反三角函数练习

高一数学练习（反三角函数）一 填空题1．y =的定义域是 ，值域是2．11arcsin 3y x=的定义域是 ，值域是 3．函数3sin ,[,]2xy x ππ=∈-的反函数是4．不等式arcsin(1)6x π->的解集是5．14cos(arcsin )25=6．函数2(arcsin )2arcsin 2y x x =--的最大值为 ，此时x =7．+=8．2log (arccos)23x y π=-的定义域是 9．已知1arcsin arc 74x tg π+=，则x =10．函数1()arcsin 2f x x arctgx =+的最大值 ，最小值11．函数()csc(arccos )f x x =的奇偶性是 二 选择题1．函数3sin ,[,]22y x x ππ=∈的反函数是 （ ） （A ）arcsin ,[1,1]y x x =∈- （B ）arcsin ,[1,1]y x x =-∈- （C ）arcsin ,[1,1]y x x π=+∈- （D ）arcsin ,[1,1]y x x π=-∈-2．下列函数中与函数y x =有相同图象的是 （ ）（A ）lg 10xy = （B ）lg10xy = （C ）sin(arcsin )y x = （D ）2x y x=3．已知2x ππ-<<-，则arcsin(sin )x 等于 （ ）（A ）x （B ）x π+ （C ）x π-- （D ）x π-+ 4．函数arccos 2y x π=-是 （ ）（A ）是奇函数且单调递减 （B ）是奇函数且单调递增 （C ）是偶函数 （D ）是非奇非偶函数5．下列四个函数中，在定义域内不具有单调性的函数是 （ ） （A ）(arccos )y ctg x = (B) (arcsin )y tg x = （C ）sin()y arctgx = （D ）cos()y arctgx =6．给定下列四个函数：（1）sin(arcsin )y x =（2）cos(arccos )y x = (3) arcsin(sin )y x =（4）arccos(cos )y x =，则它们的图象 （ ） （A ）彼此不同 （B ）有两个相同 （C ）有三个相同 （D ）彼此全相同7．下列各式中不成立的是 （ ）（A ）3arcsin[sin()]44ππ-=-（B ）11[()]22tg arctg -=-（C ）arccos[cos()]44ππ-=- （D ）44sin[arcsin()]55-=-8．在区间3[1,]2-上，与函数y x =相同的函数是 （ ）（A ）arccos(cos )y x = （B ）arcsin(sin )y x = （C ）sin(arcsin )y x = （D ）cos(arccos )y x = 三 解答题1． 求下列各式的值（1）arcsin(1)-= （2）arcsin(=（3）sin[arcsin(5-= （4）cos(arcsin 0)= 2． 用反正弦形式表示下列各角（1）1sin ,(,)32x x ππ=∈ （2）1sin ,(,)422x x ππ=-∈- （3）13sin ,(,)42x x ππ=-∈3． 求函数2arccos()y x x =-的定义域和值域 。

(一)反三角函数的概念·例题注 (i)求反三角函数值，先用一个字母表示这个反三角函数，再写出它的原三角函数，并确定所在角的象限。

然后利用已知三角函数值查表求出角来，或者利用特殊角的三角函数值求出角来。

(ii)如果一个式子中有多个反三角函数值，一般分别用一个字母表示，按上述步骤分别进行。

那么D= ______，M=______。

由对数函数的性质知，D由下面不等式组解确定从而所以M=(-∞，log2π-1)。

注求复合函数的定义域，可由里向外(或由外向里)，一层一层得出有关不等式组。

求出这不等式组的解，即为所求的定义域。

(1)求它的定义域D；(2)求它的反函数，并求反函数的值域与定义域。

注 (i)反三角函数都是单调函数。

故已知值域求定义域时，只须求出值域两端点的反三角函数值即可。

(ii)原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。

所以 y=sinx=sin(x-2π) x-2π=arcsinyy=arcsinx+2π注求三角函数的反函数时，必须先利用诱导公式，把自变量的取值范围变到此三角函数的主值区间上，再利用反三角函数表出。

