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7第七讲(等直圆杆变形和梁约束力)

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7材料力学课件(刘鸿文)

7材料力学课件(刘鸿文)

二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻 约束扭转： 截面翘曲程度不同。 若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截 若杆的两端受到约束而不能自由翘曲， 面的翘曲程度不同，这将在横截面上引起附加的正应力。 面的翘曲程度不同，这将在横截面上引起附加的正应力。 这一情况称为 约束扭转. 约束扭转.
三、矩形杆横截面上的剪应力: 矩形杆横截面上的剪应力: 1. 剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点） b
τ max
h
τ1
注意！ h ≥ b
T
2. 最大剪应力及单位扭转角
T max τ max = Wt
b
其中： W =
t
β b3
max
τ 1 = ντ
τ max τ1
注意！ h≥ b
h
T θ= , GI t
， m2 = 955 N•m ， m3 = 637 N • m。截面 A与截面 B、C之间的 m。 距离分别为 lAB = 300 mm 和 lAC = 500 mm。轴的直径d = 70 mm, mm。轴的直径d 钢的剪切弹性模量为 G = 80 GPa。试求截面 C 对截面 B 的相对 GPa。 扭转角。 扭转角。
T =
W1 t
(b)
l
T =
W2 t
l
d 2 D2
T
W1 t
T =
W2 t
Q Wt1 =Wt2
π 1 d3 W1 = t 16 3 π 2 ( −α4 ) D 1 W2 = t 16
因此
3 πd1
(a)
d1
l
(b)
d 2 D2
16
=
π1−α4 ) 2
16
l

浅析材料力学四种基本变形的异同点

浅析材料力学四种基本变形的异同点

浅析材料力学四种基本变形的异同点公主岭市职业教育中心宋静辉机械基础高等教育中材料力学的研究范围主要限于杆件，即长度远大于宽度和厚度的构件。

作用远杆件上的外力有各种形式，但杆件的基本变形形式只有四种：拉伸或压缩（简称拉压）、剪切、扭转和弯曲。

这四种基本变形是材料力学的重点内容，构成了材料力学理论体系中的一个个独立部分，学生学习时后很容易混淆。

现分析和总结四种基本变形的异同点，便于学生学习和理解。

一、四种变形的不同点1.受力特点不同。

受拉伸或压缩的构件大多是等截面直杆，其受力特点是：作用在杆端的两外力（或外力的全力）大小相等，方向相反，力的作用线与杆件的轴线重合。

工程中的连接件（如铆钉、螺栓等）会发生剪切变形，其受力特点是：作用的构件两侧面上外力的全力大小相等，作用线平行且相距很近；另外，承受剪切作用的连接件在传力的接触面上同时还受挤压力作用。

机械中的轴类零件往往产生扭转变形，其受力特点是：在垂直于轴线的平面内，作用着一对大小相等、方向相反的力偶。

梁是机器设备和工程结构中最重要的构件，主要发生弯曲变形，其受力特点是:作用在梁上的外边与其轴线垂直.若这些外力只是一对等值反向的力偶时,则称为纯弯曲。

2.变形特点不同。

构件在外力作用下发生的几何形状和尺寸变化称为变形。

拉压变形的特点是杆件沿轴线方向伸长或缩短；剪切变形的变形特点是介于两作用之间的各截面有沿作用力方向发生相对错动的趋势；扭转变形的变形特点是轴的各截面绕轴线将由直线变成曲线。

