高三数学参数法

六、参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。

换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。

参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。

运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

Ⅰ、再现性题组：1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。

2. （理）直线x ty t=--=+⎧⎨⎪⎩⎪2232上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。

（文）若k<－1，则圆锥曲线x2－ky2＝1的离心率是_________。

3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。

4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。

5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。

(填“增”或“减”)6. 椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。

A. 3B. 11C. 10D. 22【简解】1小题：设2x＝3y＝5z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝11+k，所以e＝－1kk k2+；3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；4小题：设三条侧棱x、y、z，则12xy＝6、12yz＝4、12xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。

高中数学参数问题
高中数学中的参数问题通常涉及到曲线的参数方程式、含参数的曲线方程、含参变系数的函数式、方程式、基本不等式等。

这些问题往往与函数的性质、图象和图形
转换等有关，是数学中的“开朗”元素。

在处理参数问题时，常用的方法有分离参数和分类讨论。

首先考虑分离参数，如果分离参数不行或不方便，再考虑分类讨论。

因为分离参数解题效率相对高一点。

有些问题可能需要将这两种方法结合起来，对学生的能力要求更高。

在具体的高中数学参数问题中，比如在导数中参数的处理上，参数问题既是热点、重点和难点，也是学生感到比较棘手的问题。

导数中参数问题的处理最常用的有分离参数和分类讨论两种方法，并且先考虑分离参数，如果分离参数不行或不方便，可以再考虑分类讨论。

高三文科参数知识点在高三阶段，文科学生们不可避免地会接触到参数知识点。

参数是数学中的一个重要概念，也是文科学生们需要掌握的核心内容之一。

本文将详细介绍高三文科参数的基本定义、性质以及应用，帮助学生们更好地理解和应用参数知识。

一、参数的基本定义参数在数学中指的是影响一种数学关系的固定量，通常使用字母表示。

在数学公式或方程中，参数常常扮演着不同变量之间的角色，起到调节和影响的作用。

举例来说，对于一条直线方程y = kx + b，其中k和b分别表示直线的斜率和截距，它们就是参数。

通过改变k和b的值，可以得到不同的直线方程，从而描述不同的直线。

参数的引入使得数学模型更加灵活适用于不同的情境。

二、参数的性质1. 参数和变量的区别参数是在math里面的一个概念，类似于变量，但是与变量不同的是，参数在特定的数学模型中是固定不变的，而变量是可取任意值的。

参数的存在可以使得数学模型更加具有一般性和普适性。

2. 参数的影响改变参数的数值可以直接改变数学关系的性质。

以一元二次函数y = ax^2 + bx + c为例，其中a、b、c分别是参数。

当a>0时，函数的图像开口向上；当a<0时，函数的图像开口向下。

对于同一函数，通过调节参数a的值，可以获得不同的函数图像。

3. 参数的相关性在一些数学模型中，参数之间可能存在一定的相关性。

改变一个参数的值时，可能会对其他参数产生影响。

这种相关性需要在具体问题中进行综合考虑和分析。

三、参数的应用参数作为数学中的一种重要工具，在各个学科和领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的参数应用示例：1. 经济学领域在经济学中，参数经常用来描述需求曲线、供给曲线等经济关系。

通过调节参数的值，可以分析市场的均衡价格和数量，并预测市场的发展趋势。

2. 物理学领域在物理学中，参数常用来描述物体的运动规律和力学行为。

例如，质点的位移可以由其初速度、时间和加速度等参数来描述。

3. 社会调查领域在社会调查中，参数被用来表示人口统计数据、社会经济指标等。

高三数学参数方程知识点高中数学知识点之参数方程定义一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。

高中数学知识点之参数方程圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y')，且倾斜角为a,t为参数高三数学复习建议第一：函数和导数。

这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：第一是化简与求值，重点掌握五组基本公式。

第二是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质。

第三是正弦定理和余弦定理来解三角形，难度比较小。

第三：数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五：概率和统计。

六、参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。

换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。

参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。

运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

Ⅰ、再现性题组：1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。

2. （理）直线x ty t=--=+⎧⎨⎪⎩⎪2232上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。

（文）若k<－1，则圆锥曲线x2－ky2＝1的离心率是_________。

3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。

4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。

5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。

(填“增”或“减”)6. 椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。

A. 3B. 11C. 10D. 22【简解】1小题：设2x＝3y＝5z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝11+k，所以e＝－1kk k2+；3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；4小题：设三条侧棱x、y、z，则12xy＝6、12yz＝4、12xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。

