00-4第四节 梁弯曲变形与内力
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材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解
C
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
第四章 梁的内力
2.2
P =P FN + (− P ) = 0
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁的约束条件及荷载千差万别，为便于计算，一般抓住主要因素对其 做出简化，得出计算简图。 首先是梁的简化，一般在计算简图中用梁的轴线代替梁。 另外，还需要对支座和荷载进行简化，下面分别讨论梁上支座和荷载 的简化。
2.3
由上述结果可见，该钢杆最大正应力发生在段内，大小为 176.84 MPa
2.19
A
第四章
二.斜截面上的应力
梁 的 内 力
4.3 梁的内力、剪力和弯矩
前面讨论了拉(压)杆横截面上的正应力，但实验表明，有些材料 拉(压)杆的破坏发生在斜截面上。为了全面研究杆件的强度，还需要 进一步讨论斜截面上的应力。 设直杆受到轴向拉力 P 的作用，其横截面面积为 A ，用任意斜截面将 杆件假想的切开，设该斜截面的外法线 x 与轴的夹角为 α ，如图 2.7(a)所示。设斜截面的面积为 Aα ，则
2.6
Qm
第四章
2. 载荷的简化
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式。 (1) 集中力。作用在梁上 很小区域上的横向力，其 特点是分布范围远小于轮 轴或大梁的长度，因此可 以简化为集中力，如火车 轮轴上的P(图4.2)、吊车 大梁所挂的重物 Q (图 4.4(a))等，它的常用单位 为牛顿(N)或千牛顿(kN)。
常见的静定梁有以下三种形式:
2.11
y (tm + 1)
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
(1)简支梁(simply supported beam)。一端为固定铰支座，另一端为可动 铰支座的梁，称为简支梁。如吊车大梁(图4.4(a))，两支座间的距离 称为跨度。 (2) 外伸梁(beam with an overhang)。当简支梁的一端或两端伸出支座 之外，称为外伸梁。如火车轮轴(图4.2)即为外伸梁。 (3) 悬臂梁(cantilever beam)。一端为固定端、另一端自由的梁称为悬 臂梁，如闸门立柱(图4.4(b))。 工程中另有一些梁，其支座反力的数目多于有效平衡方程的数目，这 样的梁称为静不定梁或者超静定梁 静不定梁或者超静定梁(图4.1)。为确定静不定梁的全部 静不定梁或者超静定梁 支反力，除静力平衡方程外，还需考虑梁的变形，这将在后面章节进 行介绍。
P =P FN + (− P ) = 0
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁的约束条件及荷载千差万别，为便于计算，一般抓住主要因素对其 做出简化，得出计算简图。 首先是梁的简化，一般在计算简图中用梁的轴线代替梁。 另外，还需要对支座和荷载进行简化，下面分别讨论梁上支座和荷载 的简化。
2.3
由上述结果可见，该钢杆最大正应力发生在段内，大小为 176.84 MPa
2.19
A
第四章
二.斜截面上的应力
梁 的 内 力
4.3 梁的内力、剪力和弯矩
前面讨论了拉(压)杆横截面上的正应力，但实验表明，有些材料 拉(压)杆的破坏发生在斜截面上。为了全面研究杆件的强度，还需要 进一步讨论斜截面上的应力。 设直杆受到轴向拉力 P 的作用，其横截面面积为 A ，用任意斜截面将 杆件假想的切开，设该斜截面的外法线 x 与轴的夹角为 α ，如图 2.7(a)所示。设斜截面的面积为 Aα ，则
2.6
Qm
第四章
2. 载荷的简化
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式。 (1) 集中力。作用在梁上 很小区域上的横向力，其 特点是分布范围远小于轮 轴或大梁的长度，因此可 以简化为集中力，如火车 轮轴上的P(图4.2)、吊车 大梁所挂的重物 Q (图 4.4(a))等，它的常用单位 为牛顿(N)或千牛顿(kN)。
常见的静定梁有以下三种形式:
2.11
y (tm + 1)
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
(1)简支梁(simply supported beam)。一端为固定铰支座，另一端为可动 铰支座的梁，称为简支梁。如吊车大梁(图4.4(a))，两支座间的距离 称为跨度。 (2) 外伸梁(beam with an overhang)。当简支梁的一端或两端伸出支座 之外，称为外伸梁。如火车轮轴(图4.2)即为外伸梁。 (3) 悬臂梁(cantilever beam)。一端为固定端、另一端自由的梁称为悬 臂梁，如闸门立柱(图4.4(b))。 工程中另有一些梁，其支座反力的数目多于有效平衡方程的数目，这 样的梁称为静不定梁或者超静定梁 静不定梁或者超静定梁(图4.1)。为确定静不定梁的全部 静不定梁或者超静定梁 支反力，除静力平衡方程外，还需考虑梁的变形，这将在后面章节进 行介绍。
梁的内力剪力和弯矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
例 计算横截面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
FAy 2F FBy 3F
解：
F
y
0, FSE FAy 0
FSE FAy 2F
l M E M e FAy 0 2
l M 0 , M F E Ay M e 0 C 2
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
FS－剪力 M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩 符合的规定：
