上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）方程22121x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______2、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）已知F 是椭圆C ：221204x y +=的右焦点，P 是C 上一点，A （-2，1），当△APF 周长最小时，其面积为______3、（2019届崇明区高三二模）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点(0,2)，则该椭圆的标准方程为4、（2019届黄浦区高三二模）椭圆2212x y +=的焦距长为5、（2019届闵行松江区高三二模）抛物线22y x =的准线方程为6、（2019届闵行松江区高三二模）过点(1,0)与双曲线2214x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7、（2019届浦东新区高三二模）焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程 为8、（2019届青浦区高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2214x y -=经过抛物线22y px=（0p >）的焦点，则p =9、（2019届杨浦区高三二模）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点(,0)A a -，(,0)B a ，动点P 满足||||PA PB λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为 10、（2019届宝山区高三二模）过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是___________11、（2019届宝山区高三二模）已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与双曲线的右支有两个交点，则（ ）A.||b k a >B.||b k a <C.||c k a >D.||c k a< 12、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间。

过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹为（ ） (A)圆的一部分(B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分(D)抛物线的一部分13、（2019届徐汇区高三二模）若2i +（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则圆锥曲线221x y m n+=的焦距是 14、（2019届徐汇区高三二模）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.3716 B. 115 C. 2 D. 7415、（宝山区2019届高三一模）设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，12F F 、是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-u u u u r u u u u r u u u u r的最小值为（ ）（A ） （B ）4 ． （C ） ． （D ）以上都不对．16、（崇明区2019届高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是17、（虹口区2019届高三一模）双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为 18、（普陀区2019届高三一模）若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =u r，则直线l 的方程为19、（青浦区2019届高三一模）长轴长为8，以抛物线212y x =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）A.2216455x y += B. 2216428x y += C. 2212516x y += D. 221167x y += 20、（杨浦区2019届高三一模）已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为21、（宝山区2018高三上期末）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线x y 22125144-=的右焦点是C 的焦点F ．若斜率为1-，且过F 的直线与C 交于A B ，两点，则AB = ． 22、（奉贤区2018高三上期末）设焦点为1F 、2F 的椭圆()013222>=+a y ax 上的一点P 也在抛物线x y 492=上，抛物线焦点为3F ，若16253=PF ，则21F PF ∆的面积为________.二、解答题1、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2 =2py （p ＞0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34，过定点D （0，p ）作直线与抛物线C 相交于A ，B 两点。

（1）求抛物线C 的方程；（2）若点N 是点D 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（3）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AD 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.2、（2019届黄浦区高三二模）双曲线222:1y x bΓ-=（0b >）.（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9， 求b 的值；（3）斜率为2的直线与Γ交于A 、B 两点，试根据常数b 的不同取值范围，求线段AB 中点的轨迹方程.3、（2019届闵行松江区高三二模）把半椭圆22122:1x y a bΓ+=（0x ≥）与圆弧2222:(1)x y a Γ-+=（0x <）合成的曲线称作“曲圆”，其中(1,0)F 为1Γ的右焦点，如图所示，1A 、2A 、1B 、2B 分别是“曲圆”与x 轴、y 轴的交点，已知1223B FB π∠=，过点F 且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P 、Q 两点（P 在x 轴的上方）.