§3.3 两平面的相关位置

高中数学必修二两个平面的位置关系知识点两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点；两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交二面角（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°]（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

Attention：二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）多面体棱柱棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形棱锥棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：（1）侧棱交于一点。

解析几何中两个平面的位置关系在解析几何中，平面的位置关系是一个关键概念，它描述了两个平面之间的相对位置和方向。

有时候，我们需要知道两个平面之间的位置关系，以便确定它们交点的位置或者判断它们是否相交。

在这篇文章中，我们将会深入探讨两个平面的位置关系，并讨论如何确定它们之间的相对位置。

一、两个平面的位置关系在解析几何中，两个平面的位置关系可以分为三种不同的情况，分别是平行、相交和重合。

现在，我们分别对这三种情况进行分析。

1.平行两个平面如果平行，则它们永远不会相交。

在这种情况下，这两个平面之间的距离是一个恒定的值。

我们可以通过计算垂直于平面的任意一条直线与另一个平面之间的距离来确定它们之间的距离。

2.相交如果两个平面不平行，则它们必须相交。

在这种情况下，它们的交线是一条直线。

这条直线被称为两个平面的交线。

我们可以使用各种方法来计算这条交线的位置和方向。

例如，我们可以使用向量法、截距法或者标准方程法来求解两个平面的交线。

3.重合如果两个平面完全重合，则它们是同一个平面。

在这种情况下，所有的点都位于同一平面内，所以两个平面没有任何位置关系。

这种情况只会在理论上出现，因为在实际中，两个平面几乎不可能彻底重合。

二、如何确定两个平面之间的位置关系现在，我们讨论如何确定两个平面之间的位置关系。

在解析几何中，我们可以通过计算两个平面之间的距离来确定它们是否平行。

如果两个平面之间的距离是0，则它们是相交或者重合的。

如果两个平面之间的距离不为0，则它们必须平行。

在这种情况下，我们可以通过计算垂直于平面的任意一条直线与另一个平面之间的距离来确定它们之间的距离。

对于两个相交的平面来说，我们可以使用向量法或截距法来确定它们的交线。

向量法利用两个平面的法向量来确定它们的交线。

而截距法则使用两个平面的截距来计算交线的位置。

在求解两个平面之间的位置关系时，我们可以采用一些简单的技巧来简化计算。

例如，我们可以将平面方程转换成向量方程，然后使用向量法来计算交点的位置和方向。

§3 两平面的相关位置一 两平面的夹角：定义 两平面的法线向量的夹角称作两平面间的夹角.下面，我们阐述一下用两平面间法线向量的夹角来定义两平面间夹角的合理性. 如图3-4所示，设想平面1π与平面2π重合在一起的，于是它们的法线向量应平行，即 12//n n .将平面2π的一侧向上提起，与1π之间产生倾角θ，与此同时，2π的法线向量2n 发生转动，与平面1π的法线向量1n 产生的角度θ.下面，我们导出计算两平面夹角θ的公式.设平面π1与π2的方程分别是π1： 11110A x B y C z D +++=， （1）π2： 22220A x B y C z D +++=， （2）则π1与π2的法线向量分别为 11112222{,,},{,,}n AB C n A B C ==， 因两向量间夹角的余弦为cos θ=++++⋅++A A B B C C A B C A B C 121212121212222222，所以两平面的夹角的余弦为 12cos (,)ππ∠=. (3.3-1) 由(3.3-1)式，立刻可给出如下结论： 121212120A A B B C C ππ⊥⇔++=， （3.3-2）二 两平面位置关系的解析条件：平面π1与π2是相交还是平行或重合，就决定由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解或无数个解，从而我们可得下面的定理.定理 两平面（1）与（2）相交的充要条件是111222::::AB C A B C ≠， （3.3-3） 平行的充要条件是(图3.3)11112222A B C D A B C D ==≠， （3.3-4）重合的充要条件是11112222A B C D A B C D ===. （3.3-5）例 一平面过两点 1(1,1,1)M 和 2(0,1,1)M - 且垂直于平面x y z ++=0，求它的方程.解 设所求平面的法线向量为 {,,}n A B C =，显然， 12{01,11,11}{1,0,2}M M =----=--在所求平面上， 故 12M M n ⊥， 120M M n ⋅=， 即20A C --= .又 n 垂直于平面x y z ++=0的法线向量'= n {,,}111，故有 0A B C ++=解方程组 20,0,A C A B C --=⎧⎨++=⎩得 2,,A C B C =-⎧⎨=⎩据点法式方程有2(1)(1)(1)0C x C y C z --+-+-=，约去非零因子 (0)C ≠ 得2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=，故所求方程为02=--z y x。

