第七章 概念
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高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。
微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。
微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。
2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。
例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。
3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。
一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。
4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。
如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。
以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。
高中政治》新课标解读7---大概念
高中政治》新课标解读7---大概念引言本文旨在解读高中政治新课标中的第七章——大概念。
大概念是政治学中的重要概念，对于理解和分析政治现象具有重要意义。
本文将介绍大概念的定义和作用，以及其中涉及的一些关键概念。
大概念的定义大概念是指在政治学中对一类事物或现象进行整体性概括和抽象的概念。
大概念的作用是为我们提供一个分析政治现象的框架，并帮助我们理解其中的规律和问题。
大概念具有包容性和归纳性的特点，能够将一些具体的现象归类为同一类别，从而便于我们进行比较和研究。
大概念的作用大概念在政治学中起着重要的作用。
首先，大概念帮助我们对复杂的政治现象进行分类和概括，从而有助于我们理清政治的本质和发展趋势。
其次，大概念能够帮助我们发现政治现象中的普遍性规律和特点，从而提高我们对政治现象的认识和把握。
此外，大概念还可以作为研究和分析的工具，帮助我们预测和解释政治现象的发展趋势和背后的原因。
关键概念在大概念中，有一些关键概念需要我们特别关注。
这些概念在政治学中具有重要的地位，对于我们理解政治现象至关重要。
以下是其中的几个关键概念：1. 政治体制：政治体制是指一个国家或地区的政治组织形式和权力结构。
它包括政治制度、政治组织和政治文化等方面，对于一个国家的政治发展和稳定至关重要。
2. 政治意识：政治意识是指人们对政治问题和政治现象的认知和态度。
政治意识涉及到人们对权力、利益、公共事务和社会组织等方面的看法和价值观。
3. 政治行为：政治行为是指人们在政治领域中所表现出来的行为和活动。
政治行为可以包括选举投票、政治参与、政治抗议等方面，是个体对政治的参与和表达。
4. 政治文化：政治文化是指一个社会或群体在政治方面的共同、价值观和惯。
政治文化反映了一个社会的政治氛围和政治行为的共同规范。
结论通过对大概念的解读，我们可以更好地理解和分析政治现象。
大概念作为政治学的基础概念，为我们提供了一个全面、深入地理解政治的视角。
掌握大概念有助于我们提高政治素养，增强对政治问题的认识和分析能力。
理论力学第七章
12
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
例题
点的复合运动
例 题 7-1
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
va ve vr
13
例题
点的复合运动
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
24
ω0
O
30
C
例题
点的复合运动
例 题 8-10
3. 速度分析。
α
ω
60
绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。
D A E 牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr vB v a
a
a
n ae sin 30 cos 30
2 3o l r 3l
所以杆BD的角加速度