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶部受 压的弯矩为正
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.1 梁的受力与变形特点 1. 受力特征 外力的作用线垂直于杆轴线（即横向力）或外力 偶位于轴线平面内。 2. 变形特征 变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。这种变 形形式称为弯曲。 凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.2 平面弯矩的概念 工程中常见梁的横截面 往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全 梁的纵向对称面，当梁上所 有外力（包括荷载和反力）
均作用在此纵向对称面内时，
梁轴线变形后的曲线也在此 纵向对称面内，这种弯曲称
为平面弯曲。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.3 梁的简化——计算简图的选取
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁，梁的长度称为跨度。。
1.弯曲变形和平面弯曲 A B
q
A B
4.1 工程实际中的受弯杆
第四章 梁弯曲变形与内力
18
中性层：梁内纵向长度既没有伸长也没有缩短的纤 维层。 中性轴：中性层与横截面的交线 。
19
中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作 用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应 力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。
20
根据弯矩的定义：
M A y dA
σ：横截面上距中性轴为y处的正应力 dA：横截面上距中性轴为y处的一微面积 y：正应力到中心轴的距离
弯矩的符号约定
M M
+
M
-
M
上压下拉为正
上拉下压为负
29
计算弯矩法则：梁在外力作用下，其任意指定截面 上的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取 矩的代数和；凡是向上的外力，其矩取正；向下的外 力，其矩取负值。
30
三 剪力图和弯矩图
梁的剪力方程和弯矩方程：
以坐标 x 表示横截面位置，则剪力和弯矩可表 示为x的函数：Q = Q(x)， M = M(x) 剪力图和弯矩图:为了形象地表示梁各个横截面上 弯矩的大小与正负，将剪力方程和弯矩方程用图 表示 。
33
分段列剪力方程：
AC段 CD段 DE段 EB段 0<x≤0.25m， Q=RA=935N=Q1 0.25m≤x≤0.5m, Q=RA － P1=935 －500 = 435N = Q2 0.5m≤x<0.8m, Q=RA－P1－P2 = 935－500－1000 = － 565N=Q3 0.8m≤x<1m, Q = RA －P1 －P2 －P3= 935 － 500 －1000 －300 = －865N=Q4
剪力图和弯矩图的作法：按选定的比例，以横截 面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面位置为横 坐标，把Q=Q （x）， M=M（x） 的图线表示出来。
第四章梁的弯曲详解
FQ
F yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一 侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心 的力矩的代数和。即：
例题4 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力由对称关系，可得：
FAy
FBy
1 2
ql
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
2.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
FAy
qx
1 2
ql
qx
M (x)
FAy x
1 9x2 2
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
三、剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可 以表示为坐标x的函数
梁的剪力方程 FQ=FQ (x) 梁的弯矩方程 M=M(x)
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
四、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于 梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表 示FQ (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定 正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴 的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上 侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
第4章 梁的弯曲 第二节 梁的内力计算
例题3 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x) F (0 ≤ x ≤ l )
M (x) Fx (0≤x ≤ l)
材料力学4弯曲内力
平面曲线仍与外力共面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
目录
§4-2 受弯杆件的简化
计算简图：
分析梁的内力、变形都在计算简图上进行。梁的简化包括：