（1）求半椭圆1Γ和圆弧2Γ的方程；（2）当点P 、Q 分别在第一、第三象限时，求△1A PQ 的周长C 的取值范围； （3）若射线FP 绕点F 顺时针旋转2π交“曲圆”于点R ，请用θ表示P 、R 两点的坐标， 并求△FPR 的面积的最小值.4、（2019届青浦区高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意一点(,)P x y ，总存在一个点(,)Q x y ''满足关系式：:x xy yλϕμ'=⎧⎨'=⎩（0λ>，0μ>），则称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换ϕ，使得椭圆224936x y += 变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，△AOB （O 为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换:x xy y λϕμ'=⎧⎨'=⎩（0λ>，0μ>）得到△A O B '''，记△AOB 和△A O B '''的面积分别为S 与S '， 求证：S Sλμ'=； （3）若△EFG 的三个顶点都在椭圆22221x y a b+=（0a b >>），且椭圆中心恰好是△EFG的重心，求△EFG 的面积.5、（2019届宝山区高三二模）已知椭圆222:19x y bΓ+=的左右焦点为12,F F ，M 是椭圆上半部分的动点，连接M 和长轴的左右两个端点所得两直线交y 正半轴于A B ，两点（点A 在B 的上方或重合）．（1）当12M F F ∆面积12MF F S ∆最大时，求椭圆的方程； （2）当2b =B 是线段OA 的中点，求直线MA 的方程；（3）当1b =时，在x 轴上是否存在点P 使得PM PA ⋅u u u u r u u u r为定值，若存在，求P 点的坐标，若不存在，说明理由．6、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知椭圆Г:22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与椭圆Г相交于P 、Q （1）求1F PQ V 的周长（2）设点A 为椭圆Г的上顶点，点P 在第一象限，点M 在线段2AF 上，若1123F M F P =u u u u ru u ur ，求点P 的横坐标（3）设直线l 不平行于坐标轴，点R 为点P 关于x 轴对称点，直线QR 与x 轴交于点N 求2QF N V 面积的最大值7、（2019届普陀区高三二模）已知动直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两个不同的点，O 为坐标原点．（1）若直线l 过点（1，0），且原点到直线l 的距离为22，求直线l 的方程； （2）若△OPQ 的面积S △OPQ ＝22，求证：x 12+x 22和y 12+y 22均为定值； （3）椭圆C 上是否存在三点D 、E 、G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝22？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．8、（2019届徐汇区高三二模）2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，A 、B 两个 信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45°，机器猫在 直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚08v 秒 （注：信号每秒传播0v 米），在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在 位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机 器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？9、（松江区2019届高三一模）已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 的距离之和为22，直线l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求曲线Γ的方程；（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若OA OB ⊥，求△AOB 面积的取值范围.10、（徐汇区2019届高三一模）已知椭圆2222:1(0) x ya ba bΓ+=>>的长轴长为22，右顶点到左焦点的距离为21,+直线:l y kx m=+与椭圆Γ交于,A B两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A为椭圆的上顶点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆Γ于N，6ON OM=u u u r u u u u r,求k的值；（3）若原点O到直线l的距离为1，OA OBλ⋅=u u u r u u u r，当4556λ≤≤时，求OAB∆的面积S的范围.Oyx11、（杨浦区2019届高三一模）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线2:4C y x=上存在不同的两点A、B，满足PA、PB的中点均在抛物线C上.（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且(,)P PP x y，(,)M MM x y，证明：P My y=；（3）若P是曲线2214yx+=（0x<）上的动点，求△PAB面积的最小值.12、（宝山区2019届高三一模）已知椭圆Γ：2214xy+=的左、右焦点为12F F、．（1）求以1F 为焦点，原点为顶点的抛物线方程； （2）若椭圆Γ上点M 满足123F MF π∠=，求M 的纵坐标M y ；（3）设(0,1N ），若椭圆Γ上存在两个不同点,P Q 满足90PNQ ∠=o，证明直线PQ 过定点，并求该定点的坐标.13、（崇明区2019届高三一模）已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，△112B F B 是边长为4的等边三角形.（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线1PB 的一个方向向量是(1,1)时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；（3）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：△12PB B 与△12RB B 面积之比为定值.14、（浦东新区2019届高三一模）已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）.（1）若(2,3)d =u r是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若||1PA =，||5PB = ，||2PC =，||4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且12||4A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.15、（青浦区2019届高三一模）（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为4，渐近线方程为y =，求双曲线的标准方程；（2）过（1）中双曲线上一点P 的直线分别交两条渐近线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，且P 是线段AB 的中点，求证：12x x ⋅为常数； （3）我们知道函数1y x=图像是由双曲线221x y -=的图像逆时针旋转45°得到的，函数23y x x =+图像也是双曲线，请尝试写出双曲线23y x x=+的性质（不必证明）.16、（黄浦区2018高三二模）已知动点(,)M x y 到点(2,0)F 的距离为1d ，动点(,)M x y 到直线3x =的距离为2d，且12d d . (1)求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程； (2)过点F 作直线:(2)(0)l y k x k =-≠交曲线C 于P Q 、两点，若OPQ ∆的面积OPQ S ∆=(O 是坐标系原点)，求直线l 的方程.17、（静安区2018高三二模）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A .