北京四中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示提高版

§4平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)[基础·初探]教材整理1平面向量的坐标表示阅读教材P88～P89“4.2”以上部分，完成下列问题．图2-4-1如图2-4-1所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝x i＋y j.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的坐标相同．( )【解析】 (1)错误．无论向量在何位置其坐标不变．(2)错误．向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标．(3)正确．两相等向量的坐标相等．【答案】 (1)× (2)× (3)√教材整理2 平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示阅读教材P 89～P 91“练习”以上部分，完成下列问题．1．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么：①a ＋b ＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；②a －b ＝(x 1，y 1)－(x 2，y 2)＝(x 1－x 2，y 1－y 2)；③λa ＝λ(x 1，y 1)＝(λx 1，λy 1)．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O (0,0)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．2．向量平行的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0.若y 1≠0且y 2≠0，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2. (2)文字语言描述向量平行的坐标表示①定理 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． ②定理 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量a ＝(1,2)与b ＝(－3，－6)共线且同向．( )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2.( )。

学案25 平面向量的基本定理及坐标表示导学目标： 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．自主梳理1．平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝______________.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．2．把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量正交分解．3．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝x i＋y j，我们把有序数对________叫做向量a的________，记作a＝________，其中x叫a在________上的坐标，y叫a在________上的坐标．4．平面向量的坐标运算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝____________________，a－b＝__________________，λa＝______________.(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．5．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (b≠0)，则a∥b的充要条件是________________．6．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为________________________．(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则△P1P2P3的重心P的坐标为________________________．自我检测1．(2010·福建改编)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的________条件．2．设a＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，sin α，b＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos α，13，且a∥b，则锐角α＝________.3．已知向量a＝(6，－4)，b＝(0,2)，OC→＝c＝a＋λb，若C点在函数y＝sinπ12x的图象上，则实数λ＝________.4．(2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.5．(2009·安徽)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______．探究点一平面向量基本定理的应用例1 如图所示，在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a、b为基底表示OM→.变式迁移1 如图，平面内有三个向量OA→、OB→、OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为________．探究点二平面向量的坐标运算例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，试求点M，N和MN→的坐标．变式迁移2 已知点A(1，－2)，若向量AB→与a＝(2,3)同向，|AB→|＝213，则点B的坐标为________．探究点三在向量平行下求参数问题例3 已知平面内三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝m b＋n c的实数m、n；(2)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数k.变式迁移 3 (2009·江西)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多．2．平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被a所唯一确定，此时a的坐标与点A的坐标都是(x，y)．向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量(x，y )向量OA →点A(x，y)．要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如A(1,2)，B(3,4)，则AB→＝(2,2)．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为________． 2．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为________．3．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是________(填上正确命题的序号)．①若实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0.②对空间任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1、λ2∈R .③λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1、λ2∈R .④对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对．4．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．5．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为______．6．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.7．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是__________．8．(2009·天津)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA→|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为________． 二、解答题(共42分)9．(12分)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.10．(14分)如图，在边长为1的正△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE →＝mAB →，AF →＝nAC→，m ，n ∈(0,1)．设EF的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； (2)若m ＋n ＝1，求|MN →|的最小值．11．(16分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sin B ＋C2，2sin A )，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．学案25 平面向量的基本定理及坐标表示答案自主梳理1．不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底 2.互相垂直3．(x，y) 坐标(x，y) x轴y轴 4.(1)(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (2)终点始点 5．