点线圆与圆的位置关系
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点、线、圆与圆的位置关系一：点与圆的位置关系：1.点与圆的位置关系的判断点与圆的位置关系设O⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r>；点在圆上⇔d r=；点在圆内⇔d r<.如下表所示：2.三角形外接圆的圆心与半径三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.二：直线与圆的位置关系：1.直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．3.切线的判定距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．4.切线长定理及三角形内切圆⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三：圆与圆的位置关系：一：点与圆的位置关系：1.点与圆的位置关系的判断：例题1：⑴【易】一点到圆周上点的最大距离为18，最短距离为2，则这个圆的半径为___________【答案】10或8【解析】当点在圆内时，圆的直径为18+2=20，所以半径为10．当点在圆外时，圆的直径为18-2=16，所以半径为8．⑵【易】已知如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M．①以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系②若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在圆外，求⊙C的半径r的取值范围．【答案】①∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M ∴22162541AB AC BC，141CM AM，22∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，∴AC=4，则A在圆上，414CM，则M在圆内，BC=5＞4，2则B在圆外；②以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C 内时，41r，2当至少有一点在⊙C外时，r＜5，故⊙C的半径r的取值范围为：415r．2测一测1：【易】在△ABC中，90,45,，以点C为圆心，∠=︒==C AC AB以r为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴当r_____时，点A在⊙C上，且点B在⊙C内部⑵当r取值范围_______时，点A在⊙C外部，且点B在⊙C的内部⑶是否存在这样的实数，使得点B在⊙C上，且点A在⊙C内部【答案】在Rt△ABC中，90,45,C AC AB，∠=︒==根据勾股定理得，2222BC AB AC=-=-=543⑴当=4r时，AC=4=r, 点A在⊙C上，BC=3<r=4,点B在⊙C内；⑵当34r<<时，AC=4>r, 点A在⊙C外部，BC=3<r, 点B在⊙C内部⑶不存在，要使点B在⊙C上，BC=r=3, 要使点A在⊙C内部，AC=4<r2. 三角形外接圆的圆心与半径例题2：⑴【易】已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为____________cm．【答案】【解析】∵直角三角形的两直角边分别为3cm和4cm，5cm，∴它的外接圆半径为5÷2=．⑵【易】在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求其外接圆的半径_______【答案】作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，∴22AD；1068设OA=r，222OB OD BD，即222r r，(8)6解得25r．4测一测1：【易】若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径____________cm【答案】26【解析】∵△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，∴2222AB AC BC cm102426二：直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系判断：例题3:【易】如图,在矩形ABCD中， AB=6 , BC=4 , ⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是( )A. 相交 B . 相切 C. 相离D. 无法确定【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD中，BC=4，∴圆心到CD的距离为4．∵AB为直径，AB=6，∴半径是3．∵4＞3测一测1：【中】如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8＜AB≤10 D．8＜AB＜10【答案】Ｃ【解析】当AB与小圆相切时，OC⊥AB，则22259248AB AC；当AB过圆心时最长即为大圆的直径10．则弦长AB的取值范围是8＜AB≤102.切线的性质：例题4：⑴【易】如图， AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D．若18C，则∠CDA=______________【答案】126°【解析】连接OD则∠ODC=90°，∠COD=72°；∵OA=OD，∴1ODA A COD，2∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+36°=126°．⑵【易】如图，点Ａ,Ｂ在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥ＯB，连接AB交Ｏ于点Ｄ.①AC与CD相等吗为什么②若AC=2，5AO，求OD的长度_______.【答案】①证明：∵AC是⊙O切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°∴∠OAB+∠CAB=90°∵OC⊥OB，∴∠COB=90°∴∠ODB+∠B=90°∵OA=OB∴∠OAB=∠B∴∠CAB=∠ODB∵∠ODB=∠ADC∴∠CAB=∠ADC∴AC=CD②解：在Rt△OAC中，223OC OA AC,∴OD=OC-CD=OC-AC= 3-2=1测一测1：【易】如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A=____________【答案】35°【解析】∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥CP，∵∠P=20°，∴∠COB=70°，∵OA=OC，∴∠A=35°．【易】如图所示，AP为圆O的切线，AO交圆O于点B,若40测一测2：A,则_______APB【答案】25°【解析】如图，连接OP，∵AP为圆O的切线，P为切点，∴∠OPA=90°，∴∠O=90°-∠A=50°，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP=（180°-∠O）÷2=65°∴∠APB=90°-∠OPB=25°．故答案为25°3.切线的判定例题5：⑴【中】如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD 恰使∠ADC=∠B.