高三数学参数方程知识点数学是一门抽象而又具有普适性的学科，它的应用广泛，对于高三学生来说，数学的学习变得更加重要和密集。

本文将着重介绍高三数学中的参数方程知识点，帮助学生全面理解并有效记忆这一概念。

一、参数方程的定义与特点参数方程是指用一个参数表示所有的自变量和因变量之间的函数关系。

通常用t作为参数，表示自变量的取值范围。

在参数方程中，将自变量和因变量用参数表示，使得函数的自变量和因变量之间的关系更为灵活。

二、参数方程的表示方法参数方程的表示方法有多种形式，常见的有向量表示法和分量表示法。

1. 向量表示法在向量表示法中，自变量和因变量都用向量表示。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可表示为：P(t) = (x(t), y(t))其中，x(t)和y(t)分别表示点P的x坐标和y坐标，t为参数。

2. 分量表示法在分量表示法中，将自变量和因变量都分别表示为关于参数t的函数。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数，t为参数。

三、参数方程应用领域参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在曲线的研究中起到重要作用。

下面分别介绍参数方程在平面曲线和空间曲线中的应用。

1. 平面曲线参数方程在平面曲线中的应用非常广泛，常见的曲线方程如圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程表示。

通过参数方程，可以对曲线的形状和性质进行更深入的研究。

例如，对于圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = a*sin(t)其中，a为半径，t为参数。

