洛阳市17-18学年高一上学期期末考试 数学答案

洛阳市2017—2018学年第一学期期末考试高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={x|x=2n-1,n∈N},P=M∩N,则P的子集共有A.2个B.3个C.4个D.5个2.方程x2+y2-ax+by+c=0表示圆心为(1,2),半径为1的圆,则a、b、c的值依次为A. -2,-4,4B.2,-4,4C.2,-4,-4D.-2,4,-43则有A a>b>cB c>a> b C. b>c>a D. b>a>c4.一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则该圆锥的表面积为C, D.5.已知m、n是两条不重合的直线, ,下面四个结论中正确的是A.m⊥nB.若m m⊥n，则nC.若m m D若m m⊥n, 则n6.若M(x0,y0)为圆x2+y2=r2(r>0)上一点,则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系为A.相切B.相交C.相离D.相切或相交7.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,若x·f(x)≥0,则x的取值范围是A.[一2,2]B.(-∞,-2] ∪[2,+∞)C.( -∞，-2)∪[0,2]D.[-2,0] ∪ [2,+ ∞)8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.2B.23 C.4 9.数学家欧拉在1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点为A(0,0),B(4,0),C(3, 则该三角形的欧拉线方程为B.D.10.x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2)成立,则实数a的取值范围是A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.(一∞,3)D. (一∞,3]11.M 、N 两点,O 为坐标原点,当△OMN 面积取最大值时,实数k 的值为C.-1D.112.(0,+∞)上的单调函数,B. C. 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.14.P(1,1,-2)是空间直角坐标系中一点,点P 关于平面xOy 对称点为M,点P 关于Z 轴对称点为N,15.____________。

