2004年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题(文科与专科)

⎢ ⎥ x∞∞∞2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为.（2）已知 f '(e x ) = xe- x，且 f(1)=0, 则 f(x)=.（3）设 L 为正向圆周 x 2+ y 2= 2 在第一象限中的部分，则曲线积分 Lxdy - 2 ydx 的值为.（4）欧拉方程 d 2y x dx 2+ 4x dy dx + 2 y = 0(x > 0) 的通解为. .⎡2 （5）设矩阵 A = ⎢1 ⎢⎣0 1 0⎤2 0⎥ ，矩阵 B 满足 ABA * = 2BA * + E ，其中 A *为 A 的伴随矩阵，E 是单位0 1⎥⎦矩阵，则 B = .（6）设随机变量 X 服从参数为λ 的指数分布，则 P {X > DX }=.二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把 x → 0+时的无穷小量α = ⎰0 cos t 2dt , β = ⎰0tan tdt ,γ = ⎰0 xsin t 3 dt ，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A)α , β ,γ . (B) α ,γ , β . (C) β ,α ,γ . (D) β ,γ ,α .[]（8） 设函数 f(x)连续，且 f '(0) > 0, 则存在δ > 0 ，使得(A) f(x)在（0， δ ) 内单调增加. （B ）f(x)在(-δ ,0) 内单调减少.(C) 对任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f(x)>f(0) . (D) 对任意的 x ∈ (-δ ,0) 有 f(x)>f(0) .[]（9） 设∑an 为正项级数，下列结论中正确的是n =1(A) 若lim na n =0，则级数∑an 收敛.n →∞n =1（B ） 若存在非零常数λ ，使得lim na n = λ ，则级数∑an 发散.n →∞n =1⎰x2 2∞∞1 ⎥⎥ 1 ⎥⎥ n 1y⎢ ⎢ 1 2(C ) 若级数∑a 收敛，则lim n 2a= 0 .n n =1n →∞n(D )若级数∑an 发散, 则存在非零常数λ ，使得lim na n = λ .[ ]n =1n →∞（10） 设 f(x)为连续函数， F (t ) =⎰t dy ⎰tf (x )dx ，则 F '(2) 等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ ] （11） 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为(A) ⎡0 1 ⎢ 0 ⎢⎣1 0 0⎤ 0⎥ . (B) 1⎥⎦ ⎡0 ⎢ ⎢ ⎢⎣0 1 0⎤ 0 1⎥ . (C) 0 1⎥⎦ ⎡0 1 ⎢ 0 ⎢⎣0 1 0⎤0⎥ . (D) 1⎥⎦ ⎡0 ⎢ ⎢ ⎢⎣0 1 1⎤0 0⎥ . 0 1⎥⎦[]（12） 设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有(A)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.[]（13） 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的α (0 < α < 1) ，数u α 满足 P {X> u α } = α ，若P { X < x } = α ，则 x 等于(A) u α .(B) 2u α .(C) 1- 2u 1-α 2.(D) u 1-α .[ ]n2（14） 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n (n > 1) 独立同分布，且其方差为σ > 0. 令Y = ∑ X i ，则 i =1ο 2(A) Cov( X 1 ,Y ) = n.(B) Cov ( X 1 ,Y ) = σ .(C)D ( X 1 + Y ) =n + 2 σ 2.(D)nD ( X 1 - Y ) =n + 1σ 2 .[ ]n（15）（本题满分 12 分）设e < a < b < e 2, 证明ln 2b - ln 2a >（16）（本题满分 11 分）(b - a ) .e 2某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总 阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 k = 6.0 ⨯106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？1 1 4n 数∑ x 收敛.⎪ ⎢ ⎥ = ⎨注 kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. （17）（本题满分 12 分）计算曲面积分I = ⎰⎰2x 3dydz + 2 y 3dzdx + 3(z 2 -1)dxdy ,∑其中∑ 是曲面 z = 1 - x 2 - y 2(z ≥ 0) 的上侧.（18）（本题满分 11 分）设有方程 x n+ nx -1 = 0 ，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 x ，并证明当α > 1时，级∞αn n =1（19）（本题满分 12 分）设 z=z(x,y)是由 x 2- 6xy + 10 y 2- 2 yz - z 2+ 18 = 0 确定的函数，求 z = z (x , y ) 的极值点和极值. （20）（本题满分 9 分）设有齐次线性方程组⎧ (1 + a )x 1 + x 2 + + x n = 0, ⎪2x 1+ (2 + a )x 2 + + 2x n = 0, ⎨(n ≥ 2)⎪⎪⎩nx 1 + nx 2 + + (n + a )x n = 0,试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （21）（本题满分 9 分）⎡ 1 2 设矩阵 A = ⎢- 1 4 ⎢⎣ 1 a - 3⎤ - 3⎥ 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化.5 ⎥⎦(22)（本题满分 9 分）设 A,B 为随机事件，且 P ( A ) =1, P (B A ) = 41 , P ( A B ) = 1，令 3 2⎧1, X ⎨A 发生,Y = ⎧1, B 发生, ⎩0, A 不发生;⎩0, B 不发生.求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II ）X 和 Y 的相关系数 ρ XY . （23）（本题满分 9 分）设总体 X 的分布函数为F (x , β ) = ⎧⎪1 - 1 , ⎨ x β⎪⎩ 0,x > 1,x ≤ 1,其中未知参数β> 1, X 1 , X 2 , , X n 为来自总体X 的简单随机样本，求：（I）β的矩估计量；（II）β的最大似然估计量.⎩ ⎰ ⎰ 2004 年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线 x + y = 1 垂直的切线方程为 y = x -1 .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标. 【详解】 由 y ' = (ln x )' = 1= 1，得 x=1, 可见切点为(1,0) ，于是所求的切线方程为xy - 0 = 1⋅ (x -1) ， 即 y = x -1 .【评注】 本题也可先设切点为(x 0 , ln x 0 ) ，曲线 y=lnx 过此切点的导数为 y '= 1x = x 0 x 0= 1，得 x 0 = 1 ，由此可知所求切线方程为 y - 0 = 1⋅ (x -1) ， 即 y = x -1 .本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知 f '(e x) = xe - x，且 f(1)=0, 则 f(x)= 1 (ln x )2. 2【分析】 先求出 f '(x ) 的表达式，再积分即可.【详解】 令e x= t ，则 x = ln t ，于是有f '(t ) =ln t， 即t f '(x ) =ln x.x积分得f (x ) = ⎰ln xdx = 1(ln x )2 + C . 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0 ，故所求函数为 f(x)= x 21(ln x )2 .2【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（3） 设 L 为正向圆周 x 2+ y 2= 2 在第一象限中的部分，则曲线积分 Lxdy - 2 ydx 的值为 3π . 2【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】 正向圆周 x 2 + y 2= 2 在第一象限中的部分，可表示为⎧x = ⎨y = 2 cos θ ,2 sin θ ,πθ : 0 → π.2于是⎰Lxdy - 2 ydx = 2 [ 02 cos θ ⋅ π 2 cos θ + 2 3π2 sin θ ⋅ 2 sin θ ]d θ = π + 22 sin 2 θd θ = .0 2【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参⎰⎢ ⎥ 数法化为定积分计算即可.2d 2 ydyc c（4） 欧拉方程 x+ 4x + 2 y = 0(x > 0) 的通解为 y = 1 + 2 . dx 2 dx x x 2【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换 x = e t化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】 令 x = e t ，则 dy = dy ⋅ dt = e -t dy = 1 dy ，dx dt dxdtx dtd 2 y= - 1dy + 1 d 2 y ⋅ dt = 1d 2 y - dydx 2 代入原方程，整理得d 2 y +x 2 dt x dt 2 dxdyx 2[ dt 2 dt ] ，dt 23 + 2 y = 0 ， dt解此方程，得通解为y = c e -t + c e -2t = c 1 + c2 .1 2x x 2【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x = e t，则欧拉方程d 2 y ax dx 2+ bx dy dx + cy = f (x ) ，可化为d 2 y a [ dt 2- dy dt] + b dy dt + cy = f (e t ).