通过改变参数t的取值范围，可以绘制出一条圆的完整轨迹。

2. 空间曲线参数方程在空间曲线的研究中也起到重要作用，例如，直线、曲线、螺旋线等都可以通过参数方程来表示。

通过参数方程，可以描述物体在空间中的运动轨迹，从而研究物体的运动方式和变化规律。

四、参数方程的解法当给定一个参数方程时，我们需要求解参数方程对应的曲线方程或图形。

参数法在数学解题中的应用数学问题中有这样的量，它本身不是题目所求的最终结果，通常题目并未给出，但它在解题过程中参与运算，起着连结与未知，转化问题形式，替代复杂式子，充当待定因子等作用，这样的量称为参变量.应用参变量解数学题的方法称为参数法.参数法在解题过程中常表现为“设而不求〞，“整体替代〞，“换元法〞，“待定系数法〞等.引入参数便于揭示变量之间的内在联系，变与不变在一定条件下可以相互转化，表现出较大的能动作用和活力，从而沟通题中各量之间的内在联系或改变数量关系的结构，进而求出所需要确定的常数或变量.应用参数法首先要选取恰当参数，引进参数后，要能使问题获解，这是选取参数最基本的原那么.其次，引进参数必须合理，除了要考虑条件与结论的特点外，还必须注意某些量的取值范围，必要时还要对参数的变化范围进行讨论.另外，要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只起“桥梁〞和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解.-下面通过一些例题解析，以帮助同学们体会参数法的思想. 一、 参数法在函数问题中的应用例1 2211()f x x x x -=+，求(1)f x +解 设1x t x -=，那么22212x t x -+=，即22212x t x+=+，从而2()2f t t =+，因此22(1)(1)223f x x x x +=++=++.评析 此题引进了参数t 代替1x x-，先求出2()2f t t =+，而后进一步求出(1)f x +.例2 〔2006 江苏高考试题〕设a 为实数，设函数()f x =()g a .〔1〕设t =t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()m t . 〔2〕求()g a . (3)略解 〔1〕∵t =∴要使t 有意义必须1010x x +≥-≥且，即11x -≤≤.又∵[]222,4,0t t =+≥ ， ① ∴t 的取值范围是,2⎤⎦.2112t =-,∴2211()(1)22m t a t t at t a =-+=+-，,2t ⎤∈⎦.〔2〕由题意知()g a 为函数21()2m t at t a =+-，,2t ⎤∈⎦的最大值.注意到直线1t a =-是抛物线21()2m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论：〔Ⅰ〕当0a >时，函数()y m t =，,2t ⎤∈⎦的图象是开口向上的抛物线的一段，由10t a=-<知()m t在,2⎤⎦上单调递增，∴()(2)2g a m a ==+. 〔Ⅱ〕当0a =时，()m t t =，,2t ⎤∈⎦，∴()2g a =.〔Ⅲ〕当0a <时，函数()y m t =，,2t ⎤∈⎦的图象是开口向下的抛物线的一段.假设1(0t a =-∈，即2a ≤-，那么()g a m ==假设1t a =-∈，即1(,]2a ∈-，那么11()()2g a m a a a =-=--. 假设1(2,)t a =-∈+∞，即1(,0)2a ∈-，那么()(2)2g a m a ==+.综上有12,,211(),,22,.2a a g a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪=--<≤-⎨⎪≤- 评析 此题利用参数t，使复杂的()f x 表达式得以化成简单的()m t 的表达式，利用熟悉的二次函数()m t 的性质求出()f x 的最大值()g a .例3 实数x 、y 满足224x -5xy+4y =5 ①，设22S=x +y ，求maxmin11S S +的值. 解法1设x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入①式得：4S-5Ssin cos 5αα=，解得1085sin 2S =-α ，∵ 1sin21α-≤≤∴385sin 213α≤-≤ ∴max 103S =，min 1013S = ∴ max min 1185S S += . 解法2 设22S x t =+，22S y t =-，[,]22S S t ∈-，那么xy =45S ±=，移项平方整理得22100391601000t S S +-+=，∴24100(39160100)0S S ∆=-⨯⨯-+≥解得1010133S ≤≤，即有max min 1185S S +=. 解法3 设x m n y m n=+⎧⎨=-⎩代入①式得：223m +13n =5，∴2225-13n 5m =0313n ≤≤且.从而22210S=2(m +n )(12)3n =-，∴1010133S ≤≤，即有max min 1185S S +=.评析 解法1引进参数α，采用了“三角换元法〞，将问题转化为熟悉的简单三角函数问题；解法2引进参数t ，采用了“均值换元法〞，将问题转化为用判别式求解的问题；解法3引进两个参数m ,n ，采用了“对偶换元法〞，将问题转化为熟悉的二次函数问题.二、参数法在不等式问题中的应用例4 设2351xyz==>，试比较2x 、3y 、5z 的大小.解 设2351xyzt ===>，那么2log x t =，3log y t =，5log z t =，从而2x =，3y t =，5z =,∴230x y t t -==>，23x y >，同理，520z x t -=>，52z x >,故：523z x y >>.