河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}2．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（）A．y=3﹣1 B．+2=0 C． +=1 D．2﹣y+1=03．线段﹣2y+1=0（﹣1≤≤3）的垂直平分线方程为（）A．+2y﹣3=0 B．2+y﹣3=0 C．2+y﹣1=0 D．2﹣y﹣1=04．函数y=ln与y=﹣2+6的图象有交点P（0，y0），若0∈（，+1），则整数的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，则下列大小关系正确的是（）A．a b＜b a＜log a b B．b a＜log a b＜a b C．log a b＜b a＜a b D．log a b＜a b＜b a6．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．给出下面四个命题（其中m，n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：①m∥n，n∥α⇒m∥α②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．若不等式a||＞2﹣对任意∈[﹣1，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（，1）∪（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，2）D．（0，）∪（1，2）9．在四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为，棱锥S﹣ABCD的体积为V（），则函数V（）的图象是（）A．B．C．D．10．已知函数f（）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（lga）+f（lg）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．[，10]C．（0，10]D．[，1]11．在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为﹣y+1=0和+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解，则实数的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（，]D．（，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是．14．若函数y=﹣2+a﹣2在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为．15．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．16．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）．①当点N是棱B1C1的中点时，MN∥平面ACC1A1；②MN⊥A1C；=a3；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A BC④点M是该多面体外接球的球心．其中正确的是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知直线l1：+my+1=0和l2：（m﹣3）﹣2y+（13﹣7m）=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d．18．已知函数f（）=log a（﹣﹣1）+log a（+3），其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（）的定义域；（2）求函数f（）的值域．19．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E 是棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．20．已知函数f（）=（a、b、c∈）是奇函数．（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（）；（2）若b=1，且f（）＞1对任意的∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．21．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=3，求几何体BEC﹣AFD的体积；（2）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求此时二面角A﹣CD﹣E的正切值．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={2}，由全集U={1，2，3，4}，A∩B）={1，3，4}．∴∁U（故选：A．2．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（）A．y=3﹣1 B．+2=0 C． +=1 D．2﹣y+1=0【考点】直线的倾斜角．【分析】根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可．【解答】解：对于A：=3，是锐角，对于B：是直角，对于C：=﹣，是钝角，对于D：=2，是锐角，故选：C．3．线段﹣2y+1=0（﹣1≤≤3）的垂直平分线方程为（）A．+2y﹣3=0 B．2+y﹣3=0 C．2+y﹣1=0 D．2﹣y﹣1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出线段的中点坐标，求出线段的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程．【解答】解：=﹣1时，y=0，=3时，y=2，∴（﹣1，0），（3，2）的中点为（1，1），线段﹣2y+1=0的斜率是：==，线段﹣2y+1=0（﹣1≤≤3）的垂直平分线的斜率是：﹣2，故所求直线方程是：y﹣1=﹣2（﹣1），即：2+y﹣3=0，故选：B．4．函数y=ln与y=﹣2+6的图象有交点P（0，y0），若0∈（，+1），则整数的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的图象．【分析】可判断函数f（）=ln﹣6+2连续，从而由零点的判定定理求解．【解答】解：设f（）=ln+2﹣6，因为函数f（）=ln﹣6+2连续，且f（2）=ln2﹣6+4=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3﹣6+6=ln3＞0；故函数y=ln﹣6+2的零点在（2，3）之间，故0∈（2，3）；∵0∈（，+1），∴=2，故选B．5．已知a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，则下列大小关系正确的是（）A．a b＜b a＜log a b B．b a＜log a b＜a b C．log a b＜b a＜a b D．log a b＜a b＜b a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a、b∈R，且满足0＜a＜1＜b，∴log a b＜log a1=0，b a＞b0=a0＞a b＞0，∴log a b＜a b＜b a．故选：D．6．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【解答】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=故选A7．给出下面四个命题（其中m，n，l为空间中不同的三条直线，α，β为空间中不同的两个平面）：①m∥n，n∥α⇒m∥α②α⊥β，α∩β=m，l⊥m⇒l⊥β；③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α④m∩n=A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β．其中错误的命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①根据线面平行的判定定理进行判断．②根据线面垂直的性质定理进行判断．③根据线面垂直的定义进行判断．④根据面面平行的判定定理进行判断．【解答】解：①m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故①错误，②α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β或l∥β或l⊂β或l与β相交；故②错误，③l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，若m与n相交，则l⊥α，否则不成立，故③错误，④若m∩n=A，设过m，n的平面为γ，若m∥α，n∥α，则α∥γ，若m∥β，n∥β，则γ∥β，则α∥β成立．故④正确，故错误是①②③，故选：C．8．若不等式a||＞2﹣对任意∈[﹣1，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（，1）∪（1，+∞）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，1）∪（1，2）D．（0，）∪（1，2）【考点】函数恒成立问题．【分析】设f（）=a||，g（）=2﹣，根据不等式的大小关系转化为两个函数的图象关系，利用分类讨论以及数形结合进行求解即可．【解答】解：设f（）=a||，g（）=2﹣，当∈[﹣1，1]时，g（）∈[﹣，]，∵f（）和g（）都是偶函数，∴只要保证当∈[0，1]时，不等式a||＞2﹣恒成立即可．当∈[0，1]时，f（）=a，若a＞1时，f（）=a≥1，此时不等式a||＞2﹣恒成立，满足条件．若0＜a＜1时，f（）=a为减函数，而g（）为增函数，此时要使不等式a||＞2﹣恒成立，则只需要f（1）＞g（1）即可，即a＞1﹣=，此时＜a＜1，综上＜a＜1或a＞1，故选：A．9．在四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，底面是正方形（如图），在棱PB，PC上各有一点M、N，且四边形AMND的周长最小，点S从A出发依次沿四边形AM，MN，ND运动至点D，记点S行进的路程为，棱锥S﹣ABCD的体积为V（），则函数V（）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据棱锥的体积公式求出函数的解析式，并根据正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4，求出的范围，判断函数的图象即可．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，各侧面是全等的等腰三角形，腰长为4且顶角为30°，∴BC2=PB2+PC2﹣2PB•PCcos30°=16+16﹣2×4×4×=32﹣16，∴底面正方形的面积s=32﹣16，h=tan30°，∴V（）=sh=tan30°，为线性函数，∵四边形AMND的周长最小，正四棱锥侧面展开图如图所示，∴正四棱锥侧面展开图，从A到D最短距离为直角三角形PAD的斜边为4，∴≤4故选：C．10．已知函数f（）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（lga）+f（lg）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．[，10]C．（0，10]D．[，1]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（）是定义在R上的偶函数，∴f（lga）+f（lg）≤2f（1），等价为f（lga）+f（﹣lga）=2f（lga）≤2f（1），即f（lga）≤f（1）．∵函数f（）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，∴f（lga）≤f（1）等价为f（|lga|）≤f（1）．即|lga|≤1，∴﹣1≤lga≤1，解得≤a≤10，故选：B．11．