几种简单形状刚体的转动惯量22页PPT

rL2 (x2 y2 z2 ) (x cos y cos z cos )2 考虑到 cos2 cos2 cos2 1 ，有 rL2 (x2 y2 z2 )(cos2 cos2 cos2 ) (x cos y cos z cos )2
rz
A
O
z
x
rz
y
x
y
图2
§1 转动惯量的概念
4.极转动惯量(对极坐标原点的转动惯量)
对于平面薄板，使平板表面重合于坐标平面Oxy（如图3），
如果薄板内各点的坐标 z 可以忽略，则式简写成
J x my2
z
此时有
J y mx2
Jz m(x2 y2 )
Jz Jx Jy
图7
d
A
C
O' O
z
y′
x
y
y x′ x
J z JCz md 2
因而yC′=0。于是得关系式 转动惯量的平行轴定理: 刚体对任一轴的转动惯量，等于它对该轴相平行
且通过质心的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两个轴之间距离平方的乘积。
§3 转动惯量的平行轴定理
例题 4
1. 已知杆长l，质量是m。求通过杆端A并与轴z平行的轴z1的转动惯量。
m(x2 y2)cos2 2 myz cos cos 2mzx cos cos 2mxy cos cos
（a）
课外阅读 §4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴
J mrL2 m( y2 z2 ) cos2 m(z2 x2 ) cos2
O
l
C1
A
r

L I 常量
平动动能 1 m 2
2
力的功 A
F dr
ab
动能定理
A
1 2
m 2
1 2
m02
转动动能 1 I 2
2
力矩的功 A
Md
0
动能定理
A
1 2
I 2
1 2
I02
刚体动力学规律旳应用举例
例1：如图，质量m，长为L旳匀质细杆，可绕水 平旳光滑轴在竖直平面内转动，转轴O在杆旳A端。 若使杆于水平位置从静止开始向下摆动，求杆摆 到铅直位置时旳角速度。
一、刚体旳运动
不论在多大外界作用下，物体旳形状和大小均 不发生变化，这么旳物体称为刚体。
各质点间旳相对位置永不发生变化旳质点系。
1、平动 刚体在运动中，其上任意两点旳连线一直保持平行。
A
A
B
A
B
B 平动中刚体上旳各点都有相同旳轨迹、位移、 速度及加速度。用质心运动讨论。
2、定轴转动 刚体上各点均绕同一固定直线旋转旳运动，
M d（I)
dt
措施四：应用机械能守恒定律（见下一种例题 ）
例2：质量m，长为L旳均匀细棒，可绕过其一端旳水平
轴O转动。现将棒拉到水平位置（OA’）放手，棒下
摆到铅直位置（OA）时，与水平面A处旳质量为M旳
物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一
段距离s后停止。设物体与水平面间旳摩擦系数到处
r2dm
转动定律 M I
动量 m，冲量
t Fdt
动量定理
F
t0 dP
dt
角动量 L I,冲量矩
t
Mdt
t0
角动量定理 M dL dt
五、质点与刚体力学规律对照表（续）

174
习题答案
第一章
F (h − 3r ), M y = 3 F (r + h ), M z = − Fr . 1-3 4 4 2 2 bc ab ca a ab M ξ = −513.36 N ⋅ m . 1-4 M x = M − F ，My = M + F ，Mz = M， k1 k1 k1 2k 2 2k 2 abc 2 2 2 2 2 2 F. 其中： k1 = (ab ) + (bc ) + (ca ) ， k2 = a + b / 4 + c . 1-5 M τ = rAB b 2 + c 2
ρz =
3 r 10 3 (4r 2 + l 2 ) 80
ρx = ρy
=
圆环
3 J z = m( R 2 + r 2 ) 4
ρ z = R2 + r2
3 4
Jz =
椭圆形 薄 板
m 2 (a + b2 ) 4 m J y = a2 4 m J y = b2 4
1 2 a + b2 2 a ρx = 2 b ρy = 2
附录常见几种均质物体的转动惯量和回转半径物体的转动惯量简图回转半径形状m为物体的质量m2ljlzzcc1223细直杆m2ljzlz33薄壁2jmrr圆筒zz12rjmrzz22jj圆柱xyxym221223rl3rl1212空心m22122jzrrzrr圆柱22薄壁222jzmrzr空心球33222实心球jzmrzr55171323jzmrzr1010jj圆锥体xyxy322322m4rl4rl8080232232圆环jzmrrzrr44m22122jzabzab42椭圆形m2ajyax薄板42m2bjyby42m22122jzabzab1212m22122长方体jyacxac1212m22122jy12bcy12bcm22jz12ab122zab矩形m212ja薄板y120289axm20289bjbyy12172参考书目1朱照宣周起钊殷金生编