⎡2 （5） 设矩阵 A = ⎢1 ⎢⎣0 1 0⎤2 0⎥ ，矩阵 B 满足 ABA * = 2BA * + E ，其中 A *为 A 的伴随矩阵，E 是单位0 1⎥⎦矩阵，则 B =1 .9【分析】 可先用公式 A *A = A E 进行化简【详解】 已知等式两边同时右乘 A ，得ABA * A = 2BA * A + A ， 而 A = 3 ，于是有3AB = 6B + A ， 即(3A - 6E )B = A ，再两边取行列式，有3A - 6E B = A = 3 ，1而 3A - 6E = 27 ，故所求行列式为 B = .92λ 1 e1xx+【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 A *，一般均应先利用公式A * A = AA * = A E 进行化简.（6） 设随机变量 X 服从参数为λ 的指数分布，则 P {X > DX }=1 .e【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.1【详解】 由题设，知 DX =λ2，于是P {X >DX }= P {X > 1} = ⎰+∞ λe -λx dxλ= - e-λx+∞ = 1 . λ【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把 x → 0+时的无穷小量α = ⎰0 cos t 2dt , β = ⎰0tan tdt ,γ = ⎰0 xsin t 3 dt ，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A)α , β ,γ . (B) α ,γ , β . (C) β ,α ,γ . (D) β ,γ ,α .[ B ]【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.x 2【详解】 lim β= lim⎰tan tdt = lim tan x ⋅ 2x = 0 ，可排除(C),(D)选项，x →0+α x →0+x cos t 2 dt 0x →0+cos x 23 又lim γ= limxsin t 3 dt 0 x 2=x →0+βx →0+1 2⎰0tan x tdt x →0+2x tan x = lim 4 x →0 x= ∞ ，可见 是比 β 低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将α , β ,γ 分别与 x n进行比较，再确定相互的高低次序.（8） 设函数 f(x)连续，且 f '(0) > 0, 则存在δ > 0 ，使得(A) f(x)在（0， δ ) 内单调增加.（B ）f(x)在(-δ ,0) 内单调减少.(C)对 任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f(x)>f(0) .(D) 对任意 的 x ∈ (-δ ,0) 有 f(x)>f(0) .[ C ]x⎰2⎰n n∞∞∞∞∞ ∞1y∞【分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】 由导数的定义，知f '(0) = lim f (x ) - f (0)> 0 ，x →0 x根据保号性，知存在δ > 0 ，当 x ∈ (-δ ,0) (0,δ ) 时，有f (x ) - f (0) > 0x即当 x ∈ (-δ ,0) 时，f(x)<f(0); 而当 x ∈ (0,δ ) 时，有 f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论.（9） 设∑ an 为正项级数，下列结论中正确的是n =1(A) 若lim na n =0，则级数∑ an收敛.n →∞n =1（B ） 若存在非零常数λ ，使得lim na n = λ ，则级数∑ an 发散.n →∞n =1(C) 若级数∑ a 收敛，则lim n 2a= 0 .n n =1n →∞n(E) 若级数∑ an发散, 则存在非零常数λ ，使得lim na n = λ .[ B ]n =1n →∞【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项. 1∞ ∞1【详解】 取 a n =，则lim na n =0，但∑ a n = ∑发散，排除(A)，(D)；n ln n1 ∞n →∞ n =12n =1n ln n又取 a n =，则级数∑ an 收敛，但lim n a n = ∞ ，排除(C), 故应选(B).n =1n →∞【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，lim na n = lim = λ ≠ 0 ，而级数∑ 1 发散，因此级数∑ a n 也发散，故应选(B).n →∞ n →∞ 1 nn =1 n n =1（10） 设 f(x)为连续函数， F (t ) =⎰t dy ⎰tf (x )dx ，则 F '(2) 等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2).(D) 0.[ B ]【分析】 先求导，再代入 t=2 求 F '(2) 即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有a n⎰⎥ ⎥ 1 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 变量 t.【详解】 交换积分次序，得 ttt x tF (t ) = ⎰1 dy ⎰y f (x )dx = ⎰1 [⎰1 f (x )dy ]dx = ⎰1f (x )(x - 1)dx于是， F '(t ) = f (t )(t -1) ，从而有 F '(2) = f (2) ，故应选(B).【评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x:[b ( x )f (t )dt ]' = a ( x )f [b (x )]b '(x ) - f [a (x )]a '(x )否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上.（11） 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为(A) ⎡0 ⎢ ⎢ ⎢⎣1 1 0⎤ 0 0⎥ . (B) 0 1⎥⎦ ⎡0 ⎢ ⎢ ⎢⎣0 1 0⎤ 0 1⎥ . (C) 0 1⎥⎦ ⎡0 1 ⎢ 0 ⎢⎣0 1 0⎤0⎥ . (D) 1⎥⎦ ⎡0 ⎢ ⎢ ⎢⎣0 1 1⎤0 0⎥ . 0 1⎥⎦[ D ]【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有⎡0 1 A ⎢1 0 ⎢⎣0 0 0⎤ 0⎥ = B ， 1⎥⎦ ⎡1 B ⎢0 ⎢⎣0 0 0⎤1 1⎥ = C ， 0 1⎥⎦⎡0 1 0⎤⎡1 0 0⎤ ⎡0 1 1⎤ 于是，A ⎢1 0 0⎥⎢0 1 1⎥ = A ⎢1 0 0⎥ = C . ⎢ ⎢⎣0 可见，应选(D).⎥⎢ 0 1⎥⎦⎢⎣0 ⎥ 0 1⎥⎦ ⎢ ⎢⎣0 ⎥ 0 1⎥⎦【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系. （12） 设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (D) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (E) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (F) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ]【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解 1】 设 A 为 m ⨯ n 矩阵，B 为n ⨯ s 矩阵，则由 AB=O 知，r ( A ) + r (B ) < n .又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)<n, r(B)<n, 即 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).【详解 2】 由 AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0 存在非零解，可见 A 的列向量组线性相关.1 1 1n 1 2同理，由 AB=O 知， B T A T = O ，于是有 B T的列向量组，从而 B 的行向量组线性相关，故应选(A). 【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的： 1） AB=O ⇒ r ( A ) + r (B ) < n ; 2） AB=O ⇒ B 的每列均为 Ax=0 的解.（13） 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的α (0 < α < 1) ，数u α 满足 P {X> u α } = α ，若P { X < x } = α ，则 x 等于(A) u α .(B) 2u α .(C) 1- 2u 1-α 2.(D) u 1-α .[ C ]【分析】 此类问题的求解，可通过u α 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论.【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知， P {X < -u α } = α ，于是1 - α = 1 - P { X < x } = P { X ≥ x } = P {X ≥ x } + P {X ≤ -x } = 2P {X ≥ x }即有 P {X ≥ x } =1 - α2 ，可见根据定义有 x = u 1-α ，故应选(C). 2【评注】 本题u α 相当于分位数，直观地有1-α2n2（14） 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n (n > 1) 独立同分布，且其方差为σ > 0. 令Y = ∑ X i ，则i =1ο 2(A) Cov( X 1 ,Y ) = n .(B) Cov ( X 1 ,Y ) = σ .(C)D ( X 1 + Y ) =n + 2 σ 2 .(D)nD ( X 1 - Y ) =n + 1σ 2 .