在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为﹣y+1=0和+y﹣7=0，若⊙C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M、N的坐标分别为（﹣m，0）（m，0），则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出⊙C的方程，过P，M，N的圆的方程，两圆外切时，m取得最大值．【解答】解：由题意，∴A（3，3）是⊙C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为﹣y+1=0和+y﹣7=0，∴圆上不相同的两点为B（2，4，），D（4，4），∵A（3，3），BA⊥DA∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，∴⊙C的方程为（﹣3）2+（y﹣4）2=1．过P，M，N的圆的方程为2+y2=m2，∴两圆外切时，m的最大值为+1=6，故选：C．12．若关于m、n的二元方程组有两组不同的实数解，则实数的取值范围是（）A．（0，）B．（，+∞）C．（，]D．（，]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意作函数n=1+与直线n=（m﹣2）+4的图象，从而化为图象的交点的个数问题，从而解得．【解答】解：由题意作函数n=1+与直线n=（m﹣2）+4的图象如下，直线n=（m﹣2）+4过定点A（2，4），当直线n=（m﹣2）+4过点C时，=2，解得，=，当直线n=（m﹣2）+4过点B时，==，结合图象可知，＜≤，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），若点M在y轴上，且|MA|=|MB|，则M的坐标是．【考点】空间两点间的距离公式；空间中的点的坐标．【分析】设出点M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立关于参数y的方程，求y值即可．【解答】解：设设M（0，y，0），由|MA|=|MB|，可得=，即y2+5=（y+3）2+2，解得：y=﹣1．M的坐标是（0，﹣1，0）．故答案为：（0，﹣1，0）．14．若函数y=﹣2+a﹣2在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为．【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：函数y=﹣2+a﹣2，对称轴=，若函数在区间（0，3]上既有最大值又有最小值，∴0＜≤，解得：0＜a≤3，故答案为：（0，3]．15．已知函数，则满足不等式的实数m的取值范围为．【考点】指、对数不等式的解法；函数单调性的性质．【分析】由函数的解析式求得f（）==2，画出函数f（）的图象，求得A、B的横坐标，可得满足不等式的实数m的取值范围【解答】解：∵函数，∴f（）==2，∴函数f（）的图象如图所示：令=2，求得=，故点A的横坐标为，令3﹣3=2，求得=log35，故点B的横坐标为log35．∴不等式，即f（m）≤2．顾满足f（m）≤2的实数m的取值范围为，故答案为．16．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）．①当点N是棱B1C1的中点时，MN∥平面ACC1A1；②MN⊥A1C；=a3；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A BC④点M是该多面体外接球的球心．其中正确的是．【考点】棱柱的结构特征．【分析】本题是直观图和三视图的综合分析题，要抓住M是A1B的中点，N是棱B1C1上的任意一点（含顶点）就是动点，从三视图抓住直观图的特征，结合下情况分别证明．【解答】解：①M连接AB中点E，N连接BC中点F，得到MNFE平行于平面ACC1A1，面面平行⇒线面平行，①正确；②M连接A1C中点G，连接C1G，A1C⊥平面MNC1G．∴MN⊥A1C；②正确；===a3，③正确；③三棱锥N﹣A1BC的体积为V N﹣A④由三视图可知：此多面体是正方体切割下了的，M是A1B的中点（空间对角线中点），是正方体中心，∴点M是该多面体外接球的球心．故④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知直线l1：+my+1=0和l2：（m﹣3）﹣2y+（13﹣7m）=0．（1）若l1⊥l2，求实数m的值；（2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d．【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）由垂直可得1•（m﹣3）﹣2m=0，解方程可得；（2）由l1∥l2可得m值，可得直线方程，由平行线间的距离公式可得．【解答】解：（1）∵直线l1：+my+1=0和l2：（m﹣3）﹣2y+（13﹣7m）=0，∴当l1⊥l2时，1•（m﹣3）﹣2m=0，解得m=﹣3；（2）由l1∥l2可得m（m﹣3）+2=0，解得m=1或m=﹣2，当m=2时，l1与l2重合，应舍去，当m=1时，可得l1：+y+1=0，l2：﹣2﹣2y+6=0，即+y﹣3=0，由平行线间的距离公式可得d==218．已知函数f（）=log a（﹣﹣1）+log a（+3），其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（）的定义域；（2）求函数f（）的值域．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据函数成立的条件即可求函数f（）的定义域；（2）根据对数的运算性质，以及符合函数的值域的求法，即可得到答案，需要分类讨论．【解答】解：（1）要使函数有意义，则．解得：﹣3＜＜﹣1．即f（）的为定义域（﹣3，1），（2）f（）=log a（﹣﹣1）+log a（+3）=log a[﹣（+1）（+3）]，令t=﹣（+1）（+3），∵﹣3＜＜﹣1，∴0＜t≤1，当0＜a＜1时，值域为[0，+∞），当a＞1时，值域为（﹣∞，0]．19．如图，△PAD与正方形ABCD共用一边AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，点E 是棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若直线PA与平面ABCD所成角为60°，求点A到平面BDE的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，证明PC∥OE，即可证明PC∥平面BDE；（2）取AD的中点N，连接PN，证明∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角，利用等体积方法求点A 到平面BDE的距离．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO，则∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵点E是棱PA的中点，∴PC∥OE，∵OE⊂平面BDE，BD⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE；（2）解：取AD的中点N，连接PN，则∵PA=PD，∴PN⊥AD，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PN⊥平面ABCD，∴∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角∴∠PAN=60°∴PA=PD=AD=2，∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥平面PAD，==，∴V B﹣DAERt△EAB中，EA=1，AB=2，BE=，∵，BD=2，∴DE⊥EB，==．∴S△BDE设点A到平面BDE的距离为h．则，∴h=，∴点A到平面BDE的距离为．20．已知函数f（）=（a、b、c∈）是奇函数．（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（）；（2）若b=1，且f（）＞1对任意的∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数是奇函数求出c=0，根据f（1），f（2）的值求出a，b从而求出f（）即可；（2）问题转化为a＞=+对任意∈（1，+∞）恒成立，令t=，从而求出a的最小值．【解答】解：（1）∵f（）是奇函数，∴f（）+f（﹣）=0，即=0，∴c=0，∴f（）=，又f（1）==1，∴b=a﹣2，f（2）﹣4=﹣4＞0，∴﹣4=＞0，∴2＜a＜，∵a∈，∴a=3，b=1，∴f（）=；（2）b=1时，由（1）得：f（）=，f （）＞1恒成立即＞1对任意∈（1，+∞）恒成立，即a ＞=+对任意∈（1，+∞）恒成立，令t=，∴t ∈（0，1），于是+=2t 2+t ∈（0，3），∴a ≥3，a 的最小值是3．21．如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD=8，BC=6，AB=2，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB ，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）若BE=3，求几何体BEC ﹣AFD 的体积；（2）求三棱锥A ﹣CDF 的体积的最大值，并求此时二面角A ﹣CD ﹣E 的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）推导出FD ⊥平面ABEF ，从而AF ⊥平面EFDC ，CE ⊥平面ABEF ，连结FC ，将几何体BEC﹣AFD 分成三棱锥A ﹣CDF 和四棱锥C ﹣ABEF ，由此能求出几何体BEC ﹣AFD 的体积．（2）设BE=，则AF=（0＜≤6），FD=8﹣，V 三棱锥A ﹣CDF =，当=4时，V 三棱锥A ﹣CDF 有最大值，∠ACF 为二面角A ﹣CD ﹣E 的平面角，由此能求出二面角A ﹣CD ﹣E 的正切值．【解答】解：（1）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC=EF ，FD ⊥EF ，∴FD ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ，∴FD ⊥AF ，又AF ⊥EF ，FD ∩EF=F ，∴AF ⊥平面EFDC ，同理，CE ⊥平面ABEF ，连结FC ，将几何体BEC ﹣AFD 分成三棱锥A ﹣CDF 和四棱锥C ﹣ABEF ，对于三棱锥A ﹣CDF ，棱锥高为AF=BE=3，FD=5，∴V 三棱锥A ﹣CDF ===5，对于四棱锥C ﹣ABEF ，棱锥高为CE=3，∴V 四棱锥C ﹣ABEF ===6，∴几何体BEC ﹣AFD 的体积V=V 三棱锥A ﹣CDF +V 四棱锥C ﹣ABEF =5+6=11．（2）设BE=，∴AF=（0＜≤6），FD=8﹣，=，∴V三棱锥A﹣CDF∴当=4时，V有最大值，且最大值为，三棱锥A﹣CDF在直角梯形CDEF中，EF=2，CE=2，DF=4，∴CF=2，CD=2，DF=4，∴CF2+CD2=DF2，∠DCF=90°，∴DC⊥CF，又AF⊥平面EFDC，DC⊂平面EFDC，∴DC⊥AF，又AF∩CF=F，∴DC⊥平面ACF，∴DC⊥AC，∴∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角，tan==，∴二面角A﹣CD﹣E的正切值为．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|=2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设M（，y），由|MA|=2|MB|，利用两点之间的距离公式即可得出．（2）令=0，可得P（0，2）．直线l的方程为：y=+2，（≠0）代入圆的方程可得：（1+2）2﹣4=0，解出可得Q坐标，|PQ|．求出点C到直线l的距离d，△CPQ面积S=|PQ|•d，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设M（，y），∵|MA|=2|MB|，∴=2，化为：（﹣2）2+（y﹣2）2=4．（2）令=0，解得y=2，∴P（0，2）．直线l的方程为：y=+2，（≠0）代入圆的方程可得：（1+2）2﹣4=0，解得=0，或=．∴Q．∴|PQ|==．点C到直线l的距离d==．∴△CPQ面积S=|PQ|•d=××==≤=1，当且仅当||=1时取等号．∴△CPQ面积的最大值1时，此时直线l的方程为：y=±+2．。