I r2dm －质量连续分布
d l －线分布λ ＝m/L
dm



d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波

v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB

Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转

刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i

m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：

；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法
向加速度 .
解：
（1）
5π rads , 1
t = 30 s 时，
0
0.
设 t= 0s
时，
.飞轮做匀减速运动
0 0
0 0 5π rad s1 π rad s2
t
30
6
飞轮 30 s 内rad 2 2 (π 6)
解：
dm dV 2 r h dr
其中：
m m
V r 2 h
所以：
J r 2 dv m
R 2rh r 2dr
0
1 mR2
2
第24页/共28页
第25页/共28页
四 平行轴定理 质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量 为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：
0.105
m s2
an r 2 0.2´ (4 π)2 m ×s2 31.6 m ×s2
第10页/共28页
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截
面后通，过其中转心速的达轴到转18动00.0开r·m始in时-1，. 已它知的转角子速的度角加0 速度0与，时经间3成00正s 比
第12页/共28页
一 力矩 刚体上P点的力 对转轴 Z 的力矩为：
大小： 方向：右手定则
例
F
M rF
M
M Fr sin Fd
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
z
M
r
O
d
F *P
Fi 0 , Mi 0
第13页/共28页
讨论 1）若力 不在转动平面内
则：

1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。

J miri
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV

线积分

面积分

体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。

F
ds

F
cos
ds

Ft rd

Md
The total work done during a finite angular displacement
is then

W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant

物理学教程 （第二版）
* 例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角 = 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角
速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN
l2
l oP
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
圆盘绕圆心转动
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
物理学教程 （第二版）
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
且在转动平面内,
矢.
r
为由点O 到力的作用点 P 的径 M
F
对转轴Z
的力矩
M rF
M Frsin Fd
例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω0绕
通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相
同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压
力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
问经过多长时间圆盘才停止转动?

例：半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直 径轴转动的转动惯量Jy。 解：圆盘绕垂直于盘 面的质心 z 轴转动 的转动惯量为：
Jz 1 2 MR
2
动 画
y
x
J z J x J y 2J y
Jy
1 2
Jz
1 4
z
MR
2
§4.刚体的转动惯量/ 五、垂直轴定理
设计制作
干耀国
山东科技大学济南校区
§4.刚体的转动惯量
2
o x x
y
dm
y
§4.刚体的转动惯量/ 五、垂直轴定理
绕 y 轴的转动惯量为：
Jy x dm
o x
2 2
z
绕 z 轴的转动惯量为：
Jz z dm
2 2
y
y
z
dm
( x y ) dm y dm x dm
Jx Jy
2 2
x
证毕
§4.刚体的转动惯量/ 五、垂直轴定理
J dJ
0
R 2
r dm
dr
2
M R r r
r ( 2 rdr )

