2015届江西省抚州一中高二上学期第二次月考文科数学试题(含答案解析)

2014-2015学年江西省抚州市临川一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A{x|y=lg（2﹣x）}，集合B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2} 2．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C．D．3．（5分）若坐标原点到抛物线y=mx2的准线距离为2，则m=（）A．8B．±8C．D．±4．（5分）下列说法中正确的是（）A．命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题B．若命题p：＞0，则￢p：≤0C．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±5．（5分）一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．6πB．24πC．6πD．π6．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）7．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4B．（x﹣3）2+y2=1C．（2x﹣3）2+4y2=1D．（x+3）2+y2=8．（5分）对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③9．（5分）若方程ae x﹣x=0有两个不相等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（，+∞）D．（﹣∞，1）10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．点B到平面AMC的距离为11．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）f（x）是定义在D上的函数，若存在区间，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．若函数y=﹣x2+x[m，n]⊆D是3型函数，则m+n的值为（）A．0B．8C．﹣4D．﹣4或8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1+a3=8，a5+a7=4，则a9+a11+a13+a15=．14．（5分）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A：两个点数互不相同，事件B：出现一个4点，则P（B|A）等于．15．（5分）已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=．16．（5分）给出如下五个结论：①若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0③函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函数⑤y=|sin（2x+）|最小正周期为π其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人．（1）求样本容量n的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（2）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率．18．（10分）已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．20．（12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCDEFGH材料切割成三棱锥HACF．（1）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；（2）已知原长方体材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？21．（13分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x和g（x）=kx3﹣x﹣2．（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求实数k的取值范围；（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求实数k的最大值．22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（1，），且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P（﹣1，）是椭圆内一点，椭圆的内接梯形ABCD，（AB∥CD）的对角线AC与BD交于点P，设直线AB在y轴上的截距为m，记f（m）=S，求△PAB f（m）的表达式（3）求g（m）=[f（m）]2﹣m3+4m﹣3的最大值．2014-2015学年江西省抚州市临川一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A{x|y=lg（2﹣x）}，集合B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|x＜2}【解答】解：∵集合A{x|y=lg（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，集合B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜2}．故选：C．2．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|+|=|﹣|=2||，∴，且||=||，∴cos＜（），＞==﹣=﹣=﹣，∴向量﹣与的夹角为．故选：A．3．（5分）若坐标原点到抛物线y=mx2的准线距离为2，则m=（）A．8B．±8C．D．±【解答】解：抛物线y=mx2即x2=准线方程为y=﹣，由题意可得||=2，解得m=±．故选：D．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题B．若命题p：＞0，则￢p：≤0C．若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±【解答】解：对于A．命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x）=0”的逆命题为“若f′（x0）=0则函数f（x）在x=x0处有极值．”为假命题，比如f（x）=x3，f′（0）=0，则x=0不为极值点，由于否命题和逆命题互为等价命题，则否命题也为假命题，则A 错误；对于B．命题p：＞0，即为x＞1，则￢p：x≤1，则B错误；对于C．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，则￢p是￢q的必要不充分条件，则C正确；对于D．方程ax2+x+a=0有唯一解，则a=0，或△=1﹣4a2=0，即有a=0或a=±，则D错误．故选：C．5．（5分）一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．6πB．24πC．6πD．π【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则∵正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，∴ac=，bc=，ab=，∴a=，b=1，c=，∴长方体的外接球的直径为=，∴长方体的外接球的表面积为4=6π．故选：A．6．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′=，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．7．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4B．（x﹣3）2+y2=1C．（2x﹣3）2+4y2=1D．（x+3）2+y2=【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选：C．8．（5分）对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A．①②B．③④C．②④D．①③【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是=84，∴①是正确的；众数是83，②是不正确的；=85，∴③是正确的．极差是91﹣78=13，④不正确的．故选：D．9．（5分）若方程ae x﹣x=0有两个不相等的实根，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：令函数f（x）=ae x ﹣x，则由题意可得f（x）有2个不同的零点．∴由函数f（x）=ae x﹣x=0，求得a=，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）=0，求得x=1，在（﹣∞，1）上，g′（x）＞0，g（x）为增函数；在（1，+∞）上g′（x）＜0，g（x）为减函数，故g（1）=为g（x）的最大值．且=﹣∞，=0．再根据f（x）有2个不同的零点，可得0＜a＜，故选：B．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．点B到平面AMC的距离为【解答】解：如图，连接B1D1，交A1C1于N，则可证明OD1∥BN，由OD1⊄面A1BC1，BN⊂面A1BC1，可得D1O∥面A1BC1，A正确；由三垂线定理的逆定理可得OD1⊥AC，设正方体棱长为2，可求得OM2=3，，，则，有OD1⊥OM，由线面垂直的判定可得D1O⊥平面AMC，B 正确；由正方体的面对角线相等得到△A1BC1为正三角形，即∠A1C1B=60°，∴异面直线BC1与AC所成的角等于60°，C正确；设点B到平面AMC的距离为d，正方体的棱长为2a，则，=V A﹣BCM，得，由V B﹣AMC，即，解得：d=，D错误．故选：D．11．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1﹣=，故选：B．12．（5分）f（x）是定义在D上的函数，若存在区间，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．若函数y=﹣x2+x[m，n]⊆D是3型函数，则m+n的值为（）A．0B．8C．﹣4D．﹣4或8【解答】解：由y=﹣x2+x≤，得3n，则n，∴y=﹣x2+x在[m，n]上为增函数，再由y=﹣x2+x是3型函数，即﹣x2+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，则m+n=﹣4+0=﹣4．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在等比数列{a n}中，已知a1+a3=8，a5+a7=4，则a9+a11+a13+a15=3．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1+a3=8，a5+a7=4，且，得，再由，得．∴a9+a11+a13+a15=2+1=3．故答案为：3．14．（5分）将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A：两个点数互不相同，事件B：出现一个4点，则P（B|A）等于．【解答】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36﹣6=30事件B：出现一个4点，有10种，∴P（B|A）==，故答案为：．15．（5分）已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=．【解答】解：求导函数，可得∵函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1∴∴∴∴∴tanx0=故答案为：16．（5分）给出如下五个结论：①若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0③函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函数⑤y=|sin（2x+）|最小正周期为π其中正确结论的序号是③④．【解答】解：对于①，若△ABC为钝角三角形，且B为钝角，则sinA＞cosB，即①错；对于②，由于区间（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）为y=cosx的减区间，但sinx＞0，即②错；对于③，由f（x）+f（﹣x）=2x3﹣3x+1﹣2x3+3x+1=2，则函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称，即③对；对于④，y=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2（cosx+）2﹣，由于cosx∈[﹣1，1]，则cosx=﹣时，f（x）取得最小值，cosx=1时，f（x）取得最大值2，且为偶函数，即④对；对于⑤，由f（x+）=|sin（2x+π++）|=|sin（2x+）|=f（x），则最小正周期为，即⑤错．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人．（1）求样本容量n的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（2）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得=，解得n=19，从“诗雨文学社”社团抽取的同学240×=6人；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“诗雨文学社”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F，则从这6位同学中任选2人，不同的结果有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种，从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1﹣=．18．