上海市十四校(原十三校)2017届高三12月联考数学学生版

上海市十四校2017届高三语文12月联考试卷及答案上海市十四校2017届高三12月联考语文试卷考试时间 150分钟满分150分一阅读 80分(一)阅读下文,完成1—6题。

(17分)日常感觉:智慧栖身之地唐韧①人类一切智慧(包括理论)的原初栖身处,正是人类的日常感觉。

②曾有欧洲某国的一个妈妈把教给她孩子读字母“O”的幼儿园老师告上法庭,罪名是老师剥夺了孩子的想象权——孩子本可以从一个小圆圈想到许多许多,现在只剩了一个字母“O”。

这个母亲告赢了。

③我们的孩子一学话,家长就急急如敕地命他们背唐诗,幼儿园也忙于让他们学写字学英文,为的是叫他们比别人早些钻进知识技能中去,在未来的升学就业竞争中多持一个筹码。

④此举的结果也许是,背熟“春眠不觉晓,处处闻啼鸟”的孩子,对枝头的鸟啼丧失了感觉。

⑤苏格兰哲学学派把“日常感觉”称为“来自日常感觉的正常人类理智哲学”的提法,含义就是日常感觉对人理智的长成,其意义绝不低于书本智慧。

⑥诺贝尔物理奖获得者费曼讲到他自幼所受的教育,说曾有孩子指着一只黑颈鸫,问他这鸟叫什么,他答不上来,那孩子就不以为然地说:“你爸爸怎么什么都没教你呢?”费曼回忆道:其实情况正相反。