1 2
R
4
由
M R
2
则圆盘的转动惯量为： J
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
1 2
MR
2
三、典型的几种刚体的转动惯量
r1 r2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
圆筒转轴沿几何轴
Ek 1 2
n

rn
mn
m1
r1
r2 m2
m 1 v1
1 2

ρz =
3 r 10 3 (4r 2 + l 2 ) 80
ρx = ρy
=
圆环
3 J z = m( R 2 + r 2 ) 4
ρ z = R2 + r2
3 4
Jz =
椭圆形 薄 板
m 2 (a + b2 ) 4 m J y = a2 4 m J y = b2 4
1 2 a + b2 2 a ρx = 2 b ρy = 2
173
阅读建议
第一章 本书没有叙述“静力学公理” ，兴趣的读者可以参阅[3]上 6-13 页和[5]上 9-13 页。 第二章 主矢和主矩相同为力学等效的充分必要条件可以由动力学分析证明。 从矢量观点和能量 观点的证明分别可参阅[9]213-221 页和[12]110-111 页。 第三章 关于静定和超静定问题的深入讨论参阅[10]58-62 页和[14]47-50 页。 第四章 点的运动还可以用曲线坐标系进行描述，参阅[1]上 128-157 页和[12]15-17 页。 第五章 变矢量的时间导数与描述该矢量的变化的坐标系有关， 相对运动坐标系的矢量导数称为 相对导数。 在证明牵连运动为转动的加速度合成定理时事实上已用相对导数的概念。 关于相 对导数进一步说明，参阅[1]上 215-218 页和[8]148-151 页。牵连运动为平面运动等更复杂的 运动时，速度和加速度合成定理仍适用，证明见[1]上 218-223 页和[12]38-40 页。牵连运动 为平面运动时，复合运动分析的例题参阅[3]上 311-313 页和[11]145-147 页。 第六章 本书仅讨论刚体的平面运动。若需要继续学习刚体的空间运动，可参阅[10]153-166 页 和[14]146-163 页。 刚体的复合运动成立角速度合成定理， 证明见[1]上 199-201 页和[12]45-46 页，重要的应用是刚体绕相交轴转动的合成，参阅[11]159-161 页和[14]153-155 页。本章还 简要涉及运动分析的解析方法，引入自由度概念的阐述参阅[11]174-179 页，更系统、并程 序实现的阐述参阅[13]75-191 页。 第七章 本书仅简要地讨论了振动问题。 振动是力学中的专门研究领域。 在理论力学课程范围内 对振动问题的详细讨论可参阅[7]II44-67 页和[10]328-350 页。 第八章 应用动量定理和动量矩定理可以研究变质量系统的动力学问题， 这方面内容本书没有涉 及，可参阅页[12]236-244 和[14]215-218 页。相对于一般动点的动量矩定理及推导参阅[1]下 47-48 页 和 [10]229-235 页 。 动 量 定 理 和 动 量 矩 定 理 可 以 推 广 到 非 惯 性 参 考 系 ， 参 阅 [12]225-226 页。本书对刚体动力学的讨论仅限于平面运动情形，刚体空间运动的动力学可 参阅[7]II21-40 页和[10]379-403 页。突加约束是与碰撞相关的动力学问题，本书没有涉及， 可 参 阅 [10]367-368 页 和 [8]419-422 页 ； 关 于 刚 体 系 和 空 间 运 动 刚 体 碰 撞 的 例 子 参 阅 [14]356-360 页。 第九章 本书仅考虑定常双面完整约束，关于约束及其虚位移更一般的讨论参阅[10]283-288 页 和[14]294-300 页。本书没有给出虚功原理的充分性证明，可参阅[6]110-111 页和[10]290 页。 平衡稳定性的拉格朗日定理几何解释和证明可参阅[11]68-69 页和 79 页。 第十章 关于动能计算的柯尼希定理的证明和应用可参阅[8]307-309 页和[10]248 页。动能定理 可以推广到非惯性参考系，参阅[10]261-264 页和[12]226-227 页。本书中拉格朗日方程的推 导局限于定常约束系统， 该推导也适用于非定常约束系统， 区别仅是拉格朗日关系式的证明， 可参阅[8]390-391 和[10]313 页。对于非定常约束系统，当拉格朗日函数不显含时间时，拉 格朗日方程存在广义能量积分，参阅[10]319-320 页和[12]229-230 页。能量方法也可应用于 碰撞问题的研究，参阅[10]361-366 页和[12]214-215 页。