（10分）已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，∴=2，∴=2n﹣1，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n=2n﹣1+a n，∴（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）=+=n2+2n﹣1．19．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣1或m≥3…（2分）若q为真：则…（3分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…（8分）由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…（9分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…（12分）20．（12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCDEFGH材料切割成三棱锥HACF．（1）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；（2）已知原长方体材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？【解答】解：（1）证明：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，∴MK∥AF，MN∥AC．∵MK⊄平面ACF，AF⊂平面ACF，∴MK∥平面ACF，同理可证MN∥平面ACF，∵MN，MK⊂平面MNK，且MK∩MN=M，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF．（2）由程序框图可知a=CF，b=AC，c=AF，∴d===cos∠CAF，．∴e=bc=AC•AF•sin∠CAF=S△ACF=V三棱锥HACF．又h=，∴t=he=h•S△ACF∵三棱锥HACF为将长方体ABCDEFGH切掉4个体积相等的小三棱锥所得，=2×3×1﹣4×××3×2×1=6﹣4=2，∴V三棱锥HACF故t=2．21．（13分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x和g（x）=kx3﹣x﹣2．（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求实数k的取值范围；（2）当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求实数k的最大值．【解答】解：（1）g'（x）=3kx2﹣1…（1分）①当k≤0时，g'（x）=3kx2﹣1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；…（2分）②当k＞0时，g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以1＜＜2，解得＜k＜…（4分）综上k的取值范围是＜k＜．…（5分）（2）由已知k≤，令h（x）=，则h′（x）=＞0，∴h（x）在x∈[1，+∞）单调递增，∴h（x）min=h（1）=﹣e∴k≤﹣e，∴k的最大值为﹣e．．…（12分）22．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（1，），且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P（﹣1，）是椭圆内一点，椭圆的内接梯形ABCD，（AB∥CD）的对角，求线AC与BD交于点P，设直线AB在y轴上的截距为m，记f（m）=S△PAB f（m）的表达式（3）求g（m）=[f（m）]2﹣m3+4m﹣3的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（1，），∴，又∵离心率为，∴e===，即：a2=2b2，∴a2=4，b2=2，∴椭圆的标准方程为：；（2）由已知得AB、CD不垂直于x轴（否则由对称性，点P在x轴上），设直线AB的方程为y=kx+m，直线CD的方程为y=kx+n（m≠n），将y=kx+m代入得：（1+2k2）x2+4kmx+2（m2﹣2）=0，△=4（8k2﹣2m2+4）＞0，设点A（x A，y A），B（x B，y B），由韦达定理得，同理设点C（x C，y C），D（x D，y D），由韦达定理得，由A、C、P三点共线可知：（﹣1﹣x A）•（﹣y C）=（﹣1﹣x C）•（﹣y A），化简得：﹣x A+2y C+2x A y C=﹣x C+2y A+2x C y A，同理B、D、P三点共线可知：﹣x B+2y D+2x B y D=﹣x D+2y B+2x D y B，两式相加结合AB、CD的方程y=kx+m，y=kx+n（m≠n）得：﹣（x A+x B）+2k（x C+x D）+2x B y D+4n+2x A（kx C+n）+2x B（kx D+n）=﹣（x C+x D）+2k（x A+x B）+2x B y D+4m+2x C（kx A+m）+2x D（kx B+m）﹣（x A+x B）+2k （x C+x D）+4n+2n（x A+x B）=﹣（x C+x D）+2k（x A+x B）+4m+2m（x C+x D），利用n（x A+x B）=m（x C+x D）得：（1+2k）（x C+x D）﹣（x A+x B）+4（n﹣m）=0，+4（n﹣m）=0，由m≠n可知k=1，由△及直线不过点P（﹣1，）得：﹣＜m＜且m≠，又点P（﹣1，）到直线x﹣y+m=0的距离是d=，故f（m）=S=×=|2m﹣3|（﹣＜m＜△PAB且m≠）；（3）g（m）=[f（m）]2﹣m3+4m﹣3=﹣m 4+m 2=•4m 2（15﹣4m 2）≤[]2=，当且仅当4m 2=15﹣4m 2即m=±∈（﹣，）∪（，）时，上式等号成立，故g （m ）的最大值为．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（）A． B． C．±1 D．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a=．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：在△ABC中，若A=，则cosA=，是充分条件，在△ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角形中的三角函数值问题，是一道基础题．2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：容易判断命题p是真命题，q是假命题，所以根据p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q的关系即可找出正确选项．解答：解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，无解，∴命题q是假命题；∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；∴D正确．故选D．点评：考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），依题意得．解答：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．点评：本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由直线的平行可得m的方程，解得m代回验证可得．解答：解：∵直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，∴（m+2）（2m﹣1）﹣3×1=0，解得m=﹣或1经验证当m=1时，两直线重合，应舍去，故选：D点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：通过直线的平行求出m，然后利用平行线之间的距离求解即可．解答：解：直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，所以m=6，直线4x+my+7=0化为直线4x+6y+7=0即2x+3y+3.5=0，它们之间的距离为：d==．故选：C．点评：本题考查两条平行线之间是距离的求法，基本知识的考查．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，故A错误；若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l与m平行或异面，故B错误；若l∥α，m⊥α，则由直线与平面平行的性质得l⊥m，故C正确；若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ或m⊂γ，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（） A． B． C．±1 D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设直线l的方程为：y=kx﹣2k，由已知条件结合圆的性质和点到直线的距离公式推导出=2，由此能求出直线的斜率．解答：解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx﹣2k，（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心C（2，3），半径r=3，∵过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2，∴圆心C（2，3）到直线AB的距离d==2，∵点C（2，3）到直线y=kx﹣2k的距离d==2，∴•2=3，解得k=±．故选：A．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．解答：解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选B．点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离d正好等于半径，可得直线和圆相切．解答：解：由于圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为d==2=r（半径），故直线和圆相切，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”，显然不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于非零向量反向共线时，满足＜0；D．“x2＞2”⇒或x，而x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立．解答：解：A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题，正确；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”是假命题，不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于向量反向共线时，其＜0，因此不正确；D．“x2＞2”⇒或x，此时x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立，因此“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的既不充分也不必要条件，不正确．综上可得：只有A．故选：A．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定、向量的数量积及其夹角公式，考查了推理能力，属于基础题．二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为（1，+∞）．考点：特称命题．专题：计算题．分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值X围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是﹣2＜m＜0 ．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题的真假性判断出命题p、q都是真命题，再逐一求出m的X围，最后求它们的交集．解答：解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p、q都是真命题，若命题q是真命题，则∀x∈R，x2+mx+1＞0横成立，所以△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，又命题p：m＜0，也是真命题，所以实数m的取值X围是：﹣2＜m＜0，故答案为：﹣2＜m＜0．点评：本题考查了复合命题的真假性，以及二次函数的性质，属于基础题．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a= 0或﹣1 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知得a（a﹣1）+2a=0，由此能求出a．解答：解：∵两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，∴a（a﹣1）+2a=0，解得a=0或a=﹣1．故答案为：0或﹣1．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心坐标，利用点斜式，可得方程．解答：解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查直线方程，比较基础．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是﹣=1（x≥2）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：找出两圆圆心坐标与半径，设设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，即可确定出M轨迹方程．解答：解：由圆C1：（x+3）2+y2=9，圆心C1（﹣3，0），半径r1=3，圆C2：（x﹣3）2+y2=1，圆心C2（3，0），r2=1，设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据题意得：，整理得：|MC1|﹣|MC2|=4，则动点M轨迹为双曲线，a=2，b=，c=3，其方程为﹣=1（x≥2）．故答案为：﹣=1（x≥2）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及动点轨迹方程，熟练掌握双曲线定义是解本题的关键．