高考数学总复习高考研究课(二)平面向量的数量积及应用课件理

即x2 y2 3 x 0
所以点P的横坐标的取值范围为 0 x 3
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小结
1．本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、 运算律、几何意义及其在物理学上的应用。
2．利用平面向量的数量积运算来解决一些实际 问题.
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四、能力训练
1.已知a2
2
1, b
4,
a
b
a
0,则a与b的夹角是:
A.90 B.60 C.120 D.150
3. AB与AD的夹角是60, AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。
AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
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例2、 已知a 5, b 4,且a与b夹角为60,问k为何值时,
使 ka b a 2b
解: ka b a 2b ka b a 2b 0
且a b b c c d d a,试判断四边形ABCD的形状特征.
6.若a cos,sin ,b cos ,sin ,且 ka b 3 a kb k 0
1用k表示数量积a b
2求a b的最小值,并求此时a与b的夹角.
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例4.已知两点M 1,0, N 1,0,且点P使MP MN, PM PN, NM NP
A
ab ba
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影数量 b cos的乘积.
3、数量积的物理意义：F
S
F cos
如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功 W
可用公式计算 : W F S | F || S | cos
4
4、数量积的主要性质及其坐标表示：
设a, b是两个非零向量
A.a b 1
2
2

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

即
a
b
2 ，设 a 与 b
的夹角为 ，则 a b
a
b cos
1 ，即 cos
1 ab
，
且
a
b
2 ，则 cos
1 2
，所以
π 3
，则 a 与 b
的夹角可以为
π 6
，
2π 7
.
故选：AB
例 15．（2023 春·陕西榆林·高二绥德中学校考阶段练习）已知非零向量 a ， b 满足 a 2 b ，且 a b b ，
a b a b x1x2 y1y2 0
考点一 平面向量数量积的基本概念及运算
例 1．（2023 春·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知向量 a b
则ab bc ca （ ）
A． 17 B． 15 C． 17 D． 15
2
2
2
2
解：因为 a b c ，则 a b 2 c 2 ，
则 a 与 b 的夹角为（ ）
A． π B． π C． 2π
6
3
3
D． 5π 6
解：设 a ， b 的夹角为 ， 0, π，
因为 a 2 b ， a b b ，
所以
ab
b
a
b
2
b
2
b
b
cos
b
2
0
，
则 cos 1 ， π .
2
3
故选：B.
考点四 两个向量的垂直关系
例 16．（2022·陕西西安·统考模拟预测）若向量 a 2, x ，b 2,1不共线，且 a b a b ，则 a b
c m,2 ，且 a b ∥a 2c ．
(1)求实数 n 关于 m 的表达式； (2)当 b c 的值最小时，求向量 a 和 b 的夹角的余弦值．

忽视向量夹角
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量夹角的影响。
详细描述
向量夹角是计算数量积的重要因素之一，夹角余弦值直接影响着数量积的结果。 如果学生忽视了夹角，就会导致计算结果不准确。因此，在计算数量积时，学生 需要特别注意夹角的取值范围和符号。
忽视向量模长的影响
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量模长的影响。
公式
数量积的公式为 $|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| times |vec{b}| times |cos theta|$，其中 $theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
几何意义
几何意义
平面向量的数量积表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在垂直方向上 的投影的模长之积。
02
平面向量的数量积运算
线性运算
线性运算包括加法、 数乘和向量的线性组 合等基本运算。
线性运算的性质包括 向量共线定理、向量 模的性质等。
向量加法满足交换律 和结合律，数乘满足 分配律。
数量积的坐标表示
数量积的坐标表示是通过向量的坐标来计算两个向量的数量积。
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
高三复习课平面向量的数量积课 件
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