2012福建高考数学试卷

2012年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．===≤的充要条件是，但是4．（5分）（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不sinx+≥（x∈R）时，不等式两边相等；sinx+6．（5分）（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）By=（（﹣=取自阴影部分的概率为=7．（5分）（2012•福建）设函数，则下列结论错误的是（）=（8．（5分）（2012•福建）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则B∵双曲线的右焦点与抛物线∴双曲线的一条渐近线方程为∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于9．（5分）（2012•福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，B10．（5分）（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）在]（≤=[f二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=2．×12．（4分）（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于﹣3．13．（4分）（2012•福建）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．据三角形三边长成公比为，aaa﹣14．（4分）（2012•福建）数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2012= 3018．cos ncos的规律，即可求出数列的规律即可求出结ncos=0ncos的每四项和为15．（4分）（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是．=）轴的左边，得到，），又在，）上成立，y=（，即故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．××+3×=2.86×+2.9×××+3×=2.86××=2.7917．（13分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．﹣，可得这个常数的=++sin2，化简可得结果．sin30．．++sin sin﹣sin=++（）﹣﹣+cos2﹣=1﹣+．18．（13分）（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．为原点，，，为原点，，，的方向为，，，==（•．此时的法向量=⊥平面⊥，⊥=，﹣，﹣，只要⊥，即有•，有此得t=，AP=的一个法向量，此时与==|，解得19．（13分）（2012•福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．，；，，∴的方程为．（Ⅱ）由===，），此时，，，，﹣），交20．（14分）（2012•福建）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．==，则c=，使得四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。

