立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

1。

【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=。

证明：平面PAB ⊥平面PAD ；【考点】面面垂直的证明2。

【2016年高考北京理数】(本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥,1AB =,2AD =，5AC CD ==（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3)在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD？若存在,求AM AP的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析；（2)33；（3）存在，14AMAP=如图建立空间直角坐标系xyzO-，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -。

设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ,则2,1-==y x . 所以)2,2,1(-=n .又)1,1,1(-=PB ,所以33,cos -=⋅>=<PBn PB n PB n . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等。

3. 【2014年湖北，卷理9】(本小题满分12分) 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（1）当1=λ时，证明:直线//1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直【基础检测】1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( )(4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C ．⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 D ．⎝⎛⎭⎫33，33，－33 3．已知直线l 的方向向量v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是__ __.4．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__ _；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为_ __.5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是__ __.题型一 利用空间向量证明平行问题(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．【例1】如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E，F，G分别是线段P A，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.题型二利用空间向量证明垂直问题证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．【例2】如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．【例3】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC．题型三利用空间向量解决探索性问题对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是先根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．【例4】如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1.若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．【课堂练习】一、选择题1．若直线l ∥平面α，直线l 的方向向量为s ，平面α的法向量为n ，则下列结论可能正确的是( )A ．s ＝(－1,0,2)，n ＝(1,0，－1)B ．s ＝(－1,0,1)，n ＝(1,2，－1)C ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(1,2，－1)D ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(－2,2,2)2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ⊥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0，－1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面α，则x ＝( )A ．－2B ．－2C ．2D ．±24．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，以CD ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，|AB |＝2，|AF |＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．⎝⎛⎭⎫23，23，1C ．⎝⎛⎭⎫22，22，1D ．⎝⎛⎭⎫24，24，15．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．斜交B ．平行C ．垂直D ．不确定二、填空题7．若直线l 的方向向量e ＝(2,1，m )，平面α的法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ⊥α， 则m ＝ _ __.8．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为__ __.9．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是__ __.三、解答题10．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．(1)求证：AG ∥平面BEF ；(2)试在棱长BB 1上找一点M ，使DM ⊥平面BEF ，并证明你的结论．11．(2019·北京西城二模)如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB ．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA ；若不存在，请说明理由．。

第45课时 立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直编者：刘智娟 审核：陈彩余 第一部分 预习案 一、学习目标1. 理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系2. 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用二、知识回顾1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的 向量叫做直线l 的方向向量．(2)如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ 1v ∥2v(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量1v 和2v ，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使＝x 1v ＋y 2v(3)设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则l ∥α或l ⊂α⇔⊥.(4)设平面α和β的法向量分别为1u ，2u ，则α∥β⇔1u ∥2u .3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1⊥l 2⇔1v ⊥2v ⇔1v ·2v ＝0. (2)设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则l ⊥α⇔∥(3)设平面α和β的法向量分别为1u 和2u ，则α⊥β⇔1u ⊥2u ⇔1u ·2u ＝0. 三、基础训练1．两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为1v ＝(1,0，－1)，2v ＝(－2，0,2)，则l 1与l 2的位置关系是__________2．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．3．已知＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的序号是________． ①∥c ，b ∥c ; ②∥b ，⊥c ； ③∥，⊥; ④以上都不对．班级_________学号_________姓名_________4．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量为____________．5．若平面α、β的法向量分别为1v ＝(2，－3,5)，2v ＝(－3,1，－4)，则α、β的位置关系为____________．第二部分 探究案探究一 利用空间向量证明平行问题问题1、如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .探究二 利用空间向量证明垂直问题问题2、如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .探究三利用空间向量解决探索性问题问题3、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．问题4、如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面P AC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．我的收获第三部分训练案见附页。

用向量的方法证明平行与垂直关系平行与垂直是向量的重要性质，可以用向量的方法进行证明。

接下来，我将介绍如何用向量的方法证明平行和垂直关系，以及一些相关的性质和定理。

1.平行性质的证明：两个向量a和b平行的定义是它们的方向相同或相反，并且它们的长度可以不相等。

下面是两个向量平行的证明方法：方法一：向量比例法如果向量a和b平行，那么可以找到一个非零实数k，使得a=k*b。

可以通过比较向量的坐标分量来找到这个常数k。

如果两个向量平行，它们的对应坐标分量之间的比值应该相等。

举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,4,6)，我们可以通过将它们的相同位置的坐标分量相除来证明它们平行，如下所示：1/2=2/4=3/6=1/2这表明向量a和b的对应坐标分量比值相等，因此它们是平行的。

