九年级数学上册 3_1 圆同步练习(pdf)(新版)浙教版1

浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元测试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共11小题，共33分）1.已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是()A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC=130°，则∠D等于()A. 65°B. 35°C. 25°D. 15°3.如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=()A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定4.已知正六边形的边长为6，则它的边心距()A. 3√3B. 6C. 3D. √35.如图，☉O的半径为3，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OD，若∠BCD=∠BOD，则BD⌢的长为()π C. 2π D. 3πA. πB. 326.如图，在圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB等于()A. 36∘B. 60∘C. 72∘D. 108∘7.如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=()A. 5B. 7C. 9D. 118.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5∘，OC=4，CD的长为()A. 2√2B. 4C. 4√2D. 89.半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是()A. 3πB. 6πC. 9πD. 12π10.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=15，AC=17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为()A. 16πB. 12πC. 10πD. 8π11.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG.DE，FG，AC⏜,BC⏜的中点分别是M，N，P，Q.若MP+NQ= 14，AC+BC=18，则AB的长为()C. 13D. 16A. 9√2B. 907二、填空题（本大题共9小题，共35分）12.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，则∠A等于______°.13.正五边形每个外角的度数是______．14.在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_______．15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AC⏜=CD⏜，则∠ACD的度数是______．16.有一张矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是______．17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为______．18.如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形1、2、3、4….则三角形2016的直角顶点坐标为______ ．19.如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=6时，AP+BP的最小值为______．20.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为______．三、解答题（本大题共4小题，共52分）21.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均落在格点上．(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1.在网格中画出△A1B1C1；(2)求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；(结果保留π)22.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD//BC，OD与AC交于点E．(1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；(2)若AB=4，AC=3，求DE的长．23.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA，CB，过点O作弦BC的垂线，交BC⌢于点D，连接AD．(1)求证：∠CAD=∠BAD；(2)若⊙O的半径为1，∠B=50°，求AC⌢的长．24.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．(1)求证：OD//AC；(2)若BC=8，DE=3，求⊙O的直径．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵圆的半径是4cm，点A到圆心的距离是3cm，小于圆的半径，∴点A在圆内．故选A．根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系．本题考查的是点与圆的位置关系，点A到圆心的距离是3cm，比圆的半径4cm小，可以判断点A就在圆内．2.【答案】C【解析】【分析】∠BOC，求出∠BOC即可．根据圆周角定理：∠D=12本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：∵∠BOC=180°−∠AOC，∠AOC=130°，∴∠BOC=50°，∠BOC=25°，∴∠D=12故选：C．3.【答案】B【解析】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB= 90°．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．【解析】解：如图所示，此正六边形中AB=6，则∠AOB=60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∵OG⊥AB，∴∠AOG=30°，=3√3，∴OG=OA⋅cos30°=6×√32故选：A．已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可．此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD=120°是解决问题的关键．由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠A=180°，∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，∴2∠A+∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴BD⏜的长．故选C．【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，题目中还用到了三角形的外角的性质及正多边形的性质等，比较简单．首先根据正五边形的性质得到AB=BC，∠ABC=108°，∠ACB=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠APB=∠PBC+∠ACB．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=108∘，BA=BC，∴∠ACB=36∘．同理∠PBC=36∘，∴∠APB=∠PBC+∠ACB=72∘．故选C．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，再根据勾股定理求得ON的长．【解答】解：由题意可得，OA=13，∠ONA=90∘，AB=24，∴AN=1AB=12.在Rt△OAN中，ON=√OA2−AN2=√132−122=5．2故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理．先由圆周角定理求出∠BOC=45°，再由垂径定理得出∠OEC=90°，CD=2CE，则△OCE为等腰直角三角形，由勾股定理求出CE的长，即可得出CD长．【解答】解：∵∠A=22．5∘，∴∠BOC=2∠A=45∘，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，OC=2√2，∴CD=2CE=4√2．∴CE=√22故选C．9.【答案】A【解析】【分析】把已知数据代入S=nπR2，计算即可．360是解题的关键．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式：S=nπR2360【解答】=3π，解：半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是：120π×32360故选A．10.【答案】D【解析】解：根据题意画图如下，在Rt△ABC中，AB=√AC2−BC2=√172−152=8，π⋅42=8π．则S半圆=12故选D．首先根据勾股定理求出AB的长，再根据半圆的面积公式解答即可．此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理以及圆的面积公式，关键是根据勾股定理求出半圆的半径．11.【答案】C【解析】解：连接OP，OQ，∵DE，FG，AC⏜,BC⏜的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BC的中点，(AC+BC)=9，∴OH+OI=12∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18−14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13，故选C．连接OP，OQ，根据DE，FG，AC⏜,BC⏜的中点分别是M，N，P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，(AC+BC)=9和从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI=12PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．12.【答案】110【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠C，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【解答】∠BOD=70°，解：由圆周角定理得，∠C=12∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=180°−∠C=110°，故答案为：110．第18页，共18页 13.【答案】72°【解析】解：360°÷5=72°．故答案为：72°．利用正五边形的外角和等于360度，除以边数即可求出答案．本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．14.【答案】3【解析】【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．作OC ⊥AB 于C ，连接OA ，根据垂径定理得到AC =BC =12AB =3，然后在Rt △AOC 中利用勾股定理计算OC 即可． 【解答】解：作OC ⊥AB 于C ，连结OA ，如图，∵OC ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =12×8=4， 在Rt △AOC 中，OA =5，∴OC =√OA 2−AC 2=3，即圆心O 到AB 的距离为3．故答案为3．15.【答案】60°【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴AC⏜=AD ⏜， ∵AC⏜=CD ⏜， ∴AC⏜=CD ⏜=AD ⏜， 即AC ⏜、CD ⏜、AD ⏜的度数是13×360°=120°，∴∠ACD=1×120°=60°，2故答案为：60°．根据垂径定理求出AC⏜=CD⏜，求出AC⏜、CD⏜、AD⏜的度数，即可求出答案．本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出AD⏜的度数是解决此题的关键．16.【答案】4cm<r<5cm【解析】解：∵矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，∴AC=5cm，∴以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围为4cm<r<5cm．故答案为4cm<r<5cm．先利用勾股数得到AC=5cm，然后根据点与圆的位置关系，要使点D在⊙A内，则r>4；要使点C在⊙A外，则r<5，然后写出它们的公共部分即可．本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．17.【答案】4√2【解析】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC⋅cos45°=2√2，∴⊙O的直径为4√2，故答案为：4√2．连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC⋅cos45°=2√2，进而得出⊙O的直径为4√2．本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．18.【答案】(8064,0)【解析】解：∵A(−3,0)，B(0,4)，∴OA=3，OB=4，∴AB=√32+42=5，∴△ABC的周长=3+4+5=12，∵△OAB每连续3次后与原来的状态一样，∵2016=3×672，∴三角形2016与三角形1的状态一样，∴三角形2016的直角顶点的横坐标=672×12=8064，∴三角形2016的直角顶点坐标为(8064,0)．故答案为(8064,0)．先利用勾股定理计算出AB，从而得到△ABC的周长为12，根据旋转变换可得△OAB的旋转变换为每3次一个循环，由于2016=3×672，于是可判断三角形2016与三角形1的状态一样，然后计算672×12即可得到三角形2016的直角顶点坐标．本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.解决本题的关键是确定循环的次数．19.【答案】3√2【解析】【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，垂径定理和勾股定理等知识，由轴对称的性质正确确定P点的位置是解题的关键．设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P.此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，此时PA+PB=A′B是最小值，连接OA′，AA′．第18页，共18页∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，∵点B是弧AD的中点，∴∠BOD=30°，∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，又∵OA=OA′=OB=3，∴A′B=3√2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3√2．故答案为：3√2．20.【答案】π+12【解析】解：∵∠C=90°，AC=BC=1，∴AB=√12+12=√2；根据题意得：√2△ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动；∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示：∴点A经过的路线与x轴围成的图形是：一个圆心角为135°，半径为√2的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积=135×π×(√2)2360+12×1×1+90×π×12360=π+12．故答案为：π+12．由勾股定理求出AB，由题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为√2的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果．本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键．21.【答案】解：(1)如图．△A1B1C1即为所求三角形；(2)由勾股定理可知OA=√22+22=2√2，线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形，则．答：扫过的图形面积为2π．【解析】(1)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；(2)先根据勾股定理求出OA的长，再根据线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，∠AOA1为圆心角的扇形，利用扇形的面积公式得出结论即可；本题考查的是作图−旋转变换、扇形的面积公式，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．22.【答案】解：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD//BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°−∠B=90°−70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=1800−∠AOD2=1800−7002=55°，∴∠CAD=∠DAO−∠CAB=55°−20°=35°；(2)在直角△ABC中，BC=√AB2−AC2=√42−32=√7．∵OE⊥AC，第18页，共18页∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=12BC=√72．又∵OD=12AB=2，∴DE=OD−OE=2−√72．【解析】本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．(1)根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；(2)易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．23.【答案】解：(1)证明：∵O是圆心，OD⊥BC，∴弧CD=弧BD，∴∠CAD=∠BAD；(2)连接CO，∵∠B=50°，∴∠AOC=100°，∴弧AC的长：nπr180=100×π×1180=5π9．【解析】本题考查了垂径定理及圆周角定理，弧长的计算．(1)利用垂径定理及圆周角定理即可证明；(2)连接CO，先求得∠AOC=100°，再利用弧长公式计算即可．24.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∵OD⊥BC，∴∠OEB=∠C=90°，∴OD//AC；(2)解：令⊙O的半径为r，则OE=r−3∵OD⊥BCBC=4，根据垂径定理可得：BE=CE=12在ΔOBE中由勾股定理得：r2=42+(r−3)2，，解得：r=256．所以⊙O的直径为253【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题(2)的关键．(1)由圆周角定理得出∠C=90°，再由垂径定理得出∠OEB=∠C=90°，即可得出结论；BC=4，由勾股定理得出方程，解(2)令⊙O的半径为r，由垂径定理得出BE=CE=12方程求出半径，即可得出⊙O的直径．第18页，共18页。

浙教版数学九年级上册第三章圆的基本性质一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A．三个点可以确定一个圆B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．长度相等的弧是等弧2．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）A．24B．22C．12D．63．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C=40∘，则∠AOB的度数是（ ）A．50∘B．60∘C．70∘D．80∘4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（）A．5B．5C．25D．65．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）A．28°B．30°C．36°D．56°6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为（ ）A ．103πB ．109πC ．59πD ．518π7．如图， AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若 ∠ABC =50° ，则 ∠BDC 的度数为（ ）A ．90°B ．100°C ．130°D ．140°8． 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）A ．3B ．6C ．3D ．239．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程：①作直径AF ；②以点F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接AM ，MN ，AN ．结论Ⅰ：△AMN 是等边三角形；结论Ⅱ：从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形．对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对10．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E （0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（ ）A．3B．412C．72D．5二、填空题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝ °．12．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC= ．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O ，若四边形ABCD的外角∠DCE=65°，则∠BAD的度数是 ．14．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为 ．的面积，可得π的估计值为33216．如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心5为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则A D2+B D2的最大值为 ．三、解答题17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，AD=BD，∠CAB=32°．求∠ACD的度数．18．如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求AB的长．19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为__________；（2）BC与B1C1的位置和数量关系为___________；（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2(―1,―2)，B2(1,―3)，C2(0,―5)，则旋转中心的坐标为___________．20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求∠ACB的度数；（2）求BC的长；（3）求AD，BD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，C是⏜BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF．（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．22．如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA.（1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少?说明你的理由.（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积(结果保留π).23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB=10，AE=8，点P为AB上任意一点，（点P不与A､B重合），连结CP并延长与⊙O交于点Q，连QD，PD，AD．（1）求CD的长．（2）若CP=PQ，直接写出AP的长．（3）①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP=∠ADQ．②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】3512．【答案】513．【答案】65°14．【答案】15°15．【答案】316．【答案】49217．【答案】61°18．【答案】1619．【答案】（1）(2,2)；（2）平行且相等；（3）(0,―1)．20．【答案】（1）∠ACB=90°（2）BC=8cm（3）BD=AD=52cm21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB=90°-∠ABC，又∵C是BD的中点，∴CD=BC，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF= BF；（2）解：∵BC=CD，∴BC=CD=6．在Rt△ABC中，AB= BC2+AC2=62+82=10，∴⊙O的半径为5；∵S△ABC= 12AB×CE= 12BC×AC，∴CE= BC×ACAB =6×810=245.22．【答案】（1）解：如图所示，连接OD，∵D为BC的中点，∴∠CAD=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO.∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥EF.∴OD的长是圆心O到EF的距离.∵AB=90 cm，∴OD=12AB=45 cm.（2）解：如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G.∵DA=DF，∴∠F=∠BAD.由(1)，得∠CAD=∠BAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°.∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD.∵在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2，∴(2OD)2-OD2=(63)2，解得OD=6.在Rt△OAG中，OA=OD=6，∠OAG=30°，AG=OA2―O G2=33，AD=23，S△AOD=1×63×3=93.2+93=6π+93.∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=60π×6236023．【答案】（1）解：连接OD，∵直径AB=10，AE=8，∴BE=2.∴OE=5-2=3.又∵AB⊥CD，在Rt△PED中，P D2=P E2+E D2∴ED=52―32=4∴CD=2ED=8（2）解：若CP=PQ，则点P与点O重合，或点P与点E重合．所以AP=5或8（3）解：①连接AC，由图可知∠ACQ=∠ADQ，因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，所以CE=DE，即AB是CD的垂直平分线，所以AC=AD，PC=PD，因为AP=AP，所以∠ACP=∠ADP ，所以∠ADP=∠ADQ ．②∠ADP+∠ADQ=180°．理由如下：连接AC ，因为AB 是直径，AB ⊥CD ，所以AC=AD ，CE=DE ，所以△ACP ≌△ADP （SSS ），所以∠ACP=∠ADP ，因为∠ACP=12ADQ ，∠ADQ=12ACQ ，所以∠ACP+∠ADQ=12（ADQ +ACQ ）=180°．。