1、构件几何形状的简化 将梁简化为杆，用轴线表示。
2、支座的简化 活动铰支座
固定铰支座
固定端
3、载荷的简化
集中载荷 分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
目录
工程实例——受弯构件的力学简图
P
( a< x2 < l )
ab l 2
1 Mmax 4 Pl
观察：集中力作用点、无载荷
M
( x2
)
FB
(l
x2 )
a l
P(l
x2 )
3)作Fs、M 图
( a ≤x2≤ l )
作用的梁段剪力图、弯矩图的形态
Fs
max
a l
1 qa 2
M1
—
右侧
qa
a 2
＋FB0
Fs2 左侧
＋FA
—
qa ＋ FB
qa
Fs2 qa
M2 — qa a 1 qa2
右侧
右侧
22
Fs P横向外力 左上、右下，外力为正
一侧
力的集大中小力；作弯用矩点相的等左。、右所邻以M截，O＝面不为一上截考侧面的m虑的剪O集形(力中P心不力) 相作左等用外顺，力点右(相逆的偶差(剪上) 矩集凹力为弯中。正曲)
车削工件
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
火车轮轴
目录
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
目录
常见受弯构件的横截 面都有竖直对称轴 y
纵向对称面：
轴线x 和竖直对称 轴y 所确定的平面。
材料力学弯曲变形
材料力学弯曲变形
材料力学中的弯曲变形是指物体在受到外力作用下发生的一种变形形式。
当材料受到垂直于其长度方向的外力时，会产生弯矩，使得物体产生弯曲变形。
弯曲变形的原理可以通过材料力学中的悬臂梁模型进行解释。
在悬臂梁中，一个固定的端点支撑着一根梁，梁的另一端受到外力作用，使得梁产生弯曲。
在悬臂梁的弯曲变形中，梁上部的纤维受到拉力，而下部的纤维受到压力。
由于力的作用，纤维之间会相互滑动，从而产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过材料的弹性性质进行描述。
弯曲变形的程度取决于材料的弯曲刚度，即弹性模量，以及外力的大小和作用点的位置。
与拉伸变形不同，弯曲变形的应变分布不是均匀的，而是随着离中轴线的距离而变化。
中轴线上的纤维经历的应变为零，而离中轴线较远的纤维经历的应变较大。
弯曲变形是材料工程中常见的一种变形形式，它在很多结构中都会发挥作用。
例如，在桥梁和楼板等结构中，弯曲变形可以帮助承受外部荷载并保持结构的稳定性。
在材料设计和工程应用中，科学家和工程师常常要考虑材料的弯曲性能，以确保结构的强度和稳定性。
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质受力和变形的科学。
在工程学中，材料力学的应用非常广泛，其中弯曲内力是一个重要的研究对象。
弯曲内力是指在材料受到外力作用下，产生的弯曲应力和弯曲应变。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程设计和材料选用具有重要意义。
首先，我们来了解一下弯曲内力的产生原因。
在工程结构中，由于外力的作用，材料会产生弯曲变形，这时就会产生弯曲内力。
弯曲内力的大小和方向取决于外力的大小、作用点的位置以及材料的几何形状和材料性质。
在工程实践中，我们需要通过理论分析和实验测试来确定材料的弯曲内力，以便进行结构设计和材料选用。
其次，我们需要了解弯曲内力的计算方法。
在弯曲内力的计算中，我们通常采用弯矩和剪力图的方法。
弯矩图是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的弯矩大小和方向的图形，而剪力图则是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的剪力大小和方向的图形。
通过分析弯矩和剪力图，我们可以得到材料在不同位置上的弯曲内力大小和方向，从而进行合理的结构设计和材料选用。
此外，材料的弯曲内力还与材料的强度和刚度密切相关。
在工程设计中，我们需要根据材料的弯曲内力来选择合适的材料，以保证结构的安全性和稳定性。
一般来说，材料的抗弯强度和弯曲刚度越大，其受力性能越好，适用范围也越广。
因此，在工程实践中，我们需要充分考虑材料的强度和刚度对弯曲内力的影响，从而进行合理的材料选用和结构设计。
最后，我们需要注意弯曲内力对材料的影响。
在工程实践中，弯曲内力会对材料的疲劳寿命、变形性能和使用安全性产生重要影响。
因此，我们需要通过理论分析和实验测试来充分了解材料的弯曲内力特性，从而进行合理的结构设计和材料选用，以保证工程结构的安全可靠性。
总之，材料力学弯曲内力是工程设计和材料选用中的重要内容。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程实践具有重要意义。
通过深入研究材料的弯曲内力特性，我们可以更好地进行结构设计和材料选用，从而保证工程结构的安全可靠性。
(完整版)梁的内力计算
第四章梁的内力第一节工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。
图 4 —i中列举了例子并画出了它们的计算简图。
如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1 梁的受力与变形特点综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲.。
在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
1.2 平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..称面（如图4 —2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲.。
它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。
1.3 梁的简化一一计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。