方法二：向量点乘法如果两个向量a和b平行，那么它们的点乘等于它们的长度之积。

即a·b=，a，*，b，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。

假设有向量a=(x1, y1, z1)和向量b=(x2, y2, z2)，那么它们的点乘为a·b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2、另一方面，它们的长度之积为，a，*，b， = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)。

如果将这两个等式相等，即a·b = ，a，*，b，那么可以得出向量a和b平行。

2.垂直性质的证明：两个向量a和b垂直的定义是它们的点乘为零，即a·b=0。

下面是两个向量垂直的证明方法：方法一：向量内积法两个向量a和b的点乘为a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2、如果a·b=0，那么可以证明向量a和b垂直。

举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,-2)，我们可以计算它们的点乘为：a·b=1*2+2*(-1)+3*(-2)=0因此，向量a和b垂直。

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。

第44讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直考纲要求考情分析命题趋势1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一__非零__向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔__v 1∥v 2__. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔__存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2__.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔__v ⊥u __. (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔__u 1∥u 2__. 3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2， 则l 1⊥l 2⇔__v 1⊥v 2__⇔__v 1·v 2＝0__.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔__v ∥u __. (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔__u 1⊥u 2__⇔__u 1·u 2＝0__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( √ )(4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( × )2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( C ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C ．⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 D ．⎝⎛⎭⎫33，33，－33 解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，经计算得C 符合题意．3．已知直线l 的方向向量v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是__l ∥a 或l ⊂α__.解析 ∵v ＝(1,2,3)，u ＝(5,2，－3)，1×5＋2×2＋3×(－3)＝0， ∴v ⊥u ，∴l ∥a 或l ⊂α.4．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__α⊥β__；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为__α∥β__.解析 当v ＝(3，－2,2)时，u ⊥v ，则α⊥β，当v ＝(4，－4，－10)时，u ∥v ，则α∥β. 5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是__异面垂直__.解析 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立直角坐标系，设正方体棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2,1,2)，则ON →＝(1,0,2)，∴ON →·AM →＝0，∴ON →⊥AM →，∴ON ⊥AM .一 利用空间向量证明平行问题(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．【例1】 如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，G (1,2,0)．∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面． ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .二 利用空间向量证明垂直问题证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．【例2】 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD ．证明 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC ．因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A (0,0，3)，A 1(0,2，3)，B 1(1,2,0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD ．【例3】 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC ．证明 (1)如图所示，以O 为坐标原点，以过O 平行于BD 的直线为x 轴，以AD ，OP 分别为y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)． 于是AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，∴AP →⊥BC →，即AP ⊥BC ． (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125， 又BC →＝(－8,0,0)，AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)，∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则AP →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BM ∩BC ＝C ，∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC ．又AM ⊂平面AMC ，∴平面AMC ⊥平面BMC ．三 利用空间向量解决探索性问题对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是先根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．【例4】 如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ．(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1.若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．解析 (1)证明：设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，由余弦定理，得A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD ．以OB ，OC ，OA 1所在直线分別为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)．由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1→＝(0,1，3)，AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)． 从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)． 设n 3＝(x 3，y 3，z 3)为平面DA 1C 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0,2,0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1,0，－1)， ∵BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0， 得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .1．如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC ．证明：PQ ∥平面BCD ．证明 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线分别为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)． 又P 为BM 的中点，故P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD ．2．如图所示，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D ，E ，F 分别为B 1A ，C 1C ，BC 的中点，求证：(1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .证明 导学号74780343 (1)如图建立空间直角坐标系Axyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4) .取AB 中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)， ∴DE →＝NC →，∴DE ∥NC ，又∵NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ．故DE ∥平面ABC ．(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)． B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4) ×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .3．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD ．证明 (1)以C 为坐标原点，分别以CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°. ∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，|PB |＝4.∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量． 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD ． (2)取AP 的中点E ，则E (3，2,1)，BE →＝(－3，2,1)．∵|PB |＝|AB |，∴BE ⊥P A ．又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ，又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD ， 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD ．4．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．解析 (1)证明：如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，P (0,0，a )，F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD ． (2)设G (x,0，z )，则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0， ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点．易错点 坐标系建立不恰当、点的坐标出错错因分析：①写准点的坐标是关键，要利用中点、向量共线、相等来确定点的坐标．②利用a ＝λb 证明直线平行需强调两直线不重合，证明直线与平面平行仍需强调直线在平面外．【例1】 如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解析 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)， P (0,0，λ)，M (2,1,2)，N (1,0,2)，BC 1→＝(－2,0,2)， FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)，MN →＝(－1，－1,0)， NP →＝(－1,0，λ－2)．