例4-1-5求y=arctg(9-8cosx-2sin2x)的定义域与值域。

解由于z=arctgu的定义域为(-∞，+∞)，又因为y=cosx与y=sinx的定义域也都是(-∞，+∞)，从而所求函数定义域也是(-∞，+∞)。

再求值域。

令u=9-8cosx-2sin2x，则u=2(cosx-2)2-1当cosx=-1时，u max=17，从而y max=arctg17；注当复合函数的“外”函数是反三角函数时，求此复合函数的值域的步骤是：先求出“内”函数的最大值a与最小值b；令此复合函数为y=f(x)；再求出f(a)，f(b)。

那么值域为[f(a)，f(b)](当“外”函数为增函数时)或[f(b)，f(a)](当“外”函数为减函数时)。

反三角函数典型例题例 1：在下列四个式子中，有意义的为__________：解：（ 4）有意义。

（ 1） arcsin 2 ；（ 2） arcsin；（ 3） sin(arcsin 2) ；（ 4） arcsin(sin 2) 。

4点评： arcsin x —— x [ 1,1]。

例 2：求下列反正弦函数值（ 1） arcsin3解：（ 2） arcsin0解： 0 23（ 3） arcsin( 1)解：（4） arcsin1解：262点评：熟练记忆：0， 1 2 3、 ，，的反正弦值。

222 1思考： sin(arcsin14) 该如何求？2例 3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 x(1) sin x3 ， x [, ]35解： x ＝ arcsin2 25变式： x[ , ] ?2解： x [, ] 时， π－ x [0,3] ， sin(π－ x)＝ sinx ＝2 25∴ π－ x ＝ arcsin 3 ，则 x ＝π－ arcsin 355变式： x[0, ] ?解： x ＝arcsin 3 或 x ＝ π－arcsin355(2) sin x1， x[, ] 解： xarcsin142 24变式： sin x1 ， x [ 3,2 ]4 2解： x [3] 时， 2π－ x[0, ] ， sin(2π－ x)＝－ sinx ＝1,2 422∴ 2π－ x ＝ arcsin 1，则 x ＝2π－ arcsin 144点评： 当 x[ ,] 时， x arcsina ；而当 x [, ] ，可以将角转化到区间 [ , ] 上，再用诱导公式222 2 2 2处理对应角之三角比值即可。

练习：(1) sin x3 [, ] 解： x， x322 2(2) sin x3 [0, ]解： x arcsin3 3， x或 x arcsin333(3) sin x3， x[ , 3] 解： xarcsin3例 4：求函数 y 2arcsin(5 2x) 的定义域和值域。

反三角函数的综合应用题反三角函数是高中数学中的一个非常重要的概念，它可以解决很多复杂的问题。

在本文中，我将介绍一些反三角函数的综合应用题，希望能对广大学生有所帮助。

1. 求解三角方程三角方程是基于三角函数和角度的方程。

求解三角方程需要利用反三角函数。

下面是一个例子：cos(x) = 1/2我们可以用反余弦函数来求解这个方程。

x = arccos(1/2) = π/3 或5π/3因为余弦函数的周期是2π，所以我们可以将答案写成：x = π/3 + 2πk 或5π/3 + 2πk其中k是任意整数。

2. 求解三角形的边长和角度有时候我们需要求解一个三角形的边长和角度，但是我们只知道其中一些角度和边长的关系。

下面是一个例子：已知一个直角三角形，其中一条腰的长度是3，斜边与另一条腰的夹角是60度，求斜边和另一条腰的长度。

我们可以用反正弦函数和反余弦函数来求解这个问题。

从图中可以看出sin(60) = 1/2，因此另一条腰的长度是3/2。

对于斜边的长度，我们可以用反正弦函数来求解：sin(θ) = 3/2 / cθ = arcsin(3/2 / c)c = 2 / sin(arcsin(3/2 / c))c = 2 / sin(θ)由于这是一个直角三角形，因此我们可以用勾股定理来求解：c^2 = a^2 + b^2c^2 = 9/4 + b^2b^2 = c^2 - 9/4b = √(c^2 - 9/4)因此，斜边的长度是√(4 - 9/4) = √7/2。