[ A ]n【 分析 】 本题用 方差和协 方差的运 算性质直 接计算即 可，注意 利用独立 性有：Cov ( X 1 , X i ) = 0, i = 2,3, n .1 n1 1 n【详解】 Cov( X 1 ,Y ) = Cov ( X 1 , n ∑ X i ) = n Cov ( X 1 , X 1 ) + n ∑Cov ( X 1 , X i )i =1 i =2ασ σ 2 1 = DX n1 = 1σ 2 .n【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如1 + n 1 1 (1 + n )2 2 n - 1 2D ( X 1 + Y ) = D ( n X 1 + n X 2 + + nX n ) = ο + σ n 2n 2n 2 + 3n 2=n 2=n + 3 σ 2 ，nn - 1 1 1 (n - 1)2 2 n - 1 2D ( X 1 - Y ) = D ( n X 1 - n X 2 - - nX n ) = ο + σ n 2n 2n 2 - 2n 2=n 2=n - 2 σ 2 .n（15）（本题满分 12 分）设e < a < b < e 2, 证明ln 2b - ln 2a >(b - a ) .e 2【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法 1】 对函数ln 2x 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得ln 2 b - ln 2 a =2 ln ξ(b - a ), a < ξ < b .ξ设ϕ(t ) =ln t ，则ϕ '(t ) =1 - ln t ，tt 2当 t>e 时， ϕ '(t ) < 0, 所以ϕ(t ) 单调减少，从而ϕ(ξ ) > ϕ(e 2) ，即ln ξξ> ln e 2e 2 = e 2 ，故 ln 2b - ln 2a >(b - a ) . e 2【证法 2】 设ϕ(x ) = ln 2x - 4 e2x ，则ϕ '(x ) = 2 ln x - 4， x e 2 ϕ ' (x ) = 21 - ln x ,x2所以当 x>e 时， ϕ ' (x ) < 0, 故ϕ '(x ) 单调减少，从而当e < x < e 2时，ϕ '(x ) > ϕ '(e 2) = 4 - 4 e 2 e 2= 0 ，即当e < x < e 2时， ϕ(x ) 单调增加.4 4因此当e <x <e2 时，ϕ(b) >ϕ(a) ，即ln 2 b - 4b > ln 2 a -4a ，e2 e2故ln 2 b - ln 2 a > (b -a) .e2【评注】 本题也可设辅助函数为ϕ(x) = ln 2 x - ln 2 a - 4(x -a), e <a <x <e2 或e2ϕ(x) = ln 2 b - ln 2 x - 4(b -x), e <x <b <e2 ，再用单调性进行证明即可. e2（16）（本题满分11 分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 k = 6.0 ⨯106 ).注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解1】由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0 = 700km / h . 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得dvmdt dv dv =-kv .dx dv又=⋅dt dx dt =v ，dx由以上两式得dx =-mkm dv ，m积分得x(t) =-v +C.k 由于v(0) =v0 , x(0) = 0 ，故得C =kv，从而x(t) =m(vk 0-v(t)).当v(t) → 0 时，x(t) →mvk=9000 ⨯ 700= 1.05(km).6.0 ⨯106所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.dv【详解2】根据牛顿第二定律，得m =-kv ,dt所以dv=-kv mdt.-kt两端积分得通解v =Ce m ，代入初始条件vt =0 =v解得C =v0 ，4故v (t ) = v 0 e - ktm .飞机滑行的最长距离为+∞mv- k t+∞mv x = ⎰0v (t )dt = - 0 e mk= 0 = 1.05(km ). 0 kdx - k t t- kt kv - k t或由 dt= v 0 e，知 x (t ) = ⎰0v 0 e mdt = - 0(e mm - 1) ，故最 长 距离为 当 t → ∞ 时，x (t ) →kv 0m= 1.05(km ).【详解 3】 根据牛顿第二定律，得 d 2 x m dt 2= -k dx , dtd 2 x + k dx =dt 20 ， m dt其特征方程为 λ2 + k λ = 0 ，解之得λ = 0, λ = - k ，故x = C 1 + C 2 em- ktm .1 2mkC- k t 由 xt =0 = 0, v= t =0 t =0= - 2 e m mt =0 = v 0 ，得C 1 = -C 2= mv0 , 于 是kx (t ) = mv 0 (1 - e k- ktm).当t → +∞ 时， x (t ) →mv 0k= 1.05(km ).所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t → +∞ 或v (t ) → 0 的极限值，这种条件应引起注意. （17）（本题满分 12 分）计算曲面积分I = ⎰⎰2x 3dydz + 2 y 3dzdx + 3(z 2 -1)dxdy ,∑其中∑ 是曲面 z = 1 - x 2 - y 2(z ≥ 0) 的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】 取∑1 为 xoy 平面上被圆 x 2+ y 2= 1 所围部分的下侧，记Ω 为由∑ 与∑1 围成的空间闭区域，dx dtmn 数∑ x 收敛. n n nn 则I = ⎰⎰2x 3 dydz + 2 y 3 dzdx + 3(z 2 - 1)dxdy∑ + ∑1- ⎰⎰2x 3 dydz + 2 y 3 dzdx + 3(z 2 - 1)dxdy .∑1由高斯公式知⎰⎰2x 3dydz + 2 y 3dzdx + 3(z2- 1)dxdy = ⎰⎰⎰6(x 2 + y 2 + z )dxdydz∑ + ∑1Ω2π11-r22= 6⎰0 d θ ⎰0 dr ⎰0 (z + r )rdz =12π ⎰1[ 1r (1 - r 2 )2 + r 3 (1 - r 2 )]dr = 2π .0 2而⎰⎰2x 3dydz + 2 y 3dzdx + 3(z2- 1)dxdy = -∑1故 I = 2π - 3π = -π .⎰⎰- 3dxdy = 3π ，x 2+ y 2 ≤1【评注】 本题选择∑1 时应注意其侧与∑ 围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在∑1 上直接投影积分时，应注意符号( ∑1 取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号).（18）（本题满分 11 分）设有方程 x n+ nx -1 = 0 ，其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 x ，并证明当α > 1时，级∞αn n =1【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定.【证】 记f (x ) = x n + nx - 1. 由 f n (0) = -1 < 0 ， f n (1) = n > 0 ，及连续函数的介值定理知，方程 x n+ nx -1 = 0 存在正实数根 x ∈ (0,1).当 x>0 时， f '(x ) = nx n -1+ n > 0 ，可见 f(x ) 在[0,+∞) 上单调增加, 故方程 x n + nx -1 = 0 存在惟一正实数根 x n .由 x n+ nx -1 = 0 与 x > 0 知0 < x n1 - x n = n <n 1 ，故当α > 1时， 0 < x α nn < ( 1 )α. n∞1∞α而正项级数∑ n α 收敛，所以当α > 1时，级数∑ xn收敛.n =1n =1【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要n⎪⎩⎩ ⎩⎨ ⎩ ⎨ ⎩1基本概念清楚，应该可以轻松求证.（19）（本题满分12 分）设z=z(x,y)是由x 2 - 6xy + 10 y 2 - 2 yz -z 2 + 18 = 0 确定的函数，求z =z(x, y) 的极值点和极值.【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】因为x 2 - 6xy + 10 y 2 - 2 yz -z 2 + 18 = 0 ，所以∂z ∂z2x - 6 y - 2 y∂x - 2z∂x= 0 ，- 6x + 20 y - 2z - 2 y ∂z- 2z∂z= 0 .⎧∂z= 0, ∂x∂y ∂y⎧x - 3y = 0,令⎨∂z⎪∂y = 0得 ⎨- 3x + 10 y -z = 0,⎧x = 3y,故⎨z =y.将上式代入x 2 - 6xy + 10 y 2 - 2 yz -z 2 + 18 = 0 ，可得⎧x = 9,⎪y = 3, 或⎪z = 3 ⎧x =-9,⎪y =-3, ⎪z =-3.由于 2 - 2 y ∂2 z∂x 2- 2(∂z)2∂x -2z ∂2 z∂x 2= 0 ，-∂z ∂2 z ∂z ∂z ∂2 z6 - 2∂x- 2 y∂x∂y- 2∂y⋅∂x- 2z∂x∂y= 0,20 - 2∂z∂y - 2∂z∂y -2 y ∂2 z∂y 2- 2(∂z)2∂y -2z ∂2 z∂y 2= 0 ，所以 A = =(9,3,3) 1，B =6 (9,3,3)=-12，C = =5，(9,3,3) 3故 AC -B 2 =136> 0 ，又A => 0 ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.6类似地，由A =(-9,-3,-3)=-16，B ==( -9,-3,-3)1，C =2 ( -9,-3,-3)=-5，3∂2 z ∂x 2∂2 z∂x∂y∂2 z∂y 2∂2 z ∂x 2∂2 z∂x∂y∂2 z∂y 21 ⎪ ⎦ ⎣ a 12 n -1 ⎣ 1 1 n n n ⎣ ⎦ ⎦ ⎢⎣ - n⎦ 可知 AC - B 2= 136 z(-9, -3)= -3.> 0 ，又 A = - < 0 ，从而点(-9, -3)是 z(x,y)的极大值点，极大值为6【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方 程.