评析 此题通过引进中间参数t ，使2x 、3y 、5z 都表示为t 的关系式，而后通过熟悉的作差〔或作商〕比较，使大小比较问题得以解决.例 5 设a R ∈，R θ∈，求证：sin (cos )a θθ+≤⎝指出等号成立的条件.证明 令sin (cos )y a θθ=+，引入参数λ得：22221sin (cos )y a θλλθλ=+22222222222222222211sin cos 11sin (cos )()()()()()22a a a θλθλθλθλλλλλλ+++≤++≤+=+ ①, 等号当且仅当2222cos sin cos a λθθλθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩即221)41cos )4a a λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立，将221)4a λ=代入①式，即得24sin (cos )8a a θθ⎛++≤ ⎝评析 此题通过引进待定“调和〞参数λ，使两次不等成立的条件能同时成立，从而证得不等式成立.这是一种非常有效的不等式证明方法，多加体会，在不等式证明过程中充分加以利用，常能起到化难为易的效果.例6 设a ，b ，c 为三角形三边，求证：3a b cb c a a c b a b c++≥+-+-+-.证明 设,,b c a x a c b y a b c z +-=+-=+-=，因为a ，b ，c 为三角形三边，所以0,0,0x y z >>>，且有,,222y z z x x ya b c +++===.从而a b c b c a a c b a b c+++-+-+-11[()()()]322222y z z x x y y x x z z y x y z x y z x y z +++=++=+++++≥= 原不等式得证.评析 此题通过引进参数x ,y ,z ，将不等的分母进行整体代换，进一步将不等的左边化为三对互为倒数的式子的和，应用基本不等式，使问题轻松解决.三、参数法在数列问题中的应用例7 数列{}n a 中，11a =，21a =且21n n n a a a ++=+，求{}n a 的通项公式.分析 这是求斐波拉契数列的通项问题.给出了数列{}n a 相邻三项之间的关系，假设能求出相邻两项间的关系，问题便有所改善，于是设想211()n n n n a ta a ta λ++++=+，通过求出参数t ，λ，从而得到1{}n n a ta ++是公比为λ的等比数列，再进一步求解.解 令211()n n n n a ta a ta λ++++=+，那么21()n n n a t a ta λλ++=-+，比较21n n n a a a ++=+得11t t λλ-=⎧⎨=⎩，解得111212t λ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或221212t λ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以令11n n n b a t a +=+，那么11n n b b λ+=，即{}n b 是首项为1211111b a t a t λ=+=+=，公比为λ1的等比数列，从而111111n n n n n b a t a λλλ-+=+=⋅=①，同理，令12n n n c a t a +=+，那么122n n n n c a t a λ+=+= ②. ①-②得：1212()n nn t t a λλ-=-即：121211[((]22n nn nn a t t λλ-==--.评析 此题通过引入待定参数t ，λ，并用换元法求出两个等比数列{}n b 、{}n c 的通项，进一步求出了{}n a 的通项.四、参数法在三角中的应用例8sin cos x y θθ= ①，且222222cos sin 103()x y x y θθ+=+ ②，求x y 的值. 解 由①式，设sin cos k x yθθ==，那么sin kx θ=，cos ky θ=且22222sin cos ()1k x y θθ+=+=,即2221x y k +=. 代入②式得：2222222103k y k x k x y +=，即：2222103y x x y +=.设22x t y =，那么1103t t +=,解得：133t =或，所以x y =或评析 此题通过引进中间参数k ，将条件中的正弦、余弦方便地消去，再利用整体代换22x t y=，直接求出xy的值. 五、参数法在解析几何中的应用例9 〔2006 福建高考试题〕椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. 〔Ⅰ〕略 ；〔Ⅱ〕设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆与A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.解 由题设有(1,0)F -，〔如图1〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ， (,0)G G x ，那么221112x y +=，222212x y +=，两式相减得：21212121()()()()02x x x x y y y y -++-+=，从而21210021210022()222y y x x x xx x y y y y -+=-=-=--+⋅，即直线AB 亦FM 的斜率为002x y -，其方程为00(1)2x y x y =-+.进一步MG 的斜率为002yx ，其方程为：00002()y y y x x x -=-.