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是①②．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①按照特称命题的否定要求改写，然后判断真假；②先写出原命题，然后再按照否条件、否结论进行改写；③双向推理，然后进行判断，此例可以举反例；④结合奇函数的性质进行推导，从左推右，然后反推化简．解答：解：①原命题的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；因为，故①为真命题；②原命题的否命题是：若x2+x﹣6＜0，则x≤2．由x2+x﹣6＜0，得（x+3）（x﹣2）＜0，所以﹣3＜x＜2，故②为真命题；③当A=150°时，．所以故在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的不充分条件．故③是假命题；④若函数f（x）为奇函数，则f（0）=tanφ=0，或y轴为图象的渐近线，所以φ=kπ（k∈Z）；或tanφ不存在，则φ=，（k∈Z）所以前者是后者的不充分条件．故④为假命题．故答案为：①，②点评：本题以简易逻辑为载体，考查了命题的否定及否命题的写法以及真假判断，充分必要性的判断方法，属于基础题，难度不大．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：先分别化简两个不等式，再利用q是p的必要不充分条件，转化为，然后某某数a的取值X围．解答：解：由x2+2ax﹣3a2＜0得（x+3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以﹣3a＜x＜a，（2分）x2+2x﹣8＜0，∴﹣4＜x＜2，p为真时，实数x的取值X围是：﹣3a＜x＜a；q为真时，实数x的取值X围是：﹣4＜x＜2（6分）因为q是p的必要不充分条件，所以有（10分）所以实数a的取值X围是≤a≤2．（14分）点评：本题考查一元二次不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力，转化思想，是中档题．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；（3）讨论椭圆的焦点的位置，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c 的关系解得b，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b===2，即有椭圆方程为+=1；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b==2，即有椭圆方程为+=1；同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1．即有椭圆方程为+=1或+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的方程的正确设法，以及椭圆性质的运用，属于基础题．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）建立空间直角坐标，利用向量法证明线面垂直．（2）利用向量法求线面角的大小．解答：解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平ABC，∴EA⊥平面ABC，∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M（0，1，1） (3)=（0，1，1），=（0，2，0）﹣（0，0，2）=（0，2，﹣2），=（2，2，0）﹣（0，2，0）=（2，0，0），∴，，∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC．…（5分）（2）∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量，∵=（0，1，1），=（2，2，0），∴cos．∴=60°．∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）点评：本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小，运算量较大．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．考点：轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．解答：解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）根据题意设所求方程为3x+4y+a=0，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r求出a的值，即可确定出所求直线方程；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，如图所示，求出|AB|与|MN|的长，即可确定出△PAB面积的最大值．解答：解：（1）设所求直线方程为3x+4y+a=0，由题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，即=2，解得：a=±10，则所求直线方程为3x+4y±10=0；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，此时直线方程为3x+4y﹣10=0，∵点C到直线AB的距离||=，CM=2，∴|MN|=+2=，∵A（﹣4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴|AB|=5，则△PAB面积最大值为×5×=11．点评：此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线平行时斜率的关系，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．。

江西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.为促进抚州市精神文明建设，评选省级文明城市，现省检查组决定在未来连续5天中随机选取2天对抚州的各项文明建设进行暗访，则这两天恰好为连续两天的概率．2.在等差数列中，我们有，则在正项等比数列中，我们可以得到类似的结论是________．3.按如图所示的程序框图运算，若输出，则输入的取值范围是。

4.已知函数，若方程在内有两个不等的实数根，则实数的取值范围是__________．二、解答题1.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155 cm到195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)；第二组[160，165)；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（Ⅰ）估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；（Ⅱ）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图(用虚线标出高度)；（III）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求事件“|x－y|≤5”的概率．2.某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如表：（1）若成绩120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（2）根据以上数据完成下面的列联表：在犯错概率小于的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关系？，其中.3.如图，在空间几何体中，底面是梯形，且，，，是边长为2的等边三角形，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面平面；（3）若，求几何体的体积.4.已知函数.（1）求和函数的极值；（2）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围；（3）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程.5.已知圆：过椭圆：的短轴端点，分别是圆与椭圆上任意两点，且线段长度的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）过点作圆的一条切线交椭圆于两点，求的面积的最大值.三、选择题1.用反证法证明命题：“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为（）A．中至少有一个正数B．全为正数C．全都大于等于0D．中至多有一个负数2.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）A．，B．，C．，D．，3.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形．（1）求出的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；4.设样本数据的均值和方差分别为1和8，若，则的均值和方差分别是（）A．5,32B．5,19C．1,32D．4,355.函数的定义域为，，对任意，都有，则不等式的解集为（）A．B．C．或D．或6.已知函数在点处的切线为，若与二次函数的图象也相切，则实数的取值为（）A．12B．8C．0D．47.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）A．B．C．D．8.一个多面体的三视图和直观图如图所示，是的中点，一只蜻蜓在几何体内自由飞翔，则它飞入几何体内的概率为（）A．B．C．D．9.两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法（1）若r>0，则x增大时，y也相应增大；（2）若r<0，则x增大时，y也相应增大；（3）若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应( 有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上.其中正确的有( )A．①B．②③C．①③D．①②③10.已知函数是偶函数，且当时其导函数满足，若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．11.假设有两个分类变量和的列联表：对同一样本，以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为（）A．B．C．D．12.如图所示是一个容量为200的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计该样本重量的平均数为（）A．11B．C．12D．江西高二高中数学月考试卷答案及解析一、填空题1.为促进抚州市精神文明建设，评选省级文明城市，现省检查组决定在未来连续5天中随机选取2天对抚州的各项文明建设进行暗访，则这两天恰好为连续两天的概率．【答案】【解析】将连续的天看做一天，则有天，从中任意选一天，选中由天组成的一天的次数为,而天中任意选天的可能为事件又，所以在天中能够选中连续两天的概率为．【考点】组合的运用.【思路点睛】本题重在考察排列组合事件的概率，因为这两天是连续的，所以可将这天看做四天，那么这四天中必有一天是连续的两天，利用排列组合公式可先求得事件的所有可能，再求出所指定的时间的可能，求比值便可求得概率；也可事件的所有可能一一列出，找出指定事件的可能次数，再求其与前者的比值，也能求得概率．2.在等差数列中，我们有，则在正项等比数列中，我们可以得到类似的结论是________．【答案】【解析】根据类似算数平均数的形式类比几何平均数，可以得到：，所以答案应填：．【考点】类比推理．3.按如图所示的程序框图运算，若输出，则输入的取值范围是。

江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=( )A．[0，）B．（﹣，1]C．[﹣1，）D．（﹣，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解一元二次不等式求得N，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N．解答：解：集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，则M∩N={x|0≤x＜}，故选：A．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．在下列区间中函数f（x）=e x+2x﹣4的零点所在的区间为( )A．B．C．（1，2）D．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．解答：解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣2＞0，所以零点在区间（）上，故选B．点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．3．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )A．34 B．55 C．78 D．89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用．专题：算法和程序框图．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．4．已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2+3，则f（7）=( )A．﹣5 B．5 C．﹣101 D．101考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=﹣f（x），可得f（x）是以4为周期的周期函数，进而得f（7）=﹣f（1），由奇函数f（x）在x∈（0，2）时的解析式f（x）=2x2+3，可求f（1）的值．解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数；∴f（7）=f（8﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），∵x∈（0，2）时f（x）=2x2+3，∴f（1）=5，则f（7）=﹣5．