3. 求解三角函数的反函数三角函数的反函数是反三角函数。

它可以用来求解一些特殊的三角函数值。

下面是一个例子：求x，在0到π/2的范围内，使得cos(arcsec(x)) = 1/2我们可以用反正割函数来求解这个问题。

cos(arcsec(x)) = 1/2sec(arcsec(x)) = 2x = sec(arccos(2))x = 1/2因此，当x = 1/2时，cos(arcsec(x))等于1/2。

高中数学反三角函数练习题及讲解### 高中数学反三角函数练习题及讲解#### 练习题1. 求值题：计算 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2})\) 和 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})\) 的值。

2. 化简题：将 \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 化简为一个角度。

3. 应用题：在直角三角形ABC中，已知角A的正弦值为\(\frac{3}{5}\)，求角A的余弦值。

4. 方程题：解方程 \(\cos^{-1}(x) + \sin^{-1}(x) =\frac{\pi}{4}\)，其中 \(x \in [-1,1]\)。

5. 证明题：证明恒等式 \(\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) =\frac{\pi}{2}\) 对所有 \(x > 0\) 成立。

6. 综合题：如果 \(\sin(\theta) = \frac{4}{5}\) 且 \(\theta\) 在第一象限，求 \(\cos(\theta)\) 和 \(\tan(\theta)\)。

7. 探索题：探索并证明当 \(x\) 从 0 增加到 1 时，\(\sin^{-1}(x)\) 和 \(x\) 之间的关系。

8. 图形题：在单位圆上，找出 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})\) 对应的点，并描述该点在坐标系中的位置。

#### 讲解1. 求值题：根据特殊角的三角函数值，我们知道 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ\) 或 \(\frac{\pi}{6}\) 弧度，\(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ\) 或\(\frac{\pi}{6}\) 弧度。

三角函数与反三角函数一、 填空题1. 函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 .2. 函数2sin cos y x x =-的最大值为 。

3. 函数()sin 3cos f x x x =+的对称中心的坐标为4. 。

函数2sin(2)34y x π=--的单调递增区间是 . 5. 函数sin cos ()sin cos x x f x x x-=+的奇偶性为 6. 已知函数()cos()f x A wx ϕ=+的部分图像如图所示， 若2()23f π=-,则(0)f = 。

7。

函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π的最小值为 。

8.方程22sin 3sin cos 4cos 0x x x x +-=的解集为 .9.函数3cos ([,))2y x x ππ=∈的反函数是 .10.已知0w >，函数()sin()4f x wx π=+在(,)2ππ单调递增,则w 的取值范围是 。

11。

设()cos(sin )f x x =与()sin(cos )g x x =，以下结论：（1）()f x 与()g x 都是偶函数； （2)()f x 与()g x 都是周期函数；（3）()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]-; (4）()f x 的值域是[cos1,1],()g x 的值域是[sin1,sin1]-;其中不正确的是 .12。

函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 。

二、 选择题13。

下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）.A cos(2)2y x π=+ .B sin(2)2y x π=+ .C sin 2cos 2y x x =+ .D sin cos y x x =+14.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像,只需要将函数sin 4y x =的图像（ ) .A 向左平移12π个单位 .B 向右平移12π个单位 .C 向左平移3π个单位 .D 向右平移3π个单位 15。

反三角函数的求法练习题一、选择题1. 已知sinθ = 0.5，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 30°B. θ = 150°C. θ = 210°D. θ = 330°2. 已知cosθ = 0.8，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 143.13°B. θ = 216.87°C. θ = 323.13°D. θ = 336.87°3. 已知tanθ = 1，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 45°B. θ = 135°C. θ = 225°D. θ = 315°二、填空题4. 已知sinθ = 0.6，求θ的值，θ = _______°。