3.内力不同。

物体内某一部分与另一部分间相互作用的力称为内力。

构件在受到外力作用的同时，其内部将产生相应的内力。

对于发生拉压变形的杠件，内力遍及整个杆体内部，因为外力的作用线与杆件的轴线重合，故分布内力的合力作用线也必与杆件轴线重合，这种内力称为轴力。

轴力或为拉力或为压力。

构件受剪切时的内力称为剪刀，剪力分布在剪切面上（受剪件中发生相对错动的截面），其分布比较复杂，在工程实力是一个截面平面内的力偶，其力偶矩称为截面上的扭矩。

《材料力学》课件3-5等直圆杆扭转时的变形.刚度条

《材料力学》课件3-5等直圆杆扭转时的变形.刚度条

3
在不同扭矩作用下，杆的变形表现出非线性特征， 这表明我们需要考虑非线性效应对杆刚度的影响。
研究不足与展望
01
虽然我们得到了杆在扭矩作用下的变形公式，但该公式是在一定假设条件下得 到的，可能存在一定的误差。未来可以通过更精确的实验和数值模拟方法来验 证和修正该公式。
02
目前的研究主要集中在等直圆杆的扭转问题上，对于其他形状的杆或复杂结构 的研究尚不够充分。未来可以进一步拓展研究范围，探究不同形状和结构的杆 在扭矩作用下的变形和刚度问题。
刚度条件的数学表达
刚度条件的数学表
达式
根据材料力学和弹性力学的基本 理论，等直圆杆扭转时的刚度条 件可以用数学表达式表示。
刚度常数
在数学表达式中，涉及到一些与 杆件材料、截面尺寸等有关的常 数，这些常数称为刚度常数。
刚度常数的意义
刚度常数是衡量杆件刚度的具体 数值，可以通过试验和计算获得， 是杆件设计和选用的重要依据。
ERA
刚度条件的定义与意义
刚度条件定义
在等直圆杆扭转时，杆件抵抗扭转变 形的能力称为刚度条件。
刚度条件的物理意义
刚度条件的意义
在工程实际中，刚度条件是设计、制 造和选用杆件的重要依据，满足刚度 条件的杆件才能保证结构的稳定性和 安全性。
它反映了杆件在承受扭矩作用时，抵 抗扭转变形的能力，是衡量杆件扭转 变形能力的重要参数。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
3-5等直圆杆扭转时的变形
与刚度条件
• 等直圆杆扭转时的基本概念 • 等直圆杆扭转时的变形分析 • 等直圆杆扭转时的刚度条件 • 等直圆杆扭转时的工程应用 • 结论与展望
目录
CONTENTS

工程力学-杆件的基本变形课程课件

工程力学-杆件的基本变形课程课件

工程力学
第二单元 杆件的基本变形
例6-1 图 6.2a所示杆件，杆端受一集中力F作用。
试求此杆件B截面处的内力.
A
解：
m
a
B
lm
(a)
F
45o C
分析：
内力是根据静力平衡方法由所截取部分的平衡求得的， 因而在求解时，除内力以外的所有外力（包括约束反力）一 般应先于内力求得
工程力学
第二单元 杆件的基本变形
工程力学
第二单元 杆件的基本变形
三、构件的基本变形
1、拉伸或压缩
当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力时， 杆件将产生轴向伸长或压缩变形。这种受力与变 形形式称为轴向拉伸或压缩 ……拉伸变形.avi
F
F
（a）
F
F
（b）
工程力学
第二单元 杆件的基本变形
2、剪切
作用线垂直于杆件轴线的力，称为横向力。当两 个大小相等、方向相反、作用线互相平行、相距很近 的横向力同时作用在杆件上时，杆件的两个相邻截面 将产生相互错动，这种变形称为剪切变形，对应的受 力与变形形式称为剪切 ……剪切变形.avi
m
B
lm
(b)
，
取图所示左半部分， 右部分杆件必然以
M A FAy FAx
M B FBy
FBx M B
内力FBx FBy和MB作
用于截面 m-m上
oA
A
a
oB B
FBx
B
FBy
(c)
F
45o C
F
45o
l-a C
(d)
工程力学
第二单元 杆件的基本变形
3、平衡——建立留下部分的方程，求得截面上的内力

第7章 杆件的变形与刚度

第7章 杆件的变形与刚度

32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚 度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4

