第11讲 电场的解法(2)

第11讲静电场的解法（2）上节回顾：1，平面镜像金属平面镜像介质平面镜像2，球面镜像镜像问题中的三个问题：●镜像电荷位于待求场域边界之外。

●将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。

导体平面镜像介质平面镜像场分布图aa导体球接地的镜像问题a—a导体球不接地的镜像问题一，柱面镜像法在讨论圆柱面的镜像问题之前，先分析线电荷的平面镜像问题，这一结果可用于导体柱的镜像问题。

例：线密度为l 的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平面前，二者相距d,如图所示，求电位及等位面方程。

(a) 导体平面与线电荷；(b) 等位线解：线密度为l ρ的无限长电荷产生的电位为：同理得镜像电荷的l ρ-电位： ++=r r n l 0012περϕ--=r r l 00ln 2περϕ任一点(x, y )的总电位：用直角坐标表示为 +--+=+=r r l ln 20περϕϕϕ22220)()(ln 4),(y d x y d x y x l +-++=περϕ等位线方程为22222)()(m y d x y d x =+-++2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m md y d m m x这个方程表示一簇圆，圆心在),(00y x ，半径是0R 。

其中：每一个给定的m (m >0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为0,11,12022020=-+=-=y d m m x m md R m l ln 20περϕ=例：两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是2d，如图示，求导体单位长的电容。

平行双导体解：设两个导体圆柱单位长带电分别为l ρ和l ρ-，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷l ρ和l ρ-代替，线电荷相距原点均为d ，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。

m am md+=-11222解得：a ab b m 222,1-±=a ab b n a b b ab b n m m Ul ll 2202222021021112)ln (ln 2-+=---+=-=-=περπερπερϕϕ当b>>a时，aabbnUC l221-+==περabnC21πε≈二，分离变量法分离变量法是数学物理方程中一种十分常用的方法，其基本思想是：（1）把求解偏微分方程的定解问题转化为求解常微分方程的问题，即把待求函数分离成三个坐标变量的函数之积，从而将偏微分方程转化为三个常微分方程，（2）再结合问题特定的边界条件，求出原问题的解。

用分离变量法求解静电场问题的依据是场的唯一性定理，因为分离变量后的解既满足微分方程，又满足边界条件，因此该解就是问题的真解。

使用分离变量法，选择合适的坐标系非常重要。

一般来讲，当边界（或其一部分）与某一坐标系的坐标面形状相同时，就应选择此种坐标系。

例如，边界面是平面时，选择直角坐标系；边界面是圆柱面时选择圆柱坐标系；而当边界曲面是球面时则应选择球坐标系。

下面研究电位的Laplace方程的分离变量解法。

1，直角坐标系中的分离变量法当边界面的形状适合选用直角坐标系时，需在直角坐标系中求解Laplace方程，此时，方程的形式为：0222222=∂∂+∂∂+∂∂z y x ϕϕϕ首先进行变量分离，即令()()()()z Z y Y x X z y x =,,ϕ，代入上式得：()()()()()()()()()0=''+''+''z Z y Y x X z Z y Y x X z Z y Y x X两边同除以()()()z Z y Y x X 得：()()()()()()0=''+''+''z Z z Z y Y y Y x X x X因此式中每一项都只是一个坐标变量的函数，要使上式成立，必须有各项均为常数，令：()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=''-=''-=''222zy x k z Z z Z k y Y y Y k x X x X得：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+c Z k dz Z d b Y k dy Y d a X k dx X d z y x 000222222222 其中x k 、y k 、z k 都是常数，称为分离常数，它们满足如下关系：0222=++z y x k k k可见三个分离常数只有两个是独立的，当其中两个确定后，第三个也就随之确定了。

此外，上式还表明，除非0x y z k k k ===，其中必有一个为实数，一个为虚数，第三个可能为实数也可能为虚数。

当其中某一个为0时，另两个必是一实一虚。

分离常数具体取何值应由边界条件确定，但不外乎以下三种情况：（1）等于0，（2）实数，（3）纯虚数。

分离常数取不同的值时，方程的解也有不同的形式。

以0222=+X k dx X d x 为例：(1) 当0=x k 时，上式变为022=dx X d ，则()00B x A x X +=(2) 当x k 为实数时，02>x k ，其通解为()x k B x k A e B e A x X x x xx jkx x jksin cos 1111'+'=+=-(3) 当x k 为虚数时，02<x k ，令()实数-±=±=x x x x k j j k ββ，则0222222=-=+X dx X d X k dx X d x x β其通解为()()()x sh B x ch A eB e A x X x x xx x x ββββ2222'+'=+=- ()y Y 、()z Z 解的情况与此类似。