我爸是这样教我的——“看见那只鸟儿了吗?”他说,“我可以教你怎么称呼这只鸟,可还是一点儿也不懂得它。

我们还是来仔细瞧瞧它在做什么吧。

”⑦费曼说,我于是很早就学会了“知道一个东西的名字”和“真正懂得一个东西”的区别。

⑧这也正好是会背诵“处处闻啼鸟”和会欣赏、分辨各种鸟啼两种能力的区别。

⑨费曼的父亲比一般家长更洞悉人类理智发育的生态,他更珍惜儿子对生活现象的观察理解力:能积累提取日常感觉的能力是高于万物、唯人才有的生态优势。

“理论之树是灰色的,而生活之树常青”,他聪明地避开高踞灰色树上的虚荣,给儿子预留了充足的理智发育的空间,轻松地指点幼子仰视“正常人类理智哲学”的常青树风景。

将来别的孩子拼尽全力爬到灰色树顶时,费曼却可能从容地攀上了常青树。

2016-2017学年上海市十四校（原十三校）联考高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（共14题，每题小题4分，共56分）1．已知复数（i为虚数单位），则=．2．已知函数f（x）=，则f（f（x））=．3．若不等式组的解集中的元素有且仅有有限个数，则a=．4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为．5．设二项式的展开式中各项系数和为p，各项的二项式系数和为s，若p+s=272，则n等于．6．若函数f（x）=﹣x2﹣10x在（﹣∞，λ]上是增函数，则方程组的解的组数为．7．已知arcsin（a2+1）﹣arcsin（b﹣1）≥，则arccos（a2﹣b2）=．8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都有=a n•a m．若S n＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．a n+m9．已知函数f（x）=asinx﹣（a∈R），若函数f（x）在（0，π）的零点个数为2个，则当x∈[0，]，f（x）的最大值为．10．已知直线f（x）=k0x+b与曲线g（x）=交于点M（m，﹣1），N（n，2），则不等式f﹣1（x）≥g﹣1（x）的解集为．11．已知数列{a n}满足a1=0，|a n|=|a n﹣2|，记数列{a n}的前2016项和为S，+1则S的最大值为．12．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f（x）=log2的图象上，设O为原点，已知三角形OAB的面积为S，则平行四边形ABCD的面积为．13．在边长为1的等边△ABC中，O为边AC的中点，BO为边AC上的中线，=2，设∥，若=+λ（λ∈R），则||=．14．已知sinx=x﹣+…，由sinx=0有无穷多个根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：，把这个式子的右边展开，发现﹣x3的系统为，即，请由cosx=1﹣+…出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论．一、选择题（4*5=20）15．如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．C．D．16．若m，n∈N*则a＞b是（a m﹣b m）•（a n﹣b n）＞0成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要17．将函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象向左平移个单位，所得函数图象与f（x）图象关于x轴对称，则ω的值不可能是（）A．2 B．4 C．6 D．1018．若存在实数a，b，对任意实数x∈[0，4]，使不等式﹣m≤ax+b≤+m 恒成立，则m的取值范围为（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≤D．m≥三、解答题（12+14+14+16+18）19．如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知P﹣OAC和Q﹣OBD是边长分别为a 和的两个正四面体，底面中AB与CD交于点O，试求出塔尖P，Q 之间的距离关于边长a的函数，并求出a为多少时，塔尖P，Q之间的距离最短．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，求（1）tanA：tanB：tanC的值；（2）求角A的值．21．某中学为丰富教职工生活，在元旦期间举办趣味投篮比赛，设置A，B两个投篮位置，在A点投中一球得1分，在B点投中一球得2分，规则是：每人按先A后B的顺序各投篮一次（计为投篮两次），教师甲在A点和B点投中的概率分别为和，且在A，B两点投中与否相互独立（1）若教师甲投篮两次，求教师甲投篮得分0分的概率（2）若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则投篮两次，求甲得分比乙高的概率．22．（16分）设f（x）=a x﹣1，g（x）=b x﹣1（a，b＞0），记h（x）=f（x）﹣g （x）（1）若h（2）=2，h（3）=12，当x∈[1，3]时，求h（x）的最大值（2）a=2，b=1，且方程有两个不相等实根m，n，求mn的取值范围（3）若a=2，h（x）=c x﹣1（x＞1，c＞0），且a，b，c是三角形的三边长，求出x的范围．23．（18分）正整数数列{a n}满足，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，q=0，求证：{a n}是等差数列（2）若数列{a n}为等差数列，求p的值．