杆件的变形和刚度条件

杆件的变形和刚度条件

1.3 圆轴扭转时的变形与刚度条件
返回
1.3.1 圆轴扭转时的变形
假想用剖切平面将形体的某处剖开，仅画出断面的图形称为断面图。
如图（a）所示为断面图的形成过程，如图（b）所示即为画出断面图后的 实际效果。
对于长度为l，扭矩T为常数的等截面圆轴，其两端横截面间的扭转角为
杆件的变形和刚度条件
1.3 圆轴扭转时的变形与刚度条件
梁的挠曲线方程 y＝f（x）
ห้องสมุดไป่ตู้
转角
杆件的变形和刚度条件
1.2 梁的变形与刚度条件
1.2.2 梁的刚度条件
梁的刚度条件是最大挠度和转角（或指定截面的挠度和转角）分别不 得超过各自的许用值，即
式中，［y］和［θ］分别为梁的许用挠度和许用转角，其值由梁的具体工作要求来 规定，可从有关设计手册中查得。
杆件的变形和刚度条件
轴向线 应变
轴向变形 横向变形
横向线 应变
轴向 变形
杆件的变形和刚度条件
1.2 梁的变形与刚度条件
返回
1.2.1 梁的变形
梁变形的主要特征是轴线由直线变为曲线，梁的变形曲线称为挠曲线。 梁轴线上任一点的竖向线位移称为挠度，用y表示，并规定挠度向上为正， 反之为负。横截面绕中性轴转过的角度称为转角，用θ表示，并规定转角 以逆时针转向为正，反之为负。如下图所示悬臂梁，发生平面弯曲时，挠 曲线与外力作用面相重合，是一条光滑平坦的平面曲线。
工程力学
工程力学
杆件的变形和刚度条件
返回
1.1
拉压杆件的变形和应变
1.2
梁的变形与刚度条件
1.3
圆轴扭转时的变形与刚度条件
杆件的变形和刚度条件
1.1 拉压杆件的变形和应变

##第七讲 圆轴扭转内力、应力

##第七讲 圆轴扭转内力、应力
T
（—） 315
外力偶的计算 扭矩与扭矩图
解：1．确定控制面
外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面
315
2．截面法求各段扭矩
T1
315
315
T2 T3
486
M 0 T 315 0 T 315 M 0 T 315 315 0 T 630
x 1 1 x 2 2

时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
§ 3.3 纯剪切
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因
G
Mechanic of Materials
无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
钢材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系 （推导详见后面章节）：
右手螺旋法则
§3.2 Mechanic of Materials
外力偶的计算 扭矩与扭矩图
当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴 各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定 各段横截面上的扭矩。
§3.2 Mechanic of Materials
外力偶的计算 扭矩与扭矩图
三、扭矩图diagram of torsion moment) ：表征扭矩沿杆长的 变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）

O
d A G dA dx d G A 2dA dx
2
d dx G
I p A 2dA 令
d T GI p dx
d T dx GI p
T Ip

材料力学第七章 梁的变形

材料力学第七章 梁的变形

EIy1=－Fx13/9＋ 5Fa2x1/9 EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a )3/6＋ 5Fa2x2/9
（0≤x1 ≤a）
（ a ≤x2 ≤3a ）
7. 求ymax , θmax
x 0,
max
A
5Fa2 9EI
（）
x 1.367a,
ymax
0.4838 Fa3 EI
21
F
A
C
在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。
转角方程 θ = θ（x）
平行于轴线方向的线位移忽略
7
挠度与转角的关系：
θ θ’
y
x y
小变形
θ =θ ′
tgθ ′ ≈ θ ′ = y′
y dy
dx
x
8
§7-2 直梁挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
纯弯曲 k 1 M
EIz
(x)
F C yCF
42
例题4
怎样用叠加法确定C 和 yC ?
q
A
B
C
yC
l
l
C
2
2
43
A
B
l 2
q
C
yC
l
C
2
A
l 2
A
l 2
q
B
l 2
q
B
l 2
A
q
l
B
l
2
2
44
简单静不定梁（超静定梁）
一、静定梁
F Fl
A
B
C
l
l
2
2
qa
A
B
C
a
a
45

