云南省临沧市2021届新高考第三次适应性考试数学试题含解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试联考理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，若复数2i1im +-(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3- B ．3C ．1D ．1-【答案】C 【解析】复数()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i m m m ⨯++=+=-+--⨯+， 因为复数2i1im +-(m ∈R )是纯虚数，所以10m -=，解得1m =， 故选C ．2．设集合()222021,2020A x y x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，(){},2xB x y y ==，则集合AB 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】依题意，集合A B 中元素的个数，即2220212020x y +=与2xy =图象交点个数， 如图：所以一共有两个交点，所以集合AB 中元素的个数为2，故选C ．3．已知()()()()52501251121212x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则1a =（ ） A ．516B ．532C ．15D ．5【答案】B【解析】令12x t +=，则111122t t x -++=+=， 所以525012512t a a t a t a t +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，所以541515C 232a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选B ． 4．如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积V 是水面高度x 的函数()V f x =，若正数a ，b 满足1a b +=，则()()f a f b +的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】A【解析】因为半径和高都是1，所以水的半径和高都是x ，2311()ππ33V f x x x x ==⋅=，因为1a b +=，所以1b a =-， 又a ，b 为正数，所以01a <<， 所以333232111()()ππ(1)π(122)333f a f b a a a a a a a a +=+-=+-+--+22111ππ3212a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当12a =时，()()f a f b +最小值为π12，故选A ． 5．对两个变量x ，y 进行回归分析，得到组样本数据()11,x y ，()22,x y ，，(),n n x y ，则下列说法不正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+必经过样本中心点(),x yB ．相关指数2R 越大，残差的平方和越小，其模型的拟合效果越好C ．若线性回归方程为ˆ0.610yx =+，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.6个单位D ．相关系数r 越接近1，变量x ，y 相关性越强 【答案】D【解析】由定义知回归直线方程ˆˆˆybx a =+必经过样本中心点(),x y ，故A 正确； 由相关指数2R 的定义知，2R 越大模型拟合效果越好，由残差的平方和的定义知，残差的平方和越小模型的拟合效果越好，故B 正确； C 选项是回归直线方程的应用，故C 正确；相关系数r 的范围为11r -≤≤，由定义知r 越接近1，变量x ，y 相关性越强，故D 错误， 故选D ．6．在平行四边形ABCD 中，已知12DE EC =，12BF FC =，2AE =6AF =，则AC BD ⋅=（ ） A ．9- B ．92-C ．7-D ．72-【答案】B 【解析】∵12DE EC =，12BF FC =， ∴13AE AD DE AD AB =+=+，13AF AB BF AD AB =+=+，而2AE =6AF =，∴1=23AD AB +，1=63AD AB +， ∴2221239AD AD AB AB +⋅+=，2212693AD AD AB AB +⋅+=， 两式相减得2288499AD AB -=-，∴2292AD AB -=-， ∴()()2292AC BD AB AD AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-=-，故选B ． 7．函数()12ln 41x xxf x +⋅=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由122ln ln ()4122x x xx xx f x +-==++，知()f x 为偶函数， (1)0f =，11221ln 4()0222f --=<+，故排除B 、C 选项； 44ln16(4)0.1722f -=≈+，55ln 25(5)0.1022f -=≈+，易知()f x 在随着x 增大过程中出现递减趋势，且趋近于x 轴，故A 正确， 故选A ．8．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()g x x =的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意知：()f x 的周期为2，关于1x =对称，且(2(2))()(2)()f x f x f x f x -+=-=+=，∴()f x 为偶函数，即可得()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 交于(1,1)-，(0,0)，(1,1)三点，故选C ．9．已知(2,0)A ，(0,1)B 是椭圆22221x y a b+=的两个顶点，直线(0)y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =，则斜率k 的值为（ ） A ．38B ．23C ．38或23D ．34【答案】C【解析】由题可知，椭圆的方程为2214x y +=，直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =． 设()00,D x kx ，()11,E x kx ，()22,F x kx ，其中12x x <，联立()222211444x y k x y kx⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩，故21x x =-=． 由6ED DF =，得()()01200212156677x x x x x x x x -=-⇒=+==． 由点D 在直线AB 上，得00022212x kx x k+=⇒=+，所以223242560128k k k k =⇒-+=⇒=+或23，故选C ．10．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><【答案】D 【解析】i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项， 又数列{}n a 是递增数列，1239a a a a ∴<<<<，299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项，同理可以得到93a a ，94a a ，，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<<<， 955a a a ∴=，53a ∴=或53a =-（舍），63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =，94912914133613S a a a -∴=+++=<-，故选D ．11．已知函数()sin()0,02πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π2πf x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①π4ϕ=；②93()2k k ω=+∈N ； ③02πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ④直线3πx =-是()f x 图象的一条对称轴， 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B【解析】由题设，知()f x 关于π2x =轴对称，关于π(,0)6中心对称， ∴12πππ22ππ6k k ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，12(,)k k ∈Z ，即12ππ()π32k k ω=-+，1233()2k k ω=-+， ∴2131()π224k k ϕ=--， 又0ω>，0π2ϕ<<，即12k k ≥， 当12k =，21k =时，有π4ϕ=，此时92ω=，则9π()sin()24x f x =+， ∴π9πsin()02π44f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，而ππ3π5π()sin()sin 13424f -=-=-≠±， 故3πx =-不是()f x 图象的一条对称轴，故选B ． 