（1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.18、（青浦区2018高三二模）已知椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G H 、，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点()4,0．参考答案： 一、选择、填空题1、（0，13）2、43、22154x y +=4、25、12x =-6、D7、22154x y -= 8、4 9、22|1|a λλ- 10、28y x =- 11、【答案】A【解析】数形结合，与右支要有两个交点，说明斜率绝对值要大于渐近线斜率，选择A 12、C 13、6 14、C15、B 16、4 17、3 18、1y x =- 19、D 20、2π21、104 22、32参考答案： 二、解答题 1、⑴抛物线：的焦点，圆心在线段的垂直平分线， 抛物线的准线方程为 ，即抛物线的方程为⑵依题意可知点的坐标为 设，，设直线的方程为，直线方程与联立去可得：由韦达定理可得，，当时，面积有最小值⑶假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，将直线方程，代入可得，，设直线与以为直径的圆的交点为，则有令，即时，为定值则直线方程为12 y=2、（1）2214yx-=；3、（1）22143x y +=，0x ≥，22(1)4x y -+=，0x <；4、（1）3x x '=，2yy '=；5、【解析】（1）12221212211||||2222MF F M F F b c a S y b bc F F ∆+=⋅⋅≤⋅⋅=≤=，当且仅当b c =时等号成立；则：222922a b c ===，此时椭圆方程为：221992x y +=；（2）点M 在y 轴或其左侧，则图形如本题图，设00(,)M x y ，那么：00:(3)3MA y l y x x =++，00:(3)3MB yl y x x =--，令0y =得：0000330,,0,33y y A B x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭； B 是线段OA 的中点，则：000033233y y x x -=⋅+-，解得：01x =-，则4(1,)3M -，则：2:(3)3MA l y x =+，即：2360x y -+=；（3）22:19x y Γ+=，设(,0)P m ，00(,)M x y 若同（2）点M 在y 轴左侧，则0030,3y A x ⎛⎫⎪+⎝⎭，00003(,),(,)3y PM x m y PA m x =-=-+u u u u r u u u r2200000000(3(3)(3)11))()133(33y x x m x m m x m m x m x PM P x A +---+=--+⋅=-+⋅=++++u u u u r u u u r ，使其与0x 取值无关，则13m =-，109PM PA ⋅=u u u ur u u u r ；综上，故存在点0()1,3P -使得PM PA ⋅u u u u r u u u r 为定值.6、7、解：（1）设直线方程为x ＝my +1，∵原点到直线l 的距离为22，∴d ＝21m ＝22， 解得m ＝±1时，此时直线方程为x ±y ﹣1＝0，（2）1°当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称， 所以x 1＝x 2，y 1＝﹣y 2，∵P （x 1，y 1）在椭圆上，∴212x +y 12＝1 ①又∵S △OPQ ＝2， ∴|x 1||y 1|＝22② 由①②得|x 1|＝1，|y 1|＝22．此时x 12+x 22＝2，y 12+y 22＝1； 2°当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），将其代入22x +y 2＝1得 （2k 2+1）x 2+4kmx +2（m 2﹣1）＝0，△＝16k 2m 2﹣8（2k 2+1）（m 2﹣1）＞0 即2k 2+1＞m 2，整理得2k 2+1＝2m 2，综上所述x 12+x 22＝2，y 12+y 22＝1．结论成立．（3）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝22， 证明：假设存在D （u ，v ），E （x 1，y 1），G （x 2，y 2），使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝22由（2）得u 2+x 12＝2，u 2+x 22＝2，x 12+x 22＝2；v 2+y 12＝1，v 2+y 22＝1，y 12+y 22＝1 解得u 2＝x 12＝x 22＝1；v 2＝y 12＝y 22＝12． 因此u ，x 1，x 2只能从±1中选取， v ，y 1，y 2只能从±22中选取， 因此点D ，E ，G ，只能在（±1，±）这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝22矛盾． 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G ． 8、9、解：（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆， …………1分设其标准方程为22221x y a b+=，则有2,1a c ==，所以2221b a c =-=，∴2212x y += …………4分 （2）证明：设直线l 的方程为(0,0)y kx b k b =+≠≠， ……………………5分 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y则由2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得222()2x kx b ++=，即222(12)4220k x kbx b +++-=∴122412kb x x k +=-+，∴12022212x x kb x k+==-+ ……………………8分 2002221212k b by kx b b k k=+=-+=++，0012OM y k x k==-， ……………………9分 ∴直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积=1122OM k k k k ⋅=-⋅=-为定值 …………10分 （3）解法一：设1122(,),(,)A x y B x y则由OA OB ⊥知，12120x x y y +=，即1212x x y y =-，∴22221212x x y y = ………11分AOB S ∆==………12分 因A 、B 两点在椭圆上，有221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 也即 22221122(2)(2)4x y x y ++= 得222222122112522x y x y x x +=-∴AOB S ∆= …………………13分 又由221122221212x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 