杆件的基本变形

杆件的基本变形

名词术语 材料力学研究的对象多为等直杆
形心 轴线 横截面
1）拉伸和压缩变形
作用力特点：杆件受到大小相等、方向相反、作用 线与轴线重合的一对力的作用。 变形特点：沿轴向的伸长或缩短。
2）剪切变形
作用力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用 线靠近的一对力的作用。 变形特点：杆件两部分沿外力方向发生相对错动。
杆件的基本变形
材料力学研究的对象为杆件
梁
梁
柱
杆 轴 纵向尺寸远大于横向尺寸 轴
件柱
…
构件所受到的外力作用称为载荷
集中力 载荷 分布力
FM
q
集中力偶
名词术语
杆件轴线： 各横截面形心的连线称为该杆的轴线 横截面： 与轴线垂直的截面称为杆的横截面。
杆件的两个特征
直杆： 轴线为直线的杆称为直杆 等直杆： 横截面的形状和大小不变的直杆称为等直杆 曲杆： 轴线为曲线的杆称为曲杆
实际构件的变形经常是几种基本变 形的组合，称为组合变形。
例如车床主轴工作时就是弯曲、扭 转和压缩变形的组合。
3）扭转变形
作用力特点：在垂直于杆件轴线的两个平面内，分 别作用大小相等、转向相反的两个力偶。 变形特点：任意两个横截面发生绕轴线的相对转动， 变形前杆的母线变形后成为斜的纵向平面内，作用 大小相等、方向相反的一对力偶，或作用与轴线垂 直的横向力。 变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。

第7章 直梁弯曲

第7章 直梁弯曲

第7章直梁弯曲本章要点●理解弯曲的概念和实例●掌握截面法求剪力和弯矩●掌握剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图●掌握横力弯曲（剪切弯曲）时正应力和切应力的计算●掌握横力弯曲变形的计算●掌握提高弯曲强度的措施,7.1梁的类型及计算简图7.1.1对称弯曲的概念承受设备及起吊重量的桥式起重机的大梁（图7-1）、承受转子重量的电机轴（图7-2）等，在工作时最容易发生的变形是弯曲。

其受力特点是：杆件都是受到与杆轴线相垂直的外力（横向力）或外力偶的作用。

其变形为杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。

图7-1 桥式起重机的大梁图7-2 承受转子重量的电机轴工程中的梁，其横截面通常都有一纵向对称轴。

该对称轴与梁的轴线组成梁的纵向对称面（图7-3）。

外力或外力偶作用在梁的纵向对称平面内，则梁变形后的轴线在此平面内弯曲成一平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。