12．在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、AD 的中点，则平面1D EF 与正方体1111ABCD A B C D -外接球的交点轨迹长度为（ ）A ． BC πD ．4π【答案】C【解析】如图所示，连接111,B D B E ，取11B D 的中点N ，EF 的中点M ，BD 的中点Q ，连接,,MN MQ NQ ，其中O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心， 作OP MN ⊥，垂足为P ，因为NQ ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，所以NQ EF ⊥，因为四边形ABCD 为正方形且,E F 为,AB AD 的中点，,M Q 为,FE DB 的中点， 可得FE MQ ⊥， 又因为FE NQ ⊥，MQ NQ Q =，且,MQ NQ ⊂平面MNQ ，所以EF ⊥平面MNQ ，因为OP ⊂面MNQ ，所以EF OP ⊥， 又由OP MN ⊥，MNFE M =，且,MN FE ⊂平面11D B EF ，所以OP ⊥平面11D B EF ，因为面11D B EF 和面1D EF 是同一面，所以OP ⊥平面1D EF ，在直角MNQ △中，1MQ =，NQ =3MN =， 所以1sin 3MNQ ∠=，又因为ON =NPO △中，可得sin 3OP NO MNQ =⋅∠=， 由平面截球的轨迹为圆，其中P 是截面圆的圆心，O 为球心，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为OS =根据截面圆的性质，可得PS ==所以截面的周长为2πPS ⋅=C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．总体由编号为00，01，，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从下列随机数表第1行的第9列开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为_________．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 3990 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35【答案】58【解析】由题意，从随机数表第1行的第9列数字0开始，从左到右依次选取两个数字的结果为00，18，00(舍去)，18(舍去)，38，58， 故选出来的第4个个体编号为58，故答案为58． 14．若5π4sin 85α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________． 【答案】725【解析】由5ππππ4sin sin cos 82885ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则2ππ167cos 22cos 121482525αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为725．15．已知,x y 满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若(0)Z ax y a =+>的最大值是16，则a 的值为_________． 【答案】2【解析】画出满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩的平面区域，如图示：由2040x y y --=⎧⎨-=⎩，解得(6,4)A ；由34040x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得(0,4)B ，当直线y ax Z =-+过(0,4)B 时，416Z =≠， 由Z ax y =+，得y ax Z =-+，当直线y ax Z =-+过(6,4)A 时，Z 最大， 此时6416a +=，解得2a =， 故答案为2．16．在ABC △中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC △的面积为__________．【答案】2【解析】∴由正弦定理πsin sin 6BD AD B =，πsin sin 6DC ADC =， 即π1sin sin 6sin AD BD B B =⋅=，π1sin sin 6sin AD DC C C=⋅=，而3BC =，∴113sin sin B C+=，∵sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠1sin C AB =，1sin B AC=，∴112AC AB +=，即2AB AC AC AB +=⋅， 又由余弦定理知2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=， ∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2()39AC AB AC AB +-⋅=， 令x AC AB =⋅，∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去），∴1sin 2ABC S AC AB BAC =⋅⋅∠=△故答案为2．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122n n n n a a n +++-=-∈N ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12n a a a ++⋅⋅⋅+．【答案】（1）()()122121n n n n a +=--；（2）112221n n ++--．【解析】（1）由()()2112122n n n n a a +-+-=-，得1122222122121n n n n n n a a ++++--==⋅--，()()123111221131123121212121322222212121212121n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a ------+-+-------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=------，即()()()()111132*********n nn n n n n n a a a -++⋅=⇒=----． （2）()()1121121212121n n n n n n a +-==-----， ∴1212231111111212121212121n n n a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+------- 11112212121n n n +++-=-=--． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，π2APB ∠=，π3ABC ∠=，PB =24PA AD PC ===，点M 是AB 的中点．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAB ； （2）求二面角--B PC M 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）13． 【解析】（1）在PAB △中，因为π2APB ∠=，PB =2PA =， 所以4AB =，因为点M 是AB 的中点，所以2BMPM ==，在BMC △中，π3MBC ∠=，得CM =， 所以222BM CM BC +=，所以AB CM ⊥， 在PMC △中，2PM =，CM =4PC =， 满足222PM CM PC +=，所以PM CM ⊥， 而ABPM M =，所以CM ⊥平面PAB ，因为CM ⊂平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAB ．（2）以AM 的中点O 为原点，以OB 为x 轴，平行于MC 的直线为y 轴，OP 为z 轴，如图建立O xyz -坐标系，则P，(1,0)C ，(3,0,0)B ，(1,0,0)M ，所以(2,BC =-，(BP =-，(0,MC =，(MP =-， 设平面BPC 的一个法向量(,,)x y z =m ，平面MPC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即2030x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，可得=m ； 则00MC MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即00x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，可得=n，cos ,||||13⋅<>==⋅m n m n m n ， 所以二面角--B PC M的余弦值为1319．