（3）证明：a2016=2016a1的充要条件是p=．2016-2017学年上海市十四校（原十三校）联考高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每题小题4分，共56分）1．已知复数（i为虚数单位），则=．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数z，从而求出，进而求得的值．解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．2．已知函数f（x）=，则f（f（x））=1．【分析】根据函数的不等式代入即可．解：若x≥0，则f（x）=1，则f（f（x））=f（1）=1，若x＜0，则f（x）=0，则f（f（x））=f（0）=1，故答案为：1【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件代入是解决本题的关键．比较基础．3．若不等式组的解集中的元素有且仅有有限个数，则a=2018．【分析】若不等式组的解集中有且仅有有限个数，则a﹣1=2017，进而得到答案．解：解x﹣1≥2016得：x≥2017，解x+1≤a得：x≤a﹣1，若a﹣1＜2017，则不等式的解集为空集，不满足条件；若a﹣1=2017，则不等式的解集有且只有一个元素，满足条件，此时a=2018；若a﹣1＞2017，则不等式的解集为无限集，不满足条件；综上可得：a=2018，故答案为：2018【点评】不等式考查的知识点是集合元素的判断，不等式组的解集，难度不大，属于基础题．4．函数y=cos2x+sinxcosx的最小值为﹣．【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式为y=+sin （2x+），由此求得函数y的最小值．解：函数y=cos2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x+），故当2x+=2kπ﹣，k∈z 时，函数y取得最小值为﹣1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的最值，属于中档题．5．设二项式的展开式中各项系数和为p，各项的二项式系数和为s，若p+s=272，则n等于4．【分析】各项系数之和为P．即x=1时，P=4n，二项系数和为2n，从而代入条件即可求．解：由题意各项系数之和为P．即x=1时，P=4n，二项系数和为2n，∴4n+2n=272，，∴2n=16，∴n=4，故答案为4【点评】本题主要考查二项式中系数问题，应注意区分各项系数和与二项式系数和．6．若函数f（x）=﹣x2﹣10x在（﹣∞，λ]上是增函数，则方程组的解的组数为1．【分析】利用函数的单调性求出λ，然后求解方程组的解即可．解：函数f（x）=﹣x2﹣10x在（﹣∞，λ]上是增函数，可得λ=﹣=﹣5，则方程组，化为：，解得：，方程组只有一组解．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，方程组的求法，考查计算能力．7．已知arcsin（a2+1）﹣arcsin（b﹣1）≥，则arccos（a2﹣b2）=π．【分析】由题意，求出a=0，b=1，a2﹣b2=﹣1，即可得出结论．解：由题意，sinα=a2+1，sinβ=b﹣1，α﹣β≥，∴a=0，b=1，∴a2﹣b2=﹣1，∴arccos（a2﹣b2）=π，故答案为：π．【点评】本题考查反三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都有a n=a n•a m．若S n＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．+m=a m•a n，令m等于1化简后，由等比数列的定义确定此数列是等【分析】由a m+n比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S n，利用极限思想和条件求出满足条件a的范围，再求出a的最小值．=a m•a n，解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m+n=a1•a n，所以=a1=，令m=1，得到a n+1则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==＜，因为S n＜a对任意n∈N*恒成立，所以a≥，则实数a的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了等比数列关系的确定，等比数列的前n项和的公式，以及不等式恒成立问题，是一道综合题．9．已知函数f（x）=asinx﹣（a∈R），若函数f（x）在（0，π）的零点个数为2个，则当x∈[0，]，f（x）的最大值为a﹣．【分析】讨论a＞0时，函数y=f（x）在区间（0，）上有且只有一个零点，在区间（，π）上有且只有一个零点；求出f（x）在x∈[0，]上的最大值；a≤0时，函数f（x）在x∈（0，π）上无零点，从而求出f（x）的最大值．解：因为函数f（x）=asinx﹣（a∈R），且x∈（0，π）时，sinx∈（0，1]；所以当a＞0时，asinx∈（0，a]，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，函数f（x）在（0，）上有且只有一个零点；y=f（x）在区间（，π）上单调递减，函数f（x）在（，π）上有且只有一个零点；所以a﹣＞0，解得a＞；所以f（x）在x∈[0，]上的最大值是f（）=a﹣；a≤0时，f（x）=asinx﹣＜0在x∈（0，π）上恒成立，函数f（x）无零点，不合题意；综上，f（x）在x∈[0，]上的最大值是a﹣．