t ae l
2 3 o r (l r )
3l 2
27
例题
点的复合运动
习题课
28
第七章
一、基本概念
点的合成运动习题课
1.一个动点，两个坐标系，三种 运动 2.速度合成定理
v2 B
v1
30
vr 与 va 的夹角 ve
60
M
β
ve sin 60 46 12 arcsin vr
va
vr
18
§7-３点的加速度合成定理
先分析 k’ 对时间的导数。
' drA rA rO k vA e rA dt ' ' drO dk e (rO k ) dt dt 因为 v drO r O e O dt
初等数论第七章原根
第七章原根原根是数论的理论和应用中一个很重要的概念。
本章要介绍原根以及与它有关的根本知识。
第一节指数及其根本性质定义1设m > 1，(a, m) = 1，那么使a r≡ 1 (mod m) (1) 成立的最小的正整数r，称为a对模m的指数，记为δm(a)，在不致误会的情况下，简记为δ(a)。
由Euler定理，当r = ϕ(m)时式(1)成立，因此，恒有δm(a) ≤ϕ(m)。
假设a≡b (mod m)，(a, m) = 1，那么显然有δm(a) = δm(b)。
定义2假设δm(a) = ϕ(m)，那么称a是模m的原根。
例如，当m = 7时，因为21≡ 2，22≡ 4，23≡ 1 (mod 7)，所以δ7(2) = 3。
又因为31≡ 3，32≡ 2，33≡ 6，34≡ 4，35≡ 5，36≡ 1 (mod 7)，所以δ7(3) = 6 = ϕ(7)，3是模7的原根。
以后，在谈到a对模m的指数时，总假定m > 1，(a, m) = 1。
定理1记δ = δm(a)，那么a0, a1, , aδ- 1对模m两两不同余。
证明用反证法。
假设有0 ≤i < j≤δ- 1，使得a i≡a j (mod m)，那么由(a, m) = 1得到a j - i≡ 1 (mod m)，这与δ = δm(a)的定义矛盾，所以定理成立。
证毕。
定理1说明，假设g 是模m 的原根，那么g 0, g 1, , g ϕ(m ) - 1构成模m 的简化剩余系。
定理2 设δ = δm (a )，r 与r '是正整数，那么a r ≡ a r ' (mod m ) (2)的充要条件是r ≡ r ' (mod δ)。
(3)特别地，a r ≡ 1 (mod m )的充要条件是δ∣r 。
证明 不妨设r > r '。
因为(a , m ) = 1，所以式(2)等价于a r - r ' ≡ 1 (mod m )。
七年级物理第七章知识点
七年级物理第七章知识点物理，作为自然科学中的一科，是探究自然界物体的运动、变形和能量等基本特性的学科。
对于七年级的学生来说，学习物理是非常重要的。
在学习的过程中，第七章是比较重要的一个章节，该章节主要内容是特殊相对论。
下面，我们就来详细讲解一下七年级物理第七章知识点。
一、相对运动概念我们知道物理中，相对运动是指在一个参照物的基础之上，考虑并描述其他物体与该参照物的运动状态和相对位置的变化。
比如，当我们在火车上行驶时，我们看到站在路边等待的人在后退。
然而，站在路边的人看到的则是火车在前进。
这样的现象就属于相对运动。
二、相对论基本原理相对论的基本原理可以概括为两点：光速不变原理和等效原理。
光速不变原理指的是在不同的参照系下，光速的数值保持不变。
等效原理则是指的是被任何一种力学等效的惯性系，都是等价的。
三、相对论速度变换公式在相对论的世界里，速度并不是线性叠加的。
相对论速度变换公式描述了物体在一个参考系中的速度，变换到另一个参考系中的速度。
该公式如下：Vx = (Vx' + V) / (1 + Vx'V/C2)其中，Vx代表物体在一参考系中的速度，Vx'代表物体在另一个参考系的速度，V代表两个参考系的相对速度，C代表光速。
四、相对论质量相对论中，物体的质量是跟其速度相关的。
具体来说，高速运动的物体比静止不动的物体质量更大。
相对论质量的公式如下：m = m0 / (1 - V2/C2)其中，m0代表静止不动的物体质量，V代表它的运动速度，C 代表光速。
五、时间和空间的相对论效应相对论中，时间和空间也不是绝对的。
时间的流逝速度和物体的速度有关，当物体的运动速度越快，经过的时间就会越慢；空间也会发生相应的各向异性变形。
六、相对论的应用相对论除了可以用来解释微观粒子的现象外，还有很多实际应用。
例如，在卫星导航系统中，就需要考虑相对论的影响，以保证系统的精度。
七、总结相对论是对经典力学的一个重大修正和补充。