（12分）拉拉裤又叫成长裤，是等宝宝调皮了自己会解纸尿裤了或者换尿裤的时候总动来动去使用的，拉拉裤不但有防尿功能，且具有普通短裤的功能，拉拉裤易于穿着、方便活动，能减轻妈妈的劳累，让宝宝轻轻松松学步，渗透性能是体现其功能的重要指标，对渗透性能的考量又分滑渗量、回渗量、渗漏量三个方面，其中，回渗量是一个直接与孩子健康挂钩的指标，国家在这方面有严格规定，要求不得超过10克．某品牌拉拉裤的生产商为了测量某批新产品的回渗量，从该批产品中随机抽取了1000片，得到如下频率分布直方图：注：以频率作为概率，该品牌拉拉裤的生产商规定回渗量小于220毫克为合格品． （1）从这批拉拉裤中随机抽取4片，记合格片数为ξ，求ξ的分布列与期望； （2）从这批拉拉裤中随机抽取m 片，全是合格品的概率不低于60%，求m 的最大值； （3）为提高新产品的质量，该厂商研发部拟订了Ⅰ，Ⅱ两种技术更新方案，试验结果如下：方案Ⅰ，随机抽取100片，合格片数的期望是96；方案Ⅱ，随机抽取120片，合格片数的期望是115．试问该厂商应按哪个改进方案投入生产？【答案】（1）分布列见解析，数学期望为3.6；（2）最大值为4；（3）应选择方案Ⅰ． 【解析】（1）由频率分布直方图可知， 所抽取拉拉裤是不合格品的频率为()0.0040.001200.1+⨯=，所以所抽取拉拉裤是合格品的频率为10.10.9-=， 即所抽取拉拉裤是合格品的概率为910． 从这批产品中随机抽取4片，合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，则()41101010000P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31491361C 101010000P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， ()2224914862C 101010000P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3349129163C 101010000P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()49656141010000P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以ξ的分布列为所以数学期望()1364862916656101234 3.61000010000100001000010000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）从这这批拉拉裤中随机抽取m 片，全是合格品的概率为910m⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为490.656110⎛⎫= ⎪⎝⎭，590.5904910⎛⎫= ⎪⎝⎭， 依题意得90.610m ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则m 的最大值为4．（3）按方案Ⅰ，设随机抽取一个产品合格的概率是a ，随机抽取100片， 合格品个数()100,XB a ；按方案Ⅱ，设随机抽取一个产品合格的概率是b ，随机抽取120片， 合格品个数()120,Y B b ，依题意()10096EX a ==，()120115E Y b ==，解得2425a =，2324b =． 因为24232524>，所以应选择方案Ⅰ． 20．（12分）已知抛物线()220:y p C x p =>经过点()1,2． （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设过点()2,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AB AM =，MN y ⊥轴．垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆恒过定点．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-；（2）证明见解析．【解析】（1）由抛物线22y px =经过点()1,2，得42p =，即2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-．（2）证明：由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为2x my =+． 将2x my =+代入24y x =，消去x ，得2480y my --=，显然216320Δm =+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，128y y =-． ∵12AM AB =，∴M 是线段AB 的中点，设(),M M M x y ， 则()1221242222M m y y x x x m +++===+，1222M y y y m +==，∴()222,2M m m +，又MN y ⊥轴，所以垂足N 的坐标为()0,2Nm ．设以MN 为直径的圆恒经过点()00,D x y ， 则()20022,2DMm x m y =+--，()00,2DN x m y =--，由0DM DN ⋅=，得()()220002220x m x m y -+-+-=，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，①因为对任意的实数m ，①式要恒成立，所以00220004204020x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，解得0020x y =⎧⎨=⎩，所以以MN 为直径的圆恒过定点，该定点的坐标为()2,0． 21．（12分）已知函数()ln f x a x x =+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明：()xxf x e <．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 定义域是(0,)+∞，由题意()1a a x f x x x+'=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，0x a <<-时，()0f x '<；x a >-时，()0f x '>，()f x 在(0,)a -上递减，在(,)a -+∞上递增．（2）令()1ln x x x ϕ=--，则1()1x xϕ'=-， 01x <<时，()0x ϕ'<；1x >时，()0x ϕ'>，即01x <<时，()ϕx 递减；1x >时，()ϕx 递增，所以min ()(1)0x ϕϕ==，所以()1ln 0x x x ϕ=--≥，（1x =时，等号成立）， 所以1ln x x -≥，1a =时，不等式()xxf x e <为2ln x x x x e +<，即2ln 0x x x x e +-<，令2()ln x g x x x x e =+-，(0,)x ∈+∞，则()ln 12xg x x x e '=++-， 令()()ln 12xh x g x x x e '==++-，则1()2x h x e x'=+-， 设1()2x H x e x =+-，则21()0x H x e x'=--<． 所以()h x '在(0,)+∞上是减函数，(1)30h e '=->，25(2)02h e '=-<， 所以()h x '在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，0(1,2)x ∈，00x x <<时，()0h x '>；0x x >时，()0h x '<，所以()h x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x +∞上递减．0max 000()()ln 12x h x h x x x e ==++-，由(1)ln11230h e e =++-=->，得0()0h x >， 易知222222()21210e e h e ee e e ----=-++-=-+-<， 2225(2)ln 214ln 25ln 2502h e e ⎛⎫=++-=+-<+-< ⎪⎝⎭，所以()h x 在0(0,)x 上一个零点1x ，在0(,)x +∞上有一个零点2x ，且20(,2)x x ∈，10x x <<或2x x >时，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递减； 12x x x <<时，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上递增，显然当01x <<时，2()ln ln 11ln 0xg x x x x e x x x x =+-<+-=<， 因此10x x <<时，()0<g x ，在1[,)x +∞上，2()g x 是()g x 的最大值，222222()ln x g x x x x e =+-， 又2222()ln 120x g x x x e '=++-=，222ln 12xe x x =++，因为212x <<，则210x ， 所以22222222222222222()ln ln 12(1)ln 21(1)21g x x x x x x x x x x x x x =+---=-+--<-+--22222242(2)0x x x x =-=-<，综上，0x >时，()0<g x 成立，所以()xxf x e <成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（,t t ∈R 为参数2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，3π,44πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求半圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，ABD △的面积为1+α的值．