故答案为：a﹣．【点评】本题主要考查了三角函数的单调性与函数零点的判定定理，是基础题目．10．已知直线f（x）=k0x+b与曲线g（x）=交于点M（m，﹣1），N（n，2），则不等式f﹣1（x）≥g﹣1（x）的解集为[﹣1，0）∪[2，+∞）．【分析】根据已知求出两个反函数的解析式，并画出草图，数形结合，可得答案．解：∵直线f（x）=k0x+b与曲线g（x）=交于点M（m，﹣1），N（n，2），故m=﹣k2，n=，故函数f（x）=k0x+b为增函数，k0＞0，由y=k0x+b得：x=y﹣，故f﹣1（x）=x﹣，由y=得：x=，故g﹣1（x）=，两个反函数交于（﹣1，m），（2，n）点；两个函数的草图如下图所示：当x∈[﹣1，0）∪[2，+∞）时，f﹣1（x）≥g﹣1（x），故答案为：[﹣1，0）∪[2，+∞）【点评】本题考查的知识点是反函数，函数的图象和性质，数形结合思想，难度中档．11．已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1|=|a n﹣2|，记数列{a n}的前2016项和为S，则S的最大值为2016．【分析】由已知得a n+1=a n﹣2，或a n+1=2﹣a n，由数列{a n}的前2016项和为S，S取最大值时，得a n+1+a n=2，从而得到a n=，由此能求出S的最大值．解：∵数列{a n}满足a1=0，|a n+1|=|a n﹣2|，∴a n+1=a n﹣2，或a n+1=2﹣a n，∵数列{a n}的前2016项和为S，S取最大值时，a n+1+a n=2，∴a n=，∴S max=1008×0+1008×2=2016．故答案为：2016．【点评】本题考查数列的前2016项和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．12．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f（x）=log 2的图象上，设O 为原点，已知三角形OAB 的面积为S ，则平行四边形ABCD 的面积为 4S ．【分析】先判断函数f （x ）为奇函数，则得到C ，D 点的坐标为（﹣3，﹣1），D （﹣，﹣2），即可得到OA=OC ，OB=OD ，则得到S △OCD =S △OAB =S △OBC =S △OCD =S ，问题得以解决． 解：f （x ）=log 2，则＞0，解得x ＜﹣1或x ＞1，∵f （﹣x ）=log 2=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数， ∵点，平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数f （x ）=log 2的图象上，∴C ，D 点的坐标为（﹣3，﹣1）， D （﹣，﹣2）， ∴OA=OC ，OB=OD ，∴S △OCD =S △OAB =S △OBC =S △OCD =S ， ∴平行四边形ABCD 的面积为4S ， 故答案为：4S【点评】本题考查了函数的奇偶性以及函数在几何种的应用，属于中档题．13．在边长为1的等边△ABC中，O为边AC的中点，BO为边AC上的中线，=2，设∥，若=+λ（λ∈R），则||=．【分析】根据题意得出G是△ABC的重心，用、表示出向量，用表示出，写出的表达式，利用向量相等列出方程组求出λ的值，代入=+λ，计算得答案．解：由已知得G是三角形的重心，因此，∵∥，设，∴．∴=．∵=+λ，∴，即λ=2．∴=+2，∴=．∴||=．故答案为：．【点评】本题考查了向量在几何中的应用问题，也考查平面向量的基本定理，是中档题．14．已知sinx=x﹣+…，由sinx=0有无穷多个根；0，±π，±2π，±3π，…，可得：，把这个式子的右边展开，发现﹣x3的系统为，即，请由cosx=1﹣+…出现，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论++…=．【分析】直接利用类比推理，即可得出结论．解：由cosx=0有无穷多个根：±π，±π，…，可得：cosx=（1﹣）（1﹣）…，把这个式子的右边展开，发现x2的系数为++…=，即++…=．故答案为++…=．【点评】本题考查的知识点是类比推理，考查学生的计算能力，难度较大．一、选择题（4*5=20）15．如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．C．D．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．解：y′==，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，而x=0时，函数值y=0，x→﹣∞时，y→﹣∞，x→+∞时，y→0，故选：A．【点评】本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．16．若m，n∈N*则a＞b是（a m﹣b m）•（a n﹣b n）＞0成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．解：由（a m﹣b m）•（a n﹣b n）＞0，得：a m＞b m且a n＞b n，或a m＜b m且a n＜b n，解得：a＞b＞0或a＜b＜0，故a＞b是（a m﹣b m）•（a n﹣b n）＞0成立的既非充分又非必要条件，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．