圆的基本性质单元培优测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（ ）第1题图第2题图第4题图A．42°B．41°20'C．41°D．40°20'2．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定3．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）A．(−3，3)B．(−3，0)C．(3，3)D．(−23，0)4．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD 的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）A．2−1B．2+1C．4−2D．22−25．△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B=∠EAC，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF 与⊙O的位置关系：甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切；第5题图第6题图第7题图下列判断正确的是（ ）A ．甲对，乙不对B ．甲不对，乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对6．如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心O 2，若O 1O 2=2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．43πC ．πD ．23π7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在边BC 上．结论Ⅰ：若⊙O 的半径为2，P 是边BC 的中点，则PE 的长为13；结论Ⅱ：连接PF ．若S △PEF =32，则EF 的长为π3，关于结论Ⅰ、Ⅱ，判断正确的是（ ）A ．只有结论Ⅰ对B ．只有结论Ⅱ对C ．结论Ⅰ、Ⅱ都对D ．结论Ⅰ、Ⅱ都不对8．已知等腰直角三角形OAC ，∠OAC ＝90°，以O 为圆心，OA 为半径的圆交OC 于点F ，过点F 作AC的垂线交⊙O 于点E ，交AC 于点B.连结AE ，交OC 于点D ，若OD ＝1+22，则AB 的长为（ ）第8题图 第9题图 第10题图A ．2B ．22C ．2+1D ．2+29．如图，在扇形BOC 中，∠BOC =60°，OD 平分∠BOC 交BC 于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB =3，则阴影部分周长的最小值为（ ）A ．62+π2B ．22+π3C ．62+π3D ．2+2π310．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC ，BD 相交于点P ，连结AD ，OD ．已知OD ⊥AC 于点E ，AB ＝2．下列结论其中正确的是（ ）①∠DBC +∠ADO ＝90°；②AD 2+AC 2＝4；③若AC ＝BD ，则DE ＝OE ；④若点P 为BD 的中点，则DE ＝2OE ．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC =45°，BC =2，则线段AE 的长为 ．第11题图 第12题图 第13题图12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．以点A 为圆心，AD 长为半径作弧交AB 于点E ，再以AB为直径作半圆，与DE 交于点F ，则图中阴影部分的面积为 ．13．如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，点C 为⊙O 上一动点，过点C 作CB ⊥l ，垂足为B ，已知⊙O 的半径为6，则BC +43AB 的最大值为　　．14．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若⊙O 的面积为2π，MN =1，则（1）⊙O 的直径长为 ；（2）△AMN 周长的最小值是 ．第14题图 第15题图 第16题图15．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的点，连接CD ，AC ，OD ，且AB =4，OD ∥AC ，设CD =x,AC =y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ．16．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①∠ABD ＝∠DAC ；②AF ＝FG ；③当DG ＝2，GB ＝3时，FG =142；④当BD =2AD ，AB ＝6时，△DFG 的面积是3，上述结论中，正确结论的序号有　　．三、综合题（17-19每题6分，20-21每题8分，22题12分，共46分）17．如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．（1）求证：∠ABE=∠C；（2）若AC平分∠OAE，求AFFC的值18．如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO=∠ABD；（2）若AE=4cm，CE=16cm，求弦BD的长．19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．20．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，AC＝BD，AC⊥BD．（1）猜想∠ACB的度数，并说明理由．（2）若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．（3）若过圆心O作OF⊥BC于点F．求证：AD＝2OF．21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.（1）如图1，连接AD.求证：AM=DM.（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，BE=BC=α°，AE交CD于点F，连接AD、DE.①求∠E的度数(用含α的代数式表示).②若DE=7，AM+MF=17，求△ADF的面积.22．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC 于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．（1）求证：点B在⊙M上．（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．（3）当点D到移动到使∠CMG=30°时，求证：A E2+C F2=E F2．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD 、∠EBC 分别是△EBC 和△ABF 的一个外角，∠EBC=∠A+∠F ，∠BCD=∠E+∠EBC ，∴∠BCD=∠E+∠A+∠F ，∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，解之：∠A=41°.故答案为：C. 2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵OC ⊥AB ，且AB =43，∴∠ADO=90°，且AD =12AB =23，∵sin ∠AOC=sin60°=AD AO，∴AO =ADsin60°=2332=4，∵OP=5＞AO=4，∴点P 在圆O 外部.故答案为：C. 3．【答案】D【解析】【解答】解：过B 作BH ⊥y 轴于H ，在Rt△ABH中，∠AHB=90°,∠BAH=180°−120°=60°,AB=OA=2，∴∠ABH=30°，∴AH=12AB=1，OH=OA+AH=3，由勾股定理得BH=AB2−AH2=3，∴B(3,3)，由题意，可得：B1(−3,3),B2(−23,0),B3(−3,−3),B4(3,−3),B5(23,0),B6(3,3),⋯，6次一个循环，∵2024÷6=337……2，∴第2024次旋转后，点B的坐标为(−23,0)，故答案为：D．4．【答案】A【解析】【解答】解：连接CO，如图，由三角形两边之差小于第三边，当C、O、E共线时，OE最小，设⏜AC的弧度为x，则⏜BC的弧度为180°-x，∵∠CAB=∠CAD，∴⏜CD的弧度为180°-x，由折叠知：⏜AEC=⏜AC=x，⏜AD=x-(180°-x）=2x-180°，∵点E为弧AD的中点，∴⏜AE=12⏜AD=x-90°，∴⏜CE=⏜AC-⏜AE=90°，∴⏜CE所对圆心角为90°，∵直径AB=2，∴ CE=2，∴OE= CE-OC=2−1.故答案为：A.5．【答案】C【解析】【解答】解：甲：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，∴EF⊥AB，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线；乙：作直径AM，连接CM，如图所示：即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠AMC，∵AM是⊙O的直径，∴∠MCA=90°，∴∠MAC+∠AMC=90°，∴∠EAC+∠MAC=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．故答案为：C 6．【答案】D7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接CE 、OB 、OC ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BCD =∠CDE =(6−2)⋅180°6=120°，CD =DE ，∠BOC =360°6=60°，OB =OC ，∴∠DCE =∠DEC =12(180°−∠CDE)=30°，△OBC 是等边三角形，∴CH =EH =12CE =CD ⋅cos ∠DCE =3，∠PCE =∠BCD−∠DCE =90°，EF =BC =OB =OC =CD =2，∴CE =23，∵P 是边BC 的中点，∴CP =BP =12BC =1，∴PE =PC 2+CE 2=12+(23)2=13，故结论Ⅰ正确；设点N 是边BC 的中点，连接NO 并延长交EF 于点M ，连接OE 、OF ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴NM ⊥EF ，NM ⊥BC ，FM =EM =12EF =12a ，∠EOF =360°6=60°，EF ∥BC ，∴S △NEF =S △PEF =32，由Ⅰ的解答过程可知，CH=EH=12CE=CD⋅cos∠DCE=32a，∠NCE=∠BCD−∠DCE=90°，EF=BC=OB=OC=a，∴CE=3a，四边形NCEM是矩形，∴MN=CE=3a，∴12EF⋅MN=12×a×3a=32，∴a=1，∴EF的长为60π×1180=π3，故Ⅱ正确，故答案为：C.8．【答案】C【解析】【解答】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：设⊙O的半径为R∵∠OAC = 90°，OA=AC=R∴∠O=∠C=45°∴∠E=12∠O==22.5°在Rt△0AC中，由勾股定理得：OC = OA2+AC2=2R∵OD=2∴CD=OC-OD=2R−2∵EB⊥AC，∠C =45°∴△BFC为等腰直角三角形，∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°在Rt△ABE中，∠E =22.5°，∠ABE = 90°∴∠CAE =90°-∠E=67.5°∴∠CAE = ∠ADC∴AC=CD，即R= 2R−2，解得：r=2+2，即OA=2+2∵OH⊥AEOH是AE的垂直平分线∴AH = EH∴∠EAH= ∠E= 22.5°∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°∴△ABH为等腰直角三角形∴AB =BH∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°∴OH⊥AE，∠EAH=22.5°∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°∴AH =OA=2+2，在Rt△ABH中，AB = BH，AH=2+2由勾股定理得：A B2+B H2=A H2即2A B2=（2+2）2∴AB=2+1故答案为：2+1.9．【答案】A【解析】【解答】解：由于CD是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求CE+DE最小值即可作点D关于OB对称的对称点D′，连接CD′与直线OB交于点E，则OC=OD′，CE+DE=CD′，此时CE+DE为最小值连接OD′，∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠BOD =∠COD =12∠BOC =30°，∴∠BOD =∠BOD ′=30°，∠COD ′=90°，在Rt △COD ′中，CD ′=OC 2+OD ′2=2OC =2OB =32，CD =30π×3180=12π，阴影部分周长的最小值为12π+32=62+π2．故答案为：A ．10．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ACB =90°，∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，∴∠DBC =∠BDO ，∵∠BDO +∠ADO =90°，∴∠DBC +∠ADO =90°，①正确；∵∠ACB =90°，∴B C 2+A C 2=A B 2=4，AB =2，根据条件无法得到BC =AD ，②错误；∵AC =BD ，∴⏜AD =⏜BD ，∴⏜AD =⏜BC ，∵OD ⊥AC ，∴⏜AD =⏜CD ，∴⏜AD=⏜BC=⏜CD，∴∠AOD=13×180°=60°，∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形∵AE⊥OD，∴DE=OE，③正确；若点P为BD的中点，则PD=PB，∵∠PED=∠BCP=90°，∠EPD=∠CPB，∴△EPD≅△CPB(AAS)，∴DE=BC，∵OD⊥AC，O为AB的中点，∴BC=2OE，∴DE=2OE，④正确；故答案为：B.11．【答案】212．【答案】3+23π【解析】【解答】解：连接AF，EF，过点F作FH⊥AB于点H，∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，∴AD=AE=AF=2，∵再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，∴AE=BE=2，AE=EF，∴AF=AE=EF=2，∴△AEF是等边三角形，∴∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，∴FH=AH·tan∠FAE=AH·tan60°=3∴S扇形FAE=60π×22360=23π，S弓形AF=60π×22360−12×23=23π−3，∴S阴影部分=S半圆AB-S扇形FAE-S弓形AF=12×4π−23π−(23π−3)=3+23π故答案为：3+2 3π.13．【答案】83614．【答案】22；415．【答案】y=−12x2+416．【答案】①②③【解析】【解答】解：如图：连接DC，∵D是AC的中点，∴AD=DC，由圆周角定理的推论得：∠ABD=∠DAC，故①正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠AGD=90°，∵DE⊥AB∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠ABD=∠DAC，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG，∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=FD，∴AF=FG，即②正确；在△ADG和△BDA，{∠ADG =∠BDA∠DAG =∠DBA ，∴△ADG ∽△BDA ，∴AD BD =GDAD ，即：AD 2+3=2AD，解得：AD =10，由勾股定理得：AG =AD 2+DG 2=10+4=14，∵AF =FG ，∴FG =12AG =142，故③正确；如图：假设半圆的圆心为O ，连接OD ,CO ,CD ，∵BD =2AD ，AB =6，D 是AC 的中点，∴AD =DC =13AB ,∴∠AOD =∠DOC =60°，∵OA =OD =OC ，∴△AOD ,△ODC 是等边三角形，∴OA =AD =CD =OC =OD =6，∴四边形ADCO 是菱形，∴∠DAC =∠OAC =12∠DAO =30°，∵∠ADB =90°，∴tan ∠DAC =tan30°=DGAD ，即33=DG 6，解得：DG =23，∴S △ADG =12AD ⋅DG =12×6×23=63，∵AF =FG∴S △DFG =12S △ADG =33，故④错误．故答案为：①②③．17．【答案】（1）证明：∵OA ⊥BE ，∴AB=AE，∴∠ABE=∠C；（2）解：∵AC平分∠OAE，∴∠OAC=∠EAC，∵∠EAC=∠EBC，∴∠OAC=∠EBC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠EBC=∠C，∴BF=CF，由（1）∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠EBC，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°，∴∠ABE=30°，∴AF=12 BF，∴AF=12 CF，即AFCF=12．18．【答案】（1）证明：∵AC是直径，AC⊥BD ∴AB=AD∴∠ABD=∠C又∵OB=OC∴∠OBC=∠C∴∠CBO=∠ABD（2）解：∵AE=4cm，CE=16cm∴直径AC=AE+CE=20cm∴OA=OB=10cm∴OE=OA-AE=10-4=6cm∵AC是直径，AC⊥BD∴BE=ED= BO2−OE2=8cm∴BD=2BE=16cm19．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴AC＝CD，即点D为AC的中点；（2）解：OF⊥AC，∴AF＝12AC＝8，∵DF＝4，∴OF＝OD−DF＝OA−4，∵OA2＝AF2＋OF2，∴OA2＝82＋(OA−4)2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．20．【答案】（1）解：∠ACB＝45°，理由如下：∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°．∴∠ABE＋∠BAE＝90°．∴AD＋BC＝180°．∴AB＋CD＝180°．∵AC＝BD，∴AC＝BD．∴AC−AD=BD−AD．∴AB=CD．∴AB＝90°．∴∠ACB＝45°．（2）解：如图，连结BO，DO，过点O作OH⊥BD交BD于点H.∵∠BCD=60°, ∴∠BOD=120°.∵OH⊥BD,∴∠BOH=60°, BH=DH.在Rt△BHO中，∠BOH=60°,OB=10，∴OH=5,BH=53.∴BD=103=AC.∴S四边形ABCD=12×103×103=150.（3）证明：如图，延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．∵OF⊥BC，∴BF＝CF，即点F是BC的中点．又∵点O是BM的中点，∴OF是△BCM的中位线．∴CM＝2OF．∵DM⊥BD，AC⊥BD，∴DM∥AC．∴AD＝CM．∴AD＝2OF．21．【答案】（1）证明：如图1，∵AB=CD，∴AB=CD，即AC+BC=BD+BC，∴AC =BD ，∴∠A =∠D ，∴AM =DM ；（2）解：①∠M =90°−12α°.理由如下：连接AC ，如图，∵BE =BC =α°，∴∠CAB =12α°，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC =90°，∴∠M =∠C =90°−12α°；②∵BE =BC =α°，∴∠CAB =∠EAB ，∵AB ⊥CD ，∴AC =AF ，∴∠ACF =∠AFC ，∵∠ACF =∠E ，∠AFC =∠DFE ，∴∠DFE =∠E ，∴DF =DE =7，∵AM =DM ，∴AM =MF +7，∵AM +MF =17，∴MF +7+MF =17，解得MF =5，∴AM =12，∴S △ADF =12×7×12=42.22．【答案】（1）证明：根据题意得CM=DM=12CD，∵∠ABC=90°，∴BM=12 CD，∴CM=DM=BM，∴点B在⊙M上．（2）解：连接DE，如图，∵CD⊥BE，CD为⊙M直径，∴BD=DE，∠ABC=∠DEC=90°，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴DE=AE，∴AD=2DE=2BD，∴AD+BD=AB=(2+1)BD，∴BC=(2+1)BD，∴BCBD=2+1．（3）证明：过点B作BN⊥BG，过点A作AN⊥AE，交BN于点N，连接DE，NE，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAC=∠BCA=45°，∴∠BAN=∠BCF=45°，∵M为CD的中点，∴MD =MB =MC ，∵∠CMG =∠MBC +∠MCB =30°，∴∠MDB =∠MBD =75°，∠MBC =∠MCB =15°，∠DCE =∠BCE−∠MCB =30°，∴∠EDC =∠EBC =60°，∴∠EBF =∠EBC−∠MBC =45°，∴∠EBF =∠EBN =45°，∴∠ABN =90°−∠ABF =∠CBF ，∵{∠ABN=∠CBFAB =BC ∠BAN =∠BCF ，∴△BAN≌△BCF(ASA)，∴AN =CF ，BN =BF ，∵{BN =BF∠NBE =∠FBE BE =BE ，∴△NBE≌△FBE(SAS)，∴NE =EF ，在Rt △AEN 中，N E 2=A N 2+A E 2，∴E F 2=C F 2+A E 2．。