故选：A．点评：本题考查函数的周期性的定义、应用，及函数的奇偶性，解题的关键是求出函数的周期，属于中档题．5．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确．解答：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题．6．已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=( )A．3B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．解答：解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍），故选A．点评：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．7．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是( )A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．解答：解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选B．点评：本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题．8．已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（﹣x），且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=•f，b=（ln2）•f（ln2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令g（x）=xf（x），得g（x）是偶函数，由x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，从而得g（x）在（0，+∞）上单调递增，再由﹣log2=3＞20.1＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．解答：解：∵f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）是奇函数，∴xf（x）是偶函数．设g（x）=xf（x），当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∵﹣log2=3＞20.1＞1＞ln2＞0，∴g（log2）＞g＞g（ln2），故选：C．点评：本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数g（x）并求导，属于易出错的题目．9．过点（﹣2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于( )A．﹣B．﹣C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．解答：解：对抛物线y=，y′=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x2﹣2kx﹣4k=0，设两个交点是A（x1，y1），B（x2，y2），则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=﹣1．∴k=且满足△＞0．故选：C．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．10．已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，采用数形结合的方法可判断出a的取值范围．解答：解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，如图所示，当a＜0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向左平移a个单位得到，可发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根一定成立；当a＞0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向右平移a个单位得到，观察图象发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根的临界条件是函数y=ln（﹣x+a）经过点（0，），此时有lna=，解得a=，因此要保证e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根，则必须a＜．故选：B．点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．二、填空题（每题5分，共25分）11．已知，且，则的值为．考点：任意角的三角函数的定义；半角的三角函数．专题：计算题．分析：由θ的范围，确定的符号，求出它的平方的值，利用平方关系求出结果．解答：解：因为所以＞0，sinθ=﹣，又=1﹣=，所以=，故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，半角的三角函数，考查计算能力，是基础题．12．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为6π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，根据所给的数据作出底面积，乘以高，得到体积．解答：解：由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，故半圆柱的体积V=×π×22×3=6π，故答案为：6π点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是理解三个视图高长宽之间的关系，进而判断出几何体的形状，本题是一个基础题．13．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向左至少平移个单位后，得到的图象解析式为y=Acosωx．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数的图象可得A=1，T=•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=cos2x的图象，故答案为：．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．15．若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：分x=0和x≠0分析方程解的情况，x=0方程显然成立，不等于0时消掉x后利用数形结合的方法画图分析．解答：解：方程有四个不同的实数解，x=0是方程的1个根，当x≠0时方程变为①．要使方程①有3个不为0的实数根，则函数y=k|x|和y=应有3个不同的交点，如图，k＜0显然不成立，当k＞0时y=kx（x＞0）与有一个交点，只需y=﹣kx（x＜0）和有两个交点即可，联立，得kx2+4kx+1=0．由△=（4k）2﹣4k=0，得k=．∴k＞时y=﹣kx（x＜0）和有两个交点．综上，关于x的方程有四个不同的实数解的实数k的取值范围是．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了数形结合及分类讨论的数学思想方法，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．解答：解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），∴b+c≤14，∵b+c＞7，∴7＜b+c≤14，∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．某中学2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组[180，210） 5 0.1第二组[210，240）10 0.2第三组[240，270）12 0.24第四组[270，300） a b第五组[300，330） 6 c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算．解答：解：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，b==0，34，c==0.12；（2）∵分层抽样的抽取比例为，∴在第二组学生中应抽取10×=4人；（3）从5名学生中随机抽取2人共有=10种取法，恰好抽到1名男生和1名女生的取法有=6种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=．点评：本题考查了古典概型的概率计算，考查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表．18．已知{a n}是等差数列，其前n项的和为S n，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：本题（1）利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d．…由条件a4+b4=21，S4+b4=30，得方程组解得所以a n=n+1，b n=2n，n∈N*．（2）由题意知，c n=（n+1）×2n．记T n=c1+c2+c3+…+c n．则T n=c1+c2+c3+…+c n=2×2+3×22+4×23+…+n×2n﹣1+（n+1）×2n，2 T n=2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n+（n+1）2n+1，所以﹣T n=2×2+（22+23+…+2n）﹣（n+1）×2n+1，即T n=n•2n+1，n∈N*．点评：本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式，以及错位相减法求和，有一定的综合性，计算量也较大，属于中档题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF 的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．20．已知两定点E（﹣2，0），F（2，0），动点P满足，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（0，﹣2）作直线l与曲线C交于A、B两点，点N满足（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程．考点：圆锥曲线的综合．专题：综合题；向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）先求出点P的轨迹方程，再利用PM⊥x轴，点M满足，确定P，M坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；（Ⅱ）求得四边形OANB为平行四边形，则S OANB=2S△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）∵动点P满足，∴点P的轨迹是以EF为直径的圆∵E（﹣2，0），F（2，0），∴点P的轨迹方程x2+y2=4设M（x，y）是曲线C上任一点，∵PM⊥x轴，点M满足，∴P（x，2y）∵点P的轨迹方程x2+y2=4∴x2+4y2=4∴求曲线C的方程是；（Ⅱ）∵，∴四边形OANB为平行四边形当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx﹣2，l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0∴x1+x2=，由△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，可得或∵|x1﹣x2|=|x1﹣x2|∴S OANB=2S△OAB=2|x1﹣x2|==8令k2=t，则，当t＞，即4t﹣3＞0时，由基本不等式，可得≥16，当且仅当，即t=时，取等号，此时满足△＞0∴t=时，取得最小值∴k=时，四边形OANB面积的最大值为2，所求直线l的方程为和．点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．解答：解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．。