为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
a房屋建筑中的大梁c小跨度公路桥地纵梁图4-1b简易挡水结构中的斜梁图4-2 梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：（a ） 活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4— 3 （a ）所示。
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• 1、纯弯曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的横截面将 发生翘曲，同时横向力将使梁的纵向纤维间产生局部 挤压应力。弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截 面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力 公式对于横力弯曲近似成立。 • 2、具有纵向对称面的各种截面形状的梁，但注意中性 轴不是横截面的对称轴时，上下表面的抗弯截面模量 不同。 • 3、弹性变形阶段。
M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12
180 60 103 ( 30) 10 3 M C yK 2 K IZ 5.832 10 5 61.7 10 Pa 61.7MPa
41
IZ
d 4
WZ
d 3
§4-6 弯曲正应力的强度条件
弯曲正应力强度条件
σmax
M W z
σ max
1.等截面直梁，弯矩最大的截面上下边缘 2.变截面梁要综合考虑 M 与
Wz
3.如横截面不对称于中性轴时，上下表面抗弯截面模量不同 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
7
常见梁截面
8
平面弯曲 •具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
9
梁载荷的分类
分布载荷 均匀分布载荷 q
线性（非均匀） 分布载荷
q(x) T
集中力
P
T
载荷集度 q(N/m) 注意还有支座反力
10
集中力偶 T
支座种类
A XA
m
q
n l
例2、图示一受均布载荷的悬 臂梁，画该梁弯矩图。
M
Q
lx 1 2 M q(l x ) q( l x ) 2 2
弯矩图
（-）
1 2 ql 2
19
a
F
例3、图示简支梁 C 点受集中力作用。
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
试写出弯矩方程，并画出弯矩图。
解：1．确定约束力
M
Fab / l
M ＝0， M ＝0
A B
x
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l 2.写出弯矩方程
AC CB
3.依方程画出弯矩图
M x1 ＝Fbx1 / l
0 x1 a a x2 l
20
M x2 ＝Fal x2 / l
y
q
例 4 、简支梁受均布载荷作用试写 出弯矩方程，并画出弯矩图。 B
33
二、弯曲正应力公式的推导 1、几何关系
34
1、几何关系
dx
35
2、物理关系
胡克定理
z
E
E
y
y
纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴 的距离成正比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等。
36
3、静力学关系
轴惯性矩
E
y
M EI Z
37
1
正应力公式
变形几何关系
y
E
物理关系
E
M EI Z
1
y
静力学关系
1
My IZ
38
为曲率半径
为梁弯曲变形后的曲率
4、横截面上的弯曲正应力
My max My max IZ IZ
IZ WZ ymax
抗弯截面模量
max
M WZ
min
M WZ
39
• 三、弯曲正应力公式的适用范围
44
92.55 106 Pa 92.55MPa
3. 全梁最大正应力
q=60kN/m
180 120
最大弯矩：
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
M max 67.5kN m
截面惯性矩：
z y
I z 5.832 105 m 4
FBY
M
ql / 8 67.5kN m
2
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假设
一、实验观察和假设推论
31
实验现象:
1、横线仍是直线，但发伸长，
上侧缩短； 3、横截面的高度不变，宽度在上部略 为增大，下部 略为缩小。
32
假设：
1、平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏 转了一个角度。 2、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间 没有挤压。
支座反力
固定铰支座 (pin support)
A
YA
滚动铰支座 (roller support)
MA A XA
YA
固定支座（fixed support)
YA
11
梁的类型
P1 P2
XA
A
YA
B
YB
XA
MA
A
YA
P1
P2
B
简支梁
XA A P1 B P2
悬臂梁
C
YA YB
外伸梁
12
简支梁
外伸梁
悬壁梁
13
6
（压应力）
43
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
M C 60kN m
z y
FBY
C 截面惯性矩
I Z 5.832 105 m 4
M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
Cmax
M C ymax IZ 60 103 180 10 3 2 5.832 10 5
a
M
b
A
FAY
x1
C
l
x2
B
FBY
解：1．确定约束力