因为G 点的坐标适合MG 的方程，所以00002()G yy x x x -=-，即02G x x =.又因为点00(,)M x y 的坐标适合FM 的方程，所以0000(1)2x y x y =-+，即20001(1)02y x x =-+> ① .由点M 在椭圆内，得220012x y +< ② .由①②得010x -<<，从而102G x -<<，即G 点横坐标的范围为1(,0)2-. 评析 此题引进了A 、B 、M 点的坐标作为参数，从而最终将G 点横坐标表示成M 点的横坐标0x 的关系式，利用M 点的横坐标的范围，求出了G 点横坐标的范围.例10 设0a b <<，过两定点(,0)A a 和(,0)B b 分别引直线l 和m ，使与抛物线2y x =有四个不同的交点，当这四点共圆时，求直线l 和m 的交点P 的轨迹.解 设直线l 和m 的交点为00(,)P x y ，其倾角分别为1θ和2θ，l 交抛物线2y x =于A 1和A 2，m 交抛物线2y x =于B 1和B 2. 于是：l ：0101cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕 ① m ：0202cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕 ②将①代入抛物线2y x =得： 222101100sin(2sin cos )()0t t y y x θθθ+-+-= ③图 1设③的两根为1t ，2t ，由韦达定理， 2001221sin y x t t θ-=，根据参数的几何意义得 2001221sin y x PA PA θ-= 同理，由②代入抛物线y 2=x 后可得 2001222sin y x PB PB θ-=.∵A 1，A 2，B 1，B 2四点共圆，由圆幂定理得 1212PA PA PB PB =，∴2212sin sin θθ=，即12sin sin θθ=.故12θθ=或12θπθ=-.但当12θθ=时，l ‖m ∴只能12θπθ=- .于是，过定点(,0)A a 和(,0)B b 的直线的交点P 的轨迹为线段AB 的中垂线〔除去其与x 轴及抛物线2y x =的交点〕.评析 此题通过引进表示有向线段数量的参数t ，方便地将四点共圆的条件转化为两直线的倾斜角互补，从而根据几何意义，得知交点P 的轨迹.六、参数法在平面几何中的应用例11 〔如图2〕P 是△ABC 的BC 边上的一点，过P 作PQ ‖BA 交AC 于Q ，作PR ‖CA 交AB 于R ，问P 点在什么位置时，△PQR 的面积达到最大？分析：由题设不难看出P 点在BC 上的位置将决定△PQR 面积的大小，而点P 将BC 分为以BP 与PC 两段，从而点P 的位置将以BP ：CP 的大小来表示，因此我们将线段比BP mCP n=作为参数，计算△PQR 的面积〔以△ABC 的面积为单位〕解 令△ABC 的面积为S ，BP mCP n=. ∵ PQ ‖BA ，∴△BPR ∽△ABC ，∴2()BPRm S S m n=+.同理2()CPQ n SS m n =+，∴222111[()()]22()4PQR PQARm n mn S S S S S S S m n m n m n ==--=≤=+++ 〔当且仅当m n =时取等号〕.即当P 点是BC 中点时△PQR 的面积达到最大，此时它的面积为△ABC 面积的14. 评析 此题通过引进两个参数m ,n ，而后将△PQR 的面积表示为m ,n 的函数，通过基本不等式，方便地求出了△PQR 的面积的最大值.七、参数法在立体几何中的应用.例12 (如图3)三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC =BC ，G 、D 分别是AB ，AP 的中点，E 为PB 上的点，且BP =3BE ，假设:AP AB =〔1〕求证：EG ⊥平面DGC ；〔2〕求截面CDE 分棱锥P -ABC 所成两部分的体积之比. 〔1〕证明 ∵:AP AB =，∴设AP k =，AB ，从而BAPRQ图 2CBPE图 3CAD GPB ，cos 3ABP ∠=.在△BGE 中，3BE k =，2BG k =，∴22221)()2226EG k k k =+-⨯=.因此 222222211)()622EG BE k k k BG +=+===,∴△BEG 是Rt △， ∴EG ⊥EB . 又∵G 、D 是AB ，AP 的中点，∴GD ‖PB ，∴EG ⊥GD .∵PA ⊥底画ABC ，∴PA ⊥CG ，又∵AC =BC ，在等腰△ABC 中G 是底边AB 的中点,∴CG ⊥AB ，∴CG ⊥平面PAB ，∴CG ⊥EG∵CG GD G =,∴EG ⊥平面DGC ； 〔2〕解 设△PBC 面积为S ，点A 、D 到平面PBC 的距离分别为h ，h 1， 那么32PECS S =，12h h =.进一步，三棱锥A -PBC 的体积为：111131()(2)3()33323A PBC PECPEC D PEC V Sh S h Sh V --====∴截面CDE 分棱锥P -ABC 所成两部分体积之比:1:2P ECD ED ABC V V --=.评析 第〔1〕题中引入了比例参数k ，使各边长度统一用k 表示，从而算得关键的结论EG ⊥BE .第〔2〕中引入△PBC 面积参数S 及距离参数h ，h 1 ，使体积转换灵活简捷.从以上的例题可以看到，在数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍，而且在解题中，参数的选取多种多样.由于综合性强，牵涉知识面较广，一般都需要根据问题的条件作出透彻分析，才能恰当地选取参数，使运算简便，问题得以迎刃而解.。