5. 已知cosθ = 0.4，求θ的值，θ = _______°。

6. 已知tanθ = 3，求θ的值，θ = _______°。

三、解答题7. 已知sinθ = 0.8，求θ在第二象限的值。

8. 已知cosθ = 0.7，求θ在第三象限的值。

9. 已知tanθ = 2，求θ在第一象限的值。

10. 已知sinθ = 0.3，求θ在第四象限的值。

11. 已知cosθ = 0.9，求θ在第一象限的值。

12. 已知tanθ = 0.5，求θ在第二象限的值。

四、综合题13. 已知sinθ = 0.75，求θ在第一象限和第二象限的值。

14. 已知cosθ = 0.4，求θ在第三象限和第四象限的值。

15. 已知tanθ = 1.5，求θ在第一象限和第三象限的值。

五、应用题16. 一个直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比值为0.6，求该锐角的度数。

17. 在一个直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值为0.8，求该锐角的度数。

18. 一个物体从地面向上抛出，其运动轨迹与水平面的夹角的正切值为1.2，求该夹角的度数。

反三角函数举例例1 下列各式子中，有意义的是________(1)arcsin (2)arcsin;2π(3)sin(arcsin 2); (4)arcsin(sin 2).解 注意到arcsin y x = 的定义域是[1,1],- 因此有意义的式子是（4） 例2 求下列反正弦函数的值.(1)arcsin____;=(2)arcsin 0_____;=(3)1arcsin()______;2- (4)arcsin1_______.要熟记10;;,122±±± 的反正弦值. 例 求1sin(arcsin)24I π=+ 的值；()f x 解 由于1a r c s i n ,26π= 于是16s i n ().64224I ππ=+=⨯+=例3设sin x =用反正弦的形式表示下列各式中的.x （1）[,];22x ππ∈- （2）[,];2x ππ∈ （3）[0,].x π∈解 （1）由于[,],22x ππ∈-则x = （2）由于[,],2x ππ∈则 [0,],2x ππ-∈且sin()sin 5x x π-==因此a r c s i ,5x π-=于是arcsin5x π=- （3）当[0,]x π∈时，arcsin,5x =或者arcsin 5x π=- 练习用反正弦的形式表示下列各式中的.x 设1sin ,4x =- （1）[,];22x ππ∈-（2）3[,2];2x ππ∈ 解 （1）由于[,],22x ππ∈-则 11arcsin()arcsin().44x =-=-（2）当3[,2]2x ππ∈时，2[0,],2x ππ-∈ 且1sin(2)sin .4x x π-=-=因此12a r c s i n (),4x π-= 于是12arcsin .4x π=- 注意 若sin ,x a = 当[,]22x ππ∈-时，则arcsin ;x a = 当[,]22x ππ∉-时，可以将角转化到[,]22ππ-上，再利用诱导公式处理对应角三角函数值即可.练习写出式中的.x （1）sin ,[,];222x x ππ=∈-（2）sin [0,];3x x π=∈ （3）33sin ,[,].522x x ππ=-∈解 （1）.3x π= （2）arcsin ,3x =或者arcsin 3x π=- （3）当3[,]22x ππ∈时，[,].22x πππ-∈-而3sin()sin ,5x x π-=-= 3arcsin ,5x π-= 于是3arcsin .5x π=+例4 求2arcsin(52)y x =- 的定义域和值域.解 由1521x -≤-≤ 可得2 3.x ≤≤ 因此函数的定义域为[2,3].x ∈ 由于arcsin(52)[,],22x ππ-∈-因此函数的值域为[0,].π练习 （1）求sin arcsin y x x =+ 定义域和值域； （2）当3[,]44x ππ∈-时，求arcsin(cos )y x = 的值域. 解 （1）函数的定义域是 [1,1],x ∈- 值域为 [sin1,sin1].22ππ--+（2）令3cos ,[,],44t x x ππ=∈- 于是[,1].2t ∈- 而arcsin y t = 是单调增加的函数，于是函数的值域为[,].42ππ-例5 求下列函数的反函数（1）sin ,[,];2y x x ππ=∈ （2）arcsin ,[0,1].y x x =∈解 （1）函数的值域[0,1],y ∈ 由于[,],2x ππ∈ 则[,0],2x ππ-∈-且sin()sin .x x y π-=-=- 于是arcsin()arcsin ,x y y π-=-=- 因此arcsin ,x y π=-于是原函数的反函数1()arcsin ,[0,1].fx x x π-=-∈（2）当[0,1]x ∈ 时，值域[0,].2y π∈ 于是 sin ,x y = 因此原函数的反函数为1()s i n ,[0,].2f x x x π-=∈ 例6 求下列反三角函数的值 （1）____;= .6π （2）arccos(_____;2-= 两种方法求 3.4π （3）arccos0arctan1_____;+= 3.4π （4）arctan(_____;= .3π- （5）11arcsin()arccos()____;22-+-= .2π（6）5arctan(tan )____;6π= .6π-例7 用反三角函数的形式表示下列各式中的.x（1）1cos ,[0,];3x x π=∈ 1arccos .3x =（2）1cos ,[,2];3x x ππ=-∈1arccos .3x π=+（3）tan 2,(,).22x x ππ=-∈-arctan(2)arctan 2.x =-=-（4）3tan 2,(,).22x x ππ=-∈arctan 2.x π=-例8 （1）已知 arcsin arcsin(1),x x ≥- 求x 的取值范围. 解 由111x x -≤-≤≤ 可得11.2x ≤≤ （2）已知 arccos arccos(1),x x >- 求x 的取值范围. 解 由111x x -≤<-≤ 可得10.2x ≤< （3）已知arctan ,3x π>求x 的取值范围.解x >（4）已知arccos .3x π>求x 的取值范围.11.2x -≤<解 9 求arcsin arctan y x x =+ 的值域.解 因为函数的定义域为[1,1].- 它的值域为33[,].44ππ- 10 求下列各式的值 （1）sin(arccos());3-解 设arccos(x =则 cos [0,],x x π=∈于是sin(arccos(sin 33x -==（2）tan(arccos());26π--解 3tan(arccos())tan()2646πππ--=-2== （3）213cos (arccos );25解 设 3arccos ,5x =则 3cos ,[0,].52x x π=∈ 2213114cos (arccos )cos ()(1cos ).25225x x ==+=（4）123sin(arctan arcsin );55-解 设123arctan ,arcsin ,55αβ== 则12125tan ,sin ,cos .51313ααα===34sin ,cos .55ββ==于是123sin(arctan arcsin )sin()55αβ-=-1245333.13513565=⨯-⨯=（5）求11arctan arctan 23+ 的值.解 设11arctan ,arctan ,23αβ==则11tan ,tan ,,[0,].232παβαβ==∈ tan()1,αβ+=于是.4παβ+=。