解析几何答案-第三章§ 3.1平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（1）通过点
和点
且平行于矢量
的平面（2）通过点
和
且垂直于
坐标面的平面；
（3）已知四点
，
，。

求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与
平面垂直的平面。

解：（1）
，又矢量
平行于所求平面，
故所求的平面方程为：
一般方程为：
（2）由于平面垂直于
面，所以它平行于
轴，即
与所求的平面平行，又
，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：
一般方程为：
，即。

（3）（ⅰ）设平面
通过直线AB，且平行于直线CD：
，。

解析几何第四版吕林根-期末复习-课后习题(重点)详解第一章 矢量与坐标§1.3 数量乘矢量4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B、D 三点共线．证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B、D 三点共线．6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , CN 可 以构成一个三角形.证明： )(21AC AB AL += )(21BM +=)(21CB CA CN +=)(21=+++++=++∴BM7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明OB OA ++OC =OL ++.[证明] LA OL OA += MB OM OB += +=)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++由上题结论知：0=++ ON OM OL OC OB OA ++=++∴从而三中线矢量,,构成一个三角形。

8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明OA +OB +OC +＝4.[证明]：因为＝21(OA +OC ), ＝21(OB +OD ), 所以 2OM ＝21(OA +OB +OC +) 所以OA +OB +OC +＝4. 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ．→→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN ，→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →→→+=BC AD MN ，即§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：OP ＝λλ++1 [证明]：如图1-7，因为图1-5＝OP －, ＝－OP ,所以 OP －＝λ (－OP ), (1+λ)OP ＝+λ,从而 OP ＝λλ++1OB. 4.、在ABC ∆中,设,1e =2e =.(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量,分解为21,e e 的线性组合;（2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合解：（1）()12123131,e e e e -==-=-= ，2111231323131e e e e e +=-+=+=，同理123132e e +=（2）因为 ||||TC ||11e 且 BT 与方向相同，所以 BT ||21e e . 由上题结论有AT||||1||212211e e e e e +||||21e e +.5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ∆的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量,,,的分解式。

两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直线。

a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交二面角（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°]（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）多面体棱柱棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形棱锥棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥棱锥的性质：（1）侧棱交于一点。