图7-3 对称弯曲7.1.2梁上的载荷作用在梁上的载荷可以简化为以下三种类型：(1)集中力；(2)集中力偶；(3)分布载荷，如图7-4a所示。

7.1.3梁的基本形式1.简支梁梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。

如图7-4a所示。

2.外伸梁梁的支座和简支梁相同，只是梁的一端或两端伸出在支座之外。

如图7-4b所示。

3.悬臂梁梁的一端固定，另一端自由。

如图7-4c所示。

在对称弯曲的情况下，梁的主动力与约束反力构成平面力系。

上述简支梁、外伸梁和悬臂梁的约束反力，都能由静力平衡方程确定，因此，又称为静定梁。

在工程实际中，有时为了提高梁的强度和刚度，采取增加梁的支承的办法，此时静力平衡方程就不足以确定梁的全部约束反力，这种梁称为静不定梁或超静定梁。

7.2梁弯曲时的内力7.2.1剪力和弯矩现以图7-5所示的简支梁为例来研究各横截面上的内力。

P1、P2和P3为作用于梁上的载荷，R A和R B为两端的支座反力。

为了显示出横截面上的内力，沿截面mm假想地把梁分成两部分，并以左段为研究对象。

《杆件的四种基本变形及组合变形-直杆轴向拉压横截面上的内力》教学设计

《杆件的四种基本变形及组合变形-直杆轴向拉压横截面上的内力》教学设计

《杆件的四种基本变形及组合变形、直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。

剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各截面沿外力作用方向发生相对错动。

剪切面是指两横向力之间的横截面，破坏常在剪切面上发生。

扭转变形的受力特点：在垂直于杆轴线的平面内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。

扭转变形的变形特点：各横截面绕杆轴线发生2．剪切【工程实例】如图a所示为一个铆钉连接的简图。

钢板在拉力F的作用下使铆钉的左上侧和右下侧受力（图b），这时，铆钉的上、下两部分将发生水平方向的相互错动（图c）。

当拉力很大时，铆钉将沿水平截面被剪断，这种破坏形式称为剪切破坏。

3. 扭转用改锥拧螺钉时，在改锥柄上手指的作用力构成了一个力偶，螺钉的阻力在改锥的刀口上构成了一个方向相反的力偶，这两个力偶都作用在垂直于杆轴的平面内，就使改锥产生了扭转变形，如图a所示。

例如汽车的转向轴（图b）。

当驾驶员转动方向盘时，相当于在转向轴A端施加了一个力偶，与此同时，转向轴的B端受到了来自转向器的阻抗力偶。

于是在轴AB的两端受到了一对大小相等、转向相反的力偶作扭转角的概念，如图4. 弯曲【试一试】两手支撑一把长尺子，中间放一重物，尺子会发生怎样的变形呢？纵向对称面：梁的横截面多为矩形、工字形、等（图），它们都有一根竖向对称轴，这根对称轴与梁轴线所构成的平面称为纵向对称面。

平面弯曲：梁的弯曲平面与外力作用面相重合的弯曲。

四、练一练1. 分析图示建筑工程结构的受力及变形：（1）屋架上的檩条（2）厂房的牛腿柱吊车梁钢垫板五、探究与感悟、探究：建筑工程还存在哪些变形。

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G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kN· m， 轴的许可单位长度扭转角[j']=0.3 (°)/m。试选择轴的直径。
解: 1. 按强度条件求所需外直径D
3 Tmax πD3 π D 15 4 因Wp 1 , 由 max [ ]有 16 16 16 Wp


D
3
16Tmax 15 π [ ] 16
3
16 9.56103 N m 109103 m 15 π 40106 Pa 16
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
2. 按刚度条件求所需外直径D
第三章 扭转 扭转变形和梁的约束力
4 Tmax 180 πD 4 π D 15 4 因 Ip 1 , 由 [j ] 有 32 32 16 GIp π
扭转变形和梁的约束力
（1）等直圆杆扭转的变形和刚度。 （2）等直圆杆应变能。
（3）梁的弯曲概念。 （4）梁的基本类型和约束力计算。
三峡大学 工程力学系
本讲小结
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
M
A
0
M A 50 103 N 1 m 20 103 N 29 103 6.5 m 0