17．将函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象向左平移个单位，所得函数图象与f（x）图象关于x轴对称，则ω的值不可能是（）A．2 B．4 C．6 D．10【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=Asin （ωx+ω+φ）的图象，再由Asin（ωx+ω+φ）=﹣Asin（ωx+φ），求得φ满足的条件．解：将函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象向左平移个单位，可得y=Asin[ω（x+）+φ]=Asin（ωx+ω+φ）的图象．再根据所得函数图象与f（x）图象关于x轴对称，可得Asin（ωx+ω+φ）=﹣Asin（ωx+φ），∴ω=（2k+1）π，k∈z，即ω=4k+2，故ω不可能等于4，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．18．若存在实数a，b，对任意实数x∈[0，4]，使不等式﹣m≤ax+b≤+m 恒成立，则m的取值范围为（）A．m≥1 B．m≤1 C．m≤D．m≥【分析】不等式﹣m≤ax+b≤+m可化为不等式|ax+b﹣|≤m，等价于任意实数a，b，垂直x∈[0，4]，使不等式|﹣ax﹣b+|＞m，分情况讨论a，即可解决．解：不等式﹣m≤ax+b≤+m可化为不等式|ax+b﹣|≤m，等价于任意实数a，b，存在x∈[0，4]，使不等式|﹣ax﹣b+|＞m，令y=﹣ax﹣b+，则y′=﹣a+在x∈[0，4]上，当y′≥0，即a≤时，单调递增，此时﹣b≤y≤﹣4a﹣b+2，当b≤1﹣2a时，|y|max=﹣4a﹣b+2，当b＞1﹣2a时，|y|max=b，从而当a≤时，b=1﹣2a时|y|取最大值，|y|max=1﹣2a≥，当a＞时，y在[0，）上单调递增，在[，4]上单调递减，在a∈[，]时，﹣b≤y≤﹣b+，当b=时，（|y|max）min=≥，在a∈（，+∞）时，﹣4a﹣b﹣2≤y≤﹣b+，当b=1﹣2a+时，（|y|max）=2a+﹣1＞，min综上所述，（|y|max）min=，∴m≤，故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，最值与导数的关系，和存在性问题的转化，属于压轴题，难题．三、解答题（12+14+14+16+18）19．如图所示的“相邻塔”形立体建筑，已知P﹣OAC和Q﹣OBD是边长分别为a 和的两个正四面体，底面中AB与CD交于点O，试求出塔尖P，Q 之间的距离关于边长a的函数，并求出a为多少时，塔尖P，Q之间的距离最短．【分析】过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1，过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O2，连结O1O2，则四边形PO1O2Q是直角梯形，由此能求出当a=时，塔尖P，Q之间的距离最短．解：如图，过点P作底面OAC的垂线交底面OAC于点O1，过点Q作底面OBD的垂线交底面OBD于点O2，连结O1O2，则O1，O2，O三点共线，且PO1∥QO2，则四边形PO1O2Q是直角梯形，在Rt△OPO1中，OP=a，OO1==，则PO1=，同理，得OO2=，QO2=，则PQ===，PQ=≥=（，当a=时，等号成立），则当a=时，塔尖P，Q之间的距离最短．【点评】本题考查两点间距离最小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，求（1）tanA：tanB：tanC的值；（2）求角A的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简求得tanA：tanB：tanC的值；（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得tanA=，解得tanA，分类讨论可求A的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵，∴由正弦定理可得：，…2分∴tanA=tanB=tanC，可得：tanA：tanB：tanC=1：2：3…4分（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，∵A+B+C=π，∴tanA=﹣tan（B+C）=﹣=，…8分解得：tanA=±1，或tanA=0，…12分当tanA=0，舍去；当tanA=1，A=，当tanA=﹣1，则tanB=﹣2，则A＞，B，矛盾，综上，A=…14分【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想、分类讨论思想的应用，属于中档题．21．某中学为丰富教职工生活，在元旦期间举办趣味投篮比赛，设置A，B两个投篮位置，在A点投中一球得1分，在B点投中一球得2分，规则是：每人按先A后B的顺序各投篮一次（计为投篮两次），教师甲在A点和B点投中的概率分别为和，且在A，B两点投中与否相互独立（1）若教师甲投篮两次，求教师甲投篮得分0分的概率（2）若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则投篮两次，求甲得分比乙高的概率．