2015-2016学年江西省抚州市临川二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．对于集合A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( )A．B． C．D．2．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是( )A．13 B．14 C．15 D．163．已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是( )A．2 B．C．2 D．644．把函数y=e x的图象按向量=（2，0）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=( ) A．e x+2 B．e x﹣2 C．e x+2D．e x﹣25．命题“a和b都不是奇数”的否定是( )A．a和b至少有一个奇数B．a和b至多有一个是奇数C．a是奇数，b不是奇数D．a和b都是奇数6．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则( )A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx7．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤），且此函数的图象如图所示，由点P（ω，φ）的坐标是( )A．（2，）B．（2，）C．（4，）D．（4，）8．设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值和最小值分别为( )A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣19．下列几个命题中，真命题是( )A．l，m．n是空间的三条不同直线，若m⊥l，n⊥l，则m∥nB．α，β，γ是空间的三个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．两条异面直线所成的角的范围是（0，π）D．两个平面相交但不垂直，直线m⊂α，则在平面β内不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与垂直10．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=( )A．1 B．C．D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．（5+）πB．πC．（10+）π D．（5+2）π12．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=( ) A．B．C．1 D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图，则式子6⊗3+3⊗4=__________．14．等差数列{a n}中，已知a1+a2=，a3+a4=1，则a13+a14的值为__________．15．已知a＞0，b＞0，若不等式总能成立，则m的最大值是__________．16．定义在R上的函数y=ln（x2+1）+|x|，满足f（2x﹣1）＞f（x+1），则x的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数f（x）=sinx﹣2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值．18．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．19．把一颗骰子连续投掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．（1）求投掷两次所得点数之和能被4整除的概率；（2）设向量=（x，y），=（2，﹣1），求⊥的概率．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（1）证明BC1∥平面A1CD（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三菱锥C﹣A1DE的体积．21．已知圆C在x轴上的截距为﹣1和3，在y轴上的一个截距为1．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且满足2S n+1=4S n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求a i和a j的所有可能的乘积a i a j之和．2015-2016学年江西省抚州市临川二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．对于集合A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( )A．B． C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】直接根据函数的定义，逐个考察各选项便可得出结果．【解答】解：根据函数的定义，逐个考察各选项：对于A：不能构成，因为集合A中有一部分元素（靠近x=2）并没有函数值，所以符合函数定义；对于B：不能构成，因为集合A中的一个元素（如x=2）与集合B中的两个元素对应，不符合函数定义；对于C：不能构成，因为集合A中的一个元素（如x=1）与集合B中的两个元素对应，不符合函数定义；对于D：能够构成，因为集合A中的每个元素都只与集合B中某一个元素对应，符合函数定义．故选D．【点评】本题主要考查了函数的概念，以及运用图象判断变量之间是否具有函数关系，属于基础题．2．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是( )A．13 B．14 C．15 D．16【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按照从小到大的顺序排列为5，8，10，14，16，16，20，23；∴这组数据的中位数是=15．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目．3．已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是( )A．2 B．C．2 D．64【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】数形结合；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出函数的解析式，再计算对应的函数值．【解答】解：设幂函数y=xα，其图象过点（2，），∴2α=，解得α=，∴函数y==，∴当x=8时，函数y==2．故选：A．【点评】本题考查了求函数的解析式与利用函数解析式求值的应用问题，是基础题目．4．把函数y=e x的图象按向量=（2，0）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=( ) A．e x+2 B．e x﹣2 C．e x+2D．e x﹣2【考点】指数函数的图像变换．【专题】应用题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题设条件知，函数图象沿向量右移了2个单位，问题得以解决．【解答】解：函数y=e x的图象按向量=（2，0）平移得到f（x）=e x﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查函数按向量方向的平移．首先确定向量的方向，然后按照左加右减的原则进行平移5．命题“a和b都不是奇数”的否定是( )A．a和b至少有一个奇数B．a和b至多有一个是奇数C．a是奇数，b不是奇数D．a和b都是奇数【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用否定的定义，写出结果即可．【解答】解：命题“a和b都不是奇数”的否定是：a和b至少有一个奇数．故选：A．【点评】本题考查的知识点是命题的否定，全（特）称命题是新教材的新增内容，其中全（特）称命题的否定是本考点的重要考查形式．6．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则( )A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．【解答】解：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；故选：D．【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤），且此函数的图象如图所示，由点P（ω，φ）的坐标是( )A．（2，）B．（2，）C．（4，）D．（4，）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】先利用函数图象计算函数的周期，再利用周期计算公式解得ω的值，再将点（，0）代入函数解析式，利用五点作图法则及φ的范围求得φ值，最后即可得点P（ω，φ）的坐标【解答】解：由图象可得函数的周期T=2×（﹣）=π∴=π，得ω=2，将（，0）代入y=sin（2x+φ）可得sin（+φ）=0，∴+φ=π+2kπ（注意此点位于函数减区间上）∴φ=+2kπ，k∈Z由0＜φ≤可得φ=，∴点（ω，φ）的坐标是（2，），故选B．【点评】本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，利用函数的部分图象求函数解析式的方法，五点作图法画函数图象的应用8．设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值和最小值分别为( )A．1，﹣1 B．2，﹣2 C．1，﹣2 D．2，﹣1【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据零点分段法，我们易得满足|x|+|y|≤1表示的平面区域是以（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0），（0，1）为顶点的正方形，利用角点法，将各顶点的坐标代入x+2y然后进行比较，易求出其最值．【解答】解：约束条件|x|+|y|≤1可化为：其表示的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2故选B【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键．9．下列几个命题中，真命题是( )A．l，m．n是空间的三条不同直线，若m⊥l，n⊥l，则m∥nB．α，β，γ是空间的三个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．两条异面直线所成的角的范围是（0，π）D．两个平面相交但不垂直，直线m⊂α，则在平面β内不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与垂直【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由垂直于同一条直线的两直线的位置关系判断A；由垂直于同一平面的两平面的位置关系判断B；由异面直线所成角的范围判断C；设平面α、β的交线为n，当m与n不平行时β内不存在直线与m平行，但不论m在α内的位置如何，由两个平面相交但不垂直，可知m 在平面β内的射影直线存在，平面β内垂直于m在β内射影的直线必与m垂直．【解答】解：由m⊥l，n⊥l，可得m，n的位置关系有三种，平行、相交和异面，∴选项A不正确；由α⊥γ，β⊥γ，可得α∥β或α与β相交，∴选项B不正确；两条异面直线所成的角的范围是（0，]，∴选项C不正确；两个平面α、β相交但不垂直，设交线为n，直线m⊂α，只有当m∥n时，在平面β内存在直线与m平行，否则在平面β内不存在直线与m平行；但平面β内垂直于m在β内射影的直线必与m垂直．∴选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与直线，平面与平面间的位置关系，考查了学生的空间思维和想象能力，是中档题．10．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=( )A．1 B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据条件求出B=，再利用余弦定理解决即可．【解答】解：∵A+C=2B，∴A+C+B=3B=π，则B=，则b2=a2+c2﹣2accosB，即3=1+c2﹣2c×，即c2﹣c﹣2=0，解得c=2或c=﹣1（舍），则a2+b2=c2．即△ABC为直角三角形，∠C=，即sinC=1．故选：A【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理是解决本题的关键．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．（5+）πB．πC．（10+）π D．（5+2）π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，由图中所提供的数据进行计算即可得到所求的表面积选出正确选项【解答】解：由三视图可知这是一个圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，圆柱的底面积为π，圆柱的侧面积为2π×2=4π，圆锥的母线长为，侧面积为，所以总的侧面积为，故选A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，此类题的关键是能由实物图得到正确的三视图或者由三视图可准确还原实物图12．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=( ) A．B．C．1 D．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件（1）（3）分别令x=1，x=，可得f（1）=1，f（）=，结合条件（2）可得f（），f（）==f（）结合由f（x）在上为非减函数，可得：f（）=．【解答】解：∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），令x=1，则f（0）=1﹣f（1），解得f（1）=1，令x=，则f（）=1﹣f（），解得：f（）=又∵f（）=f（x），∴f（）=f（1）=，f（）=f（）=，f（）=f（）=，又由f（x）在上为非减函数，故f（）=，故f（）+f（）=，故选：A【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图，则式子6⊗3+3⊗4=20．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】通过程序框图判断出S=a⊗b的解析式，求出6⊗3+3⊗4的值．【解答】解：有框图知S=a⊗b=，∴6⊗3+3⊗4=6×（3﹣1）+4×（3﹣1）=20．故答案为：20．【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．14．等差数列{a n}中，已知a1+a2=，a3+a4=1，则a13+a14的值为．【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组代入计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a1+a2=2a1+d=，a3+a4=2a1+5d=1，联立解得a1=，d=，∴a13+a14=2a1+25d=，故答案为：．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．15．已知a＞0，b＞0，若不等式总能成立，则m的最大值是9．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】由不等式恒成立，可得m=5+恒成立，只要求出的最小值即可求解【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴2a+b＞0∵不等式恒成立，∴m=5+恒成立∵∴m≤9故答案为：9【点评】本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化，解题的关键是配凑基本不等式成立的条件16．