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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结束
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
第七章 测量误差基本概念1
一、误差公理 一切测量结果都有误差，误差存在于检定与测 试的全过程之中。 如果我们在给出一项测量结果的时候，没有指 出其误差，那这个测量结果将没有实际意义。
二、测量误差定义及表达 测量误差：测量结果与被测量的真值之间的差。 即测量误差=测量结果-被测量的真值 真值：被测量的真值是指一个量在被观测瞬 间的条件下，被测的量本身所具有的真实大小， 真值是客观存在的，但在一般情况下又是未知的， 这是因为客观世界的一切物体都处于不断运动之 中，测量也不可能完全没有误差，因此也就无法 求得瞬息变化的被测的量的真值。所以量的真值 仅是一个理想的概念，在实际运用中的真值是指 以下几种情况：理论真值、约定真值。
例如，下列两组测定结果：
x1－ ： + 0.11 －0.72 +0.24 + 0.51 x －0.14 0.00 +0.30 －0.21 ＝0.28 N1＝8 d1 x2－ : +0.18 +0.26 －0.25 －0.37 x +0.32 －0.28 + 0.31 －0.27 N2=8
2=0.28 d
相对误差能反映出误差在真实值中所占比
例，这对于比较在各种情况下测定结果的准确
度更为方便。绝对误差和相对误差都有正负， 正值表示测定值比真实值偏高，负值表示测定 值比真实值偏低。
二、精密度与偏差
精密度是几次平行测定结果之间相互接近的 程度，它反映了测定结果再现性的好坏，其大小 决定于随机误差的大小。精密度可以用偏差、平
均偏差或相对偏差来衡量。
偏差定义为：
d
越差。
def
xi x
偏差越大，精密度就越低，测定结果的再现性就
平均偏差定义为：
N 相对平均偏差定义：
二、测量误差定义及表达 测量误差：测量结果与被测量的真值之间的差。 即测量误差=测量结果-被测量的真值 真值：被测量的真值是指一个量在被观测瞬 间的条件下，被测的量本身所具有的真实大小， 真值是客观存在的，但在一般情况下又是未知的， 这是因为客观世界的一切物体都处于不断运动之 中，测量也不可能完全没有误差，因此也就无法 求得瞬息变化的被测的量的真值。所以量的真值 仅是一个理想的概念，在实际运用中的真值是指 以下几种情况：理论真值、约定真值。
例如，下列两组测定结果：
x1－ ： + 0.11 －0.72 +0.24 + 0.51 x －0.14 0.00 +0.30 －0.21 ＝0.28 N1＝8 d1 x2－ : +0.18 +0.26 －0.25 －0.37 x +0.32 －0.28 + 0.31 －0.27 N2=8
2=0.28 d
相对误差能反映出误差在真实值中所占比
例，这对于比较在各种情况下测定结果的准确
度更为方便。绝对误差和相对误差都有正负， 正值表示测定值比真实值偏高，负值表示测定 值比真实值偏低。
二、精密度与偏差
精密度是几次平行测定结果之间相互接近的 程度，它反映了测定结果再现性的好坏，其大小 决定于随机误差的大小。精密度可以用偏差、平
均偏差或相对偏差来衡量。
偏差定义为：
d
越差。
def
xi x
偏差越大，精密度就越低，测定结果的再现性就
平均偏差定义为：
N 相对平均偏差定义：
正弦交流电基本概念
第三节 交流电的表示法
一、解析式表示法 二、波形图表示法 三、相量图表示法
一、解析式表示法
i(t) = Imsin(ω t + ϕi0) () ( u(t) = Umsin(ω t + ϕu0) () ( e(t) = Emsin(ω t + ϕe0) () ( 例如已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 100 Hz， ， ， 设初相位为 60° ，则该电流的瞬时表达式为 ° i(t) = Imsin(ω t + ϕi0) = 2sin(2πf t + 60°) = 2sin(628t + 60°)A () ( ( π ° ( °
二、波形图表示法
图 7-2 正弦交流电的波形图举例
三、相量图表示法
正弦量可以用最大值相量或有效值相量表示 表示， 正弦量可以用最大值相量或有效值相量表示，但通常用 相量 有效值相量表示。 有效值相量表示。
1.振幅相量表示法 .
