点与圆的位置关系

与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为d ，那么：（1）点在圆外⇔d ＞r ； （2）点在圆上⇔d ＝r ； （3）点在圆内⇔d ＜r ； 2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么 （1）直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ； （2）直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ； （3）直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ；典例精析例1：已知直线l ：y ＝x －3和点A （0，3），B （3，0），设P 点为l 上一点，试判断P 、A 、B 是否在同一个圆上？例2：下列说法正确的是（ ）A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点例3：设直线l 到⊙O 的圆心的距离为d ，⊙O 的半径为R，并使20x R -+=，试根据关于x 的一元二次方程根的情况讨论l 与⊙O 的位置关系.3、圆和圆的位置关系⎧⎨⎩外离(没有公共点)(1)相离内含(包括同心圆) ()⎧⎨⎩外切(2)相切有一个公共点内切(3)相交(有两个公共点)注：两圆同心是两圆内含的一种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系 设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么 （1）两圆外离⇒d ＞R ＋r （2）两圆外切⇒d ＝R ＋r （3）两圆相交⇒R －r ＜d ＜R +r（4）两圆内切⇒d ＝R －r （5）两圆内含⇒d ＜R －r典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆心距是d ，若两圆有公共点，则d 的取值范围为______. 例2：已知⊙O 1和⊙O 2内切，圆心距为7cm ，⊙O 1的半径为8cm ，求⊙O 2的半径.DC BA例4：如图：⊙M 的半径为8cm ，⊙N 的半径为6cm ，MN ＝10cm ，两圆相交于A 、B 两点，连接AB 与MN 交于点C ，求AB 的长为多少？与相切有关的性质 定理 1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切点的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆心. 2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3、切线的判定方法（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度） （3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证角度） 两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。

点、直线、圆与圆的位置关系【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切。

知识点一、平面内点和圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。
例1．如图1，已知矩形ABCD的边AB=4cm，AD=3cm。
（1）△ABC的形状是______，理由是______。
（2）求证：BC平分∠ABE；
（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的长．
（3）若将图10-1中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF处，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，如图10-3，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
题型四、切线长定理的运用
15．如图11，在△ABC中，O是△ABC的内心，若∠A=50°，则∠BOC=______。
16．如图12，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是______。
题型二、切线的判定
12．如图8，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径。求证：AE与⊙O相切。
题型三、切线性质的应用及拓展
13．如图9，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，OP交⊙O于点B，点C为优弧AMB上一点，若∠P=28°，求∠ACB的度数。
外离 d>R+r
外切 d=R+r
相交 R－r<d<R+r
内切 d=R－r
内含 0≤d<R－r（其中d=0，两圆同心）

这种证明方法叫做反证法.
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中， 至少有一个角大于或等于６０° 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大 于或等于６０度
假设所求证的结论不成立，即 Ｂ 证明 ∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０° ＜ ＜ ＜ 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
圆外的点
圆上的点
圆内的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的 点，圆内的点和圆外的点。 圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的的点的集 合 ； 圆 的 外 部 可 以 看 成 是 到圆心的距离大于半径的点的集合 。
典型例题
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘 米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作 圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系 如何？ (B在圆上，D在圆外，C在圆外)
问：⊙O的半径6cm，当OP=6时， 点P在圆上 ；当OP ＜6 时点P 在圆内；当OP ≤6 时，点P不在 圆外。
画出由所有到已知点O的距离大于 或等于2CM并且小于或等于3CM的 点组成的图形。
O
O
问题:多少个点可以确定一个圆呢? 解决: 步骤1:过一点,可以画多少个圆?
步骤2:过两点,可以画多少个圆? 步骤3:过三个点,可以做多少个圆?
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A， 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
B
C
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？ (B在圆内，D在圆内，C在圆上)
问1：⊙O的半径10cm，A、B、C三点 到圆心的距离分别为8cm、10cm、 12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关 系是： 点A在 圆内 ∵OA=8<10 ∴点A在圆内 点B在 圆上 ∵OB=10=10 ∴点B在圆上 点C在 圆外 ∵OC=12>10 ∴点C在圆外