定义在R上的函数y=ln（x2+1）+|x|，满足f（2x﹣1）＞f（x+1），则x的取值范围是x ＞2或x＜0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数y=ln（x2+1）+|x|为偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，∴f（2x﹣1）＞f（x+1）等价为f（|2x﹣1|）＞f（|x+1|），即|2x﹣1|＞|x+1|，平方得3x2﹣6x＞0，即x＞2或x＜0；故答案为：x＞2或x＜0；【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数f（x）=sinx﹣2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈，可求范围x+∈，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈，∴x+∈，∴sin（x+）∈，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈，∴可解得f（x）在区间上的最小值为：﹣．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．18．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】充分条件；集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题；阅读型．【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R，得，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D．所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三菱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知圆C在x轴上的截距为﹣1和3，在y轴上的一个截距为1．（1）求圆C的标准方程；（2）若过点的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的斜率；圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）由圆心公式求得圆心应该在x=1这条直线上．设：圆心为（1，y）进而根据到（﹣1，0）的距离=到（0，1）的距离求得y，则圆心可知，根据点与点之间的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可得．（2）先看直线斜率不存在时，求得弦长为4符合题意，此时倾斜角为90°在看直线斜率存在时，设出直线方程，根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而求得斜率k，则直线的倾斜角可求．【解答】解：（1）由圆心公式：（x1+x2）=（﹣1+3）=1圆心应该在x=1这条直线上．设：圆心为（1，y），到（﹣1，0）的距离=到（0，1）的距离：∴（1+1）2+y2=12+（y﹣1）2解得y=﹣1∴圆心为（1，﹣1）∴r2=（1+1）2+y2=4+1=5∴圆的方程为：（x﹣1）2+（y+1）2=5（2）当直线斜率不存在时即直线与x轴垂直时，把x=2代入圆方程求得y=1或﹣3，∴|AB|=1+3=4符合题意当直线斜率存在时，设直线方程为y﹣+1=k（x﹣2）由直线l被圆C截得的弦AB的长为4，圆的半径为可求得圆心到直线的距离为=1 ∵圆心到直线的距离d==1求得k=∴倾斜角的正切为，倾斜角为30°【点评】本题主要考查了圆与直线方程的应用．考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式．22．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且满足2S n+1=4S n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求a i和a j的所有可能的乘积a i a j之和．【考点】数列递推式．【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）由2S n+1=4S n+1，再写一式，两式相减，确定数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，即可求出a n．（Ⅱ）由a i和a j的所有可能乘积a i•a j=2i+j（1≤i≤j≤n）可构成下表：21+1﹣4，21+2﹣4，21+3﹣4，…，21+n﹣4，22+1﹣4，22+2﹣4，…，22+n﹣4，2n+1﹣4，2n+2﹣4，2n+3，…，2n+n﹣4，即可求a i和a j的所有可能的乘积a i a j之和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，两式相减得a n+1=2a n，∴，由2S2=4S1+1得2（a1+a2）=4a1+1，又，∴．∴数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，∴．（Ⅱ）由a i和a j的所有可能乘积（1≤i≤n，1≤j≤n）可构成下表：21+1﹣4，21+2﹣4，21+3﹣4，…，21+n﹣4，22+1﹣4，22+2﹣4，…，22+n﹣4，2n+1﹣4，2n+2﹣4，2n+3，…，2n+n﹣4，设上表第一行的和为T1，则于是…+2n﹣1）==【点评】考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想．。

江西省2015年中等学校招生考试数学试题及答案(word版)江西省2015年中等学校招生考试数学试题及答案(word版)准考证号姓名(在此卷上答题无效)机密★2015年6月19日江西省2015年中等学校招生考试数学试题卷说明：1．本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分．一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．计算(－1)°的结果为()A．1 B．－1 C．0D．无意义2．2015年初，一列CRH5型高速车组进行了“300 000公里正线运营考核”，标志着中国高铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃．将数300 000用科学计数法表示为()A．60.310⨯D．4⨯C．6⨯B．5310310⨯3010 3．如图所示的几何体的左视图为()4．下列运算正确的是()A ．236(2)6a a =B ．2232533a b ab a b -•=-C ．1b a a b b a +=---D ．21111a a a -•=-+ 5．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，B 与D 两点之间用一根橡皮筋．．．拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误．．的是() A ．四边形ABCD 由矩形变为平行四边形B ．BD 的长度增大C ．四边形ABCD 的面积不变D ．四边形ABCD 的周长不变6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( )A ．只能是x ＝－1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x ＝2的左侧D ．在y 轴左侧且在直线x ＝－2的右侧二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)7．一个角的度数为20°，则它的补角的度数为．8．不等式组110239x x ⎧-⎪⎨⎪-<⎩≤，的解集是．9．如图，OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于E ，PF ⊥ON 于F ，OA ＝OB ．则图中有对全等三角形．10．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，则∠ADC 的度数为．11．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则m 2－mn ＋n 2＝．12．两组数据：3，a ，2b ，5与a ，6，b 的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为．13．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，则点B到CD 的距离为cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766．计算结果精确到0.1cm，可用科学计算器)．14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分) 15．先化简，再求值：2a=-，+-+，其中12(2)(2)a ab a bb=．316．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称．已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的．．．．．．直尺．．，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦．，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．(1)如图1，AC＝BC；(2)如图2，直线l与⊙O相切与点P，且l∥B C．18．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：事件A必然事件随机事件m的值(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率等，求m的值．于45四、(本大题共4小题，每小题8分，共32分) 19．某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生的家长1份，每份问卷仅表明一种态度．将回收的问卷进行整理(假设回收的问卷都有效)，并绘制了如下两幅不完整的统计图．学生家长对孩子使用手机的态度情况统计图根据以上信息回答下列问题：(1)回收的问卷数为份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为；(2)把条形统计图补充完整；(3)若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？20．(1)如图1，纸片□ABCD 中，AD ＝5，S □ABCD ＝15．过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，沿AE 剪下△ABE ，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D ，则四边形AEE'D 的形状为()A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE'D 中，在EE'上取一点F ，使EF ＝4，剪下△AEF ，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D ． ①求证：四边形AFF'D 是菱形；②求四边形AFF'D 的两条对角线的长．21．如图，已知直线y ＝ax ＋b 与双曲线(0)k y x x=>交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与B不重合)，直线AB与x轴交于点P(x0，0)，与y轴交于点C．(1)若A，B两点坐标分别为(1，3)，(3，y2)．求点P的坐标；(2)若b＝y1＋1，点P的坐标为(6，0)，且AB＝BP，求A，B两点的坐标；(3)结合(1)，(2)中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系(不要求证明)．22．甲、乙两人在100米直道AB上练习匀速往返跑，若甲、乙分别在A，B两端同时出发，分别到另一端点掉头，掉头时间不计，速度分别为5m/s和4m/s．(1)在坐标系中，虚线表示乙离．．A．端．的距离s(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的函数图象(0≤t≤200)，请在同一坐标系中用实线画出甲离A 端的距离s与运动时间t之间的函数图象(0≤t≤200)；(2)根据(1)中所画图象，完成下列表格：两人相遇次数(单位：次)1 2 3 4 …n 两人所跑路程之和(单位：m) 100 300 …(3)①直接写出甲、乙两人分别在第一个100m 内，s与t的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；②求甲、乙第6此相遇时t的值．五、(本大题共10分)23．如图，已知二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)和二次函数L2：y＝－a(x＋1)2＋1(a>0)图像的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．(1)函数y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)的最小值为；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是；(2)当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状(直接写出，不必证明)；(3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A(m，0)，当△AMN为等腰三角形时，求方程－a(x＋1)2＋1＝0的解．六、(本大题共12分)24．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE 是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝22a＝，b＝；如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝，b＝；归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25AB ＝3．求AF的长．。