【答案】（1）c :os 1sin x y C ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数，(0,π)ϕ∈），π:tan 2,0,2l y x αα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）π3α=． 【解析】（1）半圆C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（其中ϕ为参数，(0,π)ϕ∈），直线l 的直角坐标方程为πtan 2,0,2y x αα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭． （2）由题意可知，可设(cos2,1sin 2)D αα+，其中2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以点D 到直线AB 的距离为d =sin cos2cos sin 23cos sin 3cos ααααααα=--=+，又2,0tan A α⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2)B -，2sin AB α∴==，∴三角形ABD 的面积()1123sin 3cos 1122sin tan S AB d αααα=⋅⋅=⋅⋅+=+=，tan α∴=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π3α∴=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知215f xx x ．（1）解不等式()9f x <；（2）若a 、b 、c 均为正数，且24f af b f c，证明：2222b c a a b c++≥．【答案】（1）()5,1-；（2）证明解析． 【解析】（1）由题意可知215f x x x ，当21x ≥-时，21536f x x x x ，()9f x <，即369x ，解得112x -≤<；当152x -<<-，2154f x x x x ，()9f x <，即49x ，解得152x -<<-；当5x ≤-，21536f xx x x ，()9f x <，即369x ，无解，综上所述，()5,1x ∈-， （2）因为a 、b 、c 均为正数， 所以36f a a ，36f b b ，36f c c ，因为24f af bf c，所以36363624a b c ，化简得2a b c ++=，因为2222222b c a b c a a b c a b ca b c2222222222224b c a b c a a b c a b c b c a a b c a b c，当且仅当a b c ==时取“=”号，所以2222b c a a b c++≥成立．。

（新高考）2021届高三第三次模拟考试卷数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}22740A xx x =--≤∣，{}3B x x =<，则A B =（ ）A ．()2,3-B ．(]2,3-C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭答案：D解：由22740x x --≤，即(21)(4)0x x +-≤，得142x -≤≤，集合1,42A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 由3x <，得29x <，即33x -<<，集合()3,3B =-， 由数轴表示可得1,32AB ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，故选D ．2．设复数z 满足()()23i 1i z-=+，则z =（ ）A ．12B ．2 C ．3 D ．1答案：D解：()()223i 1i 12i i 2i z-=+=++=，(()()()2i3ii3i 13i 223i3i3iz ++∴====-+--+， 因此，2213122z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 3．关于命题，下列判断正确的是（ ） A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C ．命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 答案：C解：A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B 错；C 选项，命题“4,x x ∀∈∈R R ”的否定为“400,x x ∃∈∉R R ”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D 错， 故选C ．4．已知函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1a ∈ B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭答案：C解：由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数()()(),(0)23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩为R 上的减函数，可得0120123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩，解得304a <≤，故选C ．5．函数()2sin 1f x x =-的奇偶性为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数答案：D解：由2sin 10x -≥，即sin 12x ≥，得函数定义域为52π,2ππ66π()k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称． 所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D ．6．已知点P 是ABC △所在平面内一点，且PA PB PC ++=0，则（ ）A ．1233PA BA BC =-+B ．2133PA BA BC =+C ．1233PA BA BC =--D ．2133PA BA BC =-答案：D解：由题意，PA BA PB -=，PA AC PC +=，而PA PB PC ++=0， ∴3PA BA AC -+=0，又AC BC BA =-，即32PA BA BC -+=0，∴2133PA BA BC =-，故选D ． 7．已知实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，其中1m <-，若目标函数y y x m =-的最大值为2，则m =（ ） A ．2- B ．2-或32-C ．2-或12 D ．32-答案：A解：因为实数x 、y 满足约束条件001x y mx y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示，其中1,11m A m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，11,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0P m ，因为目标函数yz x m=-的几何意义是可行域内的点(),x y 与(),0P m 所连直线的斜率， 所以目标函数yz x m=-的最大值为2，即1211PAmm k m m +==-+，整理得22320m m +-=，解得2m =-或12（舍去）， 故选A ．8．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）A ．630种B ．600种C ．540种D ．480种答案：C解：把6名工作人员分成1，1，4三组，再安排到三个村有1143654322C C C 651A 32190A 21⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种； 把6名工作人员分成2，2，2三组，再安排到三个村有2223642333C C C A A 90=种； 把6名工作人员分成1，2，3三组， 再安排到三个村有12336533654C C C A 32136021⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯种， 所以共有9090360540++=种，故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ， 则下列说法中正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+必过样本中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，则变量y 和x 之间具有线性相关关系答案：ABD解：A ．