2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】 C??。
3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。
的子集有∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（）211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。
在直线2ll。
在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。
过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。
与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。
aa bbP??????。
，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。
和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。
内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。
????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。
a b中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4【答案】 D图第4题于如图，作于，作，连结。
【解答】ABFO?OEOFABEF?1为正方体，知由，。
ABABCD?ABCDEF?面ABBA?EF1111111，。
2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．若集合{}2120A x x x =--≤，101x B xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ）A ．[)(]3114--⋃，，B ．[](]3114--⋃，，C ．[)[]3114--⋃，，D ．[][]3114--⋃，，2．已知直线1l ：(2)310m x my +++=与直线2l ：(2)(2)40m x m y -++-=（0m >）相互垂直，垂足为P ，O 为坐标原点，则线段OP 的长为（ ）A． B ．2 CD3．如图，在三棱锥P ABC -中，PAB △，PBC △均为等边三角形，且AB BC ⊥。
则二面角A PC B --的余弦值为（ ）A．3 B．3 C．3 D ．134．若函数2243()2log 3a x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，，，，（0a >，且1a ≠）的值域为[)3+∞，，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]13，B ．(13)，C ．(3)+∞，D ．[)3+∞，5．如图，在四面体P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且3PA PB PC ===。
则在该四面体表面上与点A距离为 ）A． B． C．2 D．26．()f x 是定义在R 上的函数，若(0)1f =，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（ ）A ．2013B ．2015C ．2017D ．2019二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知实数x ，y 满足226440x y x y +-++=，记2224x y x y μ=++-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 。
8．过直线2y x =上一点P 作圆C ：225(3)(1)4x y -+-=的切线PA 、PB ，A 、B 为切点。
2014年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1-∞，B ．(1)-∞，C ．(]01，D ．(]3-∞， 【答案】 A【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。
0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。
由A B A ⋂=知，A B ⊆。
1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤。
∴ a 的取值范围为(]1-∞，。
2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ）A ．27 B ．27 C ．43π D ．163π 【答案】 A【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1222l R ππ⨯=，2l R =。
又2122S l ππ==圆锥测。
因此，2l =，1R =。
圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。
所以，其内切球半径123r ==，其体积343V π=⨯=。
3．函数y x = ）A ．⎡-⎣B ．2⎡-⎣C ．1⎡-⎣D ．⎡⎣【答案】 B【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。
∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2⎡-⎣。
4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。
（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。
（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为3。
（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。
其中正确的命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 C 【解答】（1）显然正确。