2017-2018学年上学期期末考试 高中一年级 数学 参考答案一、选择题二、填空题13. 1314. {}6,5,2- 15.55-16. {}1,0,1-三、解答题17.解：{}1A aa=-，，{}2,B b =，.................................2分 （Ⅰ）若2a =，则{}12A =，，A B=∴11b a =-=.若12a -=，则3a =，{}23A =，，∴3b =.综上，b的值为1或3.......................................5分 （Ⅱ）∵{|24}C x x =<<，,A C C A C=∴⊆,.................................7分 ∴24,214a a <<⎧⎨<-<⎩∴34a <<. ∴a的取值范围是（3,4）.......................................10分 18.解：(I)直线BC的斜率32141BC k +==+.∴BC边上的高线斜率1-=k，........................... ......3分∴BC边上的高线方程为：()23y x-=-+即：10x y++=，......................... ..............6分(II) )2,1(),3,4(--CB由)2,1(),3,4(--CB得直线BC的方程为：10x y--=........................... ......9分A∴到直线BC的距离d==1152ABC S ∆∴=⨯=........................................12分19.解：根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶，设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为()48040152040x x--=-，.......................3分 由于x >，且520x ->，即0x <<，.......................................6分于是,可得()520y x =-240522,x xx =-+-<<.......................9分 易知，当6.5x =时，y有最大值，所以，只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.......................12分 20.证明（Ⅰ）CDEFABCD 平面平面⊥，CDCDEF ABCD =平面平面 ,在正方形CDEF中,ED DC ⊥∴ABCDED 平面⊥,ED BC∴⊥.................................2分取DC的中点G连接BG，12DG DC =,在四边形ABCD中，//,AB DC 12AB DC =,ABGD四边形∴为平行四边形，所以,点B在以DC为直径的圆上，所以DB BC⊥,............................4分 又ED BD D=,所以BBC 平面⊥,......................................6分 （Ⅱ）如图,取DC的中点G，连接AG,在DC上取点P使13DP DC =,连接NP13D ND P D ED C ==，//PN EC ∴,//PN BCE∴面,................8分连接MP，23DM DP G DC DA DG ∴==为中点，,//MP AG ∴.又//,,AB CG AB CG ABCG=∴为平行四边形，//AG BC∴,//MP BC∴,//MP BCE∴面,.................................10分 又MP NP P=，MNP BCE ∴平面//平面. MNPMN 平面⊂ ,所以MN//平面B........................................12分21.解：（Ⅰ）当3m =时， f(x)为R 上的奇函数。