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——高斯圆知识讲解知识点1圆的相关概念1.在同一平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一端点所经过的封闭曲线叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做半径．2.连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．3.圆上任意两点间的部分叫做弧．能够重合的圆弧称为相等的弧．知识点2点与圆的位置关系1.设圆的半径为r，在同一平面内点到圆心的距离为d，则：(1)d＞r⇔点在圆外；(2)d＝r⇔点在圆上；(3)d＜r⇔点在圆内．知识点3确定圆的方法(1)确定圆心(位置)和半径(大小)；(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆；(3)以已知线段为直径的圆．知识点4三角形的外接圆与外心经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形．知识点5外心的性质(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；(2)三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．注意：画三角形的外心时可画两条边的中垂线，交点即为外心；三角形的外心不是都在三角形的内部，它可能在三角形的外部或三角形的某一边上．知识点61.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部．2．等腰直角三角形的外心在它的边上典型例题例1：已知点P到⊙O的最大距离是8 cm，最小距离是2 cm，求该圆的周长和面积．分析：点P的位置不确定，需分类讨论．解答：当点P在圆外时，直径为8－2＝6(cm)，⊙圆的周长为6π cm，面积为9π cm2；当点P在圆内时，直径为8＋2＝10(cm)，⊙圆的周长为10π cm，面积为25π cm2.综上所述，圆的周长为6π cm或10π cm，面积为9π cm2或25π cm2.例2：如图，在平面直角坐标系中，⊙ABC为直角三角形，⊙B＝90°，AB垂直于x轴，点M为⊙ABC的外心．若点A的坐标为(3,4)，点M的坐标为(－1,1)，则点B的坐标为_______________．答案：(3，－2)分析：直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，由此可得点C 的坐标为(－5，－2)．又AB 垂直于x 轴，CB 垂直于y 轴，可确定点B 的坐标为(3，－2)． 点评：直角三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重合．一、选择题1．下列说法正确( B )A ．直径是弦，弦是直径B ．圆有无数条对称轴C ．无论过圆内哪一点，都只能作一条直径D ．度数相等的弧是等弧 2．已知⊙O 的直径AB ＝6 cm ，则圆上任意一点到圆心的距离等于( C ) A ．2 cmB ．2.5 cmC ．3 cmD ．无法确定3．下列说法：⊙弧分为优弧和劣弧；⊙半径相等的圆是等圆；⊙过圆心的线段是直径；⊙长度相等的弧是等弧；⊙半径是弦．其中错误的个数为( C )A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在⊙O 中，点A ，O ，D ，点B ，O ，C 以及点E ，D ，C 分别在一条直线上．图中弦的条数为( B )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 图中的弦有AB ，BC ，CE 共三条．5. 下列说法：⊙直径是弦；⊙弦是直径；⊙半圆是弧，弧不一定是半圆；⊙优弧一定大于劣弧；⊙直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为( B )A ．⊙⊙⊙B ．⊙⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙【解析】 ⊙，⊙都是错误的，弦不一定是直径，在同圆或等圆中优弧一定大于劣弧．故选B. 6. ⊙O 的半径为5 cm ，点A 到圆心O 的距离OA ＝3 cm ，则点A 与⊙O 的位置关系为( B ) A ．点A 在圆上B ．点A 在圆内C ．点A 在圆外D ．无法确定同步练习7. 已知⊙O的半径为5 cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是(D)A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm【解析】⊙点P在⊙O外，⊙d>5 cm.故选D.8．下列说法正确的是(D)A．半圆是弧，弧也是半圆B．过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径C．弦是直径D．直径是同一圆中最长的弦【解析】A．半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误；B.过圆上任意一点能作无数条弦，故错误；C.直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；故选D.9.【核心素养题】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)A．第⊙块B．第⊙块C．第⊙块D．第⊙块10．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A．点P B．点Q C．点R D．点M11．如图2，已知⊙O是⊙ABC的外接圆，⊙AOB＝110°，则⊙OAB的度数为(C)A．55° B．70° C．35° D．45°12．[2017·枣庄]如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画图，选取的格点中除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(B)A．22＜r＜17 B.17＜r＜32 C.17＜r＜5 D．5＜r＜29【解析】给各点标上字母，如答图所示．由勾股定理可得AB＝22＋22＝22，AC＝AD＝42＋12＝17，AE＝32＋32＝32，AF＝52＋22＝29，AG＝AM＝AN＝42＋32＝5，⊙当17＜r＜32时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B.13．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C 的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（B）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部【答案】解：⊙点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，⊙点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；⊙过点B、C的圆记作为圆O2，⊙点A可以在圆O2的外部，故C错误；⊙过点C、A的圆记作为圆O3，⊙点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．14.（2019春•巨野县期末）已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（B）A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm【答案】解：根据点和圆的位置关系，得OP＝6，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝12．15．（2018秋•城厢区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（D）A．0＜r＜4B．3＜r＜4C．4＜r＜5D．r＞5【答案】解：⊙点P（4，3），⊙PO＝＝5，⊙点P在⊙O内，⊙r＞OP，即r＞5，故选：D．16.（2019•金山区一模）如图，在Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，BC＝2，⊙B＝60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（D）A ．点B 、点C 都在⊙A 内 B ．点C 在⊙A 内，点B 在⊙A 外 C ．点B 在⊙A 内，点C 在⊙A 外D ．点B 、点C 都在⊙A 外【答案】解：⊙在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，BC ＝2，⊙B ＝60°，⊙⊙A ＝30°，⊙AB ＝2BC ＝4，AC ＝BC ＝2，⊙⊙A 的半径为3，4＞3，2＞3，⊙点B 、点C 都在⊙A 外．故选：D ．二、填空题1．（2018秋•滨海县期末）平面直角坐标系内的三个点A （1，﹣3）、B （0，﹣3）、C （2，﹣3）， 不能 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】解：⊙B （0，﹣3）、C （2，﹣3），⊙BC ⊙x 轴，而点A （1，﹣3）在x 轴上，⊙点A 、B 、C 共线， ⊙三个点A （1，﹣3）、B （0，﹣3）、C （2，﹣3）不能确定一个圆．故答案为：不能．2．（2018秋•泰兴市校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为x 的圆，使点A 、B 、C 三点都在圆外，则x 的取值范围是 x ＜3 ．【答案】解：在直角⊙ABD 中，CD ＝AB ＝4，AD ＝3，则BD ＝＝5．⊙点A 、B 、C 三点都在圆外，⊙x ＜3．故答案为：x ＜3；3．[2018·无锡]如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊙OB ，点A 在劣弧BC ︵上，且OA ＝AB ，则⊙ABC ＝__15°__．【解析】 利用圆的半径相等，OC ⊙OB ，OA ＝AB ，可以证明⊙OBC 是等腰直角三角形，⊙ABO 是等边三角形，进而利用特殊三角形的性质求得结论．⊙OC ⊙OB ，OB ＝OC ，⊙⊙CBO ＝45°.⊙OB ＝OA ＝AB ，⊙⊙ABO ＝60°， ⊙⊙ABC ＝⊙ABO －⊙CBO ＝60°－45°＝15°.4．平面上有⊙O 及一点P ，P 到⊙O 上一点的距离最长为6 cm ，最短为2 cm ，则⊙O 的半径为__4或2__cm.【解析】 当点P 在⊙O 内时，则直径为6＋2＝8(cm)，因而半径是4 cm ；当点P 在⊙O 外时，则直径为6－2＝4(cm)，因而半径是2 cm，⊙⊙O的半径为4 或2 cm.5．[2018·烟台]如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为__(－1，－2)__．【解析】如答图，连结AB，BC，分别作AB和BC的中垂线，交于G点，则圆心G的坐标为(－1，－2)．6．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是__10或8__．【解析】由勾股定理可知，⊙当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；⊙当两条直角边长分别为16和12时，直角三角形的斜边长为162＋122＝20，则其外接圆半径为10.综上所述，这个三角形的外接圆半径是8或10.三、解答题1．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D .已知AB ＝24 cm ，CD ＝8 cm. (1)求作此残片所在的圆；(不写作法，保留作图痕迹) (2)求(1)中所作圆的半径．解：(1)作弦AC 的垂直平分线与CD 交于O 点，以O 为圆心，OA 长为半径作⊙O 就是此残片所在的圆，如答图； (2)连结OA ，设OA ＝x ，⊙AD ＝12 cm ，OD ＝(x －8)cm ，则根据勾股定理列方程：x 2＝122＋(x －8)2，解得x ＝13(cm)． 答：圆的半径为13 cm.2．已知平面直角坐标系中的三个点A (1，－1)，B (－2，5)，C (4，－6)，判断过A ，B ，C 这三个点能否确定一个圆，并说明理由．解：能．理由：设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．把A (1，－1)，B (－2，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－1，－2k ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1， ⊙直线AB 的表达式为y ＝－2x ＋1， 当x ＝4时，y ＝－2x ＋1＝－8＋1＝－7，⊙点C (4，－6)不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不共线，⊙过A ，B ，C 这三个点能确定一个圆．3．如图，在⊙ABC 中，点D 是⊙BAC 的平分线上一点，BD ⊙AD 于点D ，过点D 作DE ⊙AC 交AB 于点E .求证：点E是过A ，B ，D 三点的圆的圆心．证明：如答图，⊙点D 在⊙BAC 的平分线上，⊙⊙1＝⊙2.⊙DE ⊙AC ，⊙⊙2＝⊙3，⊙⊙1＝⊙3， ⊙AE ＝DE .⊙BD ⊙AD 于点D ，⊙⊙ADB ＝90°，⊙⊙EBD ＋⊙1＝⊙EDB ＋⊙3＝90°，⊙⊙EBD ＝⊙EDB ， ⊙BE ＝DE ，⊙AE ＝BE ＝DE ，⊙点E 是过A ，B ，D 三点的圆的圆心．4．如图，在⊙ABC 中，BD ，CE 是两条高线．求证：B ，C ，D ，E 四点在同一个圆上．证明：如答图，取BC 的中点O ，连结EO ，DO ，则EO ，DO 是Rt⊙BEC ，Rt⊙BDC 斜边上的中线， ⊙EO ＝DO ＝BO ＝CO ＝12BC ，⊙B ，C ，D ，E 四点在同一个圆上．5．如图1，⊙ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，⊙ABC ＝⊙DBE ，BD ＝BE. (1)求证：⊙ABD⊙⊙CBE ；(2)如图2，当点D 是⊙ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：⊙⊙ABC ＝⊙DBE ，⊙⊙ABC ＋⊙CBD ＝⊙DBE ＋⊙CBD ，⊙⊙ABD ＝⊙CBE .在⊙ABD 与⊙CBE 中，⊙⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BC ，⊙ABD ＝⊙CBE ，BD ＝BE ，⊙⊙ABD ⊙⊙CBE (SAS )． (2)解：四边形BDCE 是菱形．证明如下：同(1)可证⊙ABD ⊙⊙CBE ，⊙AD ＝CE .⊙点D 是⊙ABC 外接圆圆心，⊙DA ＝DB ＝DC ．又⊙BD ＝BE ，⊙BD ＝BE ＝CE ＝CD ，⊙四边形BDCE 是菱形．6．如图，在⊙ABC 中，⊙ABC ＝90°，AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，AM 是中线． （1）以A 为圆心，4cm 长为半径作⊙A ，则点B 、C 、M 与⊙A 是什么位置关系？（2）若以A 为圆心作⊙A ，使点B 、C 、M 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是什么？【答案】解：（1）⊙AB＝4cm＝⊙A的半径，⊙点B在⊙A上；⊙AC＝6cm＞4cm，⊙点C在⊙A外；由勾股定理，得BC＝＝2cm，⊙AM是BC边上的中线，⊙AM＝BC＝cm＜4cm，⊙点M在⊙A内；（2）以点A为圆心作⊙A，使B、C、M三点中至少有一点在⊙A内时，r＞cm，当至少有一点在⊙A外时，r＜6cm，故⊙A的半径r的取值范围为：cm＜r＜6cm．7．（2018秋•微山县期中）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P 2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；请利用上面的信息，解答下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．【思路点拨】（1）先确定出AB＝10，进而求出圆M的半径，最后用线段的中点坐标公式即可得出结论；（2）求出CM＝5和圆M的半径比较大小，即可得出结论．【答案】解：（1）⊙⊙AOB＝90°，⊙AB是⊙M的直径，⊙A（8，0），B（0，6），⊙AB＝＝10，⊙⊙M的半径为5，由线段中点坐标公式x＝，y＝，得x＝4，y＝3，⊙M（4，3），（2）点C在⊙M上，理由：⊙C（1，7），M（4，3），⊙CM＝＝5，⊙点C在⊙M上．。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》3.1圆（1）--每日好题挑选【例1】如图，点B，E，G，M 在半圆O 上，四边形ABCO，ODEF，OHMN 都是矩形，设AC＝a，DF＝b，NH＝c，则a，b，c 的大小关系为。

【例2】如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的半径为1，圆心A 在函数y＝x 的图象上运动，下列各点不可能落入⊙A 的内部的是（）A．(1，2)B．(2，3.2)C．(3，3－22)D．(4，4＋2)【例3】在同一平面上，点P 到⊙O 上一点的距离最大为6cm，最小为2cm，则⊙O 的半径为cm。

【例4】在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a，⊙A 的半径为2，若点B 在⊙A 内，则a 的取值范围是。

【例5】如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在MN ︵上，且不与点M，N 重合，当点P 在MN ︵上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度（）A．变大B．变小C．不变D．无法判断【例6】如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．若以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个点在圆内，则r 的取值范围为（）A．22＜r≤17 B.17＜r≤32 C.17＜r≤5D．5＜r≤29【例7】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm。

（1）以点B为圆心，BC长为半径画⊙B，点A，C及AB的中点E与⊙B有怎样的位置关系？（2）以点A为圆心，R为半径画⊙A，若B，C，E三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则⊙A的半径R应满足什么条件？【例8】如图，线段AB＝8cm，点D从点A出发沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s，同时点C从点B出发沿BA 向点A以相同速度运动，以点C为圆心，2cm长为半径作⊙C，点D到达点B时点C也停止运动，设运动时间为t s，求点D在⊙C内部时t的取值范围。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》3.8弧长及扇形的面积（1）--每日好题挑选【例1】如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了。

【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵，点O 是CD ︵的圆心)，其中CD＝600米，E 为CD ︵上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF＝3003米，则这段弯路的长度为。

【例3】如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为。

【例4】如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动(不滑动)至点B 重新落在直线l 上，点B 从开始运动到结束，所经过路径的长度为。

【例5】如图为一个半圆形工件，未搬动前直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O 所经过的路线长是m。

【例6】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC 的夹角为120°，AB 的长为30厘米，则弧BC 的长为厘米(结果保留π)。