（20）（本题满分 9 分）设有齐次线性方程组⎧ (1 + a )x 1 + x 2 + + x n = 0, ⎪2x 1+ (2 + a )x 2 + + 2x n = 0, ⎨(n ≥ 2)⎪⎪⎩nx 1 + nx 2 + + (n + a )x n = 0,试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数 a 的可能取值进行讨论即可.【详解 1】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有⎡1 + a 1 1 1 ⎤ ⎡1 + a1 1 1 ⎤ ⎢2 2 + a 22 ⎥ ⎢- 2a a0 0 ⎥A = ⎢⎥ → ⎢⎥ = B .⎢ ⎥ ⎢⎥⎢n + a ⎥ ⎢- na0 0 ⎥当 a=0 时， r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为x 1 + x 2 + + x n = 0,由此得基础解系为η = (-1,1,0, ,0)T , 于是方程组的通解为η = (-1,0,1, ,0)T , ,η = (-1,0,0, ,1)T,x = k 1η1 + + k n -1ηn -1 , 其中k 1 , , k n -1 为任意常数.当 a ≠ 0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有⎡1 + a 1 1 1 ⎤ ⎡a + n (n + 1) 0 0 0 ⎤ ⎢ - 2 1 0 0 ⎥ ⎢ 2 ⎥ B → ⎢ ⎥ →⎢ - 2 1 0 0 ⎥ ⎢ ⎢ - n n (n + 1)⎥ ⎢ 0 0 ⎥ ⎢ ⎥. ⎥ 0 0 ⎥ 可知 a = - 2时， r ( A ) = n - 1 < n ，故方程组也有非零解，其同解方程组为n n 0 0 1 2 n -1 ⎦ ⎣ a n 0 n n n ⎣ ⎦⎧- 2x 1 + x 2 = 0, ⎪- 3x + x = 0, ⎪ 1 3 ⎨⎪ ⎪⎩- nx 1 + x n = 0,由此得基础解系为η = (1,2, , n )T ，于是方程组的通解为x = k η ，其中 k 为任意常数.【详解 2】 方程组的系数行列式为A == (a + n (n + 1))a n -1 . 2当 A = 0 ，即 a=0 或 a = - n (n + 1)2时，方程组有非零解.当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有⎡ 1 1 ⎢ 2 2 1 1 ⎤ 2 2 ⎥ ⎡ 1 1 ⎢ 0 0 1 1 ⎤0 0 ⎥A = ⎢ ⎥ → ⎢⎥ ，⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ n ⎦⎢ ⎢⎣ 0 ⎥⎥ 0 ⎦故方程组的同解方程组为x 1 + x 2 + + x n = 0,由此得基础解系为η = (-1,1,0, ,0)T , 于是方程组的通解为η = (-1,0,1, ,0)T , ,η = (-1,0,0, ,1)T,x = k 1η1 + + k n -1ηn -1 , n (n + 1) 其中k 1 , , k n -1 为任意常数.当 a = - 2时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有⎡1 + a 1 1 1 ⎤ ⎡1 + a 1 1 1 ⎤⎢ 2 2 + a 2 2 ⎥ ⎢- 2a a 0 0 ⎥ A = ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ n + a ⎥ ⎢- na 0 0 ⎥ 1 + a 11 12 2 + a 2 2n n n n + a⎣ 1 ⎣1 ⎦ n n n n ⎢ ⎥ ⎦ ⎦ n n n ⎣ n n n n ⎡1 + a 1⎢ - 2 11 1 ⎤ 0 0 ⎥⎡ 0 0 ⎢- 2 10 0 ⎤ 0 0 ⎥→ ⎢ ⎥ → ⎢⎥ ，⎢ ⎢ - n⎥ 0 0 ⎥ ⎢⎢- n ⎥0 0 ⎥故方程组的同解方程组为⎧- 2x 1 + x 2 = 0, ⎪- 3x + x = 0, ⎪ 1 3 ⎨⎪ ⎪⎩- nx 1 + x n = 0,由此得基础解系为η = (1,2, , n )T ，于是方程组的通解为x = k η ，其中 k 为任意常数.【评注】 矩阵 A 的行列式 A 也可这样计算：⎡1 + a 1 1 1 ⎤ ⎡ 1 1 1 1 ⎤ ⎡ 1 1 1 1 ⎤ ⎢ 2 2 + a 2 2 ⎥ ⎢ 2 2 2 2 ⎥ ⎢ 2 2 2 2 ⎥A = ⎢⎥ = aE + ⎢ ⎥ ，矩阵⎢ ⎥ 的 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ n + a ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦特征值为0, ,0, n (n + 1) 2 ，从而 A 的特征值为 a,a, , a + n (n + 1)2, 故行列式 A = (a +n (n + 1))a 2 n -1. （21）（本题满分 9 分）⎡ 1 2 设矩阵 A = ⎢- 1 4 ⎢⎣ 1 a - 3⎤- 3⎥ 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化.5 ⎥⎦【分析】 先求出 A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定 A 是否可相似对角化即可.【详解】 A 的特征多项式为λE - A = λ - 1 1 - 1- 2λ - 4- a 13 3 λ - 5 - 1λ - 2 = 1 - 1 0- (λ - 2) λ - 4 - a 0 3 λ - 5= (λ - 2) 1 - 1 λ - 4- a 3 λ - 5= (λ - 2)(λ2 - 8λ + 18 + 3a ).当λ = 2 是特征方程的二重根，则有22- 16 + 18 + 3a = 0, 解得a= -2.⎢ ⎥ 3 ⎥= ⎨⎤1 ⎡ 1 -2 当 a= -2 时，A 的特征值为 2,2,6, 矩阵 2E-A= ⎢ 1 - 2 ⎢⎣- 1 23 ⎤ 3 ⎥ 的秩为 1，故λ = 2 对应的线性无关的特 - 3⎥⎦征向量有两个，从而 A 可相似对角化.若λ = 2 不是特征方程的二重根，则λ2- 8λ + 18 + 3a 为完全平方，从而 18+3a=16，解得a = - 2. 3当 a = - 2⎡ ⎢ 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 4E-A= ⎢ 1 - 2 ⎥ 0 3 ⎥ 秩为 2，故λ = 4 对应的线性无关3的特征向量只有一个，从而 A 不可相似对角化.⎢- 1 2 - ⎥ ⎣ 3 ⎦【评注】 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是：对于 A 的任意 k i 重特征根λi ，恒有n - r (λi E - A ) = k i . 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分 9 分）设 A,B 为随机事件，且 P ( A ) = 1, P (B A ) = 4 1 , P ( A B ) = 1，令 3 2⎧1,X ⎨ A 发生,Y = ⎧1, B 发生, ⎩0, A 不发生;⎩0, B 不发生.求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II ）X 和 Y 的相关系数 ρ XY .【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】 （I ） 由于 P ( AB ) = P ( A )P (B A ) =1，12P (B ) =P ( AB ) P ( A B ) = 1 ,61所以， P {X = 1,Y = 1} = P ( AB ) =，121P {X = 1,Y = 0} = P ( AB ) = P ( A ) - P ( AB ) = ，6 P {XP {X = 0,Y = 1} = P ( AB ) = P (B ) - P ( AB ) = 1, 12 = 0,Y = 0} = P ( AB ) = 1 - P ( A + B )3 ⎢YX 0 123111121=1 -P( A) -P(B) +P( AB) =23（或P{X = 0,Y = 0} = 1 -112 -1-1=2），6 12 3故(X,Y)的概率分布为6 12(II) X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1则EXP=1, EY =43 14 41， DX =36 165，DY=3615 1P6 61, E(XY)= ,12故 Cov( X ,Y ) =E( XY ) -EX ⋅EY = ，从而24ρ=Cov( X ,Y ) =15 .XY DX ⋅DY 15【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.（23）（本题满分9 分）设总体X 的分布函数为F (x, β) = ⎧⎪1 -1,⎨x β⎪⎩0,x > 1,x ≤ 1,其中未知参数β> 1, X 1 , X 2 , , X n 为来自总体X 的简单随机样本，求：（I）β的矩估计量；（II）β的最大似然估计量.【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.【详解】X 的概率密度为⎧⎪β, x > 1,f (x, β) =⎨x β+1x ≤ 1.（I）由于⎩⎪0,梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 21 - 页 共 21 页 +∞ n nEX = xf (x ; β )dx = +∞ x ⋅ β dx = β ，⎰-∞ β ⎰1 x β +1 X β - 1令 β - 1= X ，解得 β = ，所以参数 β 的矩估计量为 X - 1βˆ =X . X - 1 （II ） 似然函数为 n ⎧ β n ⎪, x > 1(i = 1,2, , n ), L (β ) = ∏ f (x i ; β ) = ⎨(x 1 x 2 x n ) β +1 ii =1 ⎪⎩0, 其他当 x i > 1(i = 1,2, , n ) 时， L (β ) > 0 ，取对数得ln L (β ) = n ln β - (β + 1)∑ln x i ，i =1两边对 β 求导，得d ln L (β ) = n - ∑n ln x ， d β d ln L (β )i i =1n 令 = 0 ，可得 d β β = ∑ i =1 ， ln xi故 β 的最大似然估计量为βˆ =n . ∑ln X ii =1 【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.n β。

浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛章程(浙江省高校高等数学教学研究会)（年月）第一条总则浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛（以下简称竞赛）是浙江省高等数学教育研究会主办的面向浙江省大学生的群众性科技活动，旨在激发我省大学生学习数学的积极性，提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革，也借此活动为广大学生的考研提供帮助.第二条竞赛类别及内容．竞赛分为数学类、工科类、经管类和文科与专科类四大类。

．数学类的试题主要依据专业教材《数学分析》（复旦大学数学系或华东师大数学系编）；．工科类、经管类和文科与专科类的试题主要依据国内有关《高等数学》或者《微积分》教材, 具体内容见竞赛大纲。

第三条竞赛形式、规则和纪律．浙江省高等数学教育研究会统一竞赛题目，考试总分分，闭卷考试方式，以各个学校相对集中的形式进行。

．竞赛一般在每年月最后一个星期六举行，考试时间为分钟。

．以大学生所在的学校为单位参赛，专业不限。

仅限本、专科学生。

．工作人员将密封的赛题按时启封发给参赛学生，参赛学生在规定时间内完成答卷，并准时交卷。

．参赛学校应责成有关职能部门负责竞赛的组织和纪律监督工作，保证本校竞赛的规范性和公正性。

．对违反竞赛规则的参赛学生，一经发现，取消参赛资格，成绩无效，并通报给参赛学校。

第四条组织形式竞赛由浙江省高等数学教育研究会竞赛组织委员会主持，负责每年动员报名、拟定赛题、组织阅卷和评奖、印制获奖证书、举办全省颁奖仪式等。

竞赛组委会由全省各参赛学校负责人组成。

竞赛分赛区组织进行。

原则上每个学校为一个赛区（每个赛区参赛人数在人以上），不满人可以与邻近的学校合并成立一个赛区。

每个赛区建立一个工作小组，负责本赛区的宣传发动及报名、监督竞赛纪律等工作。

第五条评奖办法由竞赛委员会评选出一等奖％、二等奖％和三等奖％.对成绩特别优秀的考生,授予特等奖。

获奖人数最多的学校获奖名额不超过总名额的％，获奖人数次多的学校获奖名额不超过总名额的％。

2004年浙江省高考数学卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

1． 若U ={1,2,3,4}，M ={1,2}, N ={2,3}, 则U ð(M N )=(A){1,2,3} (B){2} (C){1,3,4} (D){4} 2． 点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2+y 2=1按逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为(A)(-21(B) (-21) (C)(-21,) (D)(,21)3． 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1,a 3,a 4成等比数列，则a 2=(A)-4 (B)-6 (C)-8 (D)-104． 曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是(A)y 2=8-4x (B)y 2=4x -8 (C)y 2=16-4x (D)y 2=4x -165． 设z =x -y , 式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩， 则z 的最小值为(A)1 (B)-1 (C)3 (D)-36． 已知复数z 1=3+4i , z 2=t +i , 且12z z 是实数，则实数t =(A)43 (B)34 (C)-34(D)-437．若n展开式中存在常数项，则n 的值可以是 (A)8 (B)9 (C)10 (D)128． 在△ABC 中，“A ＞30︒”是“sin A ＞21”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9． 若椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 (A)1617(C)4510． 如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= (A)3π(B)4π(C)(D)BCC 1 1D11． 设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是(A) (B) (C) (D)12． 若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x -f [g (x )]=0有实数解，则g [f (x )]不可能是(A)x 2+x -51 (B)x 2+x +51 (C)x 2-51 (D)x 2+51 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。

浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7）一． 计算题 (每小题５分，共30分) 1. 求极限)11)(1(cos 1lim0-+--→x e xx x2. 求积分⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=-⎰⎰221,221|),(,|1|y x y x D dxdy xy D3. 设x e x y 2=是方程hx ce by ay y =++'''的一个解，求常数h c b a 、、、4. 设)(x f 连续，且当1->x 时，2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰，求)(x f 5. 设∑==nk n kS 1221arctan，求n n S ∞→lim 6. 求积分dx e x x xx 1221)11(+⎰-+二．(15分) 求平面122=-+z y x 含在椭圆柱体19422=+y x 内的面积。

三． (20分) 证明：⎰>π2020)sin(dx x四．(20分) 设二元函数),(y x f 有一阶连续的偏导数，且)0,1()1,0(f f =.证明：单位圆围上至少存在两点满足方程 0),(),(=∂∂-∂∂y x f yx y x f x y五．(15分)（非数学专业做）设{}n a ，{}n b 为满足n nb n a e a e+=，1≥n 的两个实数列，已知 )1(0≥>n a n ，且∑∞=1n n a 收敛。

证明：nnn a b ∑∞=1也收敛。

六．（15分）（数学专业做）设11=a ，12=a ，n n n a a a 3212+=++，1≥n ，求∑∞=1n n nx a的收敛半径，收敛域及和函数。

2003年浙江省大学生数学竞赛试题（经管类专业）一、计算题1、已知0sin =++x y xe y ，求)0(y '2、设⎰=x dt t t x G 13sin )(，求dx x G ⎰21)(3、求520)sin(limxdt xt x x ⎰→4、求dxdy y yD⎰⎰sin ，其中D 为以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形区域。

浙江省首届高等数学（微积分）竞赛试题(2002.12.7)一、计算题（每小题5分，共30分） 1.求极限0x →.2. 求积分11|1|,{(,)|2,2}22Dxy dxdy D x y x y -=≤≤≤≤⎰⎰. 3. 设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h . 4. 设()f x 连续，且当1x >-时，2()[()1]2(1)xxxe f x f t dt x +=+⎰，求()f x . 5. 设211arctan2nn k S k==∑，求lim n n S →∞. 6. 求积分12121(1)x x x e dx x ++-⎰.二、（满分15分）求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22149x y +=内的面积. 三、（满分20分）证明：20)0x dx >.四、（满分20分）设二元函数(,)f x y 有一阶连续的偏导数，且(0,1)(1,0)f f =.证明：单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0yf x y x f x y x y∂∂-=∂∂. 五、（满分15分）（非数学类做）设{},{}n n a b 为满足,1nn a b n e a e n =+≥的两个实数列，已知0(1)n a n >≥，且1n n a ∞=∑收敛.证明：1nn nb a ∞=∑也收敛. 六、（满分15分）（数学类做）设11a =，21a =，2123n n n a a a ++=+，1n ≥，求1nn n a x∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数.（微积分）竞赛试题（工科类）一、计算题（每小题15分，满分60分）1、求205sin()limxx xt dt x →⎰。

2、设31()sin xG x t t dt =⎰，求1()G x dx ⎰。

3、求241x dx x ∞+⎰。

4、求21limnn k n kn k →∞=++∑。

浙江省2004年高等职业技术教育招生考试数学试卷 考生注意：试卷共三大题，共计30小题，满分150分，考试时间为120分钟。

请务必用钢笔或圆珠笔答案直接写在试卷上（画图可用铅笔），答卷前请将密封线内的项目填好。

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．下列各数中为数列{3n+1}某一项的是 （ ）A ．35.2B ．-567C ．3001D ．327652．以点（2，0）为圆心，半径等于4的圆方程为（ ）A ．16)2(22=+-y xB ．4)2(22=+-y xC ．16)2(22=++y xD ．4)2(22=++y x3．根据幂指数的运算法则，232的值应当等于（ ）A ．26B ．25C ．29D ．624．若直线a ⊥平面γ，且直线a ⊥直线b ，则（ ）A ．直线//b 平面γB ．直线b ⊥平面γC ．直线⊂b 平面γD ．直线⊂b 平面γ或直线//b 平面γ5．下列具有特征)()()(2121x f x f x x f ⨯=+的函数是（ ）A ．x x f 2)(=B ．x x f 2)(=C ．x x f +=2)(D ．x x f 2log )(=6．函数x x y sin 2cos 22+-=的最小值是（ ）A ．6-B ．2-C ．2-D ．1-7．若向量)2,4(),1,2(-=-=b a 则b 、a关系为（ ） A ．0=+b a B ．b a ⊥ C ．||a =|b | D ．b a //8．双曲线116922=-x y 的焦点坐标是（ ）A ．)0,5(21±、FB ．)5,0(21±、FC ．)07(21，F 、± D ．)7,0(21±、F 9．“y x =”是“y x sin sin =”的（ ）A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件10．如右图所示，由4个棱长为1cm 的正方体堆积成一个几何体，可求得该几何体的表面积为（ ）A ．16cm 2B ．17cm 2C ．18cm 2D ．19cm 211．如果a 、+∈R b ，且1=+b a ，那么ab 有（ ）A ．最小值41B ．最大值41C ．最小值21D ．最大值21 12．当直线13+=x y 与直线02=-+y x λ互相垂直时，λ必须等于（ ）A ．31B ．31- C ．3 D ．3- 13．下列关于不等式的命题为真命题的是（ ） A ．b a b a >⇒>22 B ．b a b a 11>⇒> C ． 111>⇒<a aD ．c b c a b a +<+⇒< 14．从5本小说书和6本科技书中任取3本，要求小说书和科技书都要取到，则不同的取法总数可表示为（ ）A ．35311C C -B ．2615C C C ．16252615C C C C +D ．36311C C - 15．已知函数x y cos 2=和2=y 的图像在]2,0[π∈x 范围内构成一个封闭的平面图形，利用对称性可得其面积为 （ ）A ．2B ．4C ．2πD ．4π二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）16．若3和x 的等差中项与等比中项相等，则x=17．函数12sin22+=x y π的最小正周期T= 18．函数x x x x f -+-=21)(的定义域为 19．已知直线l 过点（－1，2）且 ，可求得直线l 的方程为01=-+y x .20．有3所学校共征订《浙江教育报》300学征征订98份，有一学校征订102份，则3同的征订方法共有 种。

浙江省大学生高等数学竞赛(微积分)大纲摘要：五,多元微积分矢量及其运算和空间解析几何,多元函数的微分及其性质和应用.二重积分,三重积分,第一,二类曲线与曲面积分的计算,三个重要公式:Green公式, Gauss 公式和...关键词：微积分,积分类别：专题技术来源：牛档搜索（）本文系牛档搜索（）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。

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内容涉及到大学本科(专科)《微积分》或《高等数学》课程所涵盖的各知识点，以单变量内容为主，具体内容如下:一、函数极限和连续性考察考生对函数、极限概念的理解和掌握，函数极限的讨论和计算，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理)，并会应用这些性质。

二、导数及其应用函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质 (单调性，凹凸性等)以及导数的应用 (极值、最大值和最小值等)。