(1)证明：当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC 1→＝(－2,0,2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)．若存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成二面角为直二面角，则m·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．【跟踪训练1】 (2018·河北衡水中学检测)如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ．(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上的是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC ．若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，请说明理由．解析 连接BD ，设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD ．由题意知SO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图．设底面边长为a ，则高|SO |＝62a . 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0.(1)证明：OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD ，从而AC ⊥SD ．(2)棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC ．理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量， 且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0.设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ，而BE →·DS →＝0， 所以⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ·⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ＝0， 解得t ＝13，即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.又BE ⊄平面P AC ，故BE ∥平面P AC ．课时达标 第44讲[解密考纲]利用空间向量证明平行与垂直关系，常出现于选择、填空题中，或在解答题立体几何部分的第(1)问考查，难度中等或较小．一、选择题1．若直线l ∥平面α，直线l 的方向向量为s ，平面α的法向量为n ，则下列结论可能正确的是( C )A ．s ＝(－1,0,2)，n ＝(1,0，－1)B ．s ＝(－1,0,1)，n ＝(1,2，－1)C ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(1,2，－1)D ．s ＝(－1,1,1)，n ＝(－2,2,2)解析 由已知需s ·n ＝0，逐个验证知，只有C 项符合要求，故选C ． 2．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ⊥α的是( A ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0，－1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析 若l ⊥α，则a ∥n ，一一验证，可知选A ．3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面α，则x ＝( D )A ．－2B ．－2C ．2D ．±2解析 由已知得s ·n ＝0，故－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝±2.4．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，以CD ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，|AB |＝2，|AF |＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( C )A ．(1,1,1)B ．⎝⎛⎭⎫23，23，1C ．⎝⎛⎭⎫22，22，1D ．⎝⎛⎭⎫24，24，1 解析 由已知得A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，设M (x ，x,1)． 则AM →＝(x －2，x －2，1)，BD →＝(2，－2，0)，BE →＝(0，－2，1)．设平面BDE 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BD →，n ⊥BE →，即⎩⎨⎧2a －2b ＝0，－2b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝b ，c ＝2b ，令b ＝1，则n ＝(1,1，2)．又AM ∥平面BDE ，所以n ·AM →＝0， 即2(x －2)＋2＝0，得x ＝22，所以M ⎝⎛⎭⎫22，22，1. 5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( B )A ．EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥ACC ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面解析 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫13，0，13，F ⎝⎛⎭⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)， EF →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1,1)， EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，故选B ．6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( B )A ．斜交B ．平行C ．垂直D ．不确定解析 建立如图所示的坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3， 则M ⎝⎛⎭⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝⎛⎭⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，0，2a 3， 又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a,0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量． 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→， 所以MN ∥平面BB 1C 1C ，故选B ． 二、填空题7．若直线l 的方向向量e ＝(2,1，m )，平面α的法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝__4__.解析 因为l ⊥α，所以e ∥n ，即e ＝λn (λ≠0)，亦即(2,1，m )＝λ⎝⎛⎭⎫1，12，2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，m ＝2λ.则m ＝4.8．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为__407，－157，4__.解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157，z ＝4.9．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是__平行__.解析 由已知得，AB →＝(0,1，－1)，AC →＝(1,0，－1)，设平面α的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥AB →，m ⊥AC →，得⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x －z ＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z ，令z ＝1，得m ＝(1,1,1)． 又n ＝(－1，－1，－1)，所以m ＝－n ，即m ∥n ，所以α∥β. 三、解答题10．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．(1)求证：AG ∥平面BEF ；(2)试在棱长BB 1上找一点M ，使DM ⊥平面BEF ，并证明你的结论．解析 (1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，1，F ⎝⎛⎭⎫12，1，1，G ⎝⎛⎭⎫0，12，1， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0，BF →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1， 而AG →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，1，所以AG →＝EF →＋BF →， 故AG →与平面BEF 共面，又因为AG 不在平面BEF 内，所以AG ∥平面BEF . (2)设M (1,1，m )，则DM →＝(1,1，m )，由DM →·EF →＝0，DM →·BF →＝0，所以－12＋m ＝0⇒m ＝12 ，所以M 为棱BB 1的中点时，DM ⊥平面BEF .11．(2018·北京西城二模)如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB ．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA ；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明：取AB 的中点O ，连接EO ，DO .因为EB ＝EA ，所以EO ⊥AB ． 因为四边形ABCD 为直角梯形． AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ， 所以四边形OBCD 为正方形， 所以AB ⊥OD ．因为EO ∩DO ＝O ，所以AB ⊥平面EOD ，所以AB ⊥ED ． (2)因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO ⊥AB ， 所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥OD ．由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .因为三角形EAB 为等腰直角三角形， 所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ， 设OB ＝1，所以O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，E (0,0,1)． 所以EC →＝(1,1，－1)，平面ABE 的一个法向量为OD →＝(0,1,0)． 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈EC →，OD →〉|＝|EC →·O D →||EC →||OD →|＝33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33. (3)存在点F ，且EF EA ＝13时，有EC ∥平面FBD ．证明如下：由EF →＝13EA →＝⎝⎛⎭⎫－13，0，－13， F ⎝⎛⎭⎫－13，0，23，所以FB →＝⎝⎛⎭⎫43，0，－23，BD →＝(－1,1,0)． 设平面FBD 的法向量为v ＝(a ，b ，c )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ v ·BD →＝0，v ·FB →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，43a －23c ＝0，取a ＝1，得v ＝(1,1,2)．因为EC →·v ＝(1,1，－1)·(1,1,2)＝0， 且EC ⊄平面FBD ，所以EC ∥平面FBD ， 即点F 满足EF EA ＝13时，有EC ∥平面FBD ．12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.证明 (1)以B 为原点，以BA ，BC ，BB 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，E (3,0,1)，F (0,3,2)，D 1(3,3,3)，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)，所以BD 1→＝BE →＋BF →.由向量共面的充要条件知E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)设M (0,0，z 0)，G ⎝⎛⎭⎫0，23，0，则GM →＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z 0， 而BF →＝(0,3,2)，由题设得GM →·BF →＝－23×3＋z 0·2＝0，得z 0＝1.故M (0,0,1)，有ME →＝(3,0,0)． 又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC ． 又BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.。