2014-2015学年江西省抚州市临川一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|x=﹣y2+6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为（）A．9 B．8 C．7 D．62．（5分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的定义域为[1，3]，则函数y=f（log3x）的定义域为（）A．[1，9]B．[0，1]C．[0，2]D．[0，9]4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC=（）A．B．C．D．5．（5分）若f（x）=x2﹣x+a，f（﹣m）＜0，则f（m+1）的值为（）A．正数B．负数C．非负数D．与m有关6．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=a x+log a x（a＞1），则方程f（x）=0的实根的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．57．（5分）若曲线f（x）=ax2+lnx上存在垂直y轴的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞，）D．（1，+∞）8．（5分）已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足，设△ABC的面积为S，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知x∈[0，π]，f（x）=sin（cosx）的最大值为a，最小值为b；g（x）=cos（sosx）的最大值为c，最小值为d，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＜d＜c＜a B．d＜b＜c＜a C．b＜d＜a＜c D．d＜b＜a＜c10．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．911．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R 上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数12．（5分）记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1，x∈[，]，则f （x）的最小值为．14．（5分）设x，y为实数，且，则x+y=．15．（5分）设函数f（x）=x2﹣6x+5，集合A={（a，b）|f（a）+f（b）≤0，且f（a）﹣f（b）≥0}．在直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积为．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①若ab＞c2，则C＜②若a+b＞2c，则C＜③若a3+b3=c3，则C＜④若（a+b）c≤2ab，则C＞⑤若（a2+b2）c2≤2a2b2，则C＞．三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=|2x+b|．（Ⅰ）若不等式f（x）＜3的解集是（﹣1，2），求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．19．（12分）将函数y=sinπx在区间（0，+∞）内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n}．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=2n a n，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．21．（12分）如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（﹣p，p）为圆心，p为直径的圆．（1）求抛物线C和圆E的方程；（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．22．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有．2014-2015学年江西省抚州市临川一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|x=﹣y2+6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：∵A={x|x=﹣y2+6，x∈N，y∈N}，∴A={6，5，2}，所以其真子集的个数为23﹣1=7，故选：C．2．（5分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：2a＞2b⇒a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．故选：B．3．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的定义域为[1，3]，则函数y=f（log3x）的定义域为（）A．[1，9]B．[0，1]C．[0，2]D．[0，9]【解答】解：因为函数y=f（x﹣1）的定义域为[1，3]，所以0≤x﹣1≤2，令t=log3x，则0≤t≤2，即有0≤log3x≤2，解得1≤x≤9，则定义域为[1，9]，故选：A．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC=（）A．B．C．D．=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，【解答】解：△ABC中，∵S△ABC且2S=（a+b）2﹣c2，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得3tan2C+4tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，故选：C．5．（5分）若f（x）=x2﹣x+a，f（﹣m）＜0，则f（m+1）的值为（）A．正数B．负数C．非负数D．与m有关【解答】解：∵f（﹣m）＜0，∴m2+m+a＜0，∴f（m+1）=（m+1）2﹣（m+1）+a=m2+m+a＜0．故选：B．6．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=a x+log a x（a＞1），则方程f（x）=0的实根的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：当x＞0时，f（x）=a x+log a x（a＞1），令f（x）=0可得a x=﹣log a x=，在同一坐标系下分别画出函数y=﹣log a x 和y=的图象，如图所示：可知两个图象只有一个交点，即方程f（x）=0在（0，+∞）上只有一个实根，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＜0时，方程f（x）=0也有一个实根，又∵f（0）=0，∴方程f（x）=0的实根的个数为3．故选：C．7．（5分）若曲线f（x）=ax2+lnx上存在垂直y轴的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞，）D．（1，+∞）【解答】解：∵曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0）∴=0有解，得，∵x＞0，∴＜0，∴实数a的取值范围是a＜0．故选：A．8．（5分）已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足，设△ABC的面积为S，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设AB，AC的中点分别为M，N，由3+5+2=得：3（+）=﹣2（+），∴点P在MN上，且PM：PN=2：3，∴P到边AB的距离等于C到边AB的距离的×=，则△PAB的面积为S，故选：D．9．（5分）已知x∈[0，π]，f（x）=sin（cosx）的最大值为a，最小值为b；g（x）=cos（sosx）的最大值为c，最小值为d，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＜d＜c＜a B．d＜b＜c＜a C．b＜d＜a＜c D．d＜b＜a＜c【解答】解：∵x∈[0，π]．∴﹣1≤cosx≤1，0≤sinx≤1．∴﹣sin1≤sin（cosx）≤sin1，cos1≤cos（sinx）≤1．∵a=sin1，b=﹣sin1，c=1，d=cos1．b＜d＜a＜c．故选：C．10．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．9【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．11．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．故选：D．12．（5分）记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：设，则（a≥0，b≥0）则3a2+b2=3其图象如下图所示：令z=a+b，由上图可得：z的最大值为2，最小值为1即函数的最大值为M=2，最小值为m=1，故=故选：A．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1，x∈[，]，则f （x）的最小值为1．【解答】解：∵函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1=﹣cos2（x+）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，故1≤f（x）≤2，所以，f（x）的最小值为1，故答案为1．14．（5分）设x，y为实数，且，则x+y=4．【解答】解：，而所以，解得x=﹣1，y=5，所以x+y=4．故答案为：415．（5分）设函数f（x）=x2﹣6x+5，集合A={（a，b）|f（a）+f（b）≤0，且f（a）﹣f（b）≥0}．在直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积为4π．【解答】解：由f（x）=x2﹣6x+5，则集合A={（a，b）|f（a）+f（b）≤0，且f（a）﹣f（b）≥0}中的点（a，b）满足的不等式为，即．也就是（1）或（2）．可行域如图，不等式组（1）对应M区域，不等式组（2）对应N区域．所以面积为．故答案为4π．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是①②③（写出所有正确命题的编号）．①若ab＞c2，则C＜②若a+b＞2c，则C＜③若a3+b3=c3，则C＜④若（a+b）c≤2ab，则C＞⑤若（a2+b2）c2≤2a2b2，则C＞．【解答】解：①ab＞c2⇒cosC=＞=⇒C＜，故①正确；②a+b＞2c⇒cosC=＞=≥=⇒C＜，故②正确；③当C≥时，c2≥a2+b2⇒c3≥ca2+cb2＞a3+b3与a3+b3=c3矛盾，故③正确；④举出反例：取a=b=c=2，满足（a+b）c≤2ab得：C=＜，故④错误；⑤举出反例：取a=b=c=，满足（a2+b2）c2≤2a2b2，此时有C=，故⑤错误故答案为①②③三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=|2x+b|．（Ⅰ）若不等式f（x）＜3的解集是（﹣1，2），求实数b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜3，即|2x+b|＜3，即﹣3＜2x+b＜3，求得＜x＜．再根据不等式的解集是（﹣1，2），可得，求得实数b=﹣1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，得|2x+5|+|2x+1|≥m对一切实数x恒成立．因为|2x+5|+|2x+1|≥|2x+5﹣2x﹣1|=4，所以m≤4．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．【解答】解：（1）∵acosC+c=b，由正弦定理得2RsinAcosC+2RsinC=2RsinB，即sinAcosC+sinC=sinB，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴，又∵0＜A＜π，∴．（2）由正弦定理得：b==，c=，∴l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=1+（sinB+sin（A+B））=1+2（sinB+cosB）=1+2sin（B+），∵A=，∴B，∴B+，∴，故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．（2）另解：周长l=a+b+c=1+b+c，由（1）及余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2=bc+1，∴（b+c）2=1+3bc≤1+3（）2，解得b+c≤2，又∵b+c＞a=1，∴l=a+b+c＞2，即△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．19．（12分）将函数y=sinπx在区间（0，+∞）内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n}．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=2n a n，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由y=sinπx=0得，πx=nπ，即x=n，n∈N•，它在（0，+∞）内的全部零点构成以1为首项，1为公差的等差数列，则数列{a n}的通项公式a n=n．（Ⅱ）∵b n=2n a n=n•2n，则数列{b n}的前n项和T n=1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，①则2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，②①﹣②得，﹣T n=2+22+23+…+•2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，则T n=2+（n﹣1）•2n+1．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S==，△BCD∴V C=V C1﹣BCD=••6=9．﹣BC1D21．（12分）如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）上点（2，a）到焦点F的距离为3，直线l：my=x+t（t≠0）交抛物线C于A，B两点，且满足OA⊥OB．