d2t
v rω
at r
at r

an
ra
an rω2
a r 2 rω2 2
et
at v
(3) 角速度矢量

O’
O
简化 加速

减速 转动平面
4.2 刚体的定轴转动定律
4.2.1 力对转轴的力矩
v M

rv
v F
大小: M rF sin
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
例1 如图所示，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端O处的水平
固定轴转动. 开始时，木杆竖直下垂. 质量m1=50g的小球 以v0=30m·s-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以 v1=10m·s-1的速度向反方向弹回. 杆长l=40cm ，木杆质量 m2=600g. 设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.
4.2.3 转动惯量
J miri2 i
J r2dm
转动惯量的单位：kg·m2
转动惯量的物理意义：转动惯性的量度
(1) 转动惯量的计算
质量离散体
i3
J miri2 m1r12 m2r22 m3r32 i 1
质量连续体 J r2dm
线分布 质量为线分布
面分布
体分布
——质量线密度
质量为面分布 质量为体分布
——质量面密度 ——质量体密度
(2) 转动惯量与下列因素有关：
A 刚体的质量；B 刚体的质量分布；C 定轴的位置。
(3) 计算转动惯量的两个定理
平行轴定理
物体绕某一转轴的转动惯量 J 等于绕过质心并与该轴平行的

m2 gh
1 2
(m1
m2 )v 2
1 2
J 2
（5）
12
第12页/共59页
m2 gh
1 2
(m1
m2 )v 2
1 2
J 2
式中v是当m2下落了高度 h 时两个物体的运动速率,
是此时滑轮的角速度。
因为
J 1 Mr 2 2
,
v r
, 所以得
m2 gh
1 2 (m1
m2
1 2
M )v 2
由此解得
dAi Firi sini d Mzid
式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。
在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的
总功为
n
式中 Mzi 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力
i 1
矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外 力矩Mz 。
1
第1页/共59页
如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置1转 到2 , 在此过程中力矩所作的功为
(2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。
d
闸瓦
解：为了求得飞轮从制 飞轮
动到停止所转过的角度
和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩
和飞轮的角加速度。
6
第6页/共59页
闸瓦对飞轮施加的摩擦力的
大小等于摩擦系数与正压力的乘
积
d
闸瓦
方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦力矩, 所以 飞轮
支
架
则转轴将保持该方向不变
而不会受基座改向的影响
33
第33页/共59页
例1: 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端
有

mi (x2 y2 ) 2( mi y)d ( mi )d 2
上式右端第一项就是 Jz′ ，第三项是(∑mi)d 2，
至于第二项，根据质心C坐标公式
yC
mi yi mi
2d (
mi y) 2d (
m) i
yC
在实际应用中，常令轴 z′通过质心C，
图7
d
A
C
O' O
z
y′
x
y
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量
下面举例说明一些简单形状匀质刚体的转动惯量的积分计算方法。
例题1 已知匀质细长直杆的质量是m，长度是l（如图4），求它 对于过质心C且与杆相垂直的轴 z 的转动惯量。
解：在杆沿轴线x上任一小段dx，其质
量 m dx，对轴z的转动惯量元素是 l
dJ z
x2
m l
dx
匀质细长直杆对轴z的转动惯量是
2、理解刚体的平移轴定理推导，以及平移轴定理的应用。
3、了解刚体对任意轴的转动惯量、惯性积和惯性主轴。
重点：转动惯量的计算 难点：转轴公式 学时安排：2
转动惯量
§1 转动惯量的概念
转动惯量的概念 回转半径 转动惯量的一般表达式 极转动惯量
§1 转动惯量的概念
1.转动惯量的概念
刚体的转动惯量是刚体在转动时惯性的度量，衡量
y
r
ρ
O
x
J z
r 0
2m r2
3d
m 2r 2
4
r 0
1 mr 2 2
考虑到 Jx=Jy ，即可求得
Jx
J
y
1 2
Jz
1 4
m
§2 简单形状匀质刚体的转动惯量