x1y2－x2y1＝0 6.(1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x22，y1＋y22(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33自我检测1．充分而不必要解析由x＝4知|a|＝42＋32＝5；由|a|＝x2＋32＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．2．45°解析∵a∥b，∴32×13－sin αcos α＝0，∴sin 2α＝1,2α＝90°，α＝45°.3.52解析c＝a＋λb＝(6，－4＋2λ)，代入y＝sinπ12x得，－4＋2λ＝sinπ2＝1，解得λ＝52.4．－1解析a＋b＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，所以m＝－1.5．2解析建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)，即B(－12，32)．设∠AOC＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA→＋yOB → ＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－y2，32y ＝(cos α，sin α)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值． 课堂活动区例1 解题导引 本题利用方程的思想，设OM →＝m a ＋n b ，通过建立关于m 、n 的方程求解，同时注意体会应用向量法解决平面几何问题的方法．解 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n1， 即4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17，n ＝37.所以OM →＝17a＋37b . 变式迁移1 6 解析 如图，OC →＝OD →＋OE →＝λOA →＋μOB →.在△OCD 中，∠COD ＝30°，∠OCD ＝∠COB ＝90°， 可求|OD →|＝4，同理可求|OE →|＝2，∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6. 例2 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)．∴CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)．设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)＝(3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N (9,2)，因此MN →＝(9，－18)．∴所求M (0,20)，N (9,2)，MN →＝(9，－18)．变式迁移2 (5,4) 解析 ∵向量AB →与a 同向，∴设AB →＝(2t,3t ) (t >0)．由|AB →|＝213，∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4.∵t >0，∴t ＝2.∴AB→＝(4,6)．设B为(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.例3 解 (1)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.变式迁移3 5解析 ∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)，且(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63，∴k ＝5.课后练习区1．(1213，513)或(－1213，－513)2．－1解析BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，由已知得AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ，∴p ＝－1.3．①4．(0，－2)解析 设D 点的坐标为(x ，y )，由题意知BC →＝AD →， 即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)．5．2解析 方法一 若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二 ∵2AO →＝AB →＋AC →＝mAM →＋nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.6．{(－2，－2)}解析 M ＝{a |a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R }， N ＝{a |a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R }，令⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2，即⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－4λ2＋3＝04λ1－5λ2＋4＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝0，代入M 或N 中得a ＝(－2，－2)．∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．7．[－6,1]解析 ∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos 2α＋2sin α，即4m 2－9m ＋4＝1－sin 2α＋2sin α.又∵－2≤1－sin 2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m 2－9m ＋4≤2，解得14≤m ≤2，∴12≤1m≤4.又∵λ＝2m －2，∴λm ＝2－2m ，∴－6≤2－2m ≤1.∴λm∈[－6,1]．8. 3解析 由|AB →|＝|DC →|，BA→|BA →|＋BC→|BC →|＝ 3 BD→|B D →|可知四边形ABCD 为菱形，则有|AB →|＝|DC →|＝2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3BD →|BD →|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3，两边平方，得 1＋2BA →|BA →|·BC →|BC →|＋1＝3，BA →·BC→|BA →||BC →|＝12.|BA →||BC →|cos 〈BA →，BC→〉|BA →||BC →|＝12，所以cos 〈BA →，BC →〉＝60°. S ＝|AB →||BC →|sin 60°＝2×2×32＝ 3.9．证明 设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∴AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，1.∴AE →＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23， BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，1.……………………………………………………(4分)∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23＋(－1,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，23， (x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫73，0. ∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫83，－23.……………………………………………………(8分) 又∵AB →＝(4，－1)，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴EF→∥AB →.………………………………………………………………………………(12分)10．解 (1)由A ，M ，N 三点共线，得AM →∥AN →， 设AM →＝λAN →(λ∈R )，即12(AE →＋AF →)＝12λ(AB →＋AC →)，所以m AB →＋n AC →＝λ(AB →＋AC →)，所以m ＝n .……………………………………………(5分)(2)因为MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－12(AE →＋AF →)＝12(1－m )AB →＋12(1－n )AC →，……(8分)又m ＋n ＝1，所以MN →＝12(1－m )AB →＋12mAC →，所以|MN →|2＝14(1－m )2AB →2＋14m 2AC →2＋ 12(1－m )mAB →·AC → ＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m ＝14(m －12)2＋316.…………………………………………………………………………(12分)故当m ＝12时，|MN →|min ＝34.……………………………………………………………(14分) 11．证明 ∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A ．………………………………………………(2分)由正弦定理，得sin A cos B＝sin B cos A，即sin(A－B)＝0.…………………………………………………………………………(5分)∵A、B为三角形的内角，∴－π<A－B<π.∴A＝B.……………………………………………………………………………………(9分)∵p2＝9，∴8sin2B＋C2＋4sin2A＝9.∴4[1－cos(B＋C)]＋4(1－cos2A)＝9.∴4cos2A－4cos A＋1＝0，解得cos A＝12.∴△ABC为等边三角形．。