【例7】如图，△ABC 和△A′B′C 是两个完全重合的三角尺，∠B＝30°，斜边长为10cm.三角尺A′B′C 绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A′落在AB 边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm。

【例8】如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF 的长是。

【例9】如图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据：半径OA＝2cm，∠AOB＝120°.则图②中图形的周长为cm(结果保留π)。

浙教版九年级上册第三单元圆的基本性质阶段练习卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．已知⊙O的半径为5 cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是（）A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm2．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，将下列哪一个角作为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（）A．60°B．90°C．120°D．180°第2题图第3题图OCDBA第4题图第5题图3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15°B．28°C．29°D．34°4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝3∠B，则∠B等于（）A．30°B．36°C．45°D．60°5．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．86．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝20°，那么∠BAD＝（）A．45°B．60°C．30°D．20°7．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，那么这个三角形的外接圆直径是（）A．5 B．10 C．5或4 D．10或88．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．1 B．3C．2 D．23第6题图第8题图第9题图第10题图9．如图，已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短的弦长为（）A．4 B．6 C．8 D．1010．如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连结AE、BE，则下列五个结论：①AB⊥DE；②AE＝BE；③OD＝DE；④∠AEO＝∠C；⑤AE︵＝12AEB︵．正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数是__________度．第11题图第12题图第13题图第14题图12．如图，AB是⊙O的弦，AB＝8，P是⊙O上一点（不与点A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为__________．13．如图所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°．则∠D＝__________．14．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是__________．15．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm．第15题图第17题图第18题图16．在半径为5cm的⊙O中，如果弦CD＝8cm，直径AB⊥CD，垂足为点E，则AE的长为__________cm．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O 于点E，连结CE．若CE＝2，则BD的长为__________．18．如图所示，菱形ABCD的边长是13，点O是两条对角线的交点，且OB＝12．约定：三角形三边上的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫做三角形与圆的距离．依据这个约定，可知当⊙C的半径是__________时，△ABD与⊙C的距离为3．三、解答题（本题有6题，共46分）19．（本题6分）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．20．（本题6分）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝53，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A，B，C，D是否在同一个圆上，并证明你的结论．21．（本题8分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）△DEF≌△DMF；（2）若AE＝1，求FM的长．22．（本题8分）如图所示，点A，B，C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB＝2，∠AOE＝30°，求PE的长．23．（本题8分）已知⊙O的直径为10，点A，B，C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．24．（本题10分）如图，P是等边三角形ABC外接圆弧BC上任意一点，求证：P A＝PB＋PC．参考答案一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．已知⊙O的半径为5 cm，P为⊙O外一点，则OP的长可能是（）A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm【答案】D【解析】∵点P在⊙O外，∴d＞5 cm．故选D．2．如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，将下列哪一个角作为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（）A．60°B．90°C．120°D．180°【答案】C3． 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为（ ）A ．15°B ．28°C ．29°D ．34°【答案】B【解析】∠ACB ＝12×(86°－30°)＝28°．4． 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠D ＝3∠B ，则∠B 等于（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°OC D B【答案】C5． 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB ＝10，水面宽AB ＝16，则截面圆心O到水面的距离OC 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】C6．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝20°，那么∠BAD＝（）A．45°B．60°C．30°D．20°【答案】D7．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，那么这个三角形的外接圆直径是（）A．5 B．10 C．5或4 D．10或8【答案】D【解析】∵Rt△ABC中，没有确定斜边，∴斜边可为10或8，其外接圆直径为10或8．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．1 B．3C．2 D．23【答案】D9．如图，已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为3，则过点A的所有弦中，最短的弦长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C10．如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连结AE、BE，则下列五个结论：①AB ⊥DE ；②AE ＝BE ；③OD ＝DE ；④∠AEO ＝∠C ；⑤AE ︵＝12AEB ︵．正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）11．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠C ＝35°，则∠AOB 的度数是__________度．【答案】7012．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8，P 是⊙O 上一点（不与点A ，B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__________．【答案】4【解析】∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ， ∴由垂径定理，得AC ＝PC ，PD ＝BD ， ∴CD 是△P AB 的中位线， ∴CD ＝12AB ＝12×8＝4．13．如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，∠1＝68°，∠A ＝40°．则∠D ＝__________．14．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是__________．【答案】(1，0)【解析】易知∠ACB＝90°，延长AC到B′使CB′＝CB．B′恰好落在(1，0)处．15．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm．【答案】816．在半径为5cm的⊙O中，如果弦CD＝8cm，直径AB⊥CD，垂足为点E，则AE的长为__________cm．【答案】2或817．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O 于点E，连结CE．若CE＝2，则BD的长为__________．【解析】如答图，延长BA，CE交于点M．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠CAM＝90°，∠BEC＝∠BEM＝90°，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACM，∴△ABD≌△ACM，∴BD＝CM，∵BE平分∠ABC，∴∠EBM＝∠EBC，∵BE＝BE，∠BEC＝∠BEM，∴△BEC≌△BEM，∴EC＝EM，∴BD＝CM＝2CE＝22．18．如图所示，菱形ABCD的边长是13，点O是两条对角线的交点，且OB＝12．约定：三角形三边上的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫做三角形与圆的距离．依据这个约定，可知当⊙C的半径是__________时，△ABD与⊙C的距离为3．【答案】2或16三、解答题（本题有6题，共46分）19．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．【答案】解：如答图所示．20．如图所示，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝53，BC ＝8，CD ＝6，AD ＝5，试判断点A ，B ，C ，D 是否在同一个圆上，并证明你的结论．【答案】解：点A ，B ，C ，D 在同一个圆上． 证明：连结BD ．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2＝10． 在△BCD 中，∵82＋62＝102，即BC 2＋CD 2＝BD 2， ∴△BCD 是直角三角形． 取BD 的中点O ，∴OB ＝OC ＝OA ＝OD ＝12BD ．∴点A ，B ，C ，D 在以BD 为直径的圆上．21．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF ＝45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ． （1）△DEF ≌△DMF ； （2）若AE ＝1，求FM 的长．【答案】解：（1）∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ， ∴∠FCM ＝∠FCD ＋∠DCM ＝180°， ∴F ，C ，M 三点共线， ∴DE ＝DM ，∠EDM ＝90°， ∴∠EDF ＋∠MDF ＝90°， ∵∠EDF ＝45°，∴∠MDF ＝∠EDF ＝45°， 在△DEF 和△DMF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DM ，∠EDF ＝∠MDF ，DF ＝DF ， ∴△DEF ≌△DMF (SAS )．（2）由（1）得EF ＝MF ，设EF ＝MF ＝x ， ∵AE ＝CM ＝1，且BC ＝3， ∴BM ＝BC ＋CM ＝3＋1＝4， ∴BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ， ∵EB ＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即22＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝52，∴FM ＝52．22．如图所示，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，AB ∥OC ．（1）求证：AC 平分∠OAB ；（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交AC 于点P ．若AB ＝2，∠AOE ＝30°，求PE 的长．【答案】解：（1）证明：∵AB ∥OC ，∴∠BAC ＝∠OCA ． 又∵OC ＝OA ，∴∠OAC ＝∠OCA ， ∴∠BAC ＝∠OAC ，∴AC 平分∠OAB ． （2）∵OE ⊥AB ，∴AE ＝12AB ＝1．∵∠AOE ＝30°，∴∠OAE ＝60°， ∴∠EAP ＝12∠OAE ＝30°，∴PE ＝12AP ．设PE ＝x ，则AP ＝2x ，在Rt △AEP 中， AP 2＝AE 2＋PE 2， 即(2x )2＝12＋x 2， 解得x ＝33，∴PE ＝33． 23．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； （2）如图②，若∠CAB ＝60°，求BD 的长．【答案】解：（1）∵BC 是⊙O 的直径，∵在直角△CAB 中，BC ＝10，AB ＝6，∴由勾股定理得AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8． ∵AD 平分∠CAB ， ∴CD ︵＝BD ︵， ∴CD ＝BD ．在直角△BDC 中，BC ＝10，CD 2＋BD 2＝BC 2， ∴BD ＝CD ＝52． （2）连结OB ，OD ．∵AD 平分∠CAB ，且∠CAB ＝60°， ∴∠DAB ＝12∠CAB ＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°． 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形， ∴BD ＝OB ＝OD ．∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5， ∴BD ＝5．24．如图，P 是等边三角形ABC 外接圆弧BC 上任意一点，求证：P A ＝PB ＋PC ．【答案】证明：如答图，在P A 上截取PD ＝PC ，∵AB ＝AC ＝BC ，∴△PCD 为等边三角形，∴∠PCD ＝∠ACB ＝60°，CP ＝CD ， ∴∠PCD －∠DCB ＝∠ACB －∠DCB ， 即∠ACD ＝∠BCP ，在△ACD 和△BCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCP ，CD ＝CP ，∴△ACD ≌△BCP ， ∴AD ＝PB ， ∴P A ＝PB ＋PC ．。

第3章测试卷圆的基本性质班级学号得分姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.已知⊙O的直径为10,点P到点O的距离大于8,那么点P的位置( )A. 一定在⊙O的内部B. 一定在⊙O的外部C. 一定在⊙O上D. 不能确定2.正六边形的每个内角度数为( )A. 90°B. 108°C. 120°D. 150°3.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为( )A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( )A7 B. 7 C. 6 D. 85. 下列有关圆的一些结论：①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°；②圆内接正六边形的边长与该圆半径相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的是( )A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ②④6. 如图,正方形ABCD 内接于⊙O,AB=22,则AB的长是( )A. πB.32π C. 2π D127.如图,已知 BC 是⊙O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点 A,点C重合),BD与OA交于点E,设∠AED=α,∠AOD=β,则( )A. 3α+β=180°B. 2α+β=180°C. 3α-β=90°D. 2α-β=90°8. 如图,在扇形 AOB中,∠AOB=90°,点C 是弧AB 的中点,点 D 在OB 上,点 E 在OB 的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为( )A. π-2B. 2π—2C. π—4D. 2π-49. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC角平分线的交点，∠AIC=124°,点 E 在AD 的延长线上，则∠CDE的度数为( )A. 56°B. 62°C. 68°D. 78°10. 如图,AB是半圆O 的直径,点 P 从点O 出发,沿OA→AB→BO(的路径匀速运动一周.设OP 的长为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,点 A,B,C在⊙O上,BC=6,∠BAC=30°,则⊙O的半径为 .12. 如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB 的距离为 .13. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心,BA为半径的圆弧与BC 交于点E,四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形(图中阴影部分)的面积是 .14.如图,在⊙O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于点D,则CD的最大值为 .15.如图,在半径2₂的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形面积为 .16. 如图所示,E,F分别是正方形ABCD 的边AB,BC上的点,BE=CF,连结CE,DF.将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转了.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17. (6分)已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm²，求该扇形的弧长.18. (6分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，点O，M也在格点上.(1)画出△ABC关于直线OM 对称的△A₁B₁C₁;(2)画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转 90°后所得的△A₂B₂C₂.19. (6分)中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是.AB,拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米.(1)用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(2)求拱桥 AB所在圆的半径.20.(8分)如图所示,在△ABC中，AB=AC,∠A=30°,，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE,过点 B作BP 平行于DE,交⊙O于点P,连结OP,CP.(1)求证:BD=DC;(2)求∠BOP的度数.21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,C是.AE的中点，CD⊥AB于点D,交AE于点F,连结AC.求证:AF=CF.22.(10分)如图,A,P,B,C是⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°.(1) 试判断△ABC是否为等边三角形? 为什么?(2)若⊙O的半径OD⊥BC于点E，BC=8,，求⊙O的半径长.23.(10分)如图,在△ABC中，AB=AC,E在AC上,经过A,B,E三点的⊙O交BC 于点D,且.BD= DE.(1)求证:AB为⊙O的直径;(2)若AB=8,∠BAC=45°,，求阴影部分的面积.24.(12分)如图,点A,B,C是⊙O上的三点,AB∥OC.(1)求证:AC平分∠OAB;(2)如图,过点O作(OE⊥AB于点E,交AC于点 P.若AB=2,∠AOE=30°,求 PE的长.第3章测试卷 圆的基本性质1. B2. C3. B4. B5. C6. A7. D8. A9. C 10. C 11. 6 12. 3 13. 6π14 12 15. π 16. 9017. 解:由 S =12l ⋅R 得 l =2S R =2×106=103π(cm ).18. 解:(1)如图, △A₁B₁C₁即为所求作的三角形.(2)如图, △A₂B₂C₂即为所求作的三角形.19. 解:(1)如图1所示,点 O 即为所求;(2)如图2 所示,取 AB 的中点D ，连结OD 交AB 于点 E,连结OA,则 OD ⊥AB,且AE=EB=4米,由题意得，DE=3米，设圆的半径为r 米，在 Rt△AEO 中, AE +EO²=OA²,即 4²+(r−3)²=r²,解得 r =256.即拱桥AB 所在圆的半径为 256米.20. (1)证明:如图,连结 AD.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD. (2)解:∵∠BAC= 30°,AB= AC,∴ ∠ABC =12×(180∘−30∘)=75°.∵四边形 ABDE 为圆O 的内接四边形,∴∠EDC=∠BAC=30°.∵BP∥DE,∴∠PBC=∠EDC=30°,∴∠OBP=∠ABC--∠PBC=45°.∵OB =OP,∴∠OPB=∠OBP=45°,∴∠BOP =90°21. 证明:延长CD 交⊙O 于点 H,∵C 是 AE 的中点， ∴AC =CE ,∵CD ⊥AB,∴AC =AH ,∴CE =AH ,∴∠ACD=∠CAE,∴AF=CF.22. 解:(1)△ABC 是等边三角形.理由:∵∠BAC=∠APC=60°,又∵∠APC=∠ABC,∴∠ABC=60°,∴∠ACB =180°−∠BAC−∠ABC =180°− 60°−60°=60°,∴△ABC 是等边三角形. (2)如图，连结OB,∵△ABC 为等边三角形,⊙O 为其外接圆，∴BO 平分∠ABC,∴∠OBC=30°,∵OD ⟂BC,∴BD =CD,BE =CE = 4,∠BOD =60∘,∴OE =433, OB =833.∴OO|的半径长 833.23. (1)证明:如图,连结.AD, ∵⌢BD =DE ,∴∠BAD =∠CAD.又∵AB = AC, ∴AD ⊥ BC, ∴∠ADB=90°,∴AB 为⊙O 的直径. (2)解:∵AB 为⊙O 的直径，∴O 在AB 上，如图，连结OE,∵AB=8,∠BAC=45°,∴∠AOE=∠BOE= ∴1∘∴AB =8,∴BO =EO =4,S 扇形AOE =90×π×42360 =4π,S BOE =12OB 2=12×16=8,∴S 阴影=S BOE24. (1)证明:∵AB∥OC,∴∠C=∠BAC.∵OA=OC,∴∠C=∠OAC,∴∠BAC=∠OAC,即AC 平分∠OAB. (2)解: COE⟂AB,∴AE =BE =12AB =1,又∵∠AOE 、30°,∠PEA=90°,∴∠OAE= 60∘,∴∠EAP =3∠OAE =30∘,∴PE =12PA.设PE=x,则 PA=2x,根据勾股定理得 x²+1²=(2x)²,解得 x =33,∴PE =33.。