最大值相量表示法是用正 最大值相量表示法 是用正 弦量的最大值做为相量的模( 弦量的最大值做为相量的模 ( 大 用初相角做为相量的幅角， 小 ) 、 用初相角做为相量的幅角 ， 例如有三个正弦量为 e = 60 sin(ω t＋60 °) V ( ＋ u = 30 sin(ω t＋30 °) V ( ＋ i = 5 sin(ω t－30°) A ( － ° 图 7-3 正弦量的振幅相量图举例 则它们的最大值相量图如图 7-3 所示。 所示。
二、交流电的表示法
1．解析式表示法 ． 2．波形图表示法 ．
i(t) = Imsin(ωt + ϕi0) () ( u(t) = Umsin ( ωt + ϕu0 ) () e (t) = Emsin ( ωt + ϕe0 ) ) 波形图表示法即用正弦量解析 式的函数图形表示正弦量的方法。 式的函数图形表示正弦量的方法。
人教版八年级下册物理：第七章 力
例1、关于弹力，下列说法正确的是（ C ） A. 不相互接触的物体之间也会产生弹力 B. 拉力不属于弹力 C. 压缩的弹簧能产生弹力 D. 物体在发生形变时产生的力叫弹力
例2、如图所示，一位同学在弹簧测力计的两 端沿水平方向各施加15N的拉力，并使其保持 静止，此时弹簧测力计的示数为（ C ）
A. 0N B. 3N C. 15N D. 12N
3、力可以改变物体的运动状态，反过来，物体运动状态发 生变化一定受到了力的作用。
力的三要素是：力的大小、方 向、作用点，它们都能影响力的作 用效果。
用一根带箭头的线段把力的 三要素都表示出来的图就叫力的 示意图。在同一个力的示意图中， 力越大，线段越长。
小结 1．概念：力是_物__体__对__物__体__的作用．一个力产生时，必然 存在着两个物体，一个叫_施__力__物体，一个叫受__力__物体． 2．物体间力的作用是__相__互__的．施力物体同时也会受到受 力物体给它的反作用力的作用．
地球吸引物体的每一部分，但对于整个 物体，重力作用的表现就好像它作用在物体 的一个点上，这个点叫物体的重心。 注意： ①质量分布均匀的物体，重心的位置只跟它 的形 状有关。外形规则、质量分布均匀的物体重心在 它的几何中心上。 ②质量分布不均匀的物体，可以用悬线法找物体 的重心。 ③物体的重心可以在物体上，也可以在物体外。
物体所受的重力跟它的质量成正比。
公式：G=mg 公式中重力的单位是牛，质量的单位是千克，
因此比值g的单位是牛每千克，符号是N/kg。其 中，比值g=9.8N/kg，在粗略计算中，g可以取 10N/kg。
g的物理意义：质量是1kg的物体受到的 重力为9.8N。
总是竖直向下的，与当地的水平面垂直。
重心
第七章 产品整体概念
品牌的含义
Benz ＋
＝ 品牌
属性 昂贵 精良
利益 令人 羡慕
价值 安全 威信
文化 效率 品质
个性 有趣 权势
群体 成功 高管
名车品牌大观
宝马（BMW）·德国 中间的蓝白相间图案，代表 蓝天、白云和旋转不停的螺 旋桨，喻示宝马公司渊源悠 久的历史，象征公司一贯宗 旨和目标：在广阔的时空中， 以先进的精湛技术、最新的 观念，满足顾客的最大愿望。
产品的实体层：有形产品
◦ 这是指核心产品所展示的全部外部特征，是消费 者通过自己的感觉器官可以接触到、感觉到的有形 部分 ◦ 是核心产品借以实现的形式 ◦ 包括质量、特色、款色、包装、品牌等
核心产品—指向顾客提供的产品的基本效用
或利益。它是产品最基本、最主要的部分， 产品的灵魂。
基本产品—指核心产品借以实现的形式或
星巴克的平面广告
“星巴克，一个属于你 的第三空间。在这里， 邂逅你自己”
你不是在上班和回家的路上
就是在去星巴克的路上