得2222222222121212121211(1)(1)1()2224x x y y x x x x x x =--=-++=∴22221212122()434x x x x x x +=-≥ ∴ 2212409x x ≤≤…………………15分∴2[,32AOB S ∆= …………………………………………16分 解法二：当直线OA 、OB 分别与坐标轴重合时，易知AOB ∆的面积2AOB S ∆=，…11分 当直线OA 、OB 的斜率均存在且不为零时，设直线OA 、OB 的方程为：y kx =、 1y x k=-， 点1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22222x k x +=，∴212221x k =+，代入y kx = 得2212221k y k =+ …………………………………12分同理可得222222k x k =+，22222y k =+∴12AOBS OA OB ∆=⋅=…………………………………………13分 令21t k =+，[1,)t ∈+∞，则12AOBS OA OB ∆=⋅===………14分 由[1,)t ∈+∞知2[,32AOB S ∆∈ …………………………………………15分 综上可知， 2[,]32AOB S ∆∈ …………………………………………16分10、解：（1）Q 2a =a ∴= ……………….1分又Q 1a c +=，1,c ∴= ……………….2分222a b c =+Q1b ∴= ……………….3分故椭圆Γ方程为2212x y += ……………….4分（2）Q y kx m =+过(0,1)A ，1m ∴=22221(12)4012y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，222412,11212B B B k k x y kx k k --∴==+=++ 222412(,)1212k k B k k --∴++，则2221(,)1212k M k k -++ ……………….6分ON =u u u r u u u u r Q ,∴22(,)122(12)N k k -++,代入椭圆Γ方程， ……………….8分得428210k k +-=，即22(41)(21)0k k -+=，所以12k =±……………….10分 （3）Q 原点O 到直线l 的距离为1，2211m k =⇒=+ ……………….12分设11221212(,),(,),A x y B x y OA OB x x y y λ∴⋅=+=u u u r u u u r联立22222(12)4220(*)12y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 22222164(12)(22)800k m k m k k ∆=-+-=>⇒≠由(*)式知，2121222422,1212km m x x x x k k--+=⋅=++ 2212121212()()(1)()x x kx m kx m k x x km x x m λ∴=+++=++++222222223223(1)22145,12121256m k k k k k k k --+--+⎡⎤===∈⎢⎥+++⎣⎦，得211,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦……14分12AB x x =-====1OABS ∆∴==……………….15分 令2213512,,,223t k t k t -⎡⎤+=∴=∈⎢⎥⎣⎦65AOBS ∆∴==⎢⎣⎦……………….16分11、解：（1）焦点到准线的距离2； ……4分 （2）设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,24)2(,4121121P Px x y y x y ……6分 整理得，0822121=-+-P P P y x y y y ，同理，0822222=-+-P P P y x y y y ， ……8分 所以，21,y y 是关于y 的方程08222=-+-P P P y x y y y 的两根，故M 的纵坐标为P y y y =+221，即M P y y =； ……9分（3）若直线x AB ⊥轴，则M 的纵坐标为0， 因此，)0,1(-P ，则B A ,两点的纵坐标满足082=-y ，22±=y故)22,2(),22,2(-B A ，2624321=⨯⨯=∆PAB S ； ……10分若直线AB 的斜率存在，方程为)(121211x x x x y y y y ---=-，即121222121)41()(41y y x y y y y y +---=，整理得，2121214y y y y x y y y +++=，将⎩⎨⎧-==+,8,222121P P P y x y y y y y 代入得，直线P PP P y y x x y y AB 282:2-+=， ……12分 故)4)(4(2)4(841||41||2222212P P P P P P P x y y x y y y y y AB -+=-⨯+=-+=， 而点P 到直线AB 的距离为4|4|2341|282|2222+-=+--+=P P P PP PP P P P y y x y y y y x x y h ， ……14分 故232)4(423||21P P PABx y h AB S -=⨯=∆，而)0(1422<=+P PPx y x ，故232232])12(5[423)444(423+-=+--=∆P P P PABx x x S ， ……15分由(1,0)P x ∈-得，2444(4,5]P P x x --+∈，4PAB S ∆∈ 综上，PAB ∆的面积的最小值为26. ……16分12、解：（1）因为2223c a b =-=，所以1(F，p =2分所以抛物线的标准方程是2y =-.…………………………………………4分（2）设12,MF m MF n ==，由椭圆性质得4m n +=， 又123F MF π∠=，所以在12F MF ∆中，2221222124cos 122m n m n F F F MF m n mn mn +=⎧⎪⎨+-∠=⇒+=+⎪⎩，……………………6分化简得：1241sin 3233F MF mn S mn π∆=⇒==，…………………………8分又12121123F MF M M M S F F y y y ∆=⋅=⇒=，……………………………9分 所以：13M y =±.………………………………………………………………10分（3）设:PQ l y kx b =+，由题可知k 必存在，()2222211484404x y k x kbx b y kx b ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，……………………………11分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,得0NP NQ ⋅=u u u r u u u r，即()()()221212121211(1)1()210x x y y k x x kb x x b b +--=++-++-+=（*）……13分由于12221228144414kb x x k b x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入（*）式得25230b b --=，………………………15分解得1b =（舍）或35-，所以定点为30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.