M ＝0， M ＝0
A B
Ma / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
Mb / l
2．写出弯矩方程
AC
M x1 ＝Mx1 / l M x2 ＝ Mx2 / l
0 x1 a 0 x2 b
24
(2)画弯矩图
(i) 分段，初步确定弯矩图形状 仍将全梁分为CA、AD、DB三段。 CA段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；AD、DB两段则为傾 斜直线；在A处因有集中力，弯矩图有一折角；在D处弯矩有突变，突 变之值即为该处集中力偶之力偶矩。 (ii)求特殊截面上的弯矩 为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面 上弯矩：
M max 15kN m
26
二、弯矩图的叠加作图法
叠加原理：
P 1 P2
=
P2
P 1
1
+
2
1 2
M M1 M 2
27
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独效果之和。
“效果”—— 指载荷引起的反力、内力、应力或变形。 “之和”——代数和。 叠加原理成立的前提条件： （1）小变形；
§4-2 梁弯曲时的内力
x m n l P
力平衡：Q - P = 0 力矩平衡：M + P(l-x) = 0
M
Q
P
剪力：Q = P 弯矩：M = - P(l-x)
Q
M
（按左半边梁，能算出Q、M吗？） 剪力、弯矩正负号的含义
14
注意:当梁的跨度(两支点间的距离)较大时， 剪力相比于弯矩较小，在工程上可不考虑剪 力的作用，只考虑弯矩。 弯矩的符号约定
t ,max t
c ,max c
42
例题6-1
q=60kN/m x
180
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
FBY
y 解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
第四章 直梁的弯曲
1
§4-1 平面弯曲的概念 梁的类型
拉压杆：承受轴向拉、压力 轴 ：承受扭矩 墙
桥板
楼板
梁：承受横向力
2
起重机大梁
P
3
目录
镗刀杆
P 目录
4
火车轮轴
目录
5
火车轮轴简化
6
P
P
弯曲特点：
受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或 力偶的作用 变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线
推论：
1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截 面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；
2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。 因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力； 3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面 的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉 伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转 就是绕其中性轴旋转的。
一、弯矩图的作法：先求得梁的支座反力，列 出弯矩方程，然后选择适当的比例，以x为横 坐标，弯矩为纵坐标，按方程作图。正的弯矩 画在x的上方，负弯矩画在下方。
M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12
180 60 103 ( 30) 10 3 M C yK 2 K IZ 5.832 10 5 61.7 10 Pa 61.7MPa
41
IZ
d 4
WZ
d 3
§4-6 弯曲正应力的强度条件
弯曲正应力强度条件
σmax
M W z
σ max
1.等截面直梁，弯矩最大的截面上下边缘 2.变截面梁要综合考虑 M 与
Wz
3.如横截面不对称于中性轴时，上下表面抗弯截面模量不同 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
7
常见梁截面
8
平面弯曲 •具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
9
梁载荷的分类
分布载荷 均匀分布载荷 q
线性（非均匀） 分布载荷
q(x) T
集中力
P
T
载荷集度 q(N/m) 注意还有支座反力
10
集中力偶 T
支座种类
A XA
m
q
n l
例2、图示一受均布载荷的悬 臂梁，画该梁弯矩图。
M
Q
lx 1 2 M q(l x ) q( l x ) 2 2
弯矩图
（-）
1 2 ql 2
19
a
F
例3、图示简支梁 C 点受集中力作用。
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
试写出弯矩方程，并画出弯矩图。
解：1．确定约束力
M
Fab / l
M ＝0， M ＝0
A B
x
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l 2.写出弯矩方程
AC CB
3.依方程画出弯矩图
M x1 ＝Fbx1 / l
0 x1 a a x2 l
20
M x2 ＝Fal x2 / l
y
q
例 4 、简支梁受均布载荷作用试写 出弯矩方程，并画出弯矩图。 B
33
二、弯曲正应力公式的推导 1、几何关系
34
1、几何关系
dx
35
2、物理关系
胡克定理
z
E
E
y
y
纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴 的距离成正比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等。