§8．6 立体几何中的向量方法（一）——证明平行与垂直１．直线的方向向量：在空间直线l上任取两点A，B，则称错误!为直线l的方向向量．平面的法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量叫作平面α的法向量．２．用向量证明空间中的平行关系（１）设直线l１和l２的方向向量分别为v１和v２，则l１∥l２（或l１与l２重合）⇔v１∥v２.（２）设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v１和v２，则l∥α或lα⇔存在两个实数x，y，使v＝x v１＋y v２.（３）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lα⇔v⊥u.（４）设平面α和β的法向量分别为u１，u２，则α∥β⇔u１∥u２.３．用向量证明空间中的垂直关系（１）设直线l１和l２的方向向量分别为v１和v２，则l１⊥l２⇔v１⊥v２⇔v１·v２＝0．（２）设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.（３）设平面α和β的法向量分别为u１和u２，则α⊥β⇔u１⊥u２⇔u１·u２＝0．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）直线的方向向量是唯一确定的．（×）（２）平面的单位法向量是唯一确定的．（×）（３）若两平面的法向量平行，则两平面平行．（×）（４）若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．（√）（５）若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．（×）（6）若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．（×）２．若直线l１，l２的方向向量分别为a＝（２,４，—４），b＝（—6,9,6），则（）Ａ．l１∥l２Ｂ．l１⊥l２Ｃ．l１与l２相交但不垂直Ｄ．以上均不正确答案B解析a·b＝—１２＋３6—２４＝0，故a⊥b，即l１⊥l２选Ｂ．３．已知平面α内有一点M（１，—１,２），平面α的一个法向量为n＝（6，—３,6），则下列点P 中，在平面α内的是（）Ａ．P（２,３,３）Ｂ．P（—２,0,１）Ｃ．P（—４,４,0）Ｄ．P（３，—３,４）答案A解析逐一验证法，对于选项A，错误!＝（１,４,１），∴错误!·n＝6—１２＋6＝0，∴错误!⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．４．若A（0,２，错误!），B（１，—１，错误!），C（—２,１，错误!）是平面α内的三点，设平面α的法向量n＝（x，y，z），则x∶y∶z＝________.答案２∶３∶（—４）５．已知错误!＝（１,５，—２），错误!＝（３,１，z），若错误!⊥错误!，错误!＝（x—１，y，—３），且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．答案错误!，—错误!，４解析由题意知，错误!⊥错误!，错误!⊥错误!.所以错误!即错误!解得，x＝错误!，y＝—错误!，z＝４．题型一证明平行问题例１（２0１３·浙江改编）如图，在四面体A—BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝２，BD＝２错误!，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝３QC.证明：PQ∥平面BCD.思维启迪证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量．证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A（0，错误!，２），B（0，—错误!，0），D（0，错误!，0）．设点C的坐标为（x0，y0,0）．因为错误!＝３错误!，所以Q错误!.因为M为AD的中点，故M（0，错误!，１）．又P为BM的中点，故P错误!，所以错误!＝错误!.又平面BCD的一个法向量为a＝（0,0,１），故错误!·a＝0．又P Q⃘平面BCD，所以PQ∥平面BCD.方法二在线段CD上取点F，使得DF＝３FC，连接OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为（x0，y0,0）．∵错误!＝错误!错误!，设F点坐标系（x，y,0）则（x—x0，y—y0,0）＝错误!（—x0，错误!—y0,0）∴错误!∴错误!＝（错误!x0，错误!＋错误!y0,0）又由证法一知错误!＝（错误!x0，错误!＋错误!y0,0），∴错误!＝错误!，∴PQ∥OF.又P Q⃘平面BCD，OF平面BCD，∴PQ∥平面BCD.思维升华用向量证明线面平行的方法有（１）证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；（２）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；（３）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝２，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0,0,0）、B（２,0,0）、C（２,２,0）、D（0,２,0）、P（0,0,２）、E（0,0,１）、F（0,１,１）、G（１,２,0）．∴错误!＝（２,0，—２），错误!＝（0，—１,0），错误!＝（１,１，—１），设错误!＝s错误!＋t错误!，即（２,0，—２）＝s（0，—１,0）＋t（１,１，—１），∴错误!解得s＝t＝２．∴错误!＝２错误!＋２错误!，又∵错误!与错误!不共线，∴错误!、错误!与错误!共面．∵P B⃘平面EFG，∴PB∥平面EFG.题型二证明垂直问题例２如图所示，正三棱柱ABC—A １B１C１的所有棱长都为２，D为CC１的中点．求证：AB１⊥平面A１BD.思维启迪证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行．证明方法一设平面A１BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λ错误!＋μ错误!.令错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝２，a·b＝a·c＝0，b·c＝２，以它们为空间的一个基底，则错误!＝a＋c，错误!＝错误!a＋b，错误!＝a—c，m＝λ错误!