2017-2018 洛阳市高一第一学期期末考试数学试卷1、【答案】 C【分析】会合 N 表示的全部的奇数集，且是从 1 开始的。

因此 P M N {1,3} ,其子集个数 为 22 4 个，即 {1},{3},{ 1,3},2、【答案】 B【分析】圆心为（ 1，2），半径为 1 的圆的标准方程为 ( x 1)2 ( y 2) 2 1 ，化为一般方程为 x 2 y 2 2x 4 y 4 0 ，对照所给的一般方程，能够得出a 2,b 4,c 4 。

应选 B 。

3、【答案】 D2 3 1 1【分析】 a 0 a 1 b 2 1 c l o g 1 e 08 2因此 b a c4、【答案】 A【分析】∵ 圆锥的轴截面为边长为 2 的正三角形∴ 圆锥的母线长为 2，且底面圆的直径为 2，即半径为 1。

∴ 圆锥的侧面积为 S 侧 1 Cl1 2 2 2 ，圆锥的底面积为 S 底 12 圆锥的表面积为 3 22 ∴ 。

5、【答案】 C【分析】 A 选项： , 可能是平行或许订交B 选项： n 与 订交或平行或 nC 选项：面面平行的判判定理推论：垂直于同向来线的两个平面平行。

D 选项：也可能是 n6、【答案】 A【分析】∵ 点 (x 0 , y 0 ) 在 x 2y 2 r 2 上， ∴ x 02 y 02 r 2 圆心 (0,0) 到直线 x 0 x y 0 yr 2 的距离为 d r 2 y 02 r 2 rx 02 r ∴ 直线与圆相切。

7、【答案】 D【分析】∵ f (x) 是定义在 R 上的偶函数。

∴ f ( x) f (x) 当 x 0时， x 0 ， f ( x) ( x)2 2( x) x 2 2x ，即 f (x) x 2 2x 。

∴f ( x) 的分析式为 f (x) x 2 2x x 0 0 x 22x x 。

且 f (0) 0 ∵ x 0 ① 或 x 0 ② x f ( x) 0 ∴2 2x 0 x 2 2x 0x 解不等式组①得： x 2解不等式组②得： 2 x 0 ∴ x 的取值范围是 x 2 或 2 x 0 。

2018-2019学年河南省洛阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】解：集合，，，故A正确，B错误；，故C，D错误；故选：A．解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．2. 已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】解：圆：化为标准形式是，圆心是，半径是；圆：化为标准形式是，圆心是，半径是；则，两圆外离，公切线有4条．故选：D．求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆外离，公切线有4条．本题考查了两圆的一般方程与位置关系应用问题，是基础题．3. 三个数，，大小的顺序是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由指数函数和对数函数的图象可知：，，，所以故选：A．由指数函数和对数函数的图象可以判断，，和0和1的大小，从而可以判断，，的大小．本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查．4. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】解：若，，则m，n相交或平行或异面，故A错；B.若，，则，故B正确；C.若，，则或，故C错；D.若，，则或或，故D错．故选：B．A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B.运用线面垂直的性质，即可判断；C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5. 在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】解：如图，平面ABC，，则，故四个面均为直角三角形．故选：D．作出图形，能够做到PA与AB，AC垂直，BC与BA，BP垂直，得解．此题考查了线面垂直等问题，难度不大．6. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：依题意可知圆心坐标为，到直线的距离是5，与直线距离是1的直线有两个和，圆心到距离为到距离是．如果圆与相交，那么圆也肯定与相交，交点个数多于两个，于是圆上点到的距离等于1的点不止两个，所以圆与不相交，如果圆与的距离小于等于1，那么圆与和交点个数和至多为1个，所以圆只能与相交，与相离，所以．故选：A．先根据圆的方程求得圆心坐标和圆心到已知直线的距离，进而可推断出与直线距离是1的两个直线方程，分别求得圆心到这两直线的距离，分析如果与相交那么圆也肯定与相交交点个数多于两个，则到直线的距离等于1的点不止2个，进而推断出圆与不相交；同时如果圆与的距离小于等于1那么圆与和交点个数和至多为1个也不符合题意，最后综合可知圆只能与相交，与相离，进而求得半径r的范围．本题主要考查了圆与圆的位置关系和判定考查了学生分析问题和数形结合思想的运用要求学生有严密的逻辑思维能力．7. 已知定义在R上的函数满足，，则A. B. 0 C. 1 D. 3【答案】B【解析】解：定义在R上的函数满足，可知函数是奇函数，．，可得，所以，函数的周期是6．．故选：B．判断函数的奇偶性以及函数的周期性，化简求解函数值即可．本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A. B. C. D. 2【答案】B【解析】解：由三视图可得直观图，再四棱锥中，最长的棱为PA，即，故选：B．根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．9. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为，代入欧拉线方程得：，整理得：AB的中点为，直线AB的斜率，AB的中垂线方程为，即．联立，解得．的外心为．则，整理得：联立得：，或，．当，时B，C重合，舍去．顶点C的坐标是．故选：A．设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法．10. 设函数的最小值为，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：当时，，当时，取得最小值；当时，，即有在递减，则，由题意可得，解得．故选：C．运用指数函数的单调性和二次函数的单调性，分别求出当时，当时，函数的值域，由题意可得a的不等式，计算即可得到．本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．11. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：要使切线长最小，必须直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离m，由点到直线的距离公式得，由勾股定理求得切线长的最小值为．故选：B．要使切线长最小，必须直线上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用．12. 已知函数与的图象关于y轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”若区间为函数的“不动区间”，则实数t的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数与的图象关于y轴对称，，区间为函数的“不动区间”，函数和函数在上单调性相同，和函数的单调性相反，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即，故选：C．若区间为函数的“不动区间”，则函数和函数在上单调性相同，则在上恒成立，进而得到答案．本题考查的知识点是函数恒成立问题，指数函数的图象和性质，正确理解不动区间的定义，是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．【答案】12【解析】解：当时，，，又函数是定义在R上的奇函数，，故答案为：12由已知中当时，，先求出，进而根据奇函数的性质，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．14. 在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是______．【答案】【解析】解：设该点的坐标是y，，该点到三个坐标轴的距离都是1，，，，，该点到原点的距离是．故答案为：．设出该点的坐标，根据题意列方程组，从而求得该点到原点的距离．本题考查了空间中点的坐标与应用问题，是基础题．15. 函数的单调递增区间是______．【答案】【解析】解：由得或，设，则是增函数，要求函数的单调递增区间，等价为求函数的递增区间，的递增区间为，则函数的递增区间为，故答案为：求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可．本题主要考查复合函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．16. 如图，矩形ABCD中，，，平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足，则a的值等于______．【答案】2【解析】解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．平面ABCD，，由三垂线定理的逆定理可得．点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又在BC上有且仅有一个点Q满足，与圆O相切，否则相交就有两点满足垂直，矛盾，，，，即．故答案为：2．利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．本题体现转化的数学思想，转化为BC与以线段AD的中点O为圆心的圆相切是关键，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知：，：，分别求m的值，使得和：垂直；平行；重合；相交．【答案】解：若和垂直，则若和平行，则若和重合，则若和相交，则由可知且【解析】若和垂直，则若和平行，则若和重合，则若和相交，则由的情况去掉即可本题主要考查了两直线的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线的不同位置的条件一般式方程的表示18. 有两直线和，当a在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值．【答案】解：，可得：，与坐标轴的交点，．：，与坐标轴的交点，两直线和，都经过定点，即．四边形，当时取等号．，与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．【解析】利用直线方程，求出相关点的坐标，利用直线系解得根据四边形即可得出．本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. 如图，在圆锥PO中，已知，圆O的直径，C是弧AB的中点，D为AC的中点．求异面直线PD和BC所成的角求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．【答案】解：，D分别是AB和AC的中点，，异面直线PD和BC所成的角为，在中，，C是AB的中点，D为AC的中点，，又，面ABC，，异面直线PD和BC所成的角为．，D是AC的中点，，又底面ABC，底面ABC，，，平面POD，又平面PAC，平面平面PAC，在平面POD中，过O作于H，则平面PAC，连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，是直线OC和平面PAC所成的角．在中，，在中，．直线OC和平面PAC所成角的正弦值为．【解析】由已知得，从而异面直线PD和BC所成的角为，由此能求出异面直线PD和BC所成的角．在平面POD中，过O作于H，由已知得是直线OC和平面PAC所成的角由此能求出直线OC 和平面PAC所成角的正弦值．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线面解的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20. 已知函数，．若函数在上至少有一个零点，求a的取值范围；若函数在上的最大值为3，求a的值．【答案】解：由函数在R上至少有一个零点，即方程至少有一个实数根．，解得．函数图象的对称轴方程是．当，即时，，解得：；，即时，，，，，解得：，即时，，解得：，综上，或．【解析】由函数在R上至少有一个零点方程至少有一个实数根，解出即可；通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标2的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了二次函数零点与一元二次方程的实数根的关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系、二次函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．21. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且，．求证：；求二面角的大小．【答案】解：由已知可得，，，，于是有，，所以，又，所以平面CEF由平面CEF，故CF；在中，由可得，，于是有，所以，又由知，且，所以平面又平面，故CF于是即为二面角的平面角由知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角的大小为【解析】欲证平面CEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面CEF内两相交直线垂直，根据勾股定理可知，，又，满足线面垂直的判定定理，最后根据线面垂直的性质可知；根据勾股定理可知，根据线面垂直的判定定理可知平面，而平面，则，从而即为二面角的平面角，在是等腰直角三角形，求出此角即可．本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力．22. 已知直线l：与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：相外切．求动圆圆心M的轨迹C的方程．若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．【答案】解：设动圆的圆心M坐标，动圆M与直线l相切，并且和圆O：相外切，，即．整理得：．动圆圆心M的轨迹C的方程为．存在以MN为直径的圆过点A．事实上，过原点倾斜角为的直线方程为．联立，得．设，，则，．若存在以MN为直径的圆过点A，则，即，解得：，舍去．时，存在以MN为直径的圆过点A．【解析】设出动圆圆心坐标，由动圆圆心到切线的距离等于动圆与定圆的圆心距减定圆的半径列式求解动圆圆心的轨迹方程；求出过原点且倾斜角为的直线方程，和曲线C联立后利用根与系数关系得到M，N的横纵坐标的和与积，由列式求解m的值，结合m的范围说明存在以MN为直径的圆过点A．本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．。