三、积分不定积分和定积分的计算，定积分的应用 (面积、体积、引力、功、压力)和广义积分。

四、级数级数的收敛性及其判别定理，几类特殊的级数的敛散性，如正项级数、一般级数等，幂级数的求和、函数的Taylor级数展开和Fourier级数展开等。

五、多元微积分矢量及其运算和空间解析几何，多元函数的微分及其性质和应用。

二重积分、三重积分、第一、二类曲线与曲面积分的计算，三个重要公式:Green公式、 Gauss 公式和Stokes公式以及曲线积分与路径无关性的应用和计算。

注:1.经管类学生只考第一至第四部分(功、压力、引力、Fourier级数不要求)。

专科和文科类考生只考第一至第三部分(功、压力、引力不要求)。

浙江大学01-04级微积分试卷得浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷系__________ 班级__________ 学号__________姓名__________ 考试教室__________题号一二三四五六七八总分复核得分评卷人一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中1.设()()()()()f x x a x b x c x d=----，其中a，b，c，d互不相等，且'()()()()f k k a k b k c=---，则k的值等于（）. （A）.a（B）.b（C）.c（D）.d2.曲线222y x x=++，当x→-∞时，它有斜渐进线（）.（A ）.1y x =+ （B ）.1y x =-+ （C ）.1y x =-- （D ）.1y x =-3.下面的四个论述中正确的是（ ）.（A ）.“函数()f x 在[],a b 上有界”是“()f x 在[],a b 上可积”的必要条件；（B ）.函数()f x 在区间(),a b 内可导，()0,x a b ∈，那末0'()0f x =是()f x 在0x 处取到极值的充分条件；（C ）.“函数()f x 在点0x 处可导”对于“函数()f x 在点0x 处可微”而言既非充分也非必要；（D ）.“函数()f x 在区间E 上连续”是“()f x 在区间E 上原函数存在”的充要条件.4.下面四个论述中正确的是（ ）. （A ）.若0nx ≥ (1,2,)n =，且{}nx 单调递减，设lim nn xa→+∞=，则0a >； （B ）. 若0nx>(1,2,)n =，且lim nn x →+∞极限存在，设lim n n x a→+∞=，则0a >；（C ）. 若lim 0nn x a →+∞=>，则0nx≥(1,2,)n =；（D ）. 若lim 0nn xa →+∞=>，则存在正整数N ，当n N >时，都有2na x >.得得二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案 1.2lim (1)tgxx x π→+-=____________；2lim (1)tgxx x π→-=____________.2.函数()f u 可导，(sin )y f x x =，则dy dx =____________.3.cos sin x xx e e dxe ⎰=____________.4. 5sin tdtπ⎰=____________；50cos tdtπ⎰=____________.三、求极限：（每小题7分，共14分）1.数列{}nx 通项22212nxn n n n=++++++，求lim nn x →+∞.2.求300sin limsin xx t dt t x x→-⎰.得得四、求导数：（每小题7分，共21分）1. 2sin 1xx y x x =+，求dy dx. 2. 2,sin ,x t y t ⎧=⎨=⎩求dy dx，22d y dx .3.函数()y y x =由sin x y y +=确定，求221,;x y dy dxππ=-=22221,.x y d y dx ππ=-=五、求积分：（每小题7分，共28分）1.求21(1)xdx x x ++⎰. 2.求0sin cos x x dxπ-⎰. 3.求202ax x dx -⎰(0)a >.得得4.计算2cos x e xdxπ+∞-⎰.六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微分方程的专业做第2题.1.求解常微分方程：22(),(1) 1.x dy xy x dx y ⎧=-⎨=⎩2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？七、（6分）在xoy 平面上将连结原点(0,0)O 与点(1,0)A 的线段OA（即区间[]0,1）作n 等分，分点(,0)kn记作kP ，对1,2,,1k n =-，过kP 作抛物线2y x =的切线，切点为kQ .1.设kkPQ A ∆的面积为kS ，求kS ；得得2.求极限111lim n k n k S n -→+∞=∑.八、证明题（5分）设()f x 在(),-∞+∞上连续，且()0f x >，0()()xG x tf x t dt=-⎰.证明：对任意,(,)a b ∈-∞+∞，且a b≠，必有()()'()()0G b G a G a b a --->.浙江大学2001级微积分（下）期终考试试卷系__________ 班级__________ 学号__________姓名__________ 考试教室__________题 号 一 二 三 四 五 六 总分 复核 得 分评卷人得一、填空题：（每小题3分，共15分）只填答案1.设一平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面的方程是____________。

2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类） 一． 计算题（每小题15分，满分60分）1． 计算：()()200cos 2lim tan 1xtx x e tdt x x x →----⎰。

解: 原式()22cos 2limtan xt x e tdt x x x x x→--=-⋅⎰00202cos 22lim 2tan sec x x e x xx x x x →--=--202cos 22lim tan tan x x e x xx x x x→--=-- 0203332cos 22lim tan tan x x e x xx x x x x x x →--=⎛⎫-- ⎪⎝⎭其中223333000tan tan tan tan lim lim lim x x x x x x x x x x xx x x x →→→⎛⎫---=- ⎪⎝⎭2222232300001sec tan tan tan 4lim lim lim lim 333x x x x x x x x x x x x x x →→→→--=-=-=-原式00320032cos 223cos sin 1lim lim 423xx x x x e x x e x e x x x→→----=-=- 0001cos sin sin cos lim 22x x x x x e x e x e x e xx →---=0012sin 1lim 42x x e x x →-=-=.①30tan sin limx x xx→-在课堂上作为一个典型的例子; ②3tan ()x x O x =+2． 计算：2cos 2004xdx x x πππ+-+⎰。

解: 原式22cos 200424x dx x ππππ+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎰2222sin 20044x dx t ππππ--=-+⎰22222222sin 2004200444x dx dx t t πππππππ--=--+-+⎰⎰2221dπππ-=⎛⎫⎪+⎰==其他想法: 原式22202cos cos 20042004x x dx dx x x x x πππππππ++=+-+-+⎰⎰后者22222cos()cos 22004()()200422x t t xdx dt x x t t πππππππππππ-=+++=-++-++⎰⎰222sin 20044t dt t πππ-=-+⎰, 看来做不下去了!!!3． 求函数()22,415f x y x y y =++在(){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。

2004~2005年度高等数学竞赛试题一、填空题（每题4分，共20分）1．设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin ⋅高阶的无穷小，而nx x sin ⋅是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于 。

（2） 2．设)(sin 42x y =，则)(3x d dy = 。

（)sin()cos(3844x x x ） 3．两平面0218419:1=++-z y x π和0428419:2=++-z y x π之间的距离为 。

（1）4．=+⎰-xdx x x 22223cos )sin (ππ 。

（8π） 5． =⨯⋅⋅)(])([b a a b a。

（0）分析： a b a)(⋅与a 共线，而)(b a a⨯⊥，)()(b a a b a⨯⊥⋅∴，⇒0)(])([=⨯⋅⋅b a a b a。

二、（10分）已知2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x ，求a 、b 。

解：cbx ax x c bx ax x c bx ax x x x +-+-+-=+--+∞→+∞→2222525lim)5(lim ，25)25(lim22=+-+-+-=+∞→cbx ax x c bx x a x ，25,025=⇒=-∴a a ，20)255(2=+=b 。

三、（10分）设)(x f 在),(∞+-∞内可导，且e x f x ='∞→)(lim ，)]1()([lim )(lim --=-+∞→∞→x f x f c x c x x xx ，求c 的值。