高三数学参数方程知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（ ） A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y xA.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21) C.双曲线的一支，这支过(-1，21)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=21x 2(x ＞0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入，得y=21 ∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==，即x 2y=1，故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=ρ2=OPOB ，得ρcos θ=2，∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ 把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲 线：①θ=6π和sin θ=21；②θ=6π和tg θ=33，③ρ2-9=0和ρ= 3；④ ⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称 5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线 6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x b y a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1, -3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A.3π B.32πC.3π或32π D. 3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )A ．θθρsin cos 23-=B ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=D ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时 ，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 . (2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B 为椭圆2222by a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且 满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x ≤21);18.抛 物线；19.135°,|32t|(三)20.(5154,558)；21.;33222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。

学科方法²参数法参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现．参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法．解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点．(一)参数法解题的基本步骤参数法解题的步骤是：(1)设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)；(2)用参，即建立参数方程或含参数的方程；(3)消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决．例1 已知抛物线y2=2px(p＞0)，在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦P1P2，满足OP1⊥OP2．【解】如图2－5，设M(m，0)(m＞0)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)．∵ OP1⊥OP2，即y1y2=-x1x2．∴ (y1y2)2＝4p2x1x2．从而(-x1x2)2=4p2x1x2．∵ x1≠0，x2≠0，∴ x1x2=4p2①设直线P1P2的方程为y=k(x-m)，把它代入y2=2px中，整理，得k2x2-2(k2m+p)x+k2m2=0．由韦达定理，得x1x2=m2②把②代入①中，得m2=(2p)2．∵ m＞0，p＞0，∴m=2p．于是所求的点M的坐标为(2p，0)．【解说】本例选点P1、P2的坐标为参数，利用已知条件建立x1，x2，y1，y2，m，p 的关系式，消去参数，求得m的值．OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|²|OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考理科压轴题)【解】如图2－6，设动点Q(x，y)(x，y不同时为零)．又设|OR|=λ|OQ|，|OP|=u|OQ|，(λ，u＞0)，由于Q、R、P三点共线，所以点R(λx，λy)、点P(ux，uy)．∵ |OQ|²|OP|=|OR|2，∴ u|OQ|2=λ2|OQ|2．又|OQ|≠0，同理，由P在l上，可得于是由①、②、③，可得动点Q的轨迹方程为且长轴平行于x轴的椭圆，去掉坐标原点．利用已知条件|OQ|²|OP|=|OR|2巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用．这种解法比高考命题者提供的答案简明．(二)解题技巧的一个源泉参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数．其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个．1．设而不求例3 如图2－7，过圆外一点P(a，b)作圆x2＋y2=R2的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程．【解】设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则切线AP、BP的方程分别为x1x+y1y ＝R2，x2x+y2y＝R2．∵这两条切线都过点P(a，b)，∴ ax1＋by1=R2，ax2＋by2=R2．由以上二式可以看出，点A、B在直线ax＋by=R2上，又过A、B只有一条直线，∴直线AB的方程为ax＋by=R2．【解说】本例中把A、B的坐标作为参数．虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”．2．代点法例4 求抛物线y2=12x的以M(1，2)为中点的弦所在直线的方程．【解法1】设弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由中点坐标公式，得y1＋y2＝4①即(y1＋y2)(y1-y2)=12(x1-x2)．②即直线AB的斜率k=3．故直线AB的方程为y-2=3(x-1)．即 3x-y-1=0．