由样本数据得到的回归方程y bx a =+必过样本中心(),x y ，故正确； B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；D ．若变量y 和x 之间的相关系数为09362r =-．，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故正确， 故选ABD ．10．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）A ．该截角四面体的表面积为273aB ．该截角四面体的体积为323212a C ．该截角四面体的外接球表面积为211π2a D ．该截角四面体中，二面角A BC D --的余弦值为13答案：ABC 解：如图所示：由正四面体S NPQ -中，题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成， 故2223344673S a =⨯+⨯⨯=，A 正确； ∵棱长为a 的正四面体的高63h =， ∴223136136232)(3)434334312V a a a a =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=，B 正确； 设外接球的球心为O ，ABC △的中心为O '，NPQ △的中心为O ''，626633a -=， 222226R O C R O H '''--=2222263a R R a --=，22222633a R a R a -=--222222284633a R a R a R a -=+--⋅- ∴22118R a =，∴22114ππ2S R a ==，C 正确；易知二面角S BC A --为锐角，所以二面角A BC D --的余弦值为负值，D 错误， 故选ABC ．11．已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >， 则以下结论正确的有（ ） A ．9100a a ⋅< B ．910a a > C ．100b >D ．910b b >答案：AD解：数列{}n a 是公比q 为23-的等比数列；{}n b 是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-，∴21791012()30a a a ⋅=<-，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由1010a b >，不能求得b 10的符号，故C 错误；由99a b >且1010a b >，则812()1283a d >-+，912()1293a d >-+，可得等差数列{}n b 一定是递减数列，即0d <，即有910b b >，故D 正确， 故选AD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22x y =的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则（ ）A ．1214y y =B ．以AB 为直径的圆与直线12y 相切 C ．OA OB +的最小值D ．经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上 答案：ABD解：抛物线的焦点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为12y kx =+，联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2210x kx --=，所以122x x k +=，121x x =-，()21212121y y k x x k +=++=+，()2121212121111122244y y kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；以AB 为直径的圆的圆心为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即21,2k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 半径为2121122AB y y k ++==+，所以圆心到直线12y的距离为2211122k k ++=+，等于半径，所以以AB 为直径的圆与直线12y相切，即B 正确； 当直线AB 与x轴平行时，OA OB ==OA OB =+ 所以OA OB +的最小值不是C 错误； 直线OA 的方程为1112y x y x x x ==，与2x x =的交点坐标为122,2x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为12122x x =-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点在定直线12y 上， 故D 正确， 故选ABD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_________．答案：60解：二项式62x ⎫-⎪⎭的展开式通项为()633622166C 12C 2rrr r r r rr x T x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令3302r -=，解得2r ，则常数项为()222612C 60-⋅⋅=，故答案为60．14．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222b c a +=，则cos A 的最小值为________． 答案：12解：22222222221cos 222b c a a a a A bc b c a +--=≥==+，当且仅当b c a ==时等号成立，故答案为12． 15．过圆()222:0O x y rr +=>外一点()2,0引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当AOB △的面积取最大值时，直线l的斜率等于3±r 的值为_________．解：211sin sin 22AOB S OA OB AOB r AOB =∠=∠△，当90AOB ∠=︒时，AOB △的面积最大，此时圆心O 到直线AB的距离d =， 设直线AB 方程为()2y k x =-，213k =，则2d r ==， 所以2224112k r k =+，再将213k =代入，求得r =．16．设函数21()x f x x +=，()x x g x e =，则函数()(0)x x g x x e =>的最大值为_______；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是_________． 答案：1e ，121k e ≥- 解：()()0x x g x x e =>，()21()x x x x x e x e xg x e e '⋅-⋅-'∴==， 由()0g x '>，可得01x <<，此时函数()g x 为增函数； 由()0g x '<，可得1x >，此时函数()g x 为减函数，()g x ∴的最大值为1(1)g e=；若对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立， 则等价为()()121g x kf x k ≤+恒成立，211()2x f x x x x +==+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立， 即()f x 的最小值为2，且()g x 的最大值为1(1)g e=， 则12()()g x f x 的最大值为1122e e=， 则由112k k e ≥+，得()211k e -≥，即121k e ≥-， 故答案为1e ，121k e ≥-．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()sin A A b =+． （1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，求b 的取值范围． 答案：（1）π3B =；（2）[)1,2b ∈．解：（1()sin A Ab =sin sin cos C B A B A=+，()sin sin cos A B B A B A +=，cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+， cos sin sin A BA B =，∴tan B = ∵()0,πB ∈，∴π3B =． （2）∵2a c +=，π3B =， ∴222222cos a c b c c c a B a a =+=-+-()223434312a c a c ac ac +⎛⎫=+-=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅a c =时取等号）， 又2b a c <+=，∴[)1,2b ∈．