解：c xx e cx c x 2)(lim =-+∞→ ，而由拉格朗日中值定理有1)()1()(⋅'=--ξf x f x f e f x f x f x ='=--∴∞→∞→)(lim )]1()([lim ξξ，e e c =⇒2，21=c 。

四、（10分）设)(x f 在),0[∞+上可导，0)0(=f ，且其反函数为)(x g ，若⎰=)(02)(x f x e x dt t g ，求)(x f 。

浙江大学2004级微积分（上）期中测验试题解答一、填空（每小题4分，共32分）1． 判断下列函数的间断点的类型：0=x 是xx y 1sin=的 第一类（可去） 间断点；0=x 是 xx y sin =的 第一类（跳跃） 间断点；0=x 是x y 1sin =的 第二类 间断点。

2．若61sin 1lim 0-=⎪⎭⎫⎝⎛-→x b x a x x ，则1,1==b a 。

3．若 e x x ax x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→121lim ，则=a 3/1。

4．设当0→x 时，)1(2++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则1,2/1==b a 。

5．设x xe x f =)(，则其n 阶导数)()()(n x e x fx n +=在点)1(+-=n x 处取到极小值。

6．设点)3,1(是曲线23bx ax y +=的拐点，则参数2/9,2/3=-=b a 。

7．函数132-++=x x x y 的图形有铅垂渐近线 1=x 和斜渐近线2+=x y 。

8．已知x x xe e f -=')(，且0)1(=f ，则x x f 2ln 21)(=。

()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+====⎰⎰⎰0,ln 2121)()(22c c x c t tdt dt e e f dx x f x f tt二、计算与证明（共68分）1． （6分）解： )1ln()1)((lim 2sin 0x e x x e e x xx x +-+-→613cos 1lim sin lim )1ln()1()1()1(lim 2030sin sin 0=-=-=+-+-=→→-→x x x x x x e x x e e x x x x x x x2． （6分）解1：42sin 21tan sec lim 42cos tan ln lim4tan ln 2tan lim 2tan 42444)(tan lim πππππππ--⋅→====→→→eeeex xx x xxxx x xx x x x x解2 ：4tan 1tan 21tan 14tan1tan 242tan 4))1(tan 1(lim ))1(tan 1(lim )(tan lim 2ππππ-+-⋅-→-→→=-+=-+=ex x x xxx x x xxx x xx x3． 设⎩⎨⎧>+≤-+=0,0),21ln(1)(x be a x x x f x，试确定a ，b ，使)(x f 在0=x 处可导，并求)(x f '。

2004年浙江大学数学分析试题答案1.)(x f 必要性：在X 上一致收敛：,0,0>∃>∀δε当δ<-'''x x 时，ε<-)''()'(x f x f ，由0)(lim ''=-∞→m n n x x ，对上述,,0N ∃>δ当N n >时，δ<-''m n x x ，有ε<-)'()'(m n x f x f ， 所以0)'()'(lim =-∞→m n n x f x f ，充分性：反证：假设)(x f 在X 上不一致收敛；'',',0,00x x ∃>∀>∃δε尽管δ<-'''x x ，但0)''()'(ε≥-x f x f ，不妨取,',',1m n x x n ∃=δ尽管nx x m n 1''<-，但0)'()'(ε≥-m n x f x f上述},'{},'{m n x x 满足0)(lim ''=-∞→m n n x x ，但是0)'()'(ε≥-m n x f x f ，与0)'()'(lim =-∞→m n n x f x f 矛盾。

2. 由0)('lim0=→xx f x ，得0)0('',0)0('==f f ，)()0('''61)0(''21)0(')0()(332x x f x f x f f x f ο++++=，)1(161)1(22nn n nf ο+=， 级数∑∞=121n n 绝对收敛，所以原级数绝对收敛。

3.由0)('<+a f ，存在c a f x f a x =<>)()(,11，由0)('<-b f ，存在c b f x f b x =><)()(,22，由连续函数的介值定理：存在201x x x <<，c x f =)(0，在由罗尔定理，知)('x f 在),(b a 至少存在两个零点。

浙江大学城市学院2004——2005学年第二学期期末试卷课程名称：微积分B 考试形式： 闭 卷 考试时间：2小时6分，共18分）1． 设→→→→++=k j i a 2，→→→→++=k j i b 4，求→→→⨯+b b a )2(。

2． 求过点)2,0,1(-且与平面012=-+y x 及平面0324=-+-z y x 都平行的直线方程。

3． 求直线=+33x =-+22y 1z 与平面0622=+++z y x 的交点的坐标。

二．求解下列各题（每小题6分，共18分）1． 设),(y x z z =由方程333a xyz z =-所确定（a 是常数），求x z ∂∂，y z ∂∂。

2．设()y x xy x f z 222,-=，求x z ∂∂，yz ∂∂。

3．设()sin y z x y =+，求dz 。

三．求解下列各题（每小题6分，共18分）1．求二重积分⎰⎰D xydxdy ，其中D 是由直线x y -=2，x y =及0=x 所围成的平面区域。

2． 求二重积分⎰⎰+D d y x σ22，其中{}0,4),(22≥≤+=y y x y x D 。

3．求三重积分⎰⎰⎰Ωxdv ，其中Ω是平面12=++z y x 与三个坐标平面所围的空间区域。

四．求解下列各题（每小题6分，共18分）1．判定级数∑∞=12)sin(n n n n 的敛散性，并给出理由（若是收敛，要说明是条件收敛还是绝对收敛）。

2．证明级数∑∞=--11ln )1(n n n n 收敛。

3． 求幂级数∑∞=-11n n nx 的收敛半径、收敛区间（包括端点）及和函数。

五．求解下列各题（每小题6分，共12分）1．计算第一类曲线积分⎰l dl y 2，其中l 是上半圆周222a y x =+，0≥y 。

2．计算第二类曲线积分⎰Γ+OA ydy x dx xy 22，其中OA Γ是抛物线2x y =自点)0,0(至点(3,9)的有向弧。

高等数学竞赛浙江省2006文科与专科类（摘自华工藏书：卢兴江 金蒙伟主编《高等数学竞赛教程》，浙江大学出版社）一、计算题（每小题15分共60分）1．求()1lim 2x x x e x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(提示：11lim 211x x x I e x e →∞⎡⎤⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦) 2．求()48811x x dx x x ++-⎰(提示：先考虑()4873888112,111x x x x x x xx x ++=++--- 7334884441211111ln ln 1ln 12121481x x x x I dx x x c x x x x x ⎛⎫+=+++=--++ ⎪--+-⎝⎭⎰） 3．求曲线222arctan y x t t y t e e⎧=-⎪⎨+=⎪⎩在0t =处的切线方程(提示： 221;0,0,2;221arctan y dy y t x y y e x dx t e t--=⋅===-=-++) 4．设()f x =，求()()10f x 。

(提示： ()()()()10101012f x f x x --⎡==-+⎢⎣) 二、（满分15）设()36x x f x e =-,问()0f x =有几个实根?并说明理由(提示：()()()300;03!x x f x x e x >≤>>，无实根)三、（满分20分）已知)x ax b →∞=，求,a b (提示：11,3a b ==) 四、（满分20分）。

求由0,y y y ===D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积(提示：交点()22222222000011,1,,ln 622e e e e e e S V xdx e πππ=-=-=-=⎰⎰⎰⎰) 五、（满分20分）设()f x 有连续的二阶导数，证明：()()()()000xf x f f x tf x t dt '''=++-⎰。