拉近了星巴克与消费者之间的距离，将“ 去星巴克喝咖啡”化身为生活的一种习惯 ，像上班和回家一样，都是人们生活中不 可或缺的一部分。 另一方面又告诉我们生活中除了上班和回 家，享受生活也是必不可少的，而星巴克 为你提供了一个静思的环境，提供了一个 小小的疗伤绿洲，这里有外界呼吸不到的 新鲜空气，这就是除了家庭与公司之外的 “第三个好去处”，星巴克为你打造的专 属“第三空间”。
品牌是市场概念，商标是法律概念。
三、商标及品牌的作用
1、对消费者的作用： 有利于消费者识别产品，指导购买； 有利于维护消费者的利益； 有利于消费者对企业产品进行评价和监督 2、对生产者的作用： 有利于广告宣传，树立形象、促进销售； 有利于创优，提高竞争； 有利于企业维护权利； 有利于市场细分，满足消费者需求 有利于企业扩张
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属加种差定义的分类 属加种差定义可分为性质定义、发生定义、 关系定义。 性质定义：以事物的性质为种差的定义。 ①性质定义：以事物的性质为种差的定义。 【例】把两个数合并成一个数的运算叫做加法； 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 发生定义：以形成或获得事物的方式、 ②发生定义：以形成或获得事物的方式、方法 为种差的定义。 为种差的定义。 【例】角是从一点引出的两条射线所组成的图形； 固定线段的一个端点，另一端点绕它旋转一周所 得到的封闭曲线叫做圆。 关系定义：以事物间的关系为种差的定义。 ③关系定义：以事物间的关系为种差的定义。 【例】能被2整除的数叫做偶数；钝角是大于直角 且小于平角的角。
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逻辑学中对概念的分类 类：属性相同的客观事物 子类：类中包含的小类 种概念：其外延反映子类的概念 属概念：其外延反映子类所从属类的概念 属概念与种概念的内涵有多少之分，外延有广狭之分 属概念的内涵少于种概念的内涵，属概念的外延大于种 概念的外延 • 【例】“四边形”和“平行四边形”这两个概念，“四边 形”是“平行四边形” 的属概念，“平行四边形”是 “四边形”的种概念。 • “四边形”的内涵是指由四条线段首尾相接组成的 图形，而“平行四边形” 除了具有 “四边形”的内涵之 外，还有“两组对边分别平行”的内涵。 • “四边形”反映的对象范围大于“平行四边形”， “四边形”的外延除反映“平行四边形” 之外，还反映 “矩形”、“正方形”、“菱形”等，而“平行四边形” 的外延只是“四边形”的一部分。
同一概念可以从不同角度揭示其内涵，因此种 差往往不是唯一的，所以属加种差作出的定义一 般不是唯一的。 【例】“平行四边形”定义： ①两组对边分别平行(种差)的四边形(属)叫做 平行四边形(被定义概念)； ②一组对边平行且相等(种差)的四边形(属)叫 做平行四边形(被定义概念)； ③两组对边分别相等(种差)的四边形(属)叫做 平行四边形(被定义概念)。 同一数学体系中，一般只能采用一个作为定义， 其它的等价定义作为性质、定理、推论处理。 •
• 4.概念间的关系
• 仅对两个概念之间的关系作出分析：
⑴相容关系。是至少部分外延相同的两 相容关系。 个概念之间的关系。 又分为全同关系、 个概念之间的关系。 又分为全同关系、 属种关系、交叉关系。 属种关系、交叉关系。 • 全同关系： ①全同关系：是外延完全相同的两个概 念之间的关系。 念之间的关系。(类似于集合中的相等概念) • 【例】“自然数”和“正整数”之间是全 同关系。它们的外延完全相同(同指1，2， 3，…)，但内涵不同，“自然数”是指1， 2，3，…，“正整数”是指大于零的整数。 •
