝°＝，由双曲线的定义得＝－＝－，∴双曲线的离心率＝＝＝＋，选.答案：．已知，是双曲线：－＝(>，>)的两个焦点，是双曲线上一点，若＋＝，且△最小内角的大小为°，则双曲线的渐近线方程是( )．±＝±＝．±＝．±＝解析：不妨设>，则(\\(－＝，＋＝，))所以＝，＝，且＝，即为最小边，即∠＝°，则△为直角三角形，所以＝，所以＝，即渐近线方程为＝±，故选.答案：．已知双曲线：－＝(>，>)的焦距为，点()在的一条渐近线上，则的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：依题意(\\(＋＝＝()×))，解得(\\(＝＝))，∴双曲线的方程为－＝.答案：。