建兰中学九年级上数学试卷第三章 圆的基本性质（3.1—3.7）测试一、选择题（每题4分，共28分）1、在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2，下列说法中不正确的是（ ）A 、当a ＜5时，点B 在⊙A 内B 、当1＜a ＜5时，点B 在⊙A 内C 、当a ＜1时，点B 在⊙A 外D 、当a ＞5时，点B 在⊙A 外2、下列命题中不正确的是（ ）A 、圆有且只有一个内接三角形B 、三角形只有一个外接圆C 、三角形的外心是这个三角形任意两边的垂直平分线的交点D 、等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点3、⊙O 内一点M 到圆的最大距离为10cm ，最短距离为8cm ，那么过M 点的最短弦长为（ ）A 、1cmB 、cmC 、cmD 、9cm58414、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm ，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，则圆心O 到弦AD 的距离是（ ）A 、cmB 、cmC 、cmD 、cm 6103252（第4题图） （第5题图） （第6题图） （第7题图）5、如图所示，以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB 的延长线交大圆于C ，若AB ＝3，BC ＝1，则与圆环的面积最接近的整数是（ ）A 、9B 、10C 、15D 、136、如图，圆上由A 、B 、C 、D 四点，其中∠BAD ＝80°，若，的长度分别为，⌒ ABC⌒ ADC 7，则的长度为（ ）π11⌒ BADA 、B 、C 、D 、π4π8π10π157、如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a ＞2），半径为2，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为，则a 的值是（ ）32A 、 B 、 C 、 D 、32222+22+32+二、填空题（每题4分，共60分）8、如图，⊙O 的半径OA ＝6，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B 、C ，则BC 的长是 ．（第8题图） （第9题图） （第12题图）9、如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则⌒ CD∠ABD ＋∠CAO ＝ ．10、已知，A 、B 、C 是⊙O 上不同的三点，∠AOC ＝100°，则∠ABC ＝．11、在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于点E ，且∠AEC ＝30°，AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，那么弦CD 的弦心距OF ＝ cm ，弦CD 的长为 cm ．12、如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P 在校量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为 （只需写出0°~90°的角度）．13、如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则AC ＝ ，BC ＝ ．（第13题） （第14题） （第15题）14、在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽的直径MN 为 ．15、如图AB 、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦，∠AOC ＝130°，AD 、CB 的延长线相交于点P ，∠P ＝ ．16、如图，弦AB 、CD 相交于点E ，＝60°，＝40°，则∠AED ＝ ．AD ⌒ BC ⌒（第16题图） （第17题图） （第18题图） （第19题图）17、如图，弦CD ⊥AB 于P ，AB ＝8，CD ＝8，⊙O 半径为5，则OP 的长为 ．18、如图，矩形ABCD 的边AB 过⊙O 的圆心，E 、F 分别为AB 、CD 与⊙O 的交点，若AE ＝3cm ，AD ＝4cm ，DF ＝5cm ，则⊙O 的直径等于 ．19、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AO ⊥BC 于F ，D 为的中点，E 是BA 延长线上一AC ⌒ 点，∠DAE ＝114°，则∠CAD 等于 ．20、半径为R 的圆内接正三角形的面积是 ．21、一个正多边形的所有对角线都相等，则这个正多边形的内角和为 ．22、AC 、BD 是⊙O 的两条弦，且AC ⊥BD ，⊙O 的半径为，则的值为 2122CD AB ．三、解答题（共32分）23、（10分）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，OC ⊥AB ，有一艘宽3m ，船舱顶部为正方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？24、（10分）已知，如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD ．（1）求证：∠DAC ＝∠DBA ；（2）求证：P 是线段AF 的中点．25、（12分）如图，AD 是⊙O 的直径．（1）如图①，垂直于AD 的两条弦，把圆周4等分，则∠的度数是 11C B 22C B 1B ，∠的度数是 ．2B （2）如图②，垂直于AD 的三条弦，，把圆周6等分，分别求11C B 22C B 33C B ∠，∠，∠的度数；1B 2B 3B （3）如图③，垂直于AD 的n 条弦，，，…，把圆周2n 等分，11C B 22C B 33C B n n C B 请你用含n 的代数式表示∠的度数（只需直接写出答案）．n B参考答案1~7：AABBDCC8、 9、48° 10、50°或130° 11、1cm cm 12、50°362413、 14、10分米 15、40° 16、50° 17、215-215+2318、10cm 19、38° 20、 21、360°或540° 22、12433R23、解：如图，连接ON ，OB ，∵OC ⊥AB ，D 为AB 中点，∵AB ＝7.2m ，∴BD ＝AB ＝3.6m ，又∵CD ＝2.4m ，21设OB ＝OC ＝ON ＝r ，则OD ＝（r －2.4）m ，在Rt △BOD 中，根据勾股定理得：，解得：r ＝3.92226.3)4.2(+-=r r ∵CD ＝2.4m ，船舱顶部为正方形并高出水面2m ，∴CH ＝2.4－2＝0.4m ，∴OH ＝r －CH ＝3.9－0.4＝3.5m ，在Rt △OHN 中，，96.25.39.3OH ON HN 22222=-=-=∴HN ＝m ，∴MN ＝2HN ＝2×≈3.44m ＞3m ．96.296.2∴此货船能顺利通过这座桥．24、证明：（1）∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA ，∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA ．（2）∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，又∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE +∠EDB =∠ABD +∠EDB =90°，∴∠ADE =∠ABD =∠DAP ，∴PD =PA ，又∵∠DFA +∠DAC =∠ADE +∠PDF =90°且∠ADE =∠DAP ，∴∠PDF =∠PFD ，∴PD ＝PF ，∴PA ＝PF ，即P 是点段AF 的中点．25、（1）∠＝22.5°，∠＝67.5°；（2）∠＝15°，∠＝45°，∠＝75°；1B 2B 1B 2B 3B （3）把圆周2n 等分，则弧的度数是，则∠＝，n n C B D B n n 4360︒AD B n n 8360︒∴∠＝90°－＝90°－n B n 8360︒n ︒45。

3.4　圆心角第1课时　圆心角定理基础过关全练知识点1　圆的中心对称性和旋转不变性1.下列说法中,不正确的是( )A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴2.如图,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形MNEF各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π知识点2　圆心角的定义及其定理3.如图,下列角中不是☉O的圆心角的是( )A.∠AOBB.∠AODC.∠BODD.∠ACD4.【教材变式·P85作业题T2】如图,A、B、C、D是☉O上的点,∠1=∠2,给出下列结论:①AB=CD;②BD=AC;③AC=BD;④∠BOD=∠AOC.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.【新独家原创】如图,AB是☉O的直径,AB=8,∠AOC=∠COD=60°,则四边形OACD的面积为 .6.如图,在☉O中,D、E分别为半径OA、OB上的点,且AD=BE.C为弧AB上一点,连结CD、CE、CO,且CD=CE.求证:C为AB的中点.知识点3　圆心角的度数与它所对弧的度数的关系7.(2023浙江杭州西湖期中)在☉O中,弦AB等于圆的半径,则它所对的劣弧的度数为( )A.120°B.75°C.60°D.30°8.如图,☉O经过五边形OABCD的四个顶点A,B,C,D,若∠AOD=150°,∠A=65°,∠D=60°,则BC的度数为 °.能力提升全练9.【易错题】(2023浙江宁波北仑期中,16,★★☆)在半径为1的圆中,2的弦所对的弧的度数为 .10.【一题多解】(2023江苏常州新北月考,16,★★☆)如图,在☉O中,∠AOC=2∠BOD,则AC 2BD.(填“>”“<”或“=”)()11.如图,平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB长为半径的圆分别交AD、BC于F、G,延长BA交圆A于E,连结EF.(1)求证:EF=FG;(2)当∠ADC为多少度时,四边形GCDF为平行四边形?为什么?素养探究全练12.【推理能力】如图,AB是☉O的直径,已知AB=2,C,D是☉O上的两点,且BC+BD=2AB,M是AB上的一点,则MC+MD的最小值3是 .13.【推理能力】如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,MC ⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上.(1)求证:AM=BN;(2)若点C,D分别为OA,OB的中点,则AM=MN=BN成立吗?请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.D　圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以A说法正确;圆是一个特殊的中心对称图形,它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合,所以B说法正确;圆的对称轴是过圆心的直线,这样的直线有无数条,对称中心只有一个,是圆心,所以C说法正确;直径是线段而不是直线,不能说直径是圆的对称轴,所以D说法错误.故选D.2.D　利用圆和正方形的对称性,可知阴影部分的面积恰为大圆面积π×(4÷2)2=π.的四分之一,即S阴影=143.D　根据圆心角的定义可知∠AOB、∠AOD、∠BOD都是圆心角,∠ACD不是圆心角,故选D.4.D　∵∠1=∠2,∴AB=CD,∠DOB=∠AOC,∴BD=AC,AC=BD,∴①②③④均正确,故选D.5.答案　83解析　∵∠AOC=∠COD=60°,OA=OC,OC=OD,∴△AOC和△COD都为等边三角形,∴AC=OA=OC=OD=CD,∠OAC=60°,∴四边形OACD为菱形,∴OC⊥AD,∠OAD=∠CAD=30°,∵AB=8,∴OA=OC=4,∵△OAC 为等边三角形,AE ⊥OC ,∴OE =12OC =2,∴AE =42―22=23,∴AD =2×23=43,∴S 菱形OACD =12OC ·AD =12×4×43=83.6.证明　∵OA =OB ,AD =BE ,∴OD =OE ,在△OCD 和△OCE 中,OD =OE ,CD =CE ,OC =OC ,∴△OCD ≌△OCE (SSS ),∴∠COD =∠COE ,∴AC =BC ,即C 为AB 的中点.7.C 如图,连结OA 、OB ,∵OA =OB =AB ,∴△OAB 为等边三角形,∴∠AOB =60°,∴AB 的度数为60°,即弦AB 所对的劣弧的度数为60°.故选C .8.答案　40解析　如图,连结OB 、OC ,∵OA=OB=OC=OD,∴∠OBA=∠A=65°,∠OCD=∠D=60°,∴∠AOB=180°-2×65°=50°,∠COD=180°-2×60°=60°,∴∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠COD=150°-50°-60°=40°,∴BC的度数为40°.能力提升全练9.答案　90°或270°解析　如图,☉O的半径为1,弦AB=2,连结OA、OB,∵OA=OB=1,AB=2,∴OA2+OB2=AB2,∴△OAB为等腰直角三角形,∴∠AOB=90°,∴AB的度数为90°,ACB的度数为270°,即弦AB所对的弧的度数为90°或270°.10.答案　<解析　解法一:如图,以OD为边作∠DOE=∠BOD,OE与☉O交于点E,连结BE、ED,则∠BOE=2∠BOD,BD=DE,∵∠AOC=2∠BOD,∴∠AOC=∠BOE,∴AC=BE,在△BDE中,BE<BD+ED=2BD,∴AC<2BD.解法二:如图,作∠AOC的平分线交☉O于点E,连结AE、CE,∴∠AOC=2∠AOE=2∠COE,∵∠AOC=2∠BOD,∴∠AOE=∠COE=∠BOD,∴AE=CE=BD,在△ACE中,AC<AE+CE=2BD,∴AC<2BD.11.解析　(1)证明:如图,连结AG,∵AB=AG,∴∠ABG=∠AGB,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AGB=∠DAG,∠EAD=∠ABG,∴∠DAG=∠EAD,∴EF=FG.(2)当∠ADC为60°时,四边形GCDF为平行四边形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=60°,∴∠B=60°,∠BAD=120°,AD=BC,AD∥BC,∵AB=AG,∴△ABG是等边三角形,∴∠BAG=60°,BG=AG,∵AF=AG,∴AF=BG,∴DF=CG,又∵DF∥CG,∴四边形GCDF为平行四边形.素养探究全练12.答案　3解析　如图,过D作DD'⊥AB于H,交☉O于D',∴BD=D′B,∵BC +BD =23AB ,∴CD′=BC +BD′=23AB,∵AB 的度数为180°,∴CD′的度数为180°×23=120°,∴∠COD'=120°,连结CD'交AB 于M ,此时MC +MD 的值最小,为线段CD'的长,过O 作ON ⊥CD'于N ,交☉O 于点G ,连结CG ,则CN =ND'.∵OC =OD',∴∠OCD'=∠OD'N =30°.∴∠COG =60°,∵OC =OG ,∴△OCG 为等边三角形,∵CN ⊥OG ,∴ON =12OG ,∵OG =OC =12AB =1,∴ON =12,∴CN=32,∴CD'=3,∴MC +MD 的最小值是3.13.解析　(1)证明:如图,连结OM ,ON.∵OA =OB ,AC =BD ,∴OA -AC =OB -BD ,∴OC =OD.∵MC ⊥AB ,ND ⊥AB ,∴∠OCM =∠ODN =90°,又∵OM =ON ,∴Rt △OCM ≌Rt △ODN ,∴∠AOM =∠BON ,∴AM =BN .(2)成立.理由如下:如图,连结AM,BN,∵C为OA的中点,MC⊥AB,∴AM=OM,又∵OA=OM,∴△AOM为等边三角形,∴∠AOM=60°.同理可得∠BON=60°,∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON=60°,∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°,∴AM=MN=BN.。

浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元测试卷-带参考答案一、单选题1．如图，图中的弦共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为( 3，1)，将OA 绕原点O 按逆时针方向旋转90°得OB ，则点B 的坐标为（ ）A ．(1， 3 )B ．(-1， 3)C ．(- 3 ，1)D ．( 3 ，-1)3．如图，⊙O 的直径为10，AB 为弦，OC ⊙AB ，垂足为C ，若OC ＝3，则弦AB 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．104．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A 、B 、C 上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是⊙ABC 的（ ）A ．三条高的交点B ．重心C ．内心D ．外心5．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，已知⊙AOB=100°，那么⊙ACB 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°6．半径为 a 的圆的内接正六边形的边心距是（ ）A ．2aB ．22aC 3aD ．a7．如图所示，在O 中30AB AC A ︒=∠=，，则B ∠的度数为（ ）.A．150︒B．75︒C．60︒D．15︒8．下列语句中，正确的有( )(1)相等的圆心角所对的弧相等；(2)平分弦的直径垂直于弦；(3)长度相等的两条弧是等弧(4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴A．0个B．1个C．2个D．3个9．下列说法不正确的是（）A．过不在同一直线上的三点能确定一个圆B．平分弦的直径垂直于弦C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形D．相等的弧所对的弦相等10．如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，将⊙ABC绕顶点C逆时针旋转得到⊙A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，⊙BAC＝30°，则线段PM的最大值是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题11．如图，在梯形ABCD中，AD⊙BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经过点C，那么旋转角等于度．12．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且⊙EDF=45°，将⊙DAE绕点D逆时针旋转90°，得到⊙DCM．若AE=1，则FM的长为．13．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD 于点E．若AB=6，则⊙AEC的面积为．14．如图，在扇形BOC中，⊙BOC＝60°，点D是BC的中点，点E，F分别为半径OC，OB上的动点.若OB＝2，则⊙DEF周长的最小值为.三、解答题15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=BD.16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于E，⊙CDB＝30°，CD＝3，求阴影部分的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，⊙ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）请画出⊙A1B1C1，使⊙A1B1C1与⊙ABC关于x轴对称；（2）将⊙ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的⊙A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．18．如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，⊙APC=⊙CPB=60°.判断⊙ABC 的形状，并证明你的结论；19．如图，射线PG 平分⊙EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与⊙EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA⊙PE（1）求证：AP=AO ；（2）若弦AB=12，求tan⊙OPB 的值．四、综合题20．如图，在⊙ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 相交于点D ，E ，BD ＝CD ，过点D 作⊙O 的切线交边AC 于点F.（1）求证：DF⊙AC ；（2）若⊙O 的半径为5，⊙CDF ＝30°，求弧BD 的长(结果保留π)．21．如图，在 O 中 AC CB = ， CD OA ⊥ 于点D ， CE OB ⊥ 于点E.（1）求证： CD CE = ；（2）若 120,2AOB OA ∠=︒= ，求四边形 DOEC 的面积.22．如图，将矩形ABCD 绕点B 旋转得到矩形BEFG ，点E 在AD 上，延长DA 交GF 于点H.（1）求证：ABE FEH ≅；（2）连接BH ，若30EBC ∠=︒，求ABH ∠的度数.23．如图1，⊙O 的直径AB 为4，C 为⊙O 上一个定点，⊙ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧 AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点.（1）求证：⊙ABC⊙⊙PDC（2）如图2，当点P 到达B 点时，求CD 的长；（3）设CD 的长为 x .在点P 的运动过程中， x 的取值范围为（请直接写出案）.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条故答案为：B.【分析】由连接圆上任意两点间的距离就是弦即可判断得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】过点B作BC⊙x轴于点C，过点B作BC⊙y轴于点F∵点A的坐标为( 3，1)，将OA绕原点O逆时针旋转90°到OB的位置∴BC 3=，CO=1∴点B的坐标为：(﹣1，3).故答案为：B.【分析】先根据旋转的性质作图，利用图象则可求得点B的坐标.3．【答案】A【解析】【解答】解：连接OA∵OA＝5，OC＝3，OC⊙AB∴AC＝22-＝4OA OC∵OC⊙AB∴AB＝2AC＝2×4＝8．故答案为：A．【分析】连接OA，利用勾股定理求出AC的长，根据垂径定理可得AB＝2AC，从而求出AB的长. 4．【答案】D【解析】【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等∴凳子应放在⊙ABC 的三条垂直平分线的交点最适当．故答案为：D ．【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．5．【答案】C【解析】【解答】解：∵⊙AOB 与⊙ACB 都对 AB ，且⊙AOB=100°∴⊙ACB= 12 ⊙AOB=50°故选C【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．6．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接OA 、OB ，过点O 作OH 垂直AB 于点H ，OH 即为正六边形边心距.∵六边形ABCDEF 为正六边形∴60AOB ∠=︒ ，OA=OB=AB=a ，AH=BH= 2a ∴2222233()24aOH OA AH a a =-=-== 即半径为 a 3a . 故答案为：C.【分析】连接OA 、OB ，过点O 作OH 垂直AB 于点H ，OH 即为正六边形边心距，根据正六边形的性质用勾股定理可求解.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB AC =∴AB=AC∴⊙B=⊙C=12（180°-⊙A）=12（180°-30°）=75°.故答案为B：.【分析】利用同圆和等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得AB=AC，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出⊙B的度数.8．【答案】A【解析】【解答】(1)、不符合题意，需要添加前提条件，即在同圆或等圆中；(2)、不符合题意，平分的弦不能是直径；(3)、不符合题意，等弧是指长度和度数都相等的弧；(4)、不符合题意，圆的对称轴是直径所在的直线.故答案为：A.【分析】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，据此判断（1）；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断（2）；能重合的弧叫做等弧，据此判断（3）；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，据此判断（4）.9．【答案】B【解析】【解答】解：A、过不在同一直线上的三点能确定一个圆，正确，不符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，符合题意；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不符合题意；D、相等的弧所对的弦相等，正确，不符合题意.故答案为：B.【分析】根据确定圆的条件可判断A；根据垂径定理可判断B；根据轴对称图形、中心对称图形的概念可判断C；根据弧、弦的关系可判断D.10．【答案】B【解析】【解答】解：如图连接PC．在Rt⊙ABC中，∵⊙A＝30°，BC＝2∴AB＝4根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4∴A′P＝PB′∴PC＝12A′B′＝2∵CM＝BM＝1又∵PM≤PC+CM，即PM≤3∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：B．【分析】连接PC，根据⊙A＝30°，BC＝2，可知AB的值，根据旋转的性质可知A′B′＝AB，进而可知A′P、PB′、PC的知，结合图形和三角形三边关系即可得出PM的取值范围，进而可知P、C、M共线时，PM值最大，即可选出答案.11．【答案】60【解析】【解答】解：连接CC′，如图所示：则B′、C′、C在一条直线上由旋转的性质得：⊙1=⊙2，DC′=DC∴⊙3=⊙4∵A′D′⊙B′C′∴⊙2=⊙3∴⊙1=⊙3=⊙4∴⊙CDC′是等边三角形∴⊙CDC′=60°；故答案为：60．【分析】根据旋转的性质“对应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转的角度”可求解。

【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年九上数学第3章圆的基本性质测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠AFB=（）A．54°B．63°C．72°D．81°【答案】C【解析】∵正五边形ABCDE内角和为：180°(5−2)=540°，AB=AE，AE=ED∴∠BAE=∠AED=540°5=108°，∵AB=AE，AE=ED，∴∠AEB=∠ABE=12(180°−∠EAB)=36°，∠EAD=∠ADE=12(180°−∠AED)=36°，∴∠EAF=∠AEF=36°，∴∠AFB=∠EAF+∠AEF=72°.故答案为：C.2．如图，在平面直角坐标系中，C(0，4)，A(3，0)，⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）A．1B．32C．2D．√2【答案】B【解析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH.∵CE=EP，CH=AH，∴EH=12PA=1，∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，∵C(0，4)，A(3，0)，∴H(1.5，2)，∴OH =√22+1．52=2.5 ，∴OE 的最小值 =OH −EH =2.5−1=1.5 ， 故答案为：B. 3．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边 △ABC ，分别以点A ，B ，C 为圆心，以 AB 长为半径作 BC⌢ ， AC ⌢ ， AB ⌢ ，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形.如果一个曲边三角形的周长为 2π ，则此曲边三角形的面积为（ ）A ．2π−2√3B ．2π−√3C ．2πD ．π−√3 【答案】A【解析】∵区别三角形的周长为2π，等边三角形ABC ， ∴BC ⌢=AC ⌢=AB ⌢=2π3，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∴2π3=60π·BC 180， ∴BC=2，∴S 扇形ABC =12×2π3×2=2π3，S ABC =12×2×√3=√3， ∴S 曲边三角形=S ABC +3（S 扇形ABC -S ABC ）=√3+3×2π3-3√3=2π-2√3.故答案为：A.4．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =6，点D ，E 分别在AC 和BC 上，CD =2，若以DE 为直径的⊙O 交AB 的中点F ，则⊙O 的直径是（ ）A ．2√3B ．2C ．2√5D ．5【答案】C【解析】作FG ⊥AC ，FH ⊥CB ，垂足分别为G 、H ，如图则四边形BCGF 是矩形，AC//FH ，CB//FG ， ∵AC =BC =6，点F 是AB 的中点，∴CG =CH =GF =HF =12×6=3，∴四边形BCGF 是正方形， ∴∠GFH=90°，∵DE 是直径，则∠DFE=90°，∴∠DFG +∠DFH =∠DFH +∠EFH =90°，∴∠DFG=∠EFH，∵∠DGF=∠EHF=90°，GF=HF=3，∴△DFG≌△EFH，∴DF=EF，∵在直角△DFG中，DG=3−2=1，GF=3，∴DF=√12+32=√10=EF，在直角△DEF中，DE=√(√10)2+(√10)2=2√5；故答案为：C.5．如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为()A．cosθ(1+cosθ)B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ)D．sinθ(1+cosθ)【答案】D【解析】当△ABC的高经过圆心时即点A和点A′重合时，此时△ABC的面积最大，∵A′D⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中，BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ∴S△ABC=12BC·AD=12×2sinθ(1+cosθ)=sinθ(1+cosθ).故答案为：D.6．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝4 √3，∠CAB＝75°，则AB的长是（）A．8 √3B．4 √3C．8D．4【答案】C【解析】过点O作OE⊥CD交于点E，连接OC，则CE=DE=12CD=2√3，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB＝75°，∴∠CBA=90°-∠CAB=15°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠CBA=15°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=12∠ACB=45°，∴∠OCE=∠BCD−∠OCB=45°−15°=30°，设OE=x，则OC=2x，在Rt△OCE中，由勾股定理得，OC2=OE2+CE2，(2x)2=x2+(2√3)2解得x1=2，x2=−2（舍），∴OC=4，∴AB=2OC=2×4=8，故答案为：C．7．如图，⊙O的半径为√5，其中BC⌢=AD⌢，∠CDE＝30°，AD＝2，则弦BE的长为（）A．3B．3.5C．52√2D．2+√3【答案】D【解析】连接OC，OE，BC、CE，∵BC⌢=AD⌢，∴BC=AD=2，∵∠CDE=30°，∴∠COE=60°，∠CBE=∠CDE=30°，∴△OCE是等边三角形，∴CE=√5，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ，在Rt △BCH 中，CH=12BC=1，BH=√22−12=√3，在Rt △CEH 中，HE ＝√(√5)2−12＝2，∴BE ＝2+√3.故答案为： D.8．如图，点A ，B ，C ，D 都在 ⊙O 上， BD 交 AC 于点E ， BC⌢=CD ⌢，CE =1，BC =2 ，则 AE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】∵BC ⏜=CD ⏜，∴∠A=∠EBC ，∵∠BCE=∠ACB ， ∴△BCE ∽△ACB ， ∴AC BC =BC CE 即AC 2=21 解之：AC=4，∴AE=AC-CE=4-1=3. 故答案为：B.9．如图1，是清代数学家李之铉在他的著作《几何易简集》中研究过的一个图形，小圆同学在研究该图形后设计了图2，延长正方形ABCD 的边BC 至点M ，作矩形ABMN ，以BM 为直径作半圆O 交CD 于点E ，以CE 为边做正方形CEFG ，G 在BC 上，记正方形ABCD ，正方形CEFG ，矩形CMND 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1S 2+S 3=（ ）A ．3+√54B ．1+√52C ．3+√24D ．1+√22【答案】A【解析】连接BF 、ME 、BE ，如图，∵EF ∥BM ， ∴BF⌢=ME ⌢， ∴BF ＝ME ，∵∠BGF ＝∠MCE ＝90°，GF ＝CE ， ∴Rt △BGF ≌Rt △MCE （HL ）， ∴BG ＝CM ，∵BM 是⊙O 的直径， ∴∠BEM ＝90°，∴∠CEM+∠CEB ＝∠CEM+∠CME ＝90°， ∴∠CEB ＝∠CME ， ∵∠BCE ＝∠ECM ＝90°， ∴△BCE ∽△ECM ，∴CE CB =CM CE，即CE 2＝CB•CM ， 设正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，BG ＝CM ＝c ， 则{b =a −c b 2=ac，∴（a ﹣c ）2＝ac ， 整理得，a 2+c 2＝3ac ， 即a c +ca =3，∴a c =3+√52，或a c =3−√52 ∵a ＞c ，∴a c =3−√52舍去， ∴S 1S 2+S 3=a 2b 2+ac =a 2ac+ac =a 2c =3+√54， 故答案为：A. 10．如图， △ABC 是⊙O 的内接三角形，将劣弧AC 沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点 D ．若 AC=6，∠C=60°，则⊙O 的半径长为（ ）A ．13√7B ．23√7C ．13√21D ．23√21【答案】D【解析】如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A ，O′D ，∴∠AO′D ＝2∠ACB ＝120°， 连接OA ，OB ，同理：∠AOB ＝120°， ∴∠AOB ＝∠AO′D ， ∵⊙O 与⊙O′是等圆， ∴AB ＝AD ，设⊙O 的半径为R ， 过O 作OG ⊥AB 于G ， ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°，AB ＝2AG ， ∴OG ＝12OA ＝12R ，∴AG=√OA 2−OG 2=√32R ，∴AB ＝2AG ＝√3R ，如图2，过A 作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AD ，∴设BM ＝DM ＝x ，则BD ＝2x ， ∵D 为BC 的中点， ∴CD ＝BD ＝2x ，∴MC ＝DM+CD ＝3x ， ∵AM ⊥BC ，∠ACB ＝60°， ∴∠MAC ＝30°，在Rt △AMC 中，MC ＝12AC ＝3，∴3x ＝3， ∴x ＝1，∴AM ＝√AC 2−NC 2=3√3，BM ＝x ＝1， 在Rt △ABM 中，AB ＝√AM 2−BM 2=2√7， ∵AB ＝√3R ，∴R=2√213.故答案为：D.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．已知A 为⊙O 外一点，若点A 到⊙O 上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O 的半径为 ． 【答案】1【解析】∵点A 在圆外，点A 到⊙O 上的点的最短距离为2，最长距离为4，∴⊙O 的半径为（4-2）÷2=1. 故答案为：1.12．如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，点E 为边BC 的中点，以点A 为圆心的弧经过点C ，分别与AD 、AE 的延长线交于点F 、G ，则弧FG 的长是 ．（结果保留π）【答案】√54π或√5π4【解析】如图，连接AC由题意知， BE =CE =12BC =1∴BE =AB由矩形的性质可知∠BAD =∠B =90° ∴∠BAE =45°在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =√AB 2+BC 2=√5 ∴FG⌢=45×π×√5180=√54π 故答案为：√54π．13．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，且CD ∥AB ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，AD ，BC ．若∠COD +∠AOB =180°，AB =2√3，OA =2，则AD 的长是 ．【答案】√2+√6 【解析】如图，过点A 作AE ⊥AB 交DC 的延长于E ，连接AC ，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，过点O 作OG ∥CD∵AB =2√3，OA =2，∴AF =√3，AO =2∴cos∠OAB =AF AO =√32∴∠OAB =30° ∵AO =BO ∴∠AOB =120°∵∠COD +∠AOB =180°∴∠COD =60°∴△COD 是等边三角形，∴CO =AO =2∵CD ∥AB ，OG ∥CD∴OG ∥AB∴∠DOC =∠COG ，∠FAO =∠AOG∴∠COA =∠COG +∠AOG =∠OCD +∠FAO =30°+60°=90°∴△ACO 是等腰直角三角形∴AC =√2AO =2√2∵AC⌢=AC ⌢ ∴∠ADC =12∠AOC =45° ∴△EAD 是等腰直角三角形∴AD =√2AE ，ED =AE设EC =a ，则AF =CD +EC =2+a 在Rt △AEC 中，AE 2+EC 2=AC 2 ∴(2+a)2+a 2=(2√2)2解得a =√3−1或a =−√3−1∴AF =2+a =√3+1 ∴AD =√2AF =√2+√614．如图，AB ，CD 是⊙O 的直径，弦BE 与CD 交于点F ，F 为BE 中点，AF ∥ED ．若AF =2√3，则BC 的长为 ．【答案】2√6【解析】如图，连接AE ．∵F 为BE 中点，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥BE ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴AE ⊥BE ， ∴AE ∥DF ． ∵AF ∥ED ，∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴AE =DF ．∵F 为BE 中点，O 为AB 中点，∴OF 为△ABE 中位线， ∴AE =2OF ．设OF =x ，则AE =DF =2x ， ∴OD =OF +DF =x +2x =3x ， ∴AB =2OD =6x ，∴BE =√AB 2−AE 2=√(6x)2−(2x)2=4√2x ，∴EF =12BE =2√2x ．∵AF 2=AE 2+EF 2，∴(2√3)2=(2x)2+(2√2x)2， 解得：x 1=1，x 2=−1（舍），∴OF =1，BF =2√2，OC =OD =3， ∴CF =OF +OC =4，∴BC =√CF 2+BF 2=√42+(2√2)2=2√6．故答案为：2√6．15．如图，AB 是半圆O 的直径，D 是半圆O 上一点，C 是 BD⌢ 的中点，连结AC 交BD 于点E ，连结AD ，若BE ＝4DE ，CE ＝6，则AB 的长为 .【答案】4√10【解析】如图，连接OC 交BD 于K.∵CD̂=BC ̂ ， ∴OC ⊥BD ， ∵BE ＝4DE ，∴可以假设DE ＝k.BE ＝4k ，则DK ＝BK ＝2.5k ，EK ＝1.5k ， ∵AB 是直径，∴∠ADK ＝∠DKC ＝∠ACB ＝90°， ∴AD ∥CK ，∴AE ：EC ＝DE ：EK ， ∴AE ：6＝k ：1.5k ， ∴AE ＝4，∵△ECK ∽△EBC ， ∴EC 2＝EK•EB ，∴36＝1.5k×4k ， ∵k ＞0， ∴k ＝ √6 ，∴BC ＝ √BE 2−EC 2 ＝ √96−36 ＝2 √15 ，∴AB ＝ √AC 2+BC 2 ＝ √102+(2√15)2 ＝4 √10 .故答案为：4 √10 . 16．如图，在 ⊙O 中，弦 AB =1 ，点 C 在 AB 上移动，连接 OC ，过点 C 作 CD ⊥OC 交 ⊙O 于点 D ，则 CD 的最大值为 .【答案】12【解析】连接 OD ，如图，∵CD ⊥OC ， ∴∠DCO =90° ，∴CD =√OD 2−OC 2=√r 2−OC 2 ， 当OC 的值最小时， CD 的值最大，而OC ⊥AB 时， OC 最小，此时 OC =√r 2−(12AB)2 ，∴CD 的最大值为 √r 2−(r 2−14AB 2)=12AB =12×1=12.故答案为： 12.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图①，AE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的点，连结AC 并延长AC 至点D ，使CD=CA ，连结ED 交⊙O 于点B ．（1）求证：点C 是劣弧 AB̂ 的中点； （2）如图②，连结EC ，若AE=2AC=4，求阴影部分的面积． 【答案】（1）解：连接CE ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴CE ⊥AD ， ∵AC=CD ， ∴AE=ED ，∴∠AEC=∠DEC ， ∴BĈ=AC ̂ ； ∴点C 是劣弧 AB̂ 的中点； （2）连接BC ，OB ，OC ， ∵AE=2AC=4， ∴∠AEC=30°，AE=AD ， ∴∠AED=60°，∴△AED 是等边三角形， ∴∠A=60°，∵BĈ = AC ̂ ， ∴BÊ = BC ̂ = AC ̂ ， ∴AE ∥BC ，∠BOC=60°， ∴S △OBC =S △EBC ，∴S 阴影=S 扇形= 60⋅π×22360= 23 π．18．如图，DE 是△DBC 的外角∠FDC 的平分线，交BC 的延长线于点E ，DE 的延长线与△DBC 的外接圆交于点A ．（1）求证：AB =AC ；（2）若∠DCB =90°，sinE =√55，AD =4，求BD 的长．【答案】（1）证明：∵DE 是△DBC 的外角∠FDC 的平分线， ∴∠FDE =∠CDE ，∵∠ADB =∠ACB =∠FDE ，∠ABC =∠CDE ， ∴∠ABC =∠ACB ，∴AB =AC（2）解：∵∠DCB =90°， ∴∠DCE =∠BAD =90°，∴∠E +∠CDE =∠ABD +∠ADB =90°， ∵∠ADB =∠FDE =∠CDE ， ∴∠ABD =∠E ，∵sinE =√55，∴sin∠ABD =AD BD =√55， ∵AD =4， ∴BD =4√5．19．请阅读下列材料，并完成相应的任务。