【解法2】∵弦的中点为M(1，2)，∴可设弦的两个端点为A(x，y)、B(2-x，4-y)．∵ A、B在抛物线上，∴ y2=12x，(4-y)2=12(2-x)．以上两式相减，得y2-(4-y)2=12(x-2+x)，即 3x-y-1=0，这就是直线AB的方程．【解说】以上两种解法都叫做代点法．它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果．习题2．2用参数法解证下列各题：1．已知椭圆9x2＋16y2=144内有一点P(2，1)，以P为中点作弦MN，则直线MN的方程为． [ ]A．9x-8y＋26＝0B．9x＋8y-26＝0C．8x-9y+26=0D．8x＋9y-26=02．点D(5，0)是圆x2＋y2-8x-2y+7=0内一点，过D作两条互相垂直的射线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．且OP⊥OQ，求m的值．4．已知射线OA、OB分别在第一、四象限，且都与Ox轴成60的轨迹．5．已知两点P(-2，2)、Q(0，2)以及一条直线l：y=x．设长为程．(要求把结果写成普通方程)(1985年全国高考理科试题)6．已知椭圆的中心在原点，对称轴合于坐标轴，直线y=-x＋1与习题2．2答案或提示1．仿例4，选(B)．2．设M(x，y)，A(x＋x0，y＋y0)，B(x-x0，y-y0)，把A、B=0．3．仿例1，可得m=3．5．设A(t，t)，B(t＋1，t＋1)，又设直线PA、PB的斜率分别x2-y2＋2x-2y＋8=0．6．设椭圆的方程为ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)，A、B、C的坐学科方法²待定系数法(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．习题2．3用待定系数法解证下列各题：1．求经过三点(2，3)、(5，3)、(3，-1)的圆的方程．2．求双曲线x2-2y2-6x＋4y＋3=0的焦点坐标．3．若方程ax3＋bx2y＋cxy2＋dy3=0表示三条直线，且其中两条互相垂直，求证：a2＋ac＋bd＋d2=0．4．求圆系2x2+2y2-4tx-8ty＋9t2=0(t≠0)的公切线方程．5．试证圆系x2+y2-4Rxcosα-4Rsinα+3R2=0(R是正的常数，α为参数)与定圆相切，并求公切圆的方程．6．若在抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上有一个定点Q，过Q的任习题2．3答案或提示1．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，把三个已知点的坐标代入，可求得D=-8，E=-2，F=12．3．设过原点互相垂直的两条直线方程为lx2+mxy-ly2=0，另一条直线方程为px＋qy=0，则ax3＋bx2y＋cxy2+dy3=(lx2＋mxy-ly2)(px＋qy)，从而a=lp，b=lq＋mp，c=mq-lp，d=-lp．于是可得a2＋ac＋bd＋d2=0．4．y=x或y=7x．5．圆系方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2，设公切圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则由两圆相切的充要条件是圆心距等于两圆半径和或差的绝对值，可得(a-2Rcosα)2＋(b-2Rsinα)2=(R±r)2，整理，可得a2＋b2-2R即a=b=0．从而r2-3R2±2Rr=0，解得r1=R，r2=3R．6．设Q(x0，0)，直线AB的参数方程为x=x0＋tcosα，y=tsinα．代任一值，所以x0=p．学科方法²判别式法(一)确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？(1988年全国高考理科试题)点、l为准线的抛物线方程为y2=2px．椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组y2=2px有四个不同的实数解．显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程①有两个不相等的正根．设方程①的两个根为x1、x2，则x1＞0、x2＞0的充要条件为又由已知，得p＞⑤【解说】本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即Δ(二)求极值例2 过点P(3，2)作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求△AOB面积S 的最小值．【解】如图2-21，设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0)，则它在x轴、y轴上的截距分别为从而9k2+2(S-6)k+4=0．∵Δ=[2(S-6)]2-4³4³9≥0，∴ S(S-12)≥0．∵ S＞0，∴S≥12．∴ S min=12．例3 在椭圆9x2+4y2=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值．【解】设x+y=u，则y=u-x．把它代入椭圆方程中，整理，得13x2-8ux+4(u2-9)=0．∵ x是实数，∴Δ≥0即(-8u)2-4³13³4(u2-9)≥0．解之，得-(三)求参数的取值范围例4 已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线l：y=-x对称的两点，求a的取值范围．【解法1】如图2-22，设点P(x0，y0)关于直线l对称的点为Q(-y0，-x0)，则由P、Q都在抛物线y=ax2-1上，得以上两式相减，得x0+y0=a(x0+y0)(x0-y0)．∵点P不在直线x+y=0上，∴x0+y0≠0．从而a(x0-y0)=1，即y0=x0-∵ P、Q两点恒存在，∴x0是实数，即方程(*)恒有两个不等实学科方法²综合几何法(一)利用平面几何知识解题例1 已知⊙O的方程为x2＋y2=r2，点A(-r，0)、B(r，0)，M是⊙O上任一点，过A 作M处的切线的垂线AQ交BM的延长线于P，求动点P的轨迹方程．【解】如图2－12，连MO，则OM⊥MQ，从而OM∥AP．∵ |BO|=|OA|∴ |AP|＝2|MO|＝2r．于是动点P的轨迹是以点A为圆心，|AP|=2r为半径的圆．设P(x，y)，则P的轨迹方程为(x+r)2+y2＝(2r)2．【解说】本例利用圆的切线的性质和三角形中位线定理，其解法十分明快、简捷．例2 已知圆O′：(x-14)2＋(y-12)2=362内一点C(4，2)和圆周上两动点A、B，使∠ACB=90°，求斜边AB的中点M的轨迹方程．【解】如图2－13，连结MO′、MC、BO′，则O′M⊥MB，|MC|=|AM|=|MB|．设M(x，y)，则在Rt△BMO′中，|O′M|2+|BM|2=|O′B|2，又|BM|=|CM|，∵ |O′M|2＋|CM|2=|O′B|2，即(x-14)2+(y-12)2＋(x-4)2+(y-2)2=362，∴动点M的轨迹方程为x2＋y2-18x-14y-468＝0．【解说】本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质，使一个运算量较大的习题，得到极其简便的解法，充分显示了平面几何知识在解析几何中的应用．(二)利用圆锥曲线的定义和几何性质解题例3 已知一动圆P与圆O1：(x+1)2＋y2=1外切，与圆O2：(x-1)2+y2=9内切，求动圆圆心P的轨迹方程．