如果是平行平面场问题, 则为二维场, 位函数仅是两个坐标(如x, y )的函数, 这时k z=0。

由于分离常数必须满足式：所以得 , 则有00222222=+=+Y k dyY d X k dx X d y x ,022=+yxk k 22yx kk -=通解的形式是或))(sincos())((),(kyshDkychCkxBkxAyDCxBAyx+++++=φ)sincos)(())((),(kyDkyCkxshBkxAchyDCxBAyx+++++=φ上式中, 在许多情况下, 为了满足边界条件, 分离常数要取一系列的值, 这时得到一个级数解, 如 ：在封闭平行平面场问题中, 则解为 ：))(sin cos ())((),(10000y k sh D y k ch C x k B xk A y D C x B A y x n n n n n n n n n +++++=∑∞=φ∑∞=++=1))(sin cos (),(n n n n n n n n n y k sh D y k ch C x k B x k A y x φ如果是三维场问题, 若 3 个分离常数都不等于零, 设 02>x k ,02>y k 即y x k k ,为正实数, 则2/122222)()(yxz yz z k k j k k k k +±=+-=则位函数的通解为：)||||)(cos sin ()cos sin (),(z k ch G z k sh F y k D y k C x k B x k A y x z z y y x x +++=φ下面举例说明分离变量法在求解静电场边值问题中的应用。

[例] 一无限长矩形槽，其四壁上电位满足图中所示边界条件，求槽内电位分布。

yzb0U =ϕ解：因为槽沿z 轴为无限长，且边界上边界条件沿z 轴无变化，故槽中电位与z 无关，仅为x 、y 的函数()y x ,φ，此问题可归纳为：()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤≤==-≤≤==-=∂∂+∂∂73.400,,00,63.400,,,054.3002222a x b x x b y y a U y y x φφφφφφ令()()()yYxXyx=,φ，代入（4.3-5）得：=''+''YYXX∴()()02=+''xXkxXx（4.3-8）()()02=+''yYkyYy（4.3-9）先解方程（4.3-9）（为何不先解（4.3-8）？因为由所给条件不能得出()xX的边界条件）由（4.3-7）得：()()00==bYY（4.3-10）根据此条件，只有当y k为非0实数时（4.3-9）有非0解，此时通解为：()y k B y k A y Y y y sin cos 11+=由（4.3-10）：()0001=→=A Y()()Λ,2,10==→=n bn k b Y y π()()Λ,2,1sin 1==n ybn B y Y n π（4.3-11）再解（4.3-8）：由022=+yx k k ，所以得到：b n jk b n k k x yxππ±=→⎪⎭⎫⎝⎛-=-=222∴（4.3-8）的通解为：()()Λ,2,111=+=-n eD eC x X x bn n x bn n ππ （4.3-12）()y b n eD e C x x bn n x bn n n πφππsin 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=-（4.3-13）由于方程（4.3-5）是线性的，故（4.3-13）的迭加仍为其解，故其通解为：()∑∞=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛'+'=111sin,nxbnnxbnnybneDeCy x πφππ（4.3-14）再利用边界条件（4.3-6）确定系数n C1'、n D1'∵()0,=yaφ∴abnnnabnnabnneDCeDeCπππ211110--'-='→='+'∴()()()∑∞=----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=11sin,nxabnxabnabnnybneeeDyxπφπππ()∑∞=--''=11sinnabnnybnxabnsheDπππ（4.3-15）n n D D 112'=''又∵()0,0U y =φ 即：11sin U y b n a b n sh e D n a bn n=⎪⎭⎫ ⎝⎛''∑∞=-πππ两边同乘以yb m πsin 并从0～b 积分，由三角函数正交性：⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛''-b b a bm m dy y b m U dy y b m a b m sh e D 00021sin sin ππππ即：()[]m a bm m m bU b a b m sh e D 11201--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛''-πππ()()⎪⎩⎪⎨⎧===ΛΛ6,4,205,3,120m m U m bπ∴ ()Λ5,3,1401==''m a bm sh m eU D a bm m πππ代入（4.3-15）得：()()∑∞=-=Λ5,3,10sin 4,n yb n x a b n sh a bn sh n U y x ππππφ分离变量法解的选取：在分离变量法求解静态场的边值问题时，根据边界条件来确定分离常数是实数，虚数或者零。