【分析】（1）设“教师甲投篮得分0分”为事件A，利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出教师甲投篮得分0分的概率．（2）设“甲得分比乙高”为事件B，记“教师两次投篮得分总数”为X，利用互斥事件概率加法公式能求出甲得分比乙高的概率．解：（1）设“教师甲投篮得分0分”为事件A，则教师甲投篮得分0分的概率：P（A）=（1﹣）（1﹣）=．（2）设“甲得分比乙高”为事件B，记“教师两次投篮得分总数”为X，则P（X=0）=P（A）=，P（X=1）=，P（X=2）=（1﹣）×，P（X=3）=，∴甲得分比乙高的概率P（B）==．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．22．（16分）设f（x）=a x﹣1，g（x）=b x﹣1（a，b＞0），记h（x）=f（x）﹣g （x）（1）若h（2）=2，h（3）=12，当x∈[1，3]时，求h（x）的最大值（2）a=2，b=1，且方程有两个不相等实根m，n，求mn的取值范围（3）若a=2，h（x）=c x﹣1（x＞1，c＞0），且a，b，c是三角形的三边长，求出x的范围．【分析】（1）根据h（2）=2，h（3）=12，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出mn的表达式，结合二次函数的性质求出mn的范围即可；（3）问题等价于存在x使得+=1成立，令f（x）=+，根据函数的单调性求出x的范围即可．解：（1）由已知得：，解得：a=4，b=2，h（x）=f（x）﹣g（x）=4x﹣1﹣2x﹣1=﹣≤﹣=12，故h（x）的最大值是12；（2）由|h（x）|=t，|得：|2x﹣1﹣1|=t，则m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），m+n=log2（2﹣2t）（2+2t），0＜t＜时，mn≤=＜1，故0＜mn＜1，综上，mn的范围是（0，1）；（3）存在x使得b x﹣1+c x﹣1=2x﹣1成立，等价于存在x使得+=1成立，令f（x）=+，∵b＜2，c＜2，则0＜＜1，0＜＜1，则f（x）是减函数，x＞2，f（x）∈（0，），∵＞1，故必存在x0＞2使得f（x0）=1，即+=1，即+=，综上，x＞2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查对数函数以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．23．（18分）正整数数列{a n}满足，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，q=0，求证：{a n}是等差数列（2）若数列{a n}为等差数列，求p的值．（3）证明：a2016=2016a1的充要条件是p=．【分析】（1）p=1，q=0时，=n，可得S n=na n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=a n，即可证明．﹣1（2）设等差数列{a n}的公差为d，可得S n=na1+d，a n=a1+（n﹣1）d．又=pn+q，可得na1+d=（pn+q）[a1+（n﹣1）d]（*）．比较两边的系数可得：=pd，对d 分类讨论，进而得出．（3）由=p+q=1，可得q=1﹣p．由S n=（pn+1﹣p）a n，利用递推关系可得：p （n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1，即．必要性：当p=时，（n≥2）可得a2016=2016a1．充分性：反证法，当p时，可得，不满足a2016=2016a1．当p时，同理可证明，不满足a2016=2016a1．【解答】（1）证明：p=1，q=0时，=n，可得S n=na n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=na n ﹣（n﹣1）a n，﹣1化为：a n=a n﹣1，∴a n=a1，∴{a n}是等差数列．（2）解：设等差数列{a n}的公差为d，∴S n=na1+d，a n=a1+（n﹣1）d．则==pn+q，∴na1+d=（pn+q）[a1+（n﹣1）d]（*）．比较两边的系数可得：=pd，当d=0时，na1=a1（pn+q），解得p=1，q=0．此时，S n=na n，由（1）可得：{a n}是等差数列．当d≠0时，p=．由（*）比较常数项可得：0=（a1﹣d）q，则d=a1，a n=nd，{a n}是等差数列．综上可得：p=1或．（3）证明：由=p+q=1，可得q=1﹣p．由S n=（pn+1﹣p）a n，S n﹣1=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），相减可得：p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1，即．必要性：当p=时，（n≥2）．∴==…=，∴a2016=2016a1．充分性：反证法，当p时，由p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1=pna n﹣1+（1﹣2p）a n（n≥2），﹣1又数列各项为正数，∴p（n﹣1）a n＜（1﹣2p）a n﹣1（n≥2），即，∴，不满足a2016=2016a1．当p时，同理可证明，不满足a2016=2016a1．【点评】本题考查了充要条件的判定、方程的解法、反证法、分类讨论方法、等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力，属于难题．。