河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A=，B=，则（）A. A B=B. A BC. A BD. A B=R【答案】A【解析】由得，所以，选A．2.已知圆：与圆：，则两圆的公切线条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】圆C1：x2+y2﹣2x＝0化为标准形式是（x﹣1）2+y2＝1，圆心是C1（1，0），半径是r1＝1；圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0化为标准形式是x2+（y﹣2）2＝1，圆心是C2（0，2），半径是r2＝1；则|C1C2|r1+r2，∴两圆外离，公切线有4条．故选：D．3.三个数大小的顺序是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以.4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A. 若则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】A．若则与可能平行、相交、异面，故A错误；B．若，，则，显然成立；C．若，，则或故C错误；D．若，，则或或与相交.5.在四面体的四个面中，是直角三角形的至多有A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】如图，P A⊥平面ABC，CB⊥AB，则CB⊥BP，故四个面均为直角三角形．故选：D．6.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是（）A. (4,6)B.C.D.【答案】A【解析】因为圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为5,所以要使圆上有且只有两个点到直线的距离等于1,r须满足.7.已知定义在上的函数满足，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A. 3B. 2C. 2D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（，），代入欧拉线方程得：2＝0，整理得：m﹣n+4＝0 ①AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．联立，解得．∴△ABC的外心为（﹣1，1）．则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（﹣4，0）．故选：A．10.设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.11.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过圆心向已知直线引垂线，垂足为M，过点M做圆的切线，切线长最短，先求圆心到直线的距离，圆的半径为1，则切线长的最小值为，选B.12.已知函数与的图象关于轴对称，当函数和在区间同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知与在上单调性相同，当两个函数单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得；当两个函数单调递减时，的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数．综上所述，，故选C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. 【答案】12【解析】函数是定义在上的奇函数，，则，.14.在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是______．【答案】【解析】设该点的坐标是（x，y，z），∵该点到三个坐标轴的距离都是1，∴x2+y2＝1，x2+z2＝1，y2+z2＝1，∴x2+y2+z2，∴该点到原点的距离是．故答案为：．15.函数的单调递增区间是______．【答案】（4，+∞）【解析】由得，，令，则，时，为减函数；时，为增函数；为增函数，故函数的单调区间是，答案为.16.如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.【答案】【解析】连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．∵P A⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，即a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知：，：，分别求m的值，使得和：垂直；平行；重合；相交．解：若和垂直，则,.若和平行，则,,.若和重合，则，.若和相交，则由可知且.18.有两直线和，当a在区间内变化时，求直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值．解：∵0＜a＜2，可得l1：ax﹣2y＝2a﹣4，与坐标轴的交点A（0，﹣a+2），B（2，0）．l2：2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，与坐标轴的交点C（a2+1，0），D（0，）．两直线ax﹣2y﹣2a+4＝0和2x﹣（1﹣a2）y﹣2﹣2a2＝0，都经过定点（2，2），即y E＝2．∴S四边形OCEA＝S△BCE﹣S△OAB|BC|•y E|OA|•|OB|（a21）×2（2﹣a）×（2）＝a2﹣a+3＝（a）2，当a时取等号．∴l1，l2与坐标轴围成的四边形面积的最小值为．19.如图，在圆锥中，已知PO=，圆O的直径AB=2，C是弧AB的中点，D为AC的中点．（1）求异面直线PD和BC所成的角的正切值；（2）求直线和平面所成角的正弦值．解：（1）O，D分别是AB和AC的中点，OD//BC，异面直线PD和BC所成的角为∠PDO.在△ABC中，的中点，，又，，.（2）因为又所以又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．在，在.20.已知函数.（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；（2）若函数在上的最大值为3，求的值.解：（1）由.（2）化简得，当，即时，；当，即时，，，（舍）；当，即时，，综上，或.21.如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且．（1）求证：；（2）求二面角的大小．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得（1）证明：，所以.（2），设平面的一个法向量为，由，得，即，解得，可取. 设侧面的一个法向量为，由，及，可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得，所以.即所求二面角的大小为.22.已知直线l：与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：相外切．高一上学期期末考试数学试题11求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；若过原点且倾斜角为的直线与曲线C 交于M ，N 两点，问是否存在以MN 为直径的圆过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．解：（1）设动圆圆心为，则，化简得（），这就是动圆圆心的轨迹的方程.（2）直线的方程为，代入曲线的方程得，显然. 设，，则，， 而若以为直径的圆过点，则， ∴，由此得，∴，即. 解得>-2 故不存在以为直径的圆过点.。