2012年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2012•福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i2．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．43．（2012•福建）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件4．（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱5．（2012•福建）下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）6．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．（2012•福建）设函数则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数8．（2012•福建）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．3D．59．（2012•福建）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．B．1C．D．210．（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（2012•福建）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________．12．（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于_________．13．（2012•福建）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．14．（2012•福建）数列{a n}的通项公式a n=ncos+1，前n项和为S n，则S2012=_________．15．（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“﹡”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）﹡（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________．三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（2012•福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x（年）0＜x＜1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2轿车数量（辆） 2 3 45 5 45每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 20.9将频率视为概率，解答下列问题：（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．17．（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．18．（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．19．（2012•福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．20．（2012•福建）已知函数f（x）=e x+ax2﹣ex，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．四、选考题（题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于()A ．－1－iB ．1－iC ．－1＋iD ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是()A ．x 0∈R ，0e 0x≤ B ．x ∈R ，2x ＞x 2 C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是()A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．2111x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A ．14 B ．15C ．16 D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是()A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()AB．．3 D ．59．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为()A ．12 B ．1 C ．32D ．2 10．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］． 其中真命题的序号是()A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________． 13．已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为________．14．数列{a n }的通项公式πcos12n n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2012＝________． 15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1．(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．19．如图，椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21．(1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，π2⎫⎪⎪⎝⎭，圆C的参数方程为22cos,2sinxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123ma b c++=，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解读式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．A由z i＝1－i，得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----．2．B∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3．D∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1⇒ab＞1．4．D∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．5．C∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．6．C ∵由图象知阴影部分的面积是31220121211)d ()032326x x x x =⋅-=-=⎰，∴所求概率为11616=．7．C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数， ∴D (x )不是周期函数是错误的．8．A 由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =2y x =±20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d == 9．B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x ＝3－x ，即x ＝1＝m ．10．D ①如图1，图1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x 2－2|＝222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-≤⎪⎩P (如图3)． 故②错．图2图3③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］， 1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］． 又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1， ∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1． ∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()()42x x x x x x x x f f ++++++= ≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确．11．答案：2解读：∵T r ＋1＝4C ra r x 4－r ，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a ＝2．12．答案：－3解读：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，直接输出s ＝－3． 13．答案：4-解读：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，2a ，故最大角的余弦值是2222cos 4θ===-． 14．答案：3018 解读：∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2009＝50311+1=503++个…；a 2＋a 6＋...＋a 2010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋...＋(－2010＋1)＝－1－5－ (2009)503(12009)2--＝－503×1005；a 3＋a 7＋…＋a 2011＝50311+1=503++个…；a 4＋a 8＋…＋a 2012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1009；故S 2012＝503－503×1005＋503＋503×1009 ＝503×(1－1005＋1＋1009)＝3018． 15．答案：，0) 解读：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0， 于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是3x =．故123x x x =设h (m )＝m (1，∵h ′(m )＝(1＋［m()］＝10<，∴函数h (m )单调递减． 故x 1x 2x 3的取值范围为，0)． 16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ， 则231()5010P A +==． (2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车． 17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34． 方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34． 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－2sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋4sin2α－4sin2α－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2a，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a，1,0)．∵1AD ·1B E ＝2a-×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)， 使得DP ∥平面B 1AE ． 此时DP ＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2a-，－a )． 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有2a －az 0＝0，解得012z =． 又DP 平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ． ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD ＝(0,1,1)．设1AD 与n 所成的角为θ，则11·cos ||||a aAD AD θ--==n n ．∵二面角A －B1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos30°32a=， 解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 所以4a ＝8，a ＝2． 又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1． 所以b故椭圆E 的方程是22143x y +=． (2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(14k x m --，3m)，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )， 由0MP MQ ⋅=，得211141612430kx k k x x m m m-+-+++=，整理，得(4x 1－4)km＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1．故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ． 方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， 所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 取k ＝0，m =此时P (0，Q (4，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3m )，MQ ＝(3,4k ＋m )， 从而1212330k k MP MQ m m⋅=--++=， 故恒有MP MQ ⊥，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x ＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0， 所以a ＝0，即f (x )＝e x －e x ．此时f ′(x )＝e x －e ，由f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(－∞，1)时，有f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )＞0．所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P (x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， 令g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，故曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数g (x )有唯一零点．因为g (x 0)＝0，且g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)．(1)若a ≥0，当x ＞x 0时，g ′(x )＞0，则x ＞x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0；当x ＜x 0时，g ′(x )＜0，则x ＜x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0．故g (x )只有唯一零点x ＝x 0．由P 的任意性，a ≥0不合题意．(2)若a ＜0，令h (x )＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)，则h (x 0)＝0，h ′(x )＝e x ＋2a ．令h ′(x )＝0，得x ＝ln(－2a )，记x ′＝ln(－2a )，则当x ∈(－∞，x *)时，h ′(x )＜0，从而h (x )在(－∞，x *)内单调递减；当x ∈(x *，＋∞)时，h ′(x )＞0，从而h (x )在(x *，＋∞)内单调递增．①若x 0＝x *，由x ∈(－∞，x *)时，g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0；x ∈(x *，＋∞)时，g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0，知g (x )在R 上单调递增．所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x ＝x *．②若x 0＞x *，由于h (x )在(x *，＋∞)内单调递增，且h (x 0)＝0，则当x ∈(x *，x 0)时有g ′(x )＝h (x )＜h (x 0)＝0，g (x )＞g (x 0)＝0；任取x 1∈(x *，x 0)有g (x 1)＞0．又当x ∈(－∞，x 1)时，易知g (x )＝e x ＋ax 2－［e ＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＜e x 1＋ax 2－［e ＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＝ax 2＋bx ＋c ，其中b ＝－［e ＋f ′(x 0)］，c ＝e x 1－f (x 0)＋x 0f ′(x 0)．由于a ＜0，则必存在x 2＜x 1，使得ax 22＋bx 2＋c ＜0．所以g (x 2)＜0．故g (x )在(x 2，x 1)内存在零点，即g (x )在R 上至少有两个零点．③若x0＜x*，仿②并利用3e6xx>，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．综上所述，当a＜0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21．(1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由1x ay b'⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x axy bx y⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x axy bx y'=⎧⎨'=+⎩又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1．依题意得222,22,a bb⎧+=⎨=⎩解得1,1,ab=⎧⎨=⎩或1,1,ab=-⎧⎨=⎩因为a＞0，所以1,1. ab=⎧⎨=⎩②由①知，1 01 1⎛⎫= ⎪⎝⎭A，21 0 1 0 1 01 1 1 12 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A，所以|A2|＝1，(A2)－1＝1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．(2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)．又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，3)，故直线OP的平面直角坐标方程为3y x=．②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)，所以直线l30y+-=．又圆C的圆心坐标为(2，)，半径r＝2，圆心到直线l的距离32d r==<，故直线l与圆C相交．(3)选修4－5：不等式选讲解：①因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m＝1．②由①知111123a b c++=，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(11123a b c ++)＝．≥29。

福建2012年高考数学(理科)试题及参考答案总分：150分及格：90分考试时间：120分一、选择题：本卷共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)若复数z满足zi=1-i，则z等于A. -1-iB. 1-iC. -1+iD. 1=i(2)等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为A. 1B. 2C. 3D. 4(3)下列命题中，真命题是(4)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A. 球B. 三棱柱C. 正方形D. 圆柱(5)下列不等式一定成立的是(6)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(7)A. D（x）的值域为{0,1}B. D（x）是偶函数C. D（x）不是周期函数D. D（x）不是单调函数(8)(9)(10)A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

(1)（a+x）⁴的展开式中x³的系数等于8，则实数a=_________。

(2)阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于______________。

(3)(4)(5)三、解答题（本大题共6小题，共80分）(1)(2)(3)(4)(5)(6)答案和解析一、选择题：本卷共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) :A(2) :B(3) :D(4) :D(5) :C(6) :C(7) :C(8) :A(9) :B(10) :D二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

(1) :2(2) :-3(3) :(4) :3018三、解答题（本大题共6小题，共80分）(1) :(2) :(4) :(5) :(6) :。