6 绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）1、考生注意2、1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.3、2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.4、3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 5、4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 1. 已知集合 A = {1, 2,3, 4}，集合 B = {3, 4,5}，则 AB =2. 若排列数P m= 6 ⨯ 5 ⨯ 4 ，则m =3. 不等式x -1> 1 的解集为 x4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于5. 已知复数 z 满足 z + 3= 0 ，则| z | =z 6. 设双曲线 x 9- y2 b 2 = 1 (b > 0) 的焦点为 F 1 、 F 2， P 为该双曲线上的一点，若| PF 1 | = 5 ，则| PF 2 | =7. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1 的坐标为(4,3, 2) ，则 AC 1 的坐标为- ⎧⎪3x -1, x ≤ 08. 定义在(0, +∞) 上的函数 y = f (x ) 的反函数为 y = f 1(x ) ，若 g (x ) = ⎨ ⎪⎩ f (x ), 为 x > 0奇函数，则 f -1(x ) = 2 的解为119. 已知四个函数：① y = -x ；② y =- ；③ xy = x 3 ；④ y = x 2 . 从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{a } 和{b } ，其中a = n 2 ， n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数，若对于nnnn任意n ∈ N * ，{b } 的第a 项等于{a } 的第b 项，则lg(b 1b 4b 9b 16 ) =nnnnlg(b 1b 2b 3b 4 )2⎨2x + 3y = 4 n n 211. 设a 、 a ∈ R ，且1+1= 2 ，则| 10π - α - α |的最小值等于122 + sin α2 + sin(2α ) 121212. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处，设集合Ω = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 }，点P ∈Ω，过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“#”的点分布在l P 的两侧. 用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“#”的点到l P 的距离之和. 若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P ) = D 2 (l P ) ，则Ω 中 所有这样的 P 为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 关于 x 、 y 的二元一次方程组⎧x + 5y = 0 ⎩的系数行列式 D 为（ ）0 5 1 0 A.B. 4 32 4 1 5 6 0 C. D.2 35 414. 在数列{a } 中， a = (- 1)n ， n ∈ N * ，则lim a （）n n2n →∞ n A. 等于- 1 2 B. 等于 0 C. 等于 12D. 不存在15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{x } 的通项 x = an 2+ bn + c ，n ∈ N * ，则“存在k ∈ N * ，使得 x 100+ k 、 x 200+ k 、 x 300+ k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. a ≥ 0B. b ≤ 0C. c = 0D. a - 2b + c = 0x 2y 2 16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C 1 : 36 + 4= 1 和C : x 2 + y 9 = 1 . P 为C 1 上的动 点，Q 为C 2 上的动点， w 是OP ⋅ OQ 的最大值. 记Ω = {(P ,Q ) | P 在C 1 上，Q 在C 2 上，且OP ⋅ OQ = w }，则Ω 中元素个数为（） A. 2 个B. 4 个C. 8 个D. 无穷个三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA 1 的长为 5.（1） 求三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积； （2） 设 M 是 BC 中点，求直线 A 1M与平面 ABC 所成角的大小.219 2 ⎪⎩ny18. 已知函数 f (x ) = cos 2 x - sin 2 x + 1， x ∈ (0,π ) .2（1） 求 f (x ) 的单调递增区间；（2） 设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边a = ，角 B 所对边b = 5 ，若 f ( A ) = 0 ，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n (n ∈ N * ) 个月共享单车的投放量和损失量分别为a 和b （单位：辆），nn⎧⎪5n 4 +15, 1 ≤ n ≤ 3其中a n = ⎨-10n + 470, ， b n = n + 5 ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的 n ≥ 4 累计投放量与累计损失量的差.（1） 求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2） 已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量 S = -4(n - 46)2 + 8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆Γ : x 2 + 24= 1 ， A 为Γ 的上顶点， P 为Γ 上异于 上、下顶点的动点， M 为 x 正半轴上的动点.（1）若 P 在第一象限，且| OP | = ，求 P 的坐标；8 3 P ( , ) 5 5，若以 A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标；（3） 若| MA | = | MP | ，直线 AQ 与Γ 交于另一点 C ，且 AQ = 2 A C ， PQ = 4PM ，求直线 AQ 的方程.21. 设定义在 R 上的函数 f (x 1) ≤ f (x 2 ) .f (x ) 满足： 对于任意的 x 1 、 x 2 ∈ R ，当 x 1 < x 2 时， 都有（2）设（1）若f (x) =ax3+1，求a 的取值范围；（2）若f (x) 为周期函数，证明：f (x) 是常值函数；（3）设f (x) 恒大于零，g(x) 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是g(x) 的最大值.函数h(x) =f (x)g(x) .证明：“h(x) 是周期函数”的充要条件是“ f (x) 是常值函数”.6 2 2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 已知集合 A ={1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} ,则 AB = .【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题 【答案】{3, 4}2. 若排列数P m = 6⨯ 5⨯ 4 ,则m = . 【解析】本题考查排列的计算，属于基础题 【答案】3x -1 3. 不等式x> 1的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题 【答案】(-∞,0)4. 已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，4π R 3 = 36π ⇒ R = 3 ,3所以 S = π R 2 = 9π ，属于基础题【答案】9π5. 已知复数 z 满足 z +3 = 0 ，则 z = .z【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模， z + 3= 0 ⇒ z 2 = -3 设 z = a + bi ，z则 a 2- b 2+ 2abi = -3 ⇒ a = 0, b = ± 3i ,z =，属于基础题【答案】6. 设双曲线x - y 29 b 2= 1(b > 0) 的焦点为 F 1、F 2 , P 为该双曲线上的一点.若 PF 1= 5 ,则 a 2 + b 2 34 PF 2 = .【 解 析 】 本 题 考 查 双 曲 线 的 定 义 和 性 质 ，PF 1 - PF 2 = 2a = 6 （ 舍 ），PF 2 - PF 1 = 2a = 6 ⇒ PF 2 = 11【答案】117. 如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若 DB 1 的坐标为(4, 3, 2) ,则 AC 1 的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得 A (4，0，0)，C 1(0，3, 2) ⇒ AC 1 = (-4，3，2) ,属于基础题 【答案】(-4，3，2)8. 定义在(0, +∞) 上的函数 y =数，则 f -1(x )=2 的解为.⎧3x -1, x ≤ 0, f (x ) 的反函数 y = f -1(x ) .若 g (x ) = ⎨ ⎩ f (x ), x > 0 为奇函【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题x > 0, -x < 0, g (-x ) = 3-x -1 = -g (x ) ⇒ g (x ) = 1- 1 3x,所以 f (x ) = 1- 1,3x 当 x = 2 时， f (x ) = 8,所以 f 9(8) = 29 【答案】 x = 89119. 已知四个函数：① y = - x ；② y =-；③ y = x 3；④ y = x 2.从中任选 2 个，则事件“所x选 2 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有： C 2 = 6 种，符合题意的就两种：①和③，①和④-11 2 3 4 2 π nnnn1⎧ π ⎨ 1 【答案】310. 已知数列{a } 和{b } ,其中 a = n 2 , n ∈ N * ，{b } 的项是互不相等的正整数.若对于任意n ∈ N *，{b } 中的第 a 项等于{a } 中的第b 项，则 lg (b 1b 4b 9b 16 )= .nnn lg (b 1b 2b 3b 4 )【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得： b = a ⇒ b = (b )2 ⇒ b = b 2 , b = b 2 , b = b 2 ,b = b 2 ，a nb nn 2n1 1 42 93 16 4lg (b 1b 4b 9b 16 ) lg (b 1b 2b 3b 4 ) lg (bb b b )2lg (b 1b 2b 3b 4 )【答案】211. 设α1，α2 ∈ R ,且12 + sin α+2 + sin(2α = 2 ，则 10π - α)1 - α2的最小值等于. 12【解析】考查三角函数的性质和值域，1∈ ⎡1 ,1⎤，1 ∈ ⎡1 ,1⎤2 + sin α1 ⎢⎣3 ⎥⎦ 2 + sin(2α2 ) ⎢⎣3 ⎥⎦ ，要使 1 + 1 = 2 ⎧ 1 =1 ⎪ 2 + sin α1 则⎨ α1 = - + 2k 1⎪ , k , k ∈ Z 2 + sin α 2 + sin(2α ) 1 π 1 2 1 2 ，⎪ =1 ⎪ α = - + k π ⎪⎩ 2 + sin(2α2 )⎪⎩ 2 4 2 10π -α -α= 10π + 3π - (2k + k )π = π 当2k + k =11时成立 1 2 minπ4 1 2 min4 , 【答案】 412. 如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点 P 1, P 2 , P 3 , P 4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合Ω={P 1, P 2 , P 3 , P 4 } ，点 P ∈Ω .过 P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲” 的点分布在l P 的两侧.用 D 1 (l P ) 和 D 2 (l P ) 分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过 P 的直线l P 中有且只有一条满足 D 1 (l P )=D 2 (l P ) ，则Ω 中所有这样的 P 为.⇒ n所以 = =21 2⎩ ⎨【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。