河南省洛阳市2017-2018学年上学期期末高一数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n3．若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A． x﹣y++2=0 B． x+y++2=0 C． x﹣y+﹣2=0 D． x﹣y﹣+2=0），b=f（2），c=f（3），则（）6．已知函数f（x）=，若a=f（log3A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c7．如果实数x，y满足（x﹣2）2+y2=2，则的范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1] C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（）A．（﹣∞，0） B．[1，2）C．（﹣1，5] D．[4，6]9．圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．4π+8B ．8π+16C ．16π+16D ．16π+4810．由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A ，B ，C ，D 在同一平面上，ABCD 是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．1125π B ．3375π C ．450π D ．900π11．设函数f （x ）是定义在R 上的函数，满足f （x ）=f （4﹣x ），且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1+2）﹣f （x 2+2）]＞0，则满足f （2﹣x ）=f （）的所有x 的和为（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．﹣8D ．812．已知点P （t ，t ﹣1），t ∈R ，点E 是圆x 2+y 2=上的动点，点F 是圆（x ﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．满足42x ﹣1＞（）﹣x ﹣4的实数x 的取值范围为 ．14．已知直线l 1：ax+4y ﹣1=0，l 2：x+ay ﹣=0，若l 1∥l 2，则实数a= ．15．若函数f （x ）=，则f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （）+f （）= ．16．方程=ax+a 由两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点分别为A （2，4），B （1，﹣3），C （﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．18．已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．20．已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．22．已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD的方程．河南省洛阳市2017-2018学年上学期期末高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合A={x∈N+|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B={0，1，2}．故选：A．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则 m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故A错误；若m∥α，m⊥n，则n与α关系不确定，故B错误；根据线面垂直的性质定理，可得C正确；若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m与n关系不确定，故D错误．故选C．3．若三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4，交于一点，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【考点】两条直线的交点坐标．【分析】联立y=3x，x+y=4，解得（x，y），由于三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，把点代入ax+y+1=0，即可解得a的值．【解答】解：联立y=3x，x+y=4，，解得，∵三条直线ax+y+1=0，y=3x，x+y=4相交于一点，∴把点（1，3）代入ax+y+1=0，可得a+3+1=0，解得a=﹣4．故选：B．4．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设C在平面xoy上的射影为D，则可得OA⊥平面ACD，故∠CAD为所求二面角的平面角．【解答】解：设C在平面xoy上的射影为D（2，2，0），连接AD，CD，BD，则CD=2，AD=OA=2，四边形OBDA是正方形，∴OA⊥平面ACD，∴∠CAD为二面角C﹣OA﹣B的平面角，∵tan∠CAD===，∴∠CAD=60°．故选C．5．已知倾斜角60°为的直线l 平分圆：x 2+y 2+2x+4y ﹣4=0，则直线l 的方程为（ ）A ．x ﹣y++2=0B ．x+y++2=0 C ．x ﹣y+﹣2=0 D ．x ﹣y ﹣+2=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】倾斜角60°的直线方程，设为y=x+b ，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．【解答】解：倾斜角60°的直线方程，设为y=x+b ．圆：x 2+y 2+2x+4y ﹣4=0化为（x+1）2+（y+2）2=9，圆心坐标（﹣1，﹣2）．因为直线平分圆，圆心在直线y=x+b 上，所以﹣2=﹣+b ，解得b=﹣2，故所求直线方程为x ﹣y+﹣2=0．故选C ．6．已知函数f （x ）=，若a=f （log 3），b=f （2），c=f （3），则（ ）A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数运用对数函数的单调性求出a ＞1，运用指数函数的单调性，判断0＜c ＜b ＜1，进而得到a ，b ，c 的大小．【解答】解：函数f （x ）=，则a=f （log 3）=1﹣log 3=1+log 32＞1，b=f （2）=f （）=2∈（0，1），c=f （3）=2∈（0，1），由y=2x 在R 上递增，﹣＜﹣，可得2＜2，则c ＜b ＜a ， 故选：D ．7．如果实数x ，y 满足（x ﹣2）2+y 2=2，则的范围是（ ） A ．（﹣1，1） B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设=k，求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围，由数形结合法，易得答案．【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的范围就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的范围．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=，可由勾股定理求得|OE|=，于是可得到k=1，即为的最大值．同理，的最小值为﹣1，故选B．8．已知函数f（x）=（a∈A），若f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合A可以是（）A．（﹣∞，0） B．[1，2）C．（﹣1，5] D．[4，6]【考点】函数单调性的性质．【分析】根据f（x）在区间（0，1]上是减函数，对a进行讨论，依次考查各选项即可得结论．【解答】解：由题意，f（x）在区间（0，1]上是减函数．函数f（x）=（a∈A），当a=0时，函数f（x）不存在单调性性，故排除C．当a＜0时，函数y=在（0，1]上是增函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是减函数，故A对．当1≤a＜2时，函数y=在（0，1]上是减函数，而分母是负数，可得f（x）在区间（0，1]上是增函数，故B不对．当4≤a≤6时，函数y=在（0，1]上可能没有意义．故D不对．故选A．9．圆柱被一个平面截去一部分后与一个四棱锥组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+8 B．8π+16 C．16π+16 D．16π+48【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，分别计算体积可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半圆柱与四棱锥的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为： =8π，四棱锥的底面面积为：4×4=16，高为3，故体积为：16，故组合体的体积V=8π+16，故选：B10．由8个面围成的几何体，每个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一平面上，ABCD是边长为15的正方形，则该几何体的外接球的体积为（）A．1125πB．3375πC．450πD．900π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该几何体是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD是正方形，边长为15，从而求出该几何体的外接球的半径R=，由此能求出该几何体的外接球的体积．【解答】解：该几何体的直观图如图所示，这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，ABCD 是正方形，边长为15，∴BO==，EO==，∴该几何体的外接球的半径R=，∴该几何体的外接球的体积：V==1125．故选：A ．11．设函数f （x ）是定义在R 上的函数，满足f （x ）=f （4﹣x ），且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1+2）﹣f （x 2+2）]＞0，则满足f （2﹣x ）=f （）的所有x 的和为（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．﹣8D ．8【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】确定f （x ）在（2，+∞）上递增，函数关于x=2对称，利用f （2﹣x ）=f （），可得2﹣x=，或2﹣x+=4，即x 2+5x+3=0或x 2+3x ﹣3=0，利用韦达定理，即可得出结论．【解答】解：∵对任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有（x 1﹣x 2）[f （x 1+2）﹣f （x 2+2）]＞0， ∴f （x ）在（2，+∞）上递增， 又∵f （x ）=f （4﹣x ）， ∴f （2﹣x ）=f （2+x ）， 即函数关于x=2对称，∵f （2﹣x ）=f （），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．12．已知点P（t，t﹣1），t∈R，点E是圆x2+y2=上的动点，点F是圆（x﹣3）2+（y+1）2=上的动点，则|PF|﹣|PE|的最大值为（）A．2 B．C．3 D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），由此可得|PF|﹣|PE|的最大值．【解答】解：由题意，P在直线y=x﹣1上运动，E（0，0）关于直线的对称点的坐标为A（1，﹣1），∵F（3，﹣1），∴|PF|﹣|PE|的最大值为|AF|=4，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．满足42x﹣1＞（）﹣x﹣4的实数x的取值范围为（2，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】根据指数函数的定义和性质，把不等式化为2（2x﹣1）＞x+4，求出解集即可．【解答】解：不等式42x﹣1＞（）﹣x﹣4可化为22（2x﹣1）＞2x+4，即2（2x﹣1）＞x+4，解得x＞2，所以实数x的取值范围是（2，+∞）．故选：（2，+∞）．14．已知直线l 1：ax+4y ﹣1=0，l 2：x+ay ﹣=0，若l 1∥l 2，则实数a= ﹣2 ． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】利用直线平行的性质求解．【解答】解：∵直线l 1：ax+4y ﹣1=0，l 2：x+ay ﹣=0，∴，解得a=﹣2（a=2时，两条直线重合，舍去）． 故答案为：﹣2．15．若函数f （x ）=，则f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （）+f （）= 7 ．【考点】函数的值．【分析】先求出f （x ）+f （﹣x ）=2，由此能求出f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f（1）+f （）+f （）的值．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （x ）+f （﹣x ）=+=+=2，∴f （﹣）+f （﹣）+f （﹣1）+f （0）+f （1）+f （）+f （）=2×3+=7．故答案为：7．16．方程=ax+a 由两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 [0，） ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f （x ）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，结合图象可得结论．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．（1）求BC边上的高所在的直线方程；（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．【考点】点到直线的距离公式．【分析】（1）k=﹣，可得BC边上的高所在的直线的斜率为．利用点斜式可得BC边上的BC高所在的直线方程．（2）BC边所在的直线方程为：y+3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y+5=0．可得AC的中点D．利用点D到直线BC的距离d．又|BC|，可得S=．△DBC==﹣，∴BC边上的高所在的直线的斜率为．【解答】解：（1）kBC则BC边上的高所在的直线方程为：y﹣4=（x﹣2），化为：3x﹣4y+10=0．（2）BC边所在的直线方程为：y+3=﹣（x﹣1），化为：4x+3y+5=0．∵D是AC的中点，∴D．点D到直线BC的距离d==．又|BC|==5，∴S△DBC===．18．已知函数f（x）=+．（1）求f（x）的定义域A；（2）若函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1.5，当x∈A时，求函数g（x）的值域．【考点】二次函数的性质；函数的定义域及其求法；函数零点的判定定理．【分析】（1）利用函数有意义，列出不等式组求解即可．（2）利用函数的零点求出a，通过函数的对称轴，求解函数的值域即可．【解答】解：（1）要使函数有意义，必须：，解得1≤x≤3，函数的定义域为：[1，3]．（2）函数g（x）=x2+ax+b的零点为﹣1，5，可得a=﹣（﹣1+5）=﹣4，b=﹣1×5=﹣5，g（x）=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，当x∈A时，即x∈[1，3]时，x=2函数取得最小值：y=﹣9，x=1或3时，函数取得最大值：﹣8．函数g（x）的值域[﹣9，﹣8]．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）设M为AB上一点，且AM=AB，若直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB中点N，连结EN，DN，则DN∥AC，从而DN∥平面ACC1A1，再求出EN∥平面ACC1A1，从而平面DEN∥平面ACC1A1，由此能证明DE∥平面ACC1A1．（2）作DP⊥AB于P，推导出∠DEP是直线DE与直线A1M所成角，由此能求出直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB中点N，连结EN，DN，∵在△ABC中，N为AB中点，D为BC中点，∴DN∥AC，∵DN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴DN∥平面ACC1A1，∵在矩形ABB1A1中，N为AB中点，E为A1B1中点，∴EN∥平面ACC1A1，又DN⊂平面DEN，EN⊂平面DEN，DN∩EN=N，∴平面DEN∥平面ACC1A1，∵DE⊂平面DEN，∴DE∥平面ACC1A1．解：（2）作DP⊥AB于P，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1的所有棱长相等，D为BC的中点，∴DP⊥平面ABB1A1，且PB=AB，又AM=AB，∴MP=AB，∵A1E=EP，A1M=EP，∴∠DEP是直线DE与直线A1M所成角，∴由DP⊥平面ABB1A1，EP⊂平面ABB1A1，得DP⊥EP，设直线三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为a，则在Rt△DPE中，DP=，EP=A1M=a，∴tan∠DEP==．∴直线DE与直线AM所成角的正切值为．120．已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出m的值，从而求出f（x）的解析式，令g（x）=0，求出函数的零点即可；（2）根据函数的奇偶性和单调性，问题转化为t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，解得：m=﹣1，∴f（x）=3x﹣3﹣x，令g（x）=0，即3x﹣3﹣x﹣=0，令t=3x，则t﹣﹣=0，即3t2﹣8t﹣3=0，解得：t=3或t=﹣，∵t=3x≥0，∴t=3即x=1，∴函数g（x）的零点是1；（2）∵对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（1+2at）对任意t∈R恒成立，∵f（x）在R是奇函数也是增函数，∴f（t2+a2﹣a）≥﹣f（﹣1﹣2at）对任意t∈R恒成立，即t2+a2﹣a≥﹣1﹣2at对任意t∈R恒成立，即t2+2at+a2﹣a+1≥0对任意t∈R恒成立，∴△=（2a）2﹣4（a2﹣a+1）≤0，∴a≤1，实数a的范围是（﹣∞，1]．21．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成角为45°（1）若E为PC的中点，求证：PD⊥平面ABE；（2）若CD=，求点B到平面PCD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得AB⊥PD，进而证明结论．（2）设点B的平面PCD的距离为d，利用VB﹣PCD =VP﹣BCD即可得出．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵PC与平面ABCD所成角为45°∴AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解：CD=，可得AC=3，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°=．设点B 的平面PCD 的距离为d ，则V B ﹣PCD =××3××d=d ．在△BCD 中，∠BCD=150°，∴S △BCD =×3×sin150°=．∴V P ﹣BCD =××3=，∵V B ﹣PCD =V P ﹣BCD ，∴d=，解得d=，即点B 到平面PCD 的距离为．22．已知圆心在直线x+y ﹣1=0上且过点A （2，2）的圆C 1与直线3x ﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C 2圆与圆C 1关于直线x ﹣y=0对称，求圆C 2的方程；（2）过直线y=2x ﹣6上一点P 作圆C 2的切线PC ，PD ，切点为C ，D ，当四边形PCC 2D 面积最小时，求直线CD 的方程． 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用过点A （2，2）的圆C 1与直线3x ﹣4y+5=0相切，=，求出圆心与半径，可得圆C 1的方程，利用C 2圆与圆C 1关于直线x ﹣y=0对称，即可求圆C 2的方程；（2）求出四边形PCC 2D 面积最小值，可得以PC 2为直径的圆的方程，即可求直线CD 的方程． 【解答】解：（1）由题意，设C 1（a ，1﹣a ），则 ∵过点A （2，2）的圆C 1与直线3x ﹣4y+5=0相切，∴=，∴（a ﹣2）（a ﹣62）=0 ∵半径小于5，∴a=2，此时圆C 1的方程为（x ﹣2）2+（y+1）2=9， ∵C 2圆与圆C 1关于直线x ﹣y=0对称， ∴圆C 2的方程为（x+1）2+（y ﹣2）2=9； （2）设P （a ，2a ﹣6），圆C 2的半径r=2，∴四边形PCC 2D 面积S=2==3|PD|，|PD|==，=，此时面积最小为3，P（3，0）．∴a=3时，|PD|min为直径的圆上，∵C，D在以PC2∴方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，∵圆C2∴两个方程相减，可得CD的方程为4x﹣2y﹣1=0．。