三角函数的反函数模拟试题题目一：已知正弦函数sin(x)在区间[0, π/2]上是严格单调递增的，找出cos(π/4)的反函数的取值范围。

解析：由于cos(π/4) = sin(π/4)，且π/4∈[0, π/2]，反函数sin^(-1)(x)的取值范围为[0, π/2]。

题目二：已知正切函数tan(x)在区间[-π/4, π/4]上是严格单调递增的，求tan^(-1)(1)的取值。

解析：tan^(-1)(1)表示tan(x) = 1的解，由于tan(x)在区间[-π/4, π/4]上是严格单调递增的，可以得到x = π/4是唯一解。

因此，tan^(-1)(1) = π/4。

题目三：已知余弦函数cos(x)在区间[π/2, π]上是严格单调递减的，求cos^(-1)(-1/2)的取值。

解析：cos^(-1)(-1/2)表示cos(x) = -1/2的解，由于cos(x)在区间[π/2, π]上是严格单调递减的，可以得到x = 2π/3是唯一解。

因此，cos^(-1)(-1/2) =2π/3。

题目四：已知正切函数tan(x)在区间[-π/4, π/4]上是严格单调递增的，求tan^(-1)(√3)的取值。

解析：tan^(-1)(√3)表示tan(x) = √3的解，由于tan(x)在区间[-π/4, π/4]上是严格单调递增的，可以得到x = π/3是唯一解。

因此，tan^(-1)(√3) = π/3。

题目五：已知正弦函数sin(x)在区间[-π/2, π/2]上是严格单调递增的，求sin^(-1)(0)的取值。

解析：sin^(-1)(0)表示sin(x) = 0的解，由于sin(x)在区间[-π/2, π/2]上是严格单调递增的，可以得到x = 0是唯一解。

因此，sin^(-1)(0) = 0。

通过以上试题模拟，我们可以更好地理解三角函数的反函数。

了解三角函数的性质以及反函数的定义和求解方法，有助于我们在解决相关问题时，能够迅速准确地得到答案。