18．（12分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足11a =，22112()n n n n a a a a ++=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记b，求数列{}n b 的前n 项和S n ．答案：（1）21n a n =-；（2）211n n S +-=．解：（1）由题意，得()22112n n n n a a a a ++-=+，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，又数列{}n a 的各项均为正数，即10n n a a ++≠，则12n n a a +-=， ∴{}n a 的公差为2，而11a =，故21n a n =-． （2）由（1）知121212121n n n n n b a a n n ++--===+-++，∴()()()()12131537521212n n S b b b n n ⎡⎤=+++=-+-+-+++--⎣⎦211n +-=． 19．（12分）某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组 [0.4,0.2)--[0.2,0)-[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）以表中y 的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查．若采访的企业的增长率[0.4,0.2)y ∈--，则采访价值为1；采访的企业的增长率[0.2,0)y ∈-，则采访价值为2；采访的企业的增长率[0,0.6)y ∈，则采访价值为3．设选取的两个企业的采访价值之和为X ，求X 的分布列及数学期望． 答案：（1）45%；（2）0.02；（3）分布列见解析，235． 解：（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为3024100%45%120+⨯=． （2）这120个企业产值增长率的平均数1(0.3300.1240.1400.3160.510)0.02120y =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）依题意可得[0.4,0.2)y ∈-的概率为3011204=， [0.2,0)y ∈-的概率为2411205=， [0,0.6)y ∈的概率为4016101112020++=．X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，111(2)4416P X ==⨯=；111(3)24510P X ==⨯⨯=；1111163(4)242055200P X ==⨯⨯+⨯=；11111(5)252050P X ==⨯⨯=； 1111121(6)2020400P X ==⨯=， 则X 的分布列为X 234 5 6P11611063200 1150 121400故()11631112123234561610200504005E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为梯形，平面SCD ⊥平面ABCD ，90BAD ADC SCD ∠=∠=∠=︒，112AB AD CD ===．（1）求证：平面SBD ⊥平面SBC ； （2）若二面角A SB C --的余弦值为320，求SC 的长度． 答案：（1）证明见解析；（2）3．解：（1）由题意，在底面梯形ABCD 中，因为90BAD ADC ∠=∠=︒且1AB AD ==，2CD =，可得2BD BC ==，又由2CD =，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥， 又因为平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD 平面ABCD CD =， 且SC CD ⊥，SC ⊂平面SCD ，所以SC ⊥上平面ABCD ， 又由BD ⊂平面ABCD ，所以BD SC ⊥， 因为SCBC C =且,SC BC ∈平面SBC ，所以BD ⊥平面SBC ，又因为BD ⊂平面SBD ，所以平面SBD ⊥平面SBC ． （2）由（1）知SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2,1,0)A ，(1,1,0)B ，(2,0,0)D ，设(0)SC h h =>，所以(0,0,)S h ，可得(1,0,0)BA =，(1,1,)BS h =--，(1,1,0)BD =-， 由（1）得BD ⊥平面SBC ，所以平面SBC 的一个法向量为(1,1,0)BD =-， 设平面ABS 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BA BS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得00x x y hz =⎧⎨--+=⎩，令1z =，可得(0,,1)h =n ，则2320cos ,21BD h〈〉==-⋅+n ，解得3SC =，即3SC =．21．（12分）已知圆()2122:1F x y r ++=与圆()()()2222141:3F x y r r -+=-≤≤的公共点的轨迹为曲线E ． （1）求E 的方程；（2）设点A 为圆2212:7O x y +=上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q 两点．试问：AP AQ ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）是，127-． 解：（1）设公共点为P ，则1PF r =，24PF r =-，12124PF PF F F +=>， 即公共点P 的轨迹为椭圆，且24a =，∴2a =，又1c =，∴23b =，故曲线22:143x y E +=．（2）方法一：当直线PQ 斜率不存在时，12:7PQ x = 代入E 得127y =127AP AQ ⋅-=，易知OP OQ ⊥；当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，PQ 与圆O ()22212171m r m k k =⇒=++， 将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，()()()()221212*********OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()2222222222141271218434343k m m k k m m k k k +--+=-+=+++， 将()221217m k =+代入，得0OP OQ ⋅=，即OP OQ ⊥， 综上，恒有OP OQ ⊥，2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-． 法二：当直线PQ 斜率不存在时，12:7PQ x =E 得127y =2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-； 当直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，∵PQ 与圆Or =，即()221217m k =+． 将PQ 方程代入E ，得()2224384120k x kmx m +++-=，∴122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，AP ===1==+，同理可得2AQ =， 故()221212712127k AP AQ m x x km x x =+++∣， 将122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，及()221217m k =+代入，可得127AP AQ ⋅=． 综上2127AP AQ AP AQ OA ⋅=-⋅=-=-． 22．（12分）已知函数ln ()xf x x=．（1）若直线1y kx =-是曲线()y f x =的切线，求实数k 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式ln ()1af x ax x≤--成立，求实数a 的取值集合．答案：（1）1k =；（2）{1}． 解：（1）因为ln ()(0)x f x x x =>，所以21ln ()xf x x-'=， 设切点为000ln ,x P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时切线方程为()000200ln 1ln x x y x x x x --=-， 又直线1y kx =-过(0,1)-，所以()000200ln 1ln 10x x x x x ---=-，即002ln 10x x +-=， 令()2ln 1h x x x =+-，则(1)0h =，且()h x 在(0,)+∞上单调递增， 所以方程002ln 10x x +-=有唯一解01x =，所以1k =．（2）不等式ln ()1af x ax x≤--恒成立，即不等式2ln ln 0ax x x a ---≥恒成立． 