＋μ错误!＝错误!a＋μb＋λc，错误!·m＝（a—c）·错误!＝４错误!—２μ—４λ＝0．故错误!⊥m，结论得证．方法二如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC—A１B１C１中，平面ABC⊥平面BCC１B１，所以AO⊥平面BCC１B１.取B１C１的中点O１，以O为原点，以错误!，错误!，错误!为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（１,0,0），D（—１,１,0），A１（0,２，错误!），A（0,0，错误!），B１（１,２,0）．设平面A１BD的法向量为n＝（x，y，z），错误!＝（—１,２，错误!），错误!＝（—２,１,0）．因为n⊥错误!，n⊥错误!，故错误!⇒错误!令x＝１，则y＝２，z＝—错误!，故n＝（１,２，—错误!）为平面A１BD的一个法向量，而错误!＝（１,２，—错误!），所以错误!＝n，所以错误!∥n，故AB１⊥平面A１BD.思维升华用向量证明垂直的方法（１）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．（２）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．（３）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝２，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝４，CD＝１，点M在PB上，PB＝４PM，PB与平面ABCD成３0°角．（１）求证：CM∥平面PAD；（２）求证：平面PAB⊥平面PAD.证明以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝３0°.∵PC＝２，∴BC＝２错误!，PB＝４．∴D（0,１,0），B（２错误!，0,0），A（２错误!，４,0），P（0,0,２），M（错误!，0，错误!），∴错误!＝（0，—１,２），错误!＝（２错误!，３,0），错误!＝（错误!，0，错误!），（１）令n＝（x，y，z）为平面PAD的一个法向量，则错误!即错误!∴错误!令y＝２，得n＝（—错误!，２,１）．∵n·错误!＝—错误!×错误!＋２×0＋１×错误!＝0，∴n⊥错误!，又C M⃘平面PAD，∴CM∥平面PAD.（２）取AP的中点E，则E（错误!，２,１），错误!＝（—错误!，２,１）．∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵错误!·错误!＝（—错误!，２,１）·（２错误!，３,0）＝0，∴错误!⊥错误!，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD，又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例３（２0１２·福建）如图，在长方体ABCD—A １B１C１D１中，AA１＝AD＝１，E为CD的中点．（１）求证：B１E⊥AD１；（２）在棱AA１上是否存在一点P，使得DP∥平面B１AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．思维启迪利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论．（１）证明以A为原点，错误!，错误!，错误!的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）．设AB＝a，则A（0,0,0），D（0,１,0），D１（0,１,１），E错误!，B１（a,0,１），故错误!＝（0,１,１），错误!＝错误!，错误!＝（a,0,１），错误!＝错误!.∵错误!·错误!＝—错误!×0＋１×１＋（—１）×１＝0，∴B１E⊥AD１.（２）解假设在棱AA１上存在一点P（0,0，z0）．使得DP∥平面B１AE，此时错误!＝（0，—１，z0）．又设平面B１AE的法向量n＝（x，y，z）．∵n⊥平面B１AE，∴n⊥错误!，n⊥错误!，得错误!取x＝１，得平面B１AE的一个法向量n＝错误!.要使DP∥平面B１AE，只要n⊥错误!，有错误!—az0＝0，解得z0＝错误!.又D P⃘平面B１AE，∴存在点P，满足DP∥平面B１AE，此时AP＝错误!.思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证．另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的错误!倍，P为侧棱SD上的点．（１）求证：AC⊥SD.（２）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．（１）证明连接BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，错误!，错误!，错误!分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图．设底面边长为a，则高SO＝错误!a，于是S错误!，D错误!，B错误!，C错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!，则错误!·错误!＝0．故OC⊥SD.从而AC⊥SD.（２）解棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知错误!是平面PAC的一个法向量，且错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!.设错误!＝t错误!，则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋t错误!＝错误!，而错误!·错误!＝0⇔t＝错误!.即当SE∶EC＝２∶１时，错误!⊥错误!.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.利用向量法解决立体几何问题典例：（１２分）（２0１２·湖南）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝４，BC＝３，AD＝５，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．（１）证明：CD⊥平面PAE；（２）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P—ABCD的体积．