…………………………………16分13、解：（1）221164x y +=………………………………………4分 （2）由题意，得：直线1PB 的方程为2y x =+…………………………………1分由2221164y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：21121605,265x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩…………………………………3分 故所求圆的圆心为84(,)55-，半径为825………………………………………4分 所以所求圆的方程为：2284128()()5525x y ++-=………………………………………5分（3） 设直线12PB PB ，的斜率分别为,'k k ，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为(2)0x k y +-=．将2y kx =+代入221164y x +=，得()2241160k x kx ++=， 因为P 是椭圆上异于点12B B ，的点，所以P x =21641k k -+．……………3分 所以21'4P P y k x k+==- …………………………………4分 由22RB PB ⊥，所以直线2RB 的方程为42y kx =-．由(2)042x k y y kx +-=⎧⎨=-⎩ ，得2441R k x k =+． …………………………………6分 所以121220216414441PB B RB B R k S x k S x kk ∆∆-+===+． …………………………………7分 14、解：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为： 即0bx ay ±=，所以3b a =，…………2分从而tan22θ=，22tan 2tan 1tan2θθθ==-，所以arctan θ=……………………………..4分 （2）设 (,)P P P x y ，则由条件知：11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=，11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=，即(3,1)P ．…………6分 所以(2,1)A ，(3,3)C ，………………………………7分代入双曲线方程知：2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a ……9分 127527822=-y x ……………………………………………….. 10分 （3）因为124A A =，所以2a =，由（1）知，b =Γ的方程为: 22143x y -=， 令00(,)C x y ，所以2200143x y -=，010:(2)2y CA y x x =++，令1x =，所以003(1,)2y M x +， 020:(2)2y CA y x x =--，令1x =，所以00(1,)2y N x --， …………12分 故以MN 为直径的圆的方程为：200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-， 即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-，即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+，…………………………….14分 若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-……………………………16分15、解：（1）242a a =⇒=，又双曲线的渐近线方程为y =，所以bb a=⇒= 双曲线的标准方程是221412x y -=． （2）法一：由题不妨设11()A x，22(,)B x ，则12(2x x P +， 由P 在双曲线上，代入双曲线方程得124x x ⋅=；法二：当直线AB 的斜率不存在时，显然2x =±，此时124x x ⋅=； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB的方程为(0,y kx t k k =+≠≠则由y kx tA y =+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩同理y kx tB y =+⎛⎧⎪⇒⎨=⎪⎩ 此时223,33kt t P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭代入双曲线方程得224(3)t k =-，所以212243t x x k ⋅==- （3）①对称中心：原点；对称轴方程：,3y y x ==-②顶点坐标：322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；焦点坐标：(，(1,-实轴长：2a =、虚轴长：22b =、焦距：24c =③范围：()0,,x y ≠∈-∞+∞U④渐近线：0,3x y x ==16、解 (1)结合题意，可得12|3|d d x ==-.又123d d == 22162x y +=. 因此，所求动点(,)M x y 的轨迹C 的方程是22162x y +=. (2) 联立方程组221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=.设点1122(,)(,)P x y Q x y 、，则2122212212,13126,130.k x x k k x x k ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩于是，弦||PQ ==， 点O 到直线l的距离d =.由OPQS ∆= 42210k k -+=，解得1k =±，且满足0∆>，即1k =±都符合题意. 因此，所求直线的方程为2020x y x y --=+-=或.17、解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，……1分由已知有212,2a a b ==， ……2分所以椭圆方程为：221369x y +=， …… 3分圆心(,2)k A k - ……5分所以，△12k A F F的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= ……6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．……14分18、解：（1）因为椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =又长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =⇒=，所以椭圆方程2214x y +=；（2）解一：设直线GH 的方程为(1)y k x =- ,点1122,,x y x y G （）,H() 则11,x y '-G (）联立方程组222222(1)(14)844044y k x y k x k x k x y =-⎧+-+-=⎨+=⎩消去可得 由韦达定理可得22121222844,,1414k k x x x x k k -+==++直线211121(),y y y y x x x x ++=--，G H ：211212211121214()4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+---当时，222212122121844[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯-+--++=--2222214088[8]1414==0k k k k k x x ---++-所以直线则H 'G 过定点（4,0）。