洛阳市2017-2018学年第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得。

选D。

2. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：令，解得。

∴。

选B。

方法二：∵，∴。

∴。

选B。

3. 下列函数，既有偶函数，又是上的减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】选项A中，函数为奇函数，不合题意，故A不正确；选项B中，函数没有奇偶性，故B不正确；选项C中，函数为偶函数，且在上单调递减，符合题意；选项D中，函数为偶函数，但在上单调递增，不合题意，故D不正确。

选C。

4. 已知集合，若中只有一个元素，则的值是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】当时，，满足题意。

当时，要使集合中只有一个元素，即方程有两个相等的实数根，则，解得。

综上可得或。

选C。

5. 函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得。

∴函数的定义域为。

选A。

6. 方程的解为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∵,.∴函数在区间上有零点。

∴。

选C。

7. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，函数图象的对称轴为，∵函数在区间上单调递增，∴，解得。

∴实数的取值范围是。

选D。

8. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得。

选B。

9. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为。

当时，；当时，。

∴，其图象如选项B所示。

选B。

10. 已知，则，则值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，解得。

又，∴。

选D。

点睛：（1）对于形如的连等式，一般选择用表示x,y的方法求解，以减少变量的个数，给运算带来方便；（2）注意对数式和指数式的转化，即；另外在对数的运算中，还应注意这一结论的应用。

洛阳市2017年10月2017～2018学年度第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】由题意得。

选D。

2.已知,则( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】方法一:令,解得。

∴。

选B。

方法二:∵,∴。

∴。

选B。

3.下列函数,既有偶函数,又是上的减函数的是( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】选项A中,函数为奇函数,不合题意,故A不正确；选项B中,函数没有奇偶性,故B不正确；选项C中,函数为偶函数,且在上单调递减,符合题意；选项D中,函数为偶函数,但在上单调递增,不合题意,故D不正确。

选C。

4.已知集合,若中只有一个元素,则的值是( )A. B. C.或 D.或【参考答案】C【试题解析】当时,,满足题意。

当时,要使集合中只有一个元素,即方程有两个相等的实数根,则,解得。

综上可得或。

选C。

5.函数的定义域是( )A. B. C. D.【参考答案】A【试题解析】由,解得。

∴函数的定义域为。

选A。

6.方程的解为,若,则( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解析】令,∵,.∴函数在区间上有零点。

∴。

选C。

7.若函数在区间上单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】由题意得,函数图象的对称轴为,∵函数在区间上单调递增,∴,解得。

∴实数的取值范围是。

选D。

8.已知,则的值为( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解析】由题意得。

选B。

9.函数的图象大致为( )A. B. C.D.【参考答案】B【试题解析】函数的定义域为。

当时,；当时,。

∴,其图象如选项B所示。

选B。

10.已知,则,则值为( )A. B. C. D.【参考答案】D【试题解析】∵,∴,∴,∴,解得。

洛阳市2017-2018学年第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得。

选D。

2. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方法一：令，解得。

∴。

选B。

方法二：∵，∴。

∴。

选B。

3. 下列函数，既有偶函数，又是上的减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】选项A中，函数为奇函数，不合题意，故A不正确；选项B中，函数没有奇偶性，故B不正确；选项C中，函数为偶函数，且在上单调递减，符合题意；选项D中，函数为偶函数，但在上单调递增，不合题意，故D不正确。

选C。

4. 已知集合，若中只有一个元素，则的值是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】当时，，满足题意。

当时，要使集合中只有一个元素，即方程有两个相等的实数根，则，解得。

综上可得或。

选C。

5. 函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得。

∴函数的定义域为。

选A。

6. 方程的解为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，∵,.∴函数在区间上有零点。

∴。

选C。

7. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，函数图象的对称轴为，∵函数在区间上单调递增，∴，解得。

∴实数的取值范围是。

选D。

8. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得。

选B。

9. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为。

当时，；当时，。

∴，其图象如选项B所示。

选B。

10. 已知，则，则值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，解得。

又，∴。

选D。

点睛：（1）对于形如的连等式，一般选择用表示x,y的方法求解，以减少变量的个数，给运算带来方便；（2）注意对数式和指数式的转化，即；另外在对数的运算中，还应注意这一结论的应用。