第三章：圆的基本性质测试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.如图，已知AB 是⊙O 直径，BC 是弦，∠ABC=40°，过圆心O 作OD ⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB 为（ ）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°2.在下图4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1 ， 则其旋转中心可能是（ ）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D 3.如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，020=∠CAB ，则 =∠AOD ( ) A. 160° B. 150° C. 140° D. 120° 4.如图，⊙O 中，半径OC ⊥弦AB 于点D ，点E 在⊙O 上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB 等于（ ） A.2 B. 2 C. 22 D. 35.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若0144=∠AOD ，则=∠C A. 0140 B. 072 C. 0136 D. 01086.下列说法：①过三点可以作圆；②相等的圆心角所对的弧相等； ③在⊙O 内经过一点P 的所有弦中，以与OP 垂直的弦最短；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个7.如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A ，D 为圆心，以AB ，DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE.则图中阴影部分的面积是（ ） A.π3436-B.π3836-C.π34312-D.π38312- 8.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，若∠A=22.5°，24=AB ，则CD 的长为 （ ）A. 2B. 4C. 22D. 239.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A.52B. 53C.54D.5610.如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB=10，AC CD DB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=21∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM+DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO = 32°，则________=∠COB12.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠A ＝100°，则∠DCE 的度数为________13.如图，AB 是⊙O 的弦，AB=10，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M ，N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 长的最大值是________14.如图，AB 是⊙O 的弦，AB OC ⊥，垂足为点C ，将劣弧AB 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点D ，若 102=AB ，则⊙O 的半径为________15.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________.（结果保留π） 16.如图，水平地面有一个面积为120πcm 2的灰色扇形OAB ，其中OA 的长度为12cm ，且OA 与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图最左边的扇形向右滚动至点A 再一次接触地面时，则O 点移动的路径长为________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17（本题6分）如图所示，BC 为⊙O 的直径，弦AD ⊥BC 于E ，∠C=60°．求证：△ABD 为等边三角形．18.（本题8分）如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O 的正方形中心场地，若⊙O 的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）19（本题8分）.如图，已知等腰直角△ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径（1）求证：△APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求22PB PC +的值20（本题10分）.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，对角线AC 、BD 交于点E ，延长DA 、CB 交于点F ，且∠CAD ＝60°，DC ＝DE ．求证：（1）AB ＝AF ；（2）A 为△BEF 的外心21.（本题10分）已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB AC =，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，AE=BD ．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．22（本题12分）.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）若∠BAC=30°，求证：CD平分OB．（2）若点E为弧ADB的中点，连接0E，CE．求证：CE平分∠OCD．（3）若⊙O的半径为4，∠BAC=30°，则圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？请说明理由．23（本题12分）.如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF ⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE．（1）求证：BE＝BG；2，求CE的长．（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝7答案一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.答案：B解析：∵，∴，∵，∴∴，∴，故选择B2.答案：B解析：∵,,,故选择B3.答案：C解析：直径，∴，∵，，，，，故选择C4.答案：C解析：∵，∴，∴，∵，∴，在中，，故选择C5.答案：D解析：∵，，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴，∴，故选择D6.答案：B解析：∵①过不在同一直线上的三点可以作圆，故①不正确；∵在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故②错误；∵在⊙O内经过一点P的所有弦中，以与OP垂直的弦最短；故③正确；∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．故④正确，故选择B7.答案：B解析：∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴正六边形ABCDEF的面积是：，，∴图中阴影部分的面积是：，故选择：B8.答案：B解析：连接OC，∵直径，∴，∵直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选择B9.答案：C解析：∵两正方形内接于半圆，∴O是CE的中点，∵小正方形的面积为，∴，设，则，，∴①，②由①②得：，∴，故选择C10.答案：C解析：∵，点E是点D关于AB的对称点，∴，∴∠DOB=∠BOE=∠COD=，∴①正确；，∴②正确；∵的度数是60°，∴的度数是120°，∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，∵∠CED=30°，∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，连接CD，∵，并且弧的度数都是60°，∴∠D=，∠CFD=，∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，∴DF是⊙O的直径，即DF=AB=10，∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；答案为：C．二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.答案；解析：∵，，∴，∴12.答案：解析：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°。

图13一、填空题：1. 如图1，A B 是O 的直径， BCBD =，若50BOD ∠= ，则A ∠的度数为 ．图2. 如图2A,B,C 为O 上三点，若50OAB ∠=，则AC B ∠=度．4. 如图4，在O 中，50BOC OCAB ∠=，∥．则B D C ∠的度数为 ． 5. 如图5，A B C △内接于O ，30B ∠=，2cm A C =，则O 半径的长为6. 如图6，A B 为O 圆的直径，点为其半圆上任意一点（不含、），点Q 为另一半圆上一定点，若P O A ∠为度，PQB ∠为度．则与的函数关系是 ．7. 如图7，在100O AOB C AB ∠=中，，为优弧的中点，则C AB ∠=图图图1. 如图9，B D 是O 的直径，弦A C 与B D 相交于点，则下列结论一定成立的是（）Ａ．A B D A C D ∠=∠ Ｂ．A B D A O D ∠=∠ Ｃ．A O D A E D ∠=∠Ｄ．A B D B D C ∠=∠2. 如图10，四边形A B C D 内接于O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则B O D ∠=（）Ａ．35Ｂ．70图图123. 如图11，A C B 、、是O 圆上三点，若40AOC ∠=，则A B C ∠的度数是 （ ） Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．804. 如图12，O 圆中弧A B 的度数为60，A C 是O 圆的直径，那么B O C ∠等于（ ）A ．150B ．130C ．120D ．605. 如图13，圆心角∠AOB =120︒，P 是 AB 上任一点（不与A ，B 重合），点C 在A P 的延长线上，则∠BPC 等于（ ）A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒Ｃ ＡＢBＡＥ参考答案一、填空题：1. 如图1，A B 是O 的直径， BCBD =，若50BOD ∠= ，则A ∠的度数为 ．答案：25图3ＡＣ2. 如图2，，，C 为O 上三点，若50OAB ∠=，则AC B ∠=度．答案：403. 如图3，P A 、P B 是O 圆的切线，点、为切点，A C 是O 圆的直径，20BAC ∠=，则P ∠的大小是 度． 答案：404. 如图4，在O 中，50BOC OC AB ∠=，∥．则B D C ∠的度数为 ．答案：75图5. 如图5，A B C △内接于O ，30B ∠=，2cm A C =，则O 半径的长为答案：26. 如图6，A B 为O 圆的直径，点为其半圆上任意一点（不含、），点Q 为另一半圆上一定点，若P O A ∠为度，PQB ∠为度．则与的函数关系是 ． 答案：1902y x =-+7. 如图7，在100O AOB C AB ∠=中，，为优弧的中点，则C AB ∠=答案：65图8. 如图8，A B 是O 圆的弦，P A 是O 圆的切线，是切点，如果∠＝． 答案：60 二、选择题：1. 如图9，B D 是O 的直径，弦A C 与B D 相交于点，则下列结论一定成立的是（）Ａ．A B D A C D ∠=∠ Ｂ．A B D A O D ∠=∠Ｃ．A O D A E D ∠=∠Ｄ．A B D B D C ∠=∠ 答案：Ａ2. 如图10，四边形A B C D 内接于O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则B O D ∠=（）Ａ．35Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140答案：ＤPＣＡＡ B上三点，若40AOC∠= ，则A B C∠的度数是（）Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．40 Ｄ．80答案：B4. 如图12，O圆中弧A B的度数为60 ，A C是O圆的直径，那么B O C∠等于（）A．150 B．130 C．120 D．60答案：C5. 如图，圆心角∠AOB=120︒，P是 AB上任一点（不与A，B重合），点C在A P的延长线上，则∠BPC等于（）A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒答案：B三、解答题：1. 如图，在O中，已知60ACB CDB∠=∠= ，3A C=答案：92. 如图，已知在O中，直径A B为10cm，弦A C为6cm，∠C，A D和B D的长．答案：8B C=cm，AD=cm，BD=3. 如图，O的直径8cmA B=，45CBD∠= ，求弦C DＡＥ答案：连接O C ，O D ，则290COD CBD ∠=∠=，由已知得4cm O C O D ==，故C D ==．4. 如图，A B 为半圆O 的直径，弦A D ，B C 相交于点，若3C D =，4A B =，求sin A P C ∠的值．答案：连结A C ，BC D ∠=∠ C PD ∽△A P B ．34P C C D P AA B∴==，由A B 3x =，则4P A x =，AC ∴==，sin 44AC APC PAx∴∠===．5. 如图，已知半圆O 的直径4A B =，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上，当三角板绕着点O 转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C 、两点，连结A D 、B C 交于点．（１） 求证：A C E B D E △∽△； （２） 求证：BD D E =恒成立；（３） 设B D x =，求A E C △的面积与的函数关系式， 并写出自变量的取值范围．答案：．解：（１）A C D ∠ 与A D B ∠都是半圆所对的圆周角， 90,A C D A D B A E C D EB ∴∠=∠=∠=∠又（对顶角相等）．所以.AC E BD E △∽△（２）9090DOC AOC BOD ∠=∴∠+∠=， 45BAD ABC ∴∠+∠=45BED BAD ABC ∴∠=∠+∠=． 又90BDE ∠=，B E D ∴△是等腰直角三角形， B D D E ∴=．（３）B D x B D D E == ， ,,D E xA x A E A ∴=∴=- AOEDC,A C EB D E△∽△A E C∴△也是等腰直角三角形，)22AC AE x∴==．A C EB D E A C∴=△∽△，．)2221122y A C E C A C x x∴=⨯=-14(04)2x=-<<．（本题解答中，若用1452D BE D O C∠=∠= 来解答）6. 已知O圆的内接四边形A B C D中，A D B C∥．试判断四边形A B C D的形状，并加以证明．答案：（１）如图①，当A D B C=时，四边形A B C D为矩形．A DBC AD B C=∴∥，，四边形A B C D为平行四边形．四边形A B C D内接于.180.O B D∴∠+∠=90B D∴∠=∠= ．四边形A B C D为矩形．（２）如图②，当AD BC≠时，四边形A B C D为等腰梯形，.A DBC A B CD A B C D∴∴=∥，=，A DB C≠．四边形A B C D为等腰梯形．7. 如图，已知在半圆AO B中，30AD DC CAB=∠=，，AC=A D的长度．答案：解：A B为直径，90ACB∴∠= ，13060..2C A B A B C B C A C∠=∴∠=∴=，1.2AD D C AD D C AC BC AD=∴==∴=，．B C A D∴=．在A B CRt△中30C AB AC∠==，tanB C A C C A B=∠．tan302BC∴==．2AD∴=．图②ＯＢＡ。