方法1：令2()ln ln F x ax x x a =---，则221()ax x F x x--'=，令2()210G x ax x =--=，因为0a >，所以180Δa =+>， 所以()0G x =有两个不等根1x ，2x ，12102x x a=-<，不妨设120x x <<， 所以()F x 在()20,x 上递减，在()2,x +∞上递增， 所以()()2min 2222()ln F x F x ax x ax ==--．由()2222210G x ax x =--=，得22212x ax x +=，所以()222211ln 22x x F x x -+=-， 所以22211ln 022x x x -+-≥， 令111()ln ln 2ln(1)222x x x H x x x x -+-=-=+-+，则(1)(2)()2(1)x x H x x x -+'=-+，所以()H x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0H x H ≤=，又()20F x ≥，所以()20F x =，所以21x =，所以1a =， 所以，实数a 的取值集合为{1}．方法2：令2()ln ln F x ax x x a =---，则10()F F x a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭， 所以1x a =是函数()F x 的极值点，所以10F a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即1a =，此时，2()ln F x x x x =--，221(1)(21)()x x x x F x x x---+'==， 所以()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增． 所以min ()(1)0F x F ==，符合题意， 所以，实数a 的取值集合为{1}．。

2021年高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.【题文】1.已知集合,若，则（）A．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={3，log2a}，N={a，b}，M∩N={0}，∴log2a=0，解得a=1，∴b=0，∴M∪N={0，1，2}．故选：B．【思路点拨】由已知得log2a=0，解得a=1，从而b=0，由此能求出M∪N．【题文】2.等差数列的前 n项和为，若,则( )A. -2B.0C.2D.4【知识点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前n项和为{Sn}，S8﹣S4=36，a6=2a4，∴，解得a1=﹣2，d=2．故选：A．【思路点拨】等差数列{an}的前n项和为{Sn}，由已知得，由此能求出结果．【题文】3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P(ξ＞c)=, 则P(ξ＞4-c)等于A. B.2 C. 1- D. 1-2【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3【答案解析】B 解析：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），对称轴是：μ=2，又4﹣c与c关于μ=2对称，由正态曲线的对称性得：∴p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c）=1﹣a．故选B．【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c），得到结果．【题文】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥．【题文】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（）等腰三角形 (B)等腰梯形（C)五边形 (D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】D 解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D．【思路点拨】由题意作出简图分析．【题文】6．函数在区间的最大值为（）(A)1 (B) (C) (D)2【知识点】复合三角函数的单调性． C3 B3【答案解析】C 解析：f（x）=cos2x+sinxcosx==．∵x∈[，]，∴2x+∈．∴．∴函数f（x）=cos2x+sinxcosx在区间[，]的最大值为．故选：C．【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x的范围求得原函数值域，则答案可求．【题文】7．设f(x)是定义在R上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间单调递减，则（）(A) f(x)在区间单调递增 (B) f(x)在区间单调递增(C) f(x)在区间单调递减 (D) f(x)在区间单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合．B4 B3【答案解析】D 解析：由f（x）=f（x﹣2），则函数的周期是2，若f（x）在区间[2，3]单调递减，则f（x）在区间[0，1]上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f（x）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【题文】8.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】B 解析：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．【思路点拨】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．【题文】9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【思路点拨】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【题文】10.已知数列满足，，则A. 143B. 156C. 168D. 195【知识点】数列递推式． D1【答案解析】C 解析：由an+1=an+2+1，得，∴，又a1=0，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，∴．则a13=169﹣1=168．故选：C．【思路点拨】把已知的数列递推式变形，得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到an，则a13可求．【题文】11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1 J2【答案解析】B解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×××=72种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6××=144种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B．【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求．【题文】12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B. C． D．【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．B3 B6【答案解析】C 解析：当a＞0时，y=在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，且y=＞0恒成立若函数在区间[0，1]上单调递增，则y=在[0，1]上单调递增则≤0解得a∈（0，1]当a=0时，在区间[0，1]上单调递增，满足条件当a＜0时，在R单调递增，令=0，则x=ln则在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]，故选C【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a＞0，a=0，a＜0时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案．【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去。