【解】如图2－14．设动圆圆心P的坐标为(x，y)，它的半径为r．由已知，得两定圆的圆心分别为O1(-1，0)、O2(1，0)，半径分别为r1=1，r2=3．∵动圆P与⊙O1外切，与⊙O2内切，∴ |PO1|=1+r，|PO2|=3-r，∴ |PO1|+|PO2|=4．即动点P到两点O1、O2的距离之和等于4．从而由椭圆的定义，得动点P的轨迹是以两定点O1、O2为焦点，长轴长为4的椭圆．由于⊙O1与⊙O2内切于点M(-2，0)，所以轨迹中不包括点M．故动点P的轨迹方程为【解说】本解法的特点是利用椭圆的定义和两圆相切的条件．例4 如图2-15，F是圆锥曲线的焦点，P1P2是焦点弦，e、p分别是离心率和焦参数(即焦点到准线的距离|FF1|)，求证【证明】如图2-15，过P1、P2分别作准线L的垂线，垂足分别为Q1、Q2．由圆锥曲线的定义，得【解说】本解法的特点是灵活利用圆锥曲线的统一定义和线段定比分点公式．习题2．5用综合几何法解证下列各题：焦点，AB为左支上过F1的弦，且|AB|m，则△ABF2的周长是____．2．已知△ABC的两个顶点A(-a，0)、B(a，0)(a＞0)，顶点C在运动，且|AC|=2b(b 是定值)，求BC中点P的轨迹方程．3．已知ABCD的相对两个顶点A(-4，6)、C(8，2)，过原点O作一直线l把平行四边形的面积分成相等的两部分，求直线l的方程．焦点也是F2，C1的准线与C2的准线重合，P是C1与C2的一个交点，求证：5．已知椭圆的两个焦点是F1、F2，Rt△PF2Q的直角顶点为P，P、Q在椭圆上，F1在线段PQ上，且|PQ|=|PF2|，求这椭圆的离心率．6．从过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点F的弦AB的端点向准线l引垂习题2．5答案或提示1．周长=(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)+2(|AF1|+|BF1|)=2a+2a+2m=4a+2m．3．设AC与BD交于G，则平面几何知识可得，所求的直线l过点G．l的方程为y=2x．4．设C2：y2=2px、C1的离心率为e，点P到C1的左准线的距离为d，则由抛物线、双曲线的定义，得|PF2|=d，6．(1)因为|AF|=|AA1|、|FB|=|BB1|、AA1∥y轴∥BB1，所以∠AFA1=学科方法²坐标法坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题)，从而利用代数知识(或解析几何知识)使问题得以解决．(一)坐标法解证几何题例1 在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S为三角形面【证明】如图2－1，以边AB的中点O为坐标系原点、AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设A、B、C的坐标分别为(-m，0)、(m，0)、(p，q)(m＞0，q＞0)，则a2=|BC|2=(m-p)2＋q2=m2+p2＋q2-2mp，b2=|AC|2=(p＋m)2＋q2=p2＋m2＋q2-2mp，c2=4m2，S＝mq．例2 已知：AB是半圆的直径，且AB=2r，直线L与BA的延长与L的距离分别为MP、NQ，且MP=MA，NQ=NA．求证：AM＋AN=AB．【分析】由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M、N在以A为焦点的抛物线上，因此M、N 是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解．【证法1】如图2－2，以AT的中点O为坐标原点，射线OB为x轴的正方向，建立直角坐标系．∵ |MA|＝|MP|，|NA|=|NQ|，∴ M、N是以A为焦点，L为准线的抛物线上的点．∵ p=|AT|=2a，∴抛物线的方程y2=4ax①由已知，得半圆的方程为[x-(a+r)]2＋y2=r2(y≥0)②把①代入②中，整理，得x2-2(r-a)x＋a2+2ar=0．设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2=2r-2a．∵ |AM|+|NA|=a＋x1＋a＋x2＝2a＋2r-2a＝2r，∴ |AM|＋|AN|=|AB|．【证法2】如图2－2，以A为极点，射线AB为极轴，建立极坐标系，则半圆的方程为∵ |MA|=|MP|，|NA|=|NQ|，∴ M、N在以A为极点、L为准线的抛物线上．又p=|AT|=2a，从①、②中消去cosθ，得ρ2-2rρ+4ar＝0．从而由韦达定理，得|MA|＋|NA|=ρ1＋ρ2=2r．故 |AM|＋|AN|＝|AB|．【解说】由以上两例，可总结出坐标法解证几何题的思路模式图为：(二)坐标法解证代数题【证明】由已知条件，得在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y直线的距离不大于半径，即∴ (z-a)2≤a2-2z2，又a＞0，【解说】本例利用方程的几何意义，把已知条件转化为直线与圆的位置，从而由点到直线的距离公式，使问题获解．【证明】如图2－3，建立直角坐标系，设圆O的半径为1．∵α、β是方程acosθ＋bsinθ=c在(0，π)内的两个根，∴ acosα＋bsinα=c，acosβ＋bsinβ=c，从而点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)是直线ax+by=c与⊙O的两个交点．【解说】由以上两例，可总结出坐标法解证代数题的思路模式为：习题2．1用坐标法解证下列各题：1．在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，且|AD|=|BC|，M是BC的中点，H是垂心，求证：|MH|＋|HD|=|BM|．2．在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为AD上一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDA=∠ADF．3．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，M是DE的中点，求证：AM⊥BE．6．关于θ的方程 acosθ＋bsinθ=0(a2＋b2≠0)有两个相异实根α、β，m、n∈R，求证：习题2．1答案或提示1．以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，设点B(b，0)、2．以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，设点A、B、C、H坐标分别为(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，h)，则直线AC的方程为3．以D为原点，DC为x轴、DA为y轴，设A、B、C的坐标如图2－4，当直线y=x-u过点A(1，0)时，u=1．当直线与半圆相切5．在直角坐标系中，设M(1，2)、P(sinθ，cosθ)，则P为⊙O：x2+y2=1上任一点，f(θ)为MP的斜率，由图(图由读者自画)易知，过M作⊙O的两条切线中，斜率存在的那一条直线的斜率，即为所求的最小值．设这切线的方程为y-2=k(x-1)，则由点到直线的距离公式，可得k=3／46．由已知可得，直线 ax＋by=0与单位圆x2＋y2=1有两个不同的交点A(cosα，sin α)、B(cosβ，sinβ)，又P(m，n)是任一点，则|PA|＋|PB|≥|AB|＝2，即。