圆E是以（﹣p，p）为圆心，p为直径的圆．（1）求抛物线C和圆E的方程；（2）设点M为圆E上的任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线方程．【解答】解：（1）由题意得2+=3，得p=2，∴抛物线C和圆E的方程分别为：y2=4x；（x+2）2+（y﹣2）2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立方程，整理得y2﹣4my+4t=0，由韦达定理得…①则，由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，即（m2+1）y1y2﹣mt（y1+y2）+t2=0，将①代入上式整理得t2+4t=0，由t≠0得t=﹣4．故直线AB过定点N（4，0）．∴当MN⊥l，动点M经过圆心E（﹣2，2）时到直线l的距离d取得最大值．由k MN==﹣，得k l=3．此时的直线方程为l：y=3（x﹣4），即3x﹣y﹣12=0．22．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有．【解答】解：（1）∵∴∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数∴对x∈[1，+∞）恒成立，∴ax﹣1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即对x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1（2）当a=1时，，∴当时，f′（x）＜0，故f（x）在上单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上单调递增，∴f（x）在区间上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0又∵e3＞16∴∴f （x ）在区间上的最大值综上可知，函数f （x ）在上的最大值是1﹣ln2，最小值是0． （3）当a=1时，，，故f （x ）在[1，+∞）上为增函数． 当n ＞1时，令，则x ＞1，故f （x ）＞f （1）=0∴，即∴∴∴即对大于1的任意正整数n ，都有赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。

江西省五校（师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中）2015届高三上学期第二次联考数学文【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

【题文】第 Ⅰ 卷（选择题 共 共 60 分）【题文】一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.设全集U=R ，集合A=｛x|y=1ln1x x+-｝,B={y|y=3x-},则()U A C B =( ) A.[-1,0] B.(-1,0) C. (]1,0- D. [)1,0- 【知识点】函数的定义域；函数的值域；集合运算. B1 A1 【答案】【解析】C 解析：A=(-1，1)，B=()0,+∞，故()U AC B =(]1,0-，所以选C.【思路点拨】先化简集合A 、B ，再由补集、交集的意义求得结论.【题文】2.已知函数2,1()(1),1x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则2(log 5)f = （ ）A.516 B. 58 C. 54 D. 52【知识点】分段函数的函数值. B1【答案】【解析】C 解析：∵22log 53<<，∴2(log 5)f =22log 52log 5252224--=⋅=， 故选C.【思路点拨】先分析2log 5在哪两个整数之间，利用x ≥1时的条件，把其变换到x<1的情况，再用x<1时的表达式求解.【题文】3.下列命题中，真命题是（ ）A.对于任意x ∈R ，22x x >； B.若“p 且q ”为假命题，则p,q 均为假命题； C.“平面向量,a b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是“0a b ⋅<”； D.存在m ∈R ，使243()(1)mm f x m x -+=-是幂函数，且在()0,+∞上是递减的.【知识点】充分条件；必要条件；基本逻辑联结词及量词. A2 A3【答案】【解析】D 解析：x=2时22xx >不成立，所以A 是假命题；若“p 且q ”为假命题，则p,q 可以一真一假，所以B 是假命题；因为0a b ⋅<时，向量,a b 可能共线反向，即,a b 夹角是180°，不是钝角，所以C 是假命题；而当m=2时，243()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，且在()0,+∞上是递减的，所以D 成立.故选 D. 【思路点拨】逐个分析每个命题的真假.【题文】4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369S S S +=，则公比q=（ ） A.1或-1 B.1 C. -1 D.12【知识点】等比数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】A 解析：当q=1 时，111369a a a +=成立；当q ≠1时，()()()369111111111a q a q a q qqq---+=---611(1)q q q ⇒=⇒=-≠，综上得q=1或-1,故选A.【思路点拨】分q=1与q ≠1两种情况讨论求解.【题文】5.已知实数x,y 满足约束条件104312020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则211x y z x -+=+的最大值为（ ）A.54 B. 45 C. 916 D. 12【知识点】线性规划的应用. E5【答案】【解析】B 解析：因为2211211x y y z x x +--+==-++，所以要求z 的最大值，只需求11y z x +'=+的最小值，画出可行域可得，使11y z x +'=+取得最小值的最优解为A （32，2）， 代入211x y z x -+=+得所求为45，故选B.【思路点拨】把目标函数化为121y z x +=-+，则只需求可行域中的点（x,y ）与点（-1，-1）确定的直线的斜率的最小值即可.【题文】6.设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，其中0αβπ<<<，若22a b a b -=+，则βα-=（ ）A. 4π-B. 4πC. 2π-D. 2π【知识点】向量数量积的坐标运算；已知三角函数值求角. F2 F3 C7【答案】【解析】D 解析：因为22a b a b -=+， 所以22222283()a b a b a b a b -=+⇒⋅=-，又因为(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，所以cos cos sin sin cos()0a b αβαββα⋅=+=-= 因为0αβπ<<<，所以βα-=2π，故选D. 【思路点拨】利用向量的模与向量数量积的关系，转化为数量积运算，从而得cos()0βα-=，再由0αβπ<<<得结论.【题文】7.设0,1a b >>，若2a b +=，则211a b +-的最小值为（ ）A ．3+ D. 【知识点】基本不等式 E6 【答案】【解析】A 解析：由题可知()21212,11,111a b a b a b a b a b ⎛⎫+=+-=∴+=++- ⎪--⎝⎭()212131b a a b -=+++≥+- A.【思路点拨】根据不等式成立的条件，可凑出应用基本不等式的条件，最后找出结果. 【题文】8.ABC 中内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,若22,sin a c B C -==，则角A=( ) A.6π B. 3πC. 23πD. 56π【知识点】正弦定理 ；余弦定理 C8 【答案】【解析】A 解析：由已知条件可知22222sin ,67B C b a c c a c =∴=∴-==∴=，再由余弦定理可知22222cos 2b c a A bc +-===，06A A ππ<<∴= 【思路点拨】由正弦定理可得到角与边的关系，再根据余弦定理可求出角的余弦值. 【题文】9.已知()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则a b +=（ ）A.0或-7B.-7C.0D. 7【知识点】利用导数研究函数的极值 B11 【答案】【解析】B 解析：()f x '=3x 2+2ax+b ，由题意得，()1f '=3+2a+b=0①，f （1）=1+a+b+a 2=10②，联立①②解得或，当a=﹣3，b=3时，()f x '=3x 2﹣6x+3=3（x ﹣1）2，x ＜1或x ＞1时，()f x '＞0，所以x=1不为极值点，不合题意； 经检验，a=4，b=﹣11符合题意，所以4117a b +=-=- 故答案为：B【思路点拨】求出导函数，令导函数在1处的值为0；f （x ）在1处的值为10，列出方程组求出a ，b 的值，注意检验． 【题文】10.已知函数()2ln xf x x x=-，则函数()y f x =的大致图像为（ ）【知识点】函数的图象与性质 B8【答案】【解析】A 解析：由函数的奇偶性可知函数为非奇非偶函数，所以排除B,C,再令()221ln 111,01e x f x e e e e e-⎛⎫=-=--=-< ⎪⎝⎭-，说明当x 为负值时，有小于零的函数值，所以排除D.【思路点拨】根据函数的性质排除不正确的选项，现由特殊值判定函数的情况，最后可得解. 【题文】11.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【知识点】直线和圆的方程的应用 H4【答案】【解析】C 解析：将圆C 的方程整理为标准方程得：（x ﹣4）2+y 2=1， ∴圆心C （4，0），半径r=1，∵直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C′：（x ﹣4）2+y 2=4与y=kx ﹣2有公共点，∵圆心（4，0）到直线y=kx ﹣2的距离d=≤2，解得：0≤k≤．故答案为：[0，]．【思路点拨】将圆C 的方程整理为标准形式，找出圆心C 的坐标与半径r ，根据直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，得到以C 为圆心，2为半径的圆与直线y=kx ﹣2有公共点，即圆心到直线y=kx ﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k 的不等式求出不等式的解集即可得到k 的范围． 【题文】12.已知函数()2log ,02,0xx a x f x a x +>⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x =+有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. -1]-∞（，B. -1)-∞（，C. )∞（-1，+D. )∞[-1，+ 【知识点】函数与方程 B9【答案】【解析】B 解析：由题可知()0f x x +=有一个根，即()f x x =-，所以可变为2log ,0,xx x y >⎧=⎨≤⎩2x 0与y x a =--只有一个交点的问题，由两个函数的图象可知11a a ->∴<-，所以选B.【思路点拨】函数与方程的问题，也是数形结合的问题，根据函数的图象关系可求出结果. 【题文】第 Ⅱ 卷（非选择题共90 分）【题文】二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分.将答案填在题中的横线上. 【题文】13. 已知2cos63，则5sin 26的值为________.【知识点】诱导公式;二倍角公式.. C2 C7 【答案】【解析】19解析： 225sin 2sin 2cos 26626212cos 121639【思路点拨】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可。

2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二(上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）1．设集合A=｛y∈R|y=x2｝，B={x∈R｜x2+y2=2｝，则A∩B=（）A．B．{(﹣1，1)，（1，1）｝C．｛1} D．［0，1]2．若a为实数且，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．43．命题“∃x0∈(0,+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞）,lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞)，lnx=x﹣14．在某次测量中得到的A样本数据如下;74,74，79，79，86，87，87，90，91,92．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加5后所得数据,则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差5．已知直线l1：x+2ay﹣1=0,与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．6．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．147．若直线=1(a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A．B．C．D．9．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．10．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．若函数f(x）=kx﹣lnx在区间（1,+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞,﹣2］B．(﹣∞，﹣1]C．［2,+∞）D．［1,+∞）12．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为(）A．4 B．C．D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。