①求证：直线CD是⊙O的切线；②过点A作直线AB的垂线BD交BD的延长线于点E，且5AB ，BD=2，求线段AE=______【答案】①证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=90°；又∵OB=OD，∴∠2=∠B，而∠ADC=∠B，∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；②解：∵在直角△ADB中，5AB，BD=2，∴根据勾股定理知，221AD AB BD∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°．又∠ADB=90°，∴△AED∽△BAD，∴AD BDAE BA ，即15AE，5．解得，5AE，即线段AE的长度是⑵【中】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为F.①求证：DF是⊙O的切线；②若AE DE，DF=2，求⊙O的半径______.【答案】①证明：连接OD，如图，∵AB=AC，∴∠C=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠1，∴∠C=∠1，∴OD∥AC．∴∠2=∠FDO，∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，∵OD为半径，∴FD是⊙O的切线；②解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴∠3=∠4．∴ED DB而AE DE，∴DE DB AE，∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∴∠C=60°，△OBD为等边三角形，在Rt△CFD中，DF=2，∠CDF=30°，∴3CF23 DF，∴432CD CF，∴43DB，∴43OB DB，即⊙O的半径为3．⑶【易】如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【答案】证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于E点，则∠OEC=90°，∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∴∠ODB=∠OEC又∵O是BC的中点，∴OB=OC，测一测1：【中】如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DE⊥AC．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圆O的半径=______．【答案】(1)证明：连接OD,103AD3∵OD∥AC，OD=OB，∴∠B=30°，∴△OAD是等边三角形，∴103OD AD测一测2：【易】如图，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的O⊙与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．⑴求证：CD与O⊙相切⑵若正方形ABCD的边长为1，求O⊙的半径=_______【答案】解:(1) 过O作ON⊥CD于N,连接OM,则OM⊥BC.∵AC是正方形ABCD的对角线,∴AC是BCD∠的平分线.∴OM=ON,即圆心O到CD的距离等于⊙O的半径,∴CD与⊙O相切;(2) 由(1)易知△MOC为等腰直角三角形, OM为半径,∴OM=MC=1∴222112=+=+=OC OM MC∴1=+=+AC AO OC∵△ABC是等腰直角三角形∴AB==4. 切线长定理及三角形的内切圆例题6：⑴【易】如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA、PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，则△PDE的周长为（）【答案】A【解析】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16；∴△PDE的周长为16．⑵【易】如图Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆半径r=____________【答案】2【解析】解：如图在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8；根据勾股定理2210AB AC BC;四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF是正方形；由切线长定理，得：AD=AF ，BD=BE ，CE=CF ； ∴12CE CF AC BC AB （）； 即：1681022r（）．测一测1：【易】Rt △ABC 中，∠C =90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为_________ 【答案】12【解析】解：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ， ∴OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，AD=AE ，BE=BF ， ∴∠ODC=∠OFC=∠ACB=90°， ∵OD=OF ，∴四边形ODCF 是正方形， ∴CD=OD=OF=CF=1， ∵AD=AE ，BF=BE ， ∵AE+BE=AB=5， ∴AD+BF=5，∴△ABC 的周长是：AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=5+1+1+5=12．三、圆与圆的位置关系例题7：⑴【易】图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）种 种 种 种 【答案】A【解析】由图形可以看出图中的圆有两个交点和有一个交点的两种位置关系，相交和内切．故选A ．⑵ 【易】已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别是a 、b ，且a 、b 满足230a b --=，圆心距125O O =则两圆的位置关系是________. 【答案】外切【解析】解：∵230a b --= ∴a-2=0，3-b=0 解得：a=2，b=3 ∵圆心距125O O =∴2+3=5∴两圆外切故答案为：外切．⑶【易】已知：半径分别为3cm和5cm的两圆相切，则两圆圆心距d为（）或8cm <d<8cm【答案】C【解析】∵两圆半径分别为3cm、5cm，两圆圆心距为d，∴d的取值范围为5cm-3cm＜d＜5cm+3cm，即2cm＜d＜8cm．故选D．测一测1：如果半径分别是2cm和3cm的两圆外切，那么这两个圆的圆心距是（）或5cm D.小于1cm或大于5cm【答案】B【解析】解：∵半径分别为2cm和3cm的两圆外切，∴两个圆的圆心距d=3+2=5cm．家庭作业：1．“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）A、经过半径外端点的直线是圆的切线；B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C、垂直于半径的直线是圆的切线；D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