• ⑵集合概念与非集合概念 • 集合概念：是反映整体的性质 • 【例】“自然数”是所有正整数的集合。 • 非集合概念：是反映非集合体的概念。 • 【例】“方程”、“函数”、“几何”属于非集 合概念。 • 集合概念反映整体的性质，组成它的个体不能说 明反映所组成的集合体的概念 • 【例】不能说“二元一次方程是二元一次方程 组”，“2是自然数集”。 • 非集合概念可以用来说明反映该类中个别事物的 概念 • 【例】可以说“二元一次方程是方程”，“2是自 然数”。
念)在属种概念中，外延较大源自概念叫 “属”，外延较小的概念叫“种”。 • 【例】“三角形”与“直角三角形”， “自然数”与“质数”，“整数”与“自 然数”是属种关系。前者是属，后者是种。 •
• 属种关系有如下特点 • A.属种概念之间可以分为包含关系和包 A.属种概念之间可以分为包含关系和包 含于关系。 含于关系。 • 【例】“三角形”包含“直角三角形”； 三角形”包含“直角三角形” 直角三角形”包含于“三角形” “直角三角形”包含于“三角形”。 • B.属种概念有相对性 属种概念有相对性。 B.属种概念有相对性。 • 【例】“四边形”、“平行四边形”和 四边形” 平行四边形” 矩形”之间， 平行四边形” “矩形”之间，“平行四边形”相对于 四边形”是种，相对于“矩形”是属。 “四边形”是种，相对于“矩形”是属。
• 3.概念定义规则 • 对概念下定义必须遵守以下规则： • ⑴定义应当是相称的。定义项的外延与被定义 定义应当是相称的。 项的外延应当全同。 项的外延应当全同。 • 【例】无理数就是无限小数(定义过宽)； • 无理数就是不尽方根(定义过窄)。 • 实际上，无理数就是无限不循环小数。 • 定义不应当是循环的。 ⑵定义不应当是循环的。亦即不可以被定义项 来说明自己。 来说明自己。 • 【例】直角是90o的角(循环定义)；乘法是几个数 相乘的方法(同语反复)。 • 实际上，直角是两条互相垂直直线的交角； 乘法是指一个数或量增加了多少倍。
• 1.概念的定义
• • • • • 定义：是通过简明的陈述以解释概念内涵的逻 辑方法。 【例】数位的定义：一个数中，每一个数字所占 的位置叫做数位。 不等号的定义：“≥”称为大于或等于号。 定义由被定义项、定义项和定义联项三部分组 成 【例】上例两定义中，“数位”和“≥”是被定义 项，“一个数中，每一个数字所占的位置”和 “大于或等于号”是定义项，“叫做”和“称为” 是定义联项。
• 3.概念的作用 • 概念是对事物本质有了科学认识之后的概括。 • 概念的作用在于以压缩的形式反映大量知识， 使人们能从整体上把握事物的共同本质属性，并 区别于别的事物。 • 【例】“函数”这一概念简明地反映了一类重要 的对应关系，使人们可以一般地对其进行研究。 • 概念是抽象思维的最小单位，是组成判断和推 理的细胞。 • 【例】“2是质数”这个判断，是由“2”和“质 数”这两个概念，加上联系词“是”共同组成的。 • 数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关 系的本质属性的思维形式。
• 2.概念定义方法 • ⑴属加种差法 • 在给一些具有属种关系的种概念下定义时， 首先指出被定义的概念最临近的属概念是什么， 再确定这个属里它与其它种概念的差别，从而对 概念下定义。 • 属加种差定义的结构： + = 邻近的属概念+种差=被定义概念 【例】要给“平行四边形”下定义，就要找到它的 邻近的属概念“四边形”，进一步找出“平行四 边形”所具有的、区别于其它四边形的本质属性， 即种差为“两组对边分别平行”，于是，得到 “平行四边形”的定义为： 两组对边分别平行(种差)的四边形(属)叫做平 行四边形(被定义概念)。