平面向量【根本看法与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作：uuur rAB 或 a 。

uuur r2.向量的模：向量的大小〔或长度〕，记作： | AB |或 | a |。

r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。

假设e是单位向量，那么| e| 1。

r r4.零向量：长度为 0 的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

8.三角形法那么：uuur uuur AB BA。

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB 〔指向被减数〕9.平行四边形法那么：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。

r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。

当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：假设a(x, y) ，那么|a |， a| a |2， | ab |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 根本看法判断正误：（1〕共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2〕假设两个向量不相等，那么它们的终点不可以能是同一点。

〔 3〕与向量共线的单位向量是唯一的。

〔 4〕四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。

高一数学必修4第二章平面向量基本定理及坐标表示知识点
平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，这部分内容在数学必修4第二章中有讲到。

下面是店铺给大家带来的高一数学必修4第二章平面向量基本定理及坐标表示知识，希望对你有帮助。

平面向量基本定理及坐标表示知识点(一)
平面向量的基本定理：
如果
是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量
存在唯一的一对有序实数
使
成立，不共线向量
表示这一平面内所有向量的一组基底。

平面向量的坐标运算：
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量
为基底，则平面内的任一向量
可表示为
，称(x，y)为向量
的坐标，
=(x，y)叫做向量
的坐标表示。

基底在向量中的应用：
(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.
(2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。

用已知向量表示未知向量：
用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：
(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;
(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;
(3)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。

平面向量应用举例编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。

【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。

（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ⇔=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）。

（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）。

（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos ||||θ⋅=a ba b 。

（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。

要点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。

要点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。

常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。

（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。

北京四中高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示提高巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1．如果1e u r 、2e u u r 是平面α内所有向量的一组基底，那么（ ）A ．若实数λ1、λ2使λ11e u r +λ22e u u r =0，则λ1=λ2=0B ．空间任一向量a r 可以表示为a r =λ11e u r +λ22e u u r ，这里λ1、λ2是实数C ．对实数λ1、λ2，λ11e u r +λ22e u u r 不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a r ，使a r =λ11e u r +λ22e u u r 的实数λ1、λ2有无数对2．已知向量a r =（1，2），b r =（x ，1）且a r +2b r 与2a r ―b r 平行，则x 等于（ ）A ．4B ．2C ．12D ．12- 3．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -=4．已知基底1e u r 、2e u u r ，实数,x y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+u r u u r u r u u r ，则x y -的值等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．25．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC u u u r ＝a r ，BD u u u r ＝b r ，则AF u u u r ＝ ( ) A.14a r ＋12b r B. 23a r ＋13b r C. 12a r ＋14b r D. 13a r ＋23b r 6．若1OP a =u u u r r ，2OPb =u u u r r ，12PP PP λ=u u u r u u u r ，则OP uuu r 等于（ ） A ．a r +λb r B ．λa r +b r C ．λa r +(1+λ)b r D ．1a b λλ++r r 7．已知向量a r ＝(6,4)，b r ＝(0,2)，OC u u u r ＝a r ＋λb r ，若点C 在函数y ＝sin 12πx 的图像上，则实数λ的值为 ( ) A.52 B.32 C ．－52 D ．－328．如图，点P 在∠AOB 的对顶角区域MON 内，且满足：OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则实数对（x ，y ）可以是（ ）A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．32,45⎛⎫- ⎪⎝⎭9．在ABCD Y 中，AB u u u r ＝a r ，AD u u u r ＝b r ，AN u u u r ＝3NC u u u r ，M 为BC 的中点，则MNu u u u r ＝________(用a r 、b r 表示)．10．已知a ＞0，若平面内三点A （1，－a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a=________。

2020-2021学年北师大版数学必修4教师用书：第2章§3 3.2平面向量基本定理含解析3。

2平面向量基本定理学习目标核心素养1.了解平面向量基本定理及其意义．（重点）2。

能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．（难点)1。

通过学习平面向量基本定理，提升数学抽象素养．2。

通过平面向量基本定理解决实际问题,培养直观想象素养．平面向量基本定理如果e1,e2（如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2（如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．思考：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2,那么λ1，μ1，λ2,μ2有何关系?[提示］由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2,即(λ1－μ1)e1＝（μ2－λ2）e2.∵e1与e2不共线,∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0,∴λ1＝μ1,λ2＝μ2.1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A.e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1，5e2D．e1，e1＋e2[答案]B2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，错误!＝4e1，错误!＝6e2,则2e1－3e2等于(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!B[如图,错误!＝错误!错误!＝错误!(错误!－错误!）＝2e1－3e2。

]3．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足（3x－4y）a ＋(2x－3y)b＝6a＋3b,则x－y＝________．3[由原式可得错误!解得错误!所以x－y＝3.]4．已知向量a与b不共线,且错误!＝a＋4b，错误!＝－a＋9b,错误!＝3a－b，则共线的三点为________．A，B,D［错误!＝错误!＋错误!＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因为错误!＝a＋4b，所以错误!＝错误!错误!，所以A，B，D三点共线．]对向量基底的理解【例1】设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①错误!与错误!；②错误!与错误!;③错误!与错误!；④错误!与错误!，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（) A．①②B．①③C．①④D．③④B［①错误!与错误!不共线;②错误!＝－错误!，则错误!与错误!共线；③错误!与错误!不共线；④错误!＝－错误!，则错误!与错误!共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底,故①③满足题意．]考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．1．设e1,e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2,b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b。

平面向量的实际背景及基本概念编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．4．理解两个向量共线的含义．【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。

要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。

要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。

2．向量的表示方法：a b c等．(1)字母表示法：如,,,(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）。

如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB．要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。

应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。

由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

要点三：向量的有关概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．要点诠释：（1）向量a 的模||0 a 。

（2）向量不能比较大小，但||a 是实数，可以比较大小。

2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作0，它的方向是任意的。

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。