2021年高三适应性考试(三)数学理试题xx.5本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 参考公式：1. ，其中0.050.025 0.0010 0.0053.8415.0246.6357.8792.若三个顶点的坐标分别为、、，则其重心的坐标为一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}{}260,2x M x x x N y y M N =+-<==⋂=，则A. B. C. D. 2. 设复数满足,则在复平面内对应的点在A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限 3. 下列函数中，周期为且为奇函数的是 A. B. C. D.4．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是（ ） A ．16 B ． C ．20 D ．5.若实数满足条件，则的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．6.某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是, 则 ( )7.已知双曲线的渐近线与实轴的夹角为，则双曲线的离心率为 A. B. C. D.8.定义两个实数间的一种新运算“”：，、。

对于任意实数、、，给出如下结论：①；②；③．其中正确结论的个数是 （ ） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.在实数范围内，不等式的解集为________．10.在公比大于1的等比数列中，，，则= .，则.12.已知随机变量服从正态分布，若，则________.13.下列四种说法中，①命题“存在”的否定是“对于任意”；②命题“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；③已知幂函数的图象经过点，则的值等于；④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是.以上说法正确的是___________.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆在点处的切线方程为．15.（几何证明选讲选做题）如图，切圆于点，割线经过圆心，，绕点逆时针旋转到，则的长为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分分）已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若求的值.17. （本小题满分分）为考察高中生的性别与是否喜欢体育课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下列联表：喜欢体育课不喜欢体育课合计男30 60 90女20 90 110合计50 150 200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢．．．体育课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人BACDP1B 1A 1C 数分别是多少？（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为，求的数学期望.18. （本小题满分分）如图,在直三棱柱中，平面， 其垂足落在直线上． （1）求证：⊥ （2）若，，为的中点， 求二面角的余弦值.19. （本小题满分分）已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中项. (1)求数列的通项公式；(2) 符号表示不超过实数的最大整数，记，求20. （本小题满分分）如图所示，点是直线上的一个动点，直线、是抛物线的切线，点和点是切点（）. （1）证明：三角形的重心必在过点且与直线垂直的直线上； （2）试求三角形的重心的轨迹方程；（3）直线上是否存在点,使得.若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分分）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若设是函数图像上的任意两点记直线AB 的斜率为k ，求证：参考答案选择题: ACBB ADAD填空题：9. 10. 11.-4 12. 13. 14. 15.16. 解：(1)由得)62sin(22cos 2sin 3)1cos 2()cos sin 2(3)(2π+=+=-+=x x x x x x x f所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 所以函数在区间上的最大值为2，最小值为－1 (2)由(1)可知 又因为 所以 由得从而54)62(sin 1)62cos(020-=+--=+ππx x 103436sin)62sin(6cos)62cos(00-=+++=ππππx x 17. 解：（1）∵22200(30906020) 6.061 5.0249011050150K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，（2分） ∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”. （4分） （2）男生抽取人数有：（人） 女生抽取人数各有：（人） （6分）（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人，所以的取值为1，2，3. （7分） ，，，所以的分布列为：（10分）所以的数学期望为 （12分） 18．解析：（Ⅰ）证明：三棱柱 为直三棱柱，平面，又平面， -平面，且平面， . 又 平面,平面,，平面， 又平面， ⊥ …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,如图,以B 为原点建立空间直角坐标系平面，其垂足落在直线上, . 在中，，AB=2，,在直三棱柱 中，. 在中， ,则(0,0,0),,C （2，0，0）,P （1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）设平面的一个法向量 则 即 可得 设平面的一个法向量 则 即 可得平面与平面的夹角的余弦值是（或的法向量则平面BC A AD 11A BC,⊥ 在中，，AB=2, 则BD=1 可得D( 平面与平面的夹角的余弦值是 19. 解:由知知②由①-②得整理得11(4)()0(2,)n n n n a a a a n n N ----+=≥∈ ∵为正项数列∴，∴所以为公差为的等差数列，由得或 当时，，不满足是和的等比中项. 当时，，满足是和的等比中项. 所以. (2) 由得，由符号表示不超过实数的最大整数知，当时， ， 所以令12322222[log 1][log 2][log 3][log 2]n n S b b b b =+++=+++0112341n n =+++++++++-++∴1234112223242(1)2n S n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+①2345212223242(1)22n S n n =⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+②①-②得234112222...2(1)22(12)(1)2(2)2212n n n n nS n nn n n n ---=+++++----=---=---- 即. 20.解：（1）证明：由得，，所以，，……①. 于是，直线的方程为，直线的方程为，从而 ……②，……③，②-③，得，故……④.设的重心的坐标为,则由三角形的重心的坐标公式可得，即：重心的横坐标与点的横坐标永远相同，所以，三角形的重心必在过点且与直线垂直的直线上. （2）设的重心的坐标为，由（1）知，，同理.由（1）中的②+③，得 ，即：，从而 于是，2221212121212()4()4882222x x x x x x y y x s x s s s +++=--+--=--=+，所以，2221248441433333y y s s y s +-+-+====+， 因此，三角形的重心的轨迹方程是.（3）假设直线上存在点,使得，于是，由①得 ，从而，……⑤.由④和⑤，得22222121212()2(2)2(4)48x x x x x x s s +=+-=-⨯-=+，……⑥由（2）知，将此式与⑥比较，从而有，矛盾！ 因此，直线 上不存在点，使得 21． (1)解：①当时，恒成立，即恒成立，故的单增区间为无单减区间． ②当时，解得：或∴函数的单增区间为单减区间为 ③当时，由，解得：或而此时∴函数的单增区间为单减区间为综上所述：①当时，的单增区间为无单减区间．②当时，的单增区间为 单减区间为③当时，的单增区间为 单减区间为……………7分 (2)证明：, 1233)2(2)32('212121-+-+=+∴x x ax x x x f 由题，1ln )()()ln (ln )(21212121212122212121---+=------=--=x x x x a x x xx x x x x a x x x x y y k 则：212121212121ln 23)(3)2(2)32('x x x x a x x ax x x x k x x f -++-+-+=-+注意到 故欲证 只须证明：因为故即证：2)1(3ln 2)(3ln 23ln 212121212121212121+-<⇔+-<⇔+>-x x x x x x x x x x x x x x x x x x令则：, 故在上单调递增所以：, 即： 即：所以：..14分'H21741 54ED 哭H35136 8940 襀O021294 532E 匮o35220 8994 覔25844 64F4擴o39239 9947 饇vp。