思维启迪本题中的（１）有两种证明思路：（１）利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之；（２）将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积．规范解答方法一（１）证明如图，连接AC.由AB＝４，BC＝３，∠ABC＝90°得AC＝５．[１分]又AD＝５，E是CD的中点，所以CD⊥AE. [２分]因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.[４分]而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. [５分]（２）解过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF.由（１）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，[6分]且BG⊥AE.由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．[7分]由题意得∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝错误!，sin∠BPF＝错误!，所以PA＝BF.由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC.又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形．故GD＝BC＝３．于是AG＝２．在Rt△BAG中，AB＝４，AG＝２，BG⊥AF，所以BG＝错误!＝２错误!，BF＝错误!＝错误!＝错误!.于是PA＝BF＝错误!. [１0分]又梯形ABCD的面积为S＝错误!×（５＋３）×４＝１6，所以四棱锥P—ABCD的体积为V＝错误!×S×PA＝错误!×１6×错误!＝错误!. [１２分]方法二如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则A（0,0,0），B（４,0,0），C（４,３,0），D（0,５,0），E（２,４,0），P（0,0，h）．[２分]（１）证明易知错误!＝（—４,２,0），错误!＝（２,４,0），错误!＝（0,0，h）．因为错误!·错误!＝—8＋8＋0＝0，错误!·错误!＝0，[４分]所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. [５分]（２）解由题设和（１）知，错误!，错误!分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．[6分]而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈错误!，错误!〉|＝|cos〈错误!，错误!〉|，即错误!＝错误!. [8分]由（１）知，错误!＝（—４,２,0），错误!＝（0,0，—h），又错误!＝（４,0，—h），故错误!＝错误!.解得h＝错误!. [１0分]又梯形ABCD的面积为S＝错误!×（５＋３）×４＝１6，所以四棱锥P—ABCD的体积为V＝错误!×S×PA＝错误!×１6×错误!＝错误!. [１２分]温馨提醒（１）利用向量法证明立体几何问题，可以建立坐标系或利用基底表示向量；（２）建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；（３）对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量．方法与技巧用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：（１）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；（２）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；（３）根据运算结果的几何意义来解释相关问题．失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb（λ∈R）即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．若直线l的一个方向向量为a＝（２,５,7），平面α的一个法向量为u＝（１,１，—１），则（）Ａ．l∥α或lαＢ．l⊥αＣ．lαＤ．l与α斜交答案A２．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是（）Ａ．a＝（１,0,0），n＝（—２,0,0）Ｂ．a＝（１,３,５），n＝（１,0,１）Ｃ．a＝（0,２,１），n＝（—１,0，—１）Ｄ．a＝（１，—１,３），n＝（0,３,１）答案D解析若l∥α，则a·n＝0，D中，a·n＝１×0＋（—１）×３＋３×１＝0，∴a⊥n.３．设平面α的法向量为a＝（１,２，—２），平面β的法向量b＝（—２，h，k），若α∥β，则h＋k 的值为（）Ａ．—２Ｂ．—8 Ｃ．0 Ｄ．—6答案C解析由α∥β得a∥b，∴错误!＝错误!＝错误!，∴h＝—４，k＝４，∴h＋k＝0．４．已知a＝（２，—１,３），b＝（—１,４，—２），c＝（7,５，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由题意得c＝t a＋μb＝（２t—μ，—t＋４μ，３t—２μ），∴错误!，∴错误!.５．如图，在长方体ABCD—A１B１C１D１中，AB＝２，AA１＝错误!，AD＝２错误!，P为C１D１的中点，M为BC的中点．则AM与PM所成的角为（）Ａ．60° Ｂ．４５°Ｃ．90° Ｄ．以上都不正确答案C解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD１所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得，D（0,0,0），P（0,１，错误!），C（0,２,0），A（２错误!，0,0），M（错误!，２,0）．∴错误!＝（错误!，１，—错误!），错误!＝（—错误!，２,0），∴错误!·错误!＝（错误!，１，—错误!）·（—错误!，２,0）＝0，即错误!⊥错误!，∴AM⊥PM.二、填空题6．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝（１,１,２），b＝（x，—２，３），且α⊥β，则x＝________.答案—４解析∵a·b＝x—２＋6＝0，∴x＝—４．7．设点C（２a＋１，a＋１,２）在点P（２,0,0）、A（１，—３,２）、B（8，—１，４）确定的平面上，则a＝________.