m
3 m 4 m 5 103 N m


M A 96.5 kN m
三峡大学 工程力学系
材料力学教案 第七讲小结
T
GI
dx
p
Tl
GI
p
扭转变形
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
例题：图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm，
材料的弹性模量G=80GPa，DB=1°。试求： 扭转角 CA。
M
D
2M B a 2a
3M A
C a
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
一、作扭矩图
扭转变形和梁的约束力
M
2M
1 g d x d y d z 1 d Vε d W 2 vε g dV dV d xd yd z 2
由剪切胡克定律 =Gg，该应变能密度的表达式可写为
vε
2
2G
G 2 或 vε g 2
三峡大学 工程力学系
应变能
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
Vε vε d V vε d A d x
长度为 l 范围内的应变能亦可如下求得：
1 Vε W Tj 2 1 T 2l 2 GIp
三峡大学 工程力学系
应变能
材料力学教案 弯曲的基本概念
扭转变形和梁的约束力
1.弯曲：杆的轴线在变形后成为曲线，这种变形称为弯曲
2.梁：以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 3. 弯曲的基本特征: 具有纵向对称面(xoy平面） 外力都作用在此面内
三. 梁的基本形式 悬臂梁
扭转变形和梁的约束力
在竖直荷载作用下，图 简支梁
a，b，c所示梁的约束
力均可由平面力系的三 个独立的平衡方程求出，
外伸梁
称为静定梁。
三峡大学 工程力学系
梁的基本形式和约束力求解
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，
称为超静定梁。
Байду номын сангаас
二、表示扭转角 DB
D C B
3M
A
DB DC CB
2 M a M a 180 ( ) GI P GI P 3Ma 1 GI P
三峡大学 工程力学系
a
2M
a
2a
3M
M
+
材料力学教案
三、计算扭转角 DB
扭转变形和梁的约束力
CA CB BA
Tmax
180 [j ] GIp π
对于精密机器的轴[j']≈0.15~0.30 (°)/m； 对于一般的传动轴[j']≈2 (°)/m。
三峡大学 工程力学系
刚度条件
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
例题: 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比
= 0.5 。已知材料的许用切应力[ ] = 40 MPa，切变模量
三峡大学 工程力学系
梁的基本形式和约束力求解
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
例题 试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。
(a) 解：1. 先求支座反力，确定支座反力方向
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材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
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材料力学教案
于是可求得约束力如下：
扭转变形和梁的约束力
1 1 d W d z d y g d x g d x d y d z 2 2
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应变能
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
单元体内蓄积的应变能dVε数值上等于单元体上外力所
作功dW，即dVε=dW 。单元体单位体积内的应变能，亦即
纯剪切应力状态下的应变能密度为


D
4
32Tmax 180 1 15 π [j ] Gπ 16 32 9.56103 N m 180 1 3 125 . 5 10 m 15 π 0.3 ( ) / m 9 8010 P a π 16

4
3. 空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5 mm(由刚度条件 控制)，内直径则根据 = d/D = 0.5知
V l A
等直圆杆在扭转时积蓄的应变能
在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应
变能为
T 1 dA Vε d Ad x d x l A 2G A I 2G l p

2
2
2 l T2 T l 2 2 d A 2G I p A 2GI p
材料力学教案 扭转变形
Me
扭转变形和梁的约束力
Me
g
A D BC
j
1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的
d dx
T
GI
p
其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角。 长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算
l d l
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D
M
2M
3M
C
B
A
3m 2a m a 180 ( ) GI P GI P 7m a 7 DB 2.33 GI P 3
a
2M
a
2a
3M
M
+
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材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
[j ] jmax
刚度条件
式中的许可单位长度扭转角[j']的常用单位是(°)/m。此时， 等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：
作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
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弯曲概念
材料力学教案 梁的计算简图及约束力计算
扭转变形和梁的约束力
一.在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。 二.三种基本支座 （1）固定端 （2）固定铰支座 （3）可动铰支座
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梁的基本形式和约束力求解
材料力学教案
M
20103 N

C
0 m FBy 29 kN
3 m 2.5 m 5 103 N m FBy 5 m 0

F
F
y
x
0, FAx 0
0, FAy 50 kN 20 kN 3 m 29 kN 0 m


FAy 81kN
材料力学教案 上一讲学到：
扭转变形和梁的约束力
（1）等直圆杆扭转的应力计算。 （ 2 ） 等直圆杆扭转的变形规律、 应力分布规律。 （3）等直圆杆扭转的强度问题。
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材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
第七讲
1、等直圆杆扭转变成和刚度问题 2、梁的约束力计算(静力学复习)
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弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
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弯曲概念
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
对称弯曲：外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁
的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。也称平面
弯曲。 非对称弯曲：梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠 曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不
d 62.75 mm
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材料力学教案 扭转应变能密度
扭转变形和梁的约束力
为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，此时的切应力 仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力 dydz在相应的位 移g dx上作功。 三峡大学 工程力学系
应变能
材料力学教案
扭转变形和梁的约束力
于是，当材料在线弹性范围内工作时( ≤p，见图b)，有
Tl 由j 可知，亦有 GI p GI p 2 Vε j 2l
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应变能
材料力学教案
积的应变能为
扭转变形和梁的约束力
当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄
Ti 2li Vε , i 1 2GI p
n
亦即 Vε
i 1
n
GIp 2li
ji2
在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其