⑶定义应当简单明确。不能含糊不清、 定义应当简单明确。不能含糊不清、 不可使用比喻。 不可使用比喻。 • 【例】正方形是有规则的四边形(不可捉摸)； 象足球那样的几何体叫做球体(比喻无法表 达本质) • 定义一般不采取否定式。 ⑷定义一般不采取否定式。否定的概念 无法说明概念的内涵。 无法说明概念的内涵。 • 【例】邻边不相等的正方形叫做矩形(不存 在邻边不相等的正方形，且无法说明矩形 的内涵)；梯形是非两组对边平行的四边形 (非两组对边平行的四边形并不一定是梯形， 且无法说明梯形的内涵)。 •
• C.属种概念有层次性 C.属种概念有层次性 • 【例】“多边形”、“四边形”、“平行 多边形” 四边形” 四边形” 矩形” 正方形” 四边形”、“矩形”、“正方形”中，任 一个概念是后面概念的属， 一个概念是后面概念的属，又是前面概念 的种。最靠近者称为邻近的种或属。 的种。最靠近者称为邻近的种或属。 • D.属种概念反映了一般和特殊的关系 D.属种概念反映了一般和特殊的关系 • 【例】“梯形是四边形，四边形有平行四 梯形是四边形， 边形、梯形和对边都不平行的四边形” 边形、梯形和对边都不平行的四边形”中， 属概念“四边形”说明了种概念“梯形” 属概念“四边形”说明了种概念“梯形” 的一般性质；种概念“平行四边形” 的一般性质；种概念“平行四边形”、 梯形” 对边都不平行的四边形” “梯形”和“对边都不平行的四边形”是 了属概念“四边形”的特殊类型。 了属概念“四边形”的特殊类型。
“1”和“最小的质数”之间不是全 同关系。它们的外延和内涵都不同。“最 小的质数”是大于1且只可被自身整除的自 然数中的最小者。 • “0×2=0”中的两个“0”的外延和 内涵完全相同，是同一个概念，不具有全 同关系。 • 全同关系用法 全同关系用法 用法：可以用一个说明或替换 另一个。 •
• ②属种关系(真包含关系)：是一个概念的部 分外延与另一概念的全部外延相同的两个 概念之间的关系。(类似于集合中的真包含的概
• ⑶肯定概念与否定概念 • 肯定概念：是反映对象具有某些属性的概念 • 【例】“等边三角形”、“负数”、“大于”都 是肯定概念 • 否定概念：是反映对象不具有某些属性的概 念。 • 【例】“非负数”、“不大于”、“非零解”都 是否定概念 • 肯定概念有明确的内涵，否定概念只揭示所不 具有的性质，但须明确议论的范围。 • 【例】在整数范围内，“非负数”的概念就是 “零和自然数数”；而在实数范围内，“非负数” 的概念就是“零和正数”。
概念是反映事物本质属性的思维形式。 对反映到大脑中事物的各种属性进行比较、分 析、综合、抽象以及概括，抛弃事物的非本质属 性，而将本质属性集中起来，就形成了概念。 • 【例】由课本封面、讲台台面、黑板玻面、房间 地板表面、门扇板面等，去掉不同的颜色、材质、 大小、形状等非本质属性，抽象概括出共同的基 本属性为：有四条边、对边相等、有四个角、都 是直角，从而形成长方形的概念。 • 概念具有抽象性和一定的普遍性。 • 【例】“圆”不是任何一个圆形的物体，而是一 个抽象的图形，但反映了一切圆形物体的本质属 性。 • •
第七章
概
念
第一节 概念的概述
• 1.概念介绍 • 概念是反映事物本质属性的思维形式 • 属性分为本质属性和非本质属性 • ⑴本质属性：是决定一事物之所以成为该事物、 并与其它事物相区别的属性。 • 【例】“有一个公共端点的两条射线所组成的图 形”是“角”的本质属性。 • ⑵非本质属性：并非某事物独有的属性。 • 【例】“两边所夹角度的大小”是“角”的非本 质属性。
• 2.概念的内涵与外延 • 概念在反映事物本质属性的同时，也反 映了具有这种属性的各种具体事物。 • 【例】平行四边形的概念反映了平行四边 形的本质属性：四边形、两组对边分别平 行，也反映了具有这些属性的各种各样的 平行四边形如菱形窗框等。