侧面都是三角形（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。

§3.3 两平面的相关位置1. 两平面的位置关系两平面的位置关系有相交、平行、重合.定理: 两平面11111:0A x B y C z D π+++=,22222:0A x B y C z D π+++=相交的充要条件是 111222::::A B C A B C ≠,平行的充要条件是11112222A B C D A B C D ==≠, 重合的充要条件是11112222A B C D A B C D ===. 证明: (证法一)代数法,由方程组111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩的解集可证得定理．（证法二）几何法，由平面方程可得{}1111,,n A B C =JG ，{}2222,,n A B C =JJ G所以 1π与2π相交：1n ⇔JG 与2n JJG 不平行，⇔111222::::A B C A B C ≠；1212n n ππ⇔JG JJ G &&且1122A D A D ≠⇔11112222A B C DA B C D ==≠；1212n n ππ≡⇔JG JJ G &且1122A D A D =⇔11112222A B C DA B C D ===．２．两平面的交角设两平面1π与2π的交角()12,ππ∠,两平面法矢量1n JG 与2n JJ G 的夹角为()12,n n θ=∠JG JJ G,则 ()12,ππθ∠=或πθ−,()()12121212cos ,cos cos ,n n n n n n ππθ∠=±=±∠⋅=±=JG JJ GJG JJ G JG JJ G定理:两平面1π与2π垂直的充要条件是1212120A A B B C C ++=3. 两平行平面间的距离设两平行平面:0i i Ax By Cz D π+++=()1,2i =,()1111,,M x y z 是平面1π上的一点,则11110Ax By Cz D +++=,所以1112M d d πππ−−====例1. 求通过x 280y z −−+=所成的角为60D 的平面方程. 解: 设所求平面方程为0By Cz += 则cos 60=±D ,即 ()2222144410B C BC B C ++=+, 解得3B C =,或13B C =所以所求平面方程为30y z −+=或30y z +=.例 2.求两平行平面1:1948210x y z π−++=,2:1948420x y z π−++=之间的距离,并求到12,ππ距离相等的点轨迹方程.解: 121d ππ−== 设(),,P x y z 是轨迹上的任一点,则因此 ()194821194842x y z x y z −++=±−++, (舍去正值) 解得 38816630x y z −++=,所求两平行平面12,ππ间距离为1, 到12,ππ距离相等的点轨迹方程为38816630x y z −++=.例 3. 求平行于平面且与三坐标面所构成的四面体的体积为9立方单位的平面方程.解: 设所求平面方程为220x y z D +++=, 即221D D x y z D ++=−−−因此,平面与三坐标轴的交点分别为(),0,0,0,,0,0,0,22D D A B D C ⎛⎞⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.()3002111,,00666402OABCDD V OA OB OC D D −⎛⎞==−=−⎜⎟⎝⎠−JJJ G JJJ G JJJ G ,3924D =±×, 6D =±. 所求平面方程为2260x y z ++±=.例４．设三平行面:0i i Ax By Cz D π+++=()1,2,3i =，,,L M N 分别是平面123,,πππ上任三点，求LMN Δ重心的轨迹方程．解：设()111,,L x y z ，()222,,M x y z ，()333,,N x y z ，(),,P x y z 是LMN Δ的重心，则11110Ax By Cz D +++=，22220Ax By Cz D +++=，33330Ax By Cz D +++=． 因此 ()()()1231231231230A x x x B y y y C z z z D D D +++++++++++= 因为 1233x x x x ++=，1233y y y y ++=，1233z z zz ++= 所以 1233330Ax By Cz D D D +++++=为所求LMN Δ重心的轨迹方程．。

空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面是一个基本的几何概念，而研究平面与平面之间的位置关系更是几何学中的重要内容。

本文将探讨平面与平面之间的几种常见位置关系，包括平行、交叉、相交和重合。

一、平行关系两个平面如果永远不相交，它们被称为平行的。

平行关系是最简单的一种平面位置关系。

例如，在一个立方体中，底面和顶面是平行的，它们永远不会相交。

二、交叉关系两个平面如果有交点，但交点不在任何一个平面上，它们被称为交叉的。

交叉关系可以分为两种情况：交叉于一点和交叉于一线。

1. 交叉于一点当两个平面相交于一个点时，它们被称为交叉于一点的。

例如，一对相交直线的垂直平分线与它们所在的平面相交于同一个点。

2. 交叉于一线当两个平面相交于一条线时，它们被称为交叉于一线的。

例如，两个相交的墙面所在的平面相交于一条线。

三、相交关系两个平面如果有公共部分，它们被称为相交的。

相交关系可以分为两种情况：相交于一点和相交于一线。

1. 相交于一点当两个平面相交于一个点时，并且交点同时存在于两个平面上，它们被称为相交于一点的。

例如，两个平面的法向量相互垂直，它们相交于一点。

2. 相交于一线当两个平面相交于一条线时，并且交线不在任何一个平面上，它们被称为相交于一线的。

例如，两个相交墙面的交线并不在任何一个墙面上。

四、重合关系如果两个平面重合，它们被称为重合的。

两个重合的平面完全相同，它们所有的点都重合在一起。

例如，两张完全相同的平桌面重合在一起。

总结：空间几何中，平面与平面之间的位置关系可以归纳为四种主要关系：平行、交叉、相交和重合。

平行的平面永远不会相交，交叉的平面有交点但不共面，相交的平面有公共部分且可能共面，而重合的平面完全相同。

通过研究平面与平面之间的位置关系，我们可以更好地理解和应用空间几何中的概念，例如在建筑设计、制图和几何证明中的应用。

掌握平面与平面的位置关系有助于我们在解决几何问题时更加准确和高效。

空间几何中的平面关系是几何学中重要的基础知识，对于提升我们的几何思维能力和解决实际问题都有着积极的影响。