答案１6解析错误!＝（—１，—３,２），错误!＝（6，—１,４）．根据共面向量定理，设错误!＝x错误!＋y错误!（x、y∈R），则（２a—１，a＋１,２）＝x（—１，—３,２）＋y（6，—１,４）＝（—x＋6y，—３x—y,２x＋４y），∴错误!解得x＝—7，y＝４，a＝１6．8．如图，在正方体ABCD—A１B１C１D１中，棱长为a，M、N分别为A１B和AC上的点，A１M＝AN＝错误!，则MN与平面BB１C１C的位置关系是________．答案平行解析∵正方体棱长为a，A１M＝AN＝错误!，∴错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，∴错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＋错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.又∵错误!是平面B１BCC１的法向量，∴错误!·错误!＝错误!·错误!＝0，∴错误!⊥错误!.又∵M N⃘平面B１BCC１，∴MN∥平面B１BCC１.三、解答题9．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝错误!PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q（１，１,0），C（0,0,１），P（0,２,0），则错误!＝（１,１,0），错误!＝（0,0,１），错误!＝（１，—１,0）．∴错误!·错误!＝0，错误!·错误!＝0．即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ，又PQ平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.１0．如图，在底面是矩形的四棱锥P—ACBD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝１，BC＝２．（１）求证：EF∥平面PAB；（２）求证：平面PAD⊥平面PDC.证明（１）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,0,0），B（１,0,0），C（１,２,0），D（0,２,0），P（0,0,１），∴E（错误!，１，错误!），F（0,１，错误!），错误!＝（—错误!，0,0），错误!＝（１,0，—１），错误!＝（0,２，—１），错误!＝（0,0,１），错误!＝（0,２,0），错误!＝（１,0,0），错误!＝（１,0,0）．∵错误!＝—错误!错误!，∴错误!∥错误!，即EF∥AB，又AB平面PAB，E F⃘平面PAB，∴EF∥平面PAB.（２）∵错误!·错误!＝（0,0,１）·（１,0,0）＝0，错误!·错误!＝（0,２,0）·（１,0,0）＝0，∴错误!⊥错误!，错误!⊥错误!，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD.∵DC平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．已知a＝（１,１,１），b＝（0,２，—１），c＝m a＋n b＋（４，—４,１）．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为（）Ａ．—１,２Ｂ．１，—２Ｃ．１,２Ｄ．—１，—２答案A解析由已知得c＝（m＋４，m＋２n—４，m—n＋１），故a·c＝３m＋n＋１＝0，b·c＝m＋５n—9＝0．解得错误!２．已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!，则直线AM （）Ａ．与平面ABC平行Ｂ．是平面ABC的斜线Ｃ．是平面ABC的垂线Ｄ．在平面ABC内答案D解析由已知得M、A、B、C四点共面．所以AM在平面ABC内，选Ｄ．３．在正方体ABCD—A１B１C１D１中，P为正方形A１B１C１D１四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D１Q与OP互相平分，则满足错误!＝λ错误!的实数λ的有________个．答案２解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为２，则P（x，y,２），O（１,１,0），∴OP的中点坐标为错误!，又知D１（0,0,２），∴Q（x＋１，y＋１,0），而Q在MN上，∴x Q＋y Q＝３，∴x＋y＝１，即点P坐标满足x＋y＝１．∴有２个符合题意的点P，即对应有２个λ.４．如图所示，已知直三棱柱ABC—A１B１C１中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA１，D、E、F分别为B１A、C１C、BC的中点．求证：（１）DE∥平面ABC；（２）B１F⊥平面AEF.证明（１）如图建立空间直角坐标系Axyz，令AB＝AA１＝４，则A（0,0,0），E（0,４,２），F（２,２,0），B（４,0,0），B１（４,0,４）．取AB中点为N，连接CN，则N（２,0,0），C（0,４,0），D（２,0,２），∴错误!＝（—２,４,0），错误!＝（—２,４,0），∴错误!＝错误!，∴DE∥NC，又∵NC平面ABC，D E⃘平面ABC.故DE∥平面ABC.（２）错误!＝（—２,２，—４），错误!＝（２，—２，—２），错误!＝（２,２,0）．错误!·错误!＝（—２）×２＋２×（—２）＋（—４）×（—２）＝0，错误!·错误!＝（—２）×２＋２×２＋（—４）×0＝0．∴错误!⊥错误!，错误!⊥错误!，即B１F⊥EF，B１F⊥AF，又∵AF∩FE＝F，∴B１F⊥平面AEF.５．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB 的中点．（１）求证：EF⊥CD；（２）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．（１）证明如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D（0,0,0）、A（a,0,0）、B（a，a,0）、C（0，a,0）、E错误!、P（0,0，a）、F错误!.错误!＝错误!，错误!＝（0，a,0）．∵错误!·错误!＝0，∴错误!⊥错误!，即EF⊥CD.（２）解设G（x,0，z），则错误!＝错误!，若使GF⊥平面PCB，则由错误!·错误!＝错误!·（a,0,0）＝a错误!＝0，得x＝错误!；由错误!·错误!＝错误!·（0，—a，a）＝错误!＋a错误!＝0，得z＝0．∴G点坐标为错误!，即G点为AD的中点．。