2020 年秋浙教版九年级数学上册第 3 章圆的基本性质单元培优 测试卷解析版一、选择题（共 10 题；共 30 分）1.已知⊙O 的半径为 3，A 为线段 P O 的中点，则当 O P ＝5 时，点 A 与⊙O 的位置关系为（ ）A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定2.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（ ）A. B.C.D. 3.往直径为 大深度为（的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ）=，则水的最 A. B. C. D. = 20° ，则 ∠的大小为（4.如图，是⊙O 的直径，点 C 、D 在⊙O 上， ∠）A. 40°B. 140°C. 160°D. 170°5.如图，点A ,B ,C ,D 在⊙O 上， ∠= 120° ，点B 是的中点，则 ∠ 的度数是（）A. 30° 6.如图，四边形 A BCD 是菱形，⊙O 经过点 A ，C ，D ，与 B C 相交于点 E ，连接 A C ，AE 。

若∠D=80°，则∠EAC 的度数是(B. 40°C. 50°D. 60°)A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°7.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（）4 5342312A. B. C. D.8.如图，放置在直线l上的扇形O AB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径O A ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A. 2π+2B. 3πC.D. +2229.如图，在扇形中，已知∠=90°，=2，过的中点C 作⊥，⊥√，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）−1 C. −1−1A. −1B. D.2222110.如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y=﹣x+2 上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转290°，得到点，连接′，则的最小值为(′) ′A. 4√5B. √5C. 5√2D. 6√5535二、填空题（共6题；共24 分）11.在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于________°.12.如图，AB 为⊙的直径，弦⊥于点H ，若=10，=8，则OH的长度为________．13.小明在手工制作课上，用面积为个圆锥的底面半径为________ ．2，半径为的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这14.如图，已知锐角三角形内接于半径为2的⊙，⊥于点，∠=60°，则=________．15.如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是________．316.如图，点C、D 分别是半圆A OB 上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径O A 的长为2________．三、解答题（共8题；共66分）17.如图，在△中，∠=100°，将△绕点A逆时针旋转150°，得到△，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求∠的度数.18.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．19.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．20.如图，将△绕点B顺时针旋转60 度得到，点C的对应点E恰好落在A B 的延长线上，连接A D.（1）求证：；（2）若A B=4，BC=1，求A，C 两点旋转所经过的路径长之和.21.如图，在△中，=，D 是A B 上一点，⊙O经过点A、C、D，交B C 于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：（1）四边形D BCF 是平行四边形（2）=22.如图，点M，分别在正方形的边，上，且∠=45°，把△绕点A 顺时针旋转90°得到△.（1）求证：△（2）若=3，≌△.=2，求正方形的边长.23.如图所示，已知 A ， B 两点的坐标分别为（2 √3 ，0），（0，10）， 是△AOB P C外接圆⊙ 上的一点，OP 交 AB 于点 D ．（1）当 OP ⊥AB 时，求 O P ； （2）当∠AOP ＝30°时，求 AP ．24.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和 BD 交于点 E ，AB ＝BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）过 B 作 AD 的平行线，交 AC 于 F ，试判断线段 EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由； （3）在（2）条件下过 E ，F 分别作 AB ，BC 的垂线，垂足分别为 G ，H ，连接 GH ，交 BO 于 M ，若 AG ＝3， S ：S ＝8：9，求⊙O 的半径． 四边形 AGMO 四边形 CHMO答案一、选择题11.解：∵OA＝OP＝2.5，⊙O的半径为3，2∴OA＜⊙O半径，∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内.故答案为：A.2.解：ACD、不是由某个基本图形经过旋转得到的，故A CD 不符合题意；B、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B符合题意.故答案为：B.3.解：过点O作O D⊥AB于D，交⊙O于E，连接O A，1 2=1×48=由垂径定理得：∵⊙O的直径为=，2，∴在∴==，中，由勾股定理得：−√26−242，=22=2==−=26−10=，∴油的最大深度为故答案为：．，4.解：∵∠BDC=20°∴∠BOC=2×20°=40°∴∠AOC=180°-40°=140°故答案为：B.5.连接O B，∵点B是弧A C 的中点，1∴∠AOB＝∠AOC＝60°，21由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，2故答案为：A．6.∵四边形A BCD 是菱形，∠D=80°，11∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=50°，22∵四边形A ECD 是圆内接四边形，∠D=80°，∴∠AEB=∠D=80°，∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=30°.故答案为：C.7.连接A C，设正方形的边长为a，∵四边形A BCD 是正方形，∴∠B=90°，∴AC为圆的直径，∴AC=√2AB= √2a，2=2≈2则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：，√2232故答案为：C.8.解：如图，点O的运动路径的长＝的长+O O+1 2的长＝+ + ＝，2180180180故答案为：C．9.连接O C∵点C为弧AB 的中点∴∠在△和△中{∠=∠∠∠==∴△≅△∴==∠=90°=又∵∠=∠=∠=90°∴=1×1=1∴四边形C DOE 为正方形∵==2∴==1√正方形2√2)∴−−1由扇形面积公式得故答案为：B.===阴影扇形=正方形扇形2360210.解：作Q M⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，12+2)，则P M= ﹣1，QM= −1+2，设Q( ，−2∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，∠∠′°=90={∠∠′，′==∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，12+2，Q′N=PM=﹣1，∴PN=QM=−1∴ON=1+PN=3−，21﹣)，∴Q′(3−，12155∴OQ′=( 3−)+( 1﹣)=m ﹣5m+10= (m﹣2) +5，2 2 2 2 2244当m=2 时，OQ′有最小值为5，2∴OQ′的最小值为√5，故答案为：B.二、填空题11.设弦垂直平分半径于点E，连接O B、OC、AB、AC，且在优弧B C 上取点F，连接B F、CF，∴OB=AB，OC=AC，∵OB=OC，∴四边形O BAC 是菱形，∴∠BOC=2∠BOE，1∵OB=OA，OE= ,21∴cos∠BOE=，2∴∠BOE=60°，∴∠BOC=∠BAC=120°，1∴∠BFC=∠BOC=60°，2∴弦所对的圆周角为120°或60°，故答案为：120 或60.12.连接O C，11Rt△OCH中，OC= AB=5，CH= CD=4；2由勾股定理，得：OH=即线段O H 的长为3．故答案为：3．2−=√5−4=3；222213.由1得：扇形的弧长= 2×2÷15=（厘米），=扇形圆锥的底面半径= ÷÷2=10（厘米）．故答案是：10．14.解：连接O B 和O C，∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，OB=OC=2，∵OD⊥BC，OB=OC，∴∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，1∴OD=OB=1，2故答案为：1.15.解：过E点作M N∥BC交A B、CD 于M、N 点，设A B 与E F 交于点P点，连接C P,如下图所示，∵B在对角线C F 上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB=CN=√2EC= √2，22又B C=AD=CD=CE，且C P=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴△PEC≌△PBC(HL)，∴PB=PE，又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设M P=x ，则E P=BP= √，∵MP+BP=MB，∴+√=√2，解得=2√2，22∴BP=√=√21，=2×1××=1×(√21)=√21．∴阴影部分的面积=2故答案为：√21．16.解：如图，连接∵点C、D 分别是半圆A OB 上的三等分点，∠∠∠°=60,∴∵===∴△为等边三角形，∠∠°=60,∴∴∴∠∴==,∴∴==，扇形阴影2=,3602解得：=3,（负根舍去），故答案为：3三、解答题17. 解：∵将△绕点A逆时针旋转150°，得到△，∠°=150,∠∠.=∴=∵点B、C、D 恰好在同一条直线上∴△是顶角为150°的等腰三角形，∠∠，∴∴=∠1°∠°=15，=(180−2∠∠∠∠−°°°°.=180−100−15=65∴==180−°18. 解：如图，连接OC ，∵∠AOC＝2∠B ，∠DAC＝2∠B ，∴∠AOC＝∠DAC ，∴AO＝AC ，又∵OA＝OC ，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝1AD＝3cm ．219. （1）连接O A，如下图1所示：∵AB=AC，∴= ，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）如图2中，延长A O 交B C 于H．①若B D=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若C D=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若D B=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，过A点作A E BC 交B D 的延长线于E．//2则= = ，且B C=2BH，34 ∴ = = ， 3设 O B=OA=4a ，OH=3a ．则在 R t△ABH 和 R t△OBH 中，∵BH =AB ﹣AH =OB ﹣OH ，2 2 2 2 2 ∴25 - 49a =16a ﹣9a ， 22 2 25∴a= ，2 56 ∴BH= 5√2 ，4∴BC=2BH= 5√2 ．2故答案为： 5√2 ．220. （1）证明：由旋转性质得：是等边三角形 ∴ ∠ = ∠ （2）解：依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以 A ，C 两点经过的路径长之和为≅ ∠ = ∠ = 60° ∴ = ∴所以 ∠ ∴ ；= 60° + = . 5 180 180 3 21. （1）证明： ∵= ， ∠∠ ， ， ∴ ∵∴ = ∠∠ ， = 又 ∠= ∠ , ∠∠= ∴ ∴ 四边形是平行四边形. （2）证明：如图，连接∠∠ ∠ ， ∠ ∠∠ = ∵ ∴ = = 四边形 是 ⊙ 的内接四边形∠∠∠∠∴∵++=180°∴=180°∠∠∠∠∴∴∴== =22.（1）证明：由旋转的性质得：=∠=∠∵四边形ABCD是正方形∠∠∠∠=90°，即∠∠+=90°=90°∴∴∵∴∠=90°，即∠+=45°∠∠°°°=−=90−45=45=在△和△中，{∠=∠=45°=∴△≅△；（2）解：设正方形的边长为x，则==∵∴=3,==2−=−3,==−=−2由旋转的性质得：=2∴=+=2+3=5≅△由（1）已证：△=5又∵四边形ABCD是正方形∴=∠=90°∴则在△中，2+2=2，即−3)2+−2)2=52解得=6或=−1（不符题意，舍去）故正方形的边长为6.23.（1）解：∵A，B两点的坐标分别为（2√3，0），（0，10），∴AO＝2√3，OB＝10，∵AO⊥BO，∴AB＝√100+12＝4√7，∵OP⊥AB，∴10×2√3＝4√，CD＝DP，22∴CD＝5√21，7∴OP＝2CD＝10√21；7（2）解：连接C P，如图所示：∵∠AOP＝30°，∴∠ACP＝60°，∵CP＝CA，∴△ACP为等边三角形，1∴AP＝AC＝AB＝2 √7．224. （1）解：如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）解：线段E A，CF，EF 之间满足的等量关系为：EA +CF ＝EF ．理由如下：2 22如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作B N⊥BE，使B N＝BE，连接N C，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在R t△NFC中，CF +CN ＝NF ，22 2∴EA+CF ＝EF ；22 2（3）解：如图3，延长G E，HF 交于K，由（2）知E A +CF ＝EF ，22 2111∴EA+ CF＝EF ，2 2 2222∴S+S ＝S ，△EFK△AGE△CFH∴S+S +S △AGE△CFH＝S +S△EFK，五边形B GEFH 五边形B GEFH即S＝S△ABC ，矩形B GKH11∴S ＝S ，2△ABC2矩形B GKH∴S＝S ＝S ，△CBO△GBH△ABO∴S＝S△BGM， S ＝S△BMH，四边形C OMH 四边形A GMO∵S：S四边形A GMO ＝8：9，四边形C HMO ∴S：S ＝8：9，△BMH△BGM∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设B G＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA+CF ＝EF ，2 22∴(32)+[√+3)]=[√−3)]，√222整理得：7k ﹣6k﹣1＝0，21解得：k ＝﹣（舍去），k ＝1．1 7 2∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6√2．∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作B N⊥BE，使B N＝BE，连接N C，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在R t△NFC中，CF +CN ＝NF ，22 2∴EA+CF ＝EF ；22 2（3）解：如图3，延长G E，HF 交于K，由（2）知E A +CF ＝EF ，22 2111∴EA+ CF＝EF ，2 2 2222∴S+S ＝S ，△EFK△AGE△CFH∴S+S +S △AGE△CFH＝S +S△EFK，五边形B GEFH 五边形B GEFH即S＝S△ABC ，矩形B GKH11∴S ＝S ，2△ABC2矩形B GKH∴S＝S ＝S ，△CBO△GBH△ABO∴S＝S△BGM， S ＝S△BMH，四边形C OMH 四边形A GMO∵S：S四边形A GMO ＝8：9，四边形C HMO ∴S：S ＝8：9，△BMH△BGM∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设B G＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA+CF ＝EF ，2 22∴(32)+[√+3)]=[√−3)]，√222整理得：7k ﹣6k﹣1＝0，21解得：k ＝﹣（舍去），k ＝1．1 7 2∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6√2．∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作B N⊥BE，使B N＝BE，连接N C，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在R t△NFC中，CF +CN ＝NF ，22 2∴EA+CF ＝EF ；22 2（3）解：如图3，延长G E，HF 交于K，由（2）知E A +CF ＝EF ，22 2111∴EA+ CF＝EF ，2 2 2222∴S+S ＝S ，△EFK△AGE△CFH∴S+S +S △AGE△CFH＝S +S△EFK，五边形B GEFH 五边形B GEFH即S＝S△ABC ，矩形B GKH11∴S ＝S ，2△ABC2矩形B GKH∴S＝S ＝S ，△CBO△GBH△ABO∴S＝S△BGM， S ＝S△BMH，四边形C OMH 四边形A GMO∵S：S四边形A GMO ＝8：9，四边形C HMO ∴S：S ＝8：9，△BMH△BGM∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设B G＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA+CF ＝EF ，2 22∴(32)+[√+3)]=[√−3)]，√222整理得：7k ﹣6k﹣1＝0，21解得：k ＝﹣（舍去），k ＝1．1 7 2∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6√2．。