数学试卷 第 6页（共 14页）
【解析】an n2 ，n N* ，若对于一切 n N* ，bn 中的第 an 项恒等于 an 中的第 bn 项，
可得 ban abn (bn )2 ．于是 b1 a1 1 ， (b2 )2 b4 ， (b3 )2 b9 ， (b4 )2 b16 .即可得出.
C2 : {(
x2 P,
Q
y2 1 9 )} ，P
．P 为 C1 上的
在 C1 上，Q 在 （）
A.2 个
B.4 个
C.8 个
D.无穷个
数学试卷 第 2页（共 14页）
三、解答题：本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分. 17.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为
故答案为： 9π ．
【考点】球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法。 5.【答案】 3 【解析】设 z a bi(a,b R) ，代入 z2 3 ，由复数相等的条件列式求得 a，b 的值得
答案．
数学试卷 第 5页（共 14页）
【考点】复数代数形式的乘除运算。 6.【答案】11 【解析】根据题意，由双曲线的方程可得 a 的值，结合双曲线的定义可得 || PF1 | | PF2 || 6 ，解可得 | PF2 | 的值，即可得答案． 【考点】双曲线的几何性质。 7.【答案】 (4,3, 2) 【解析】解：如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点， 过 D的 三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， ∵ DB1 的坐标为 (4,3, 2) ，∴ A(4,0,0) ， C1(0,3, 2) ， ∴ AC1 (4,3, 2) . 故答案为： (4,3, 2) ．