36
3、静力学关系
轴惯性矩
E
y
M EI Z
37
1
正应力公式
变形几何关系
y
E
物理关系
E
M EI Z
1
y
静力学关系
1
My IZ
38
为曲率半径
为梁弯曲变形后的曲率
4、横截面上的弯曲正应力
My max My max IZ IZ
IZ WZ ymax
抗弯截面模量
max
M WZ
min
M WZ
39
• 三、弯曲正应力公式的适用范围
44
92.55 106 Pa 92.55MPa
3. 全梁最大正应力
q=60kN/m
180 120
最大弯矩：
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
M max 67.5kN m
截面惯性矩：
z y
I z 5.832 105 m 4
FBY
M
ql / 8 67.5kN m
2
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假设
一、实验观察和假设推论
31
实验现象:
1、横线仍是直线，但发伸长，
上侧缩短； 3、横截面的高度不变，宽度在上部略 为增大，下部 略为缩小。
32
假设：
1、平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏 转了一个角度。 2、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间 没有挤压。
支座反力
固定铰支座 (pin support)
A
YA
滚动铰支座 (roller support)
MA A XA
YA
固定支座（fixed support)
YA
11
梁的类型
P1 P2
XA
A
YA
B
YB
XA
MA
A
YA
P1
P2
B
简支梁
XA A P1 B P2
悬臂梁
C
YA YB
外伸梁
12
简支梁
外伸梁
悬壁梁
13
6
（压应力）
43
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
M C 60kN m
z y
FBY
C 截面惯性矩
I Z 5.832 105 m 4
M
ql 2 / 8 67.5kN m
x
Cmax
M C ymax IZ 60 103 180 10 3 2 5.832 10 5
a
M
b
A
FAY
x1
C
l
x2
B
FBY
解：1．确定约束力
M ＝0， M ＝0
A B
Ma / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
Mb / l
2．写出弯矩方程
AC
M x1 ＝Mx1 / l M x2 ＝ Mx2 / l
0 x1 a 0 x2 b
24
(2)画弯矩图
(i) 分段，初步确定弯矩图形状 仍将全梁分为CA、AD、DB三段。 CA段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；AD、DB两段则为傾 斜直线；在A处因有集中力，弯矩图有一折角；在D处弯矩有突变，突 变之值即为该处集中力偶之力偶矩。 (ii)求特殊截面上的弯矩 为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面 上弯矩：
M max 15kN m
26
二、弯矩图的叠加作图法
叠加原理：
P 1 P2
=
P2
P 1
1
+
2
1 2
M M1 M 2
27
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独效果之和。
“效果”—— 指载荷引起的反力、内力、应力或变形。 “之和”——代数和。 叠加原理成立的前提条件： （1）小变形；
§4-2 梁弯曲时的内力
x m n l P
力平衡：Q - P = 0 力矩平衡：M + P(l-x) = 0
M
Q
P
剪力：Q = P 弯矩：M = - P(l-x)
Q
M
（按左半边梁，能算出Q、M吗？） 剪力、弯矩正负号的含义
14
注意:当梁的跨度(两支点间的距离)较大时， 剪力相比于弯矩较小，在工程上可不考虑剪 力的作用，只考虑弯矩。 弯矩的符号约定
t ,max t
c ,max c
42
例题6-1
q=60kN/m x
180
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
FBY
y 解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
第四章 直梁的弯曲
1
§4-1 平面弯曲的概念 梁的类型
拉压杆：承受轴向拉、压力 轴 ：承受扭矩 墙
桥板
楼板
梁：承受横向力
2
起重机大梁
P
3
目录
镗刀杆
P 目录
4
火车轮轴
目录
5
火车轮轴简化
6
P
P
弯曲特点：
受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或 力偶的作用 变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线
推论：
1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截 面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；
2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。 因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力； 3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面 的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉 伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转 就是绕其中性轴旋转的。
一、弯矩图的作法：先求得梁的支座反力，列 出弯矩方程，然后选择适当的比例，以x为横 坐标，弯矩为纵坐标，按方程作图。正的弯矩 画在x的上方，负弯矩画在下方。