§8.7 立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直一、选择题1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则( )．A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．以上均不正确2．直线l 1，l 2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( )A ．s 1＝(1,1,2)，s 2＝(2，－1,0)B ．s 1＝(0,1，－1)，s 2＝(2,0,0)C ．s 1＝(1,1,1)，s 2＝(2,2，－2)D ．s 1＝(1，－1,1)，s 2＝(－2,2，－2)3．已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，52，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，λ，－152满足a∥b ，则λ等于( )． A.23 B.92 C ．－92 D ．－234．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是 ( )．A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是( )A ．n 1＝(1,2,3)，n 2＝(－3,2,1)B ．n 1＝(1,2,2)，n 2＝(－2,2,1)C ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2,2,1)D ．n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－2，－2，－2)6．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )．A.627B.637C.607D.6577．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32 二、填空题 8．两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是_______．9．平面α的一个法向量n ＝(0,1，－1)，如果直线l ⊥平面α，则直线l 的单位方向向量是s ＝________.10．已知点A ，B ，C ∈平面α，点P ∉α，则AP →·AB →＝0，且AP →·AC →＝0是AP →·BC →＝0的_______．11．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是________．12．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为________．三、解答题13．已知：a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a∥b ，b⊥c ，求： a ，b ，c .14.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD证明 法一 D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M ⎝ ⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)， 于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12， 设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧ x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0， ∴MN →⊥n ，又MN ⊄平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .15．如图，已知ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥面BCC 1B 1.证明 (1)建立如图所示的坐标系，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)．所以BD 1→＝BE →＋BF →，故BD 1→、BE →、BF →共面．又它们有公共点B ，所以E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)如图，设M (0,0，z )，则GM ＝⎝ ⎭⎪0，－3，z ，而BF ＝(0,3,2)，由题设得GM →·BF →＝－23×3＋z ·2＝0，得z ＝1. 因为M (0,0,1)，E (3,0,1)，所以ME →＝(3,0,0)．又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又BB 1∩BC ＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.16．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE .则点N 、E 的坐标分别为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0、(0,0,1)． ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1∴AM ＝⎝ ⎭⎪－2，－2，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，∴DF →＝(0，2，1) ∴AM →·DF →＝0，∴AM ⊥DF .同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .。