：中点四边形

《中点四边形》说课稿彭公中学王小静各位领导，老师：大家好！今天我讲课的题目是《中点四边形》。

以下我将从六个方面说给大家听。

一、说教材：（一）教材内容：《中点四边形》是北师大版教科书九年级上册第三章第二节内容，也是证明部分最后一节内容，是在学生已经掌握了平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等基本四边形的性质及判定和三角形中位线的基础上学习的。

因此，学生已经具备了一定的分析和解决问题的能力。

它在初中数学中起着比较重要的作用，通过本节课的学习，准备使学生从感性到理性形成一个飞跃。

（二）教学目标：根据新课程标准关于数学目标设计的基本理念，在分析课标和教材的基础上，我把本节课的教学目标划分为以下三个方面：知识与技能、过程与方法、情感与态度观。

具体说来：1、知识与技能：（1）学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；（2）感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置关系与数量关系；（3）通过图形变换使学生掌握简单添加辅助线的方法。

2、过程与方法：（1）培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；（2）通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律的分析，渗透辩证唯物主义观点，使学生领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。

3、情感态度与价值观：通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。

（三）教学重难点：根据数学课程标准对本学段这部分知识的建议，我把本节课的教学重点确定为确定中点四边形形状的探究。

难点是探索出中点四边形为特殊平行四边形的决定因素。

二、说教学方法：根据学生以往的学习经验，及九年级学生思维的感官性，所以本节课安排由学生通过实际操作去探索中点图的特征。

也为使课堂生动、有趣、高效，准备将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中，并准备通过实验观察，启发式教学法和师生互动式教学模式进行教学，教学中，最大限度的调动学生学习的积极性和主动性，以利于最优化的达到教学目的。

重难点专项突破：中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米B．11米C．10米D．9米【答案】A【解析】∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，∴EF 、FG 、GH 、HE 分别为△ABC 、△BCD 、△CDA 、△ABD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝112（米），FG ＝12BD ＝92（米），HG ＝12AC ＝112（米）， HE ＝12BD ＝92（米），∴四边形EFGH 总长度＝EF +FG +GH +HE ＝20（米）， 故选：A ．【变式1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（ ）A ．18B ．36C ．48D ．64【答案】D【解析】连接EF 、FG 、GH 、EH ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴11//,//,,22EF AC HG AC EF AC FG BD ==，∴//EF HG ，同理//EH FG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC BD =，∴EF FG =，∴平行四边形 EFGH 为菱形， ∴EG FH ⊥，2EG OG =，2FH OH =，()2222222221(2)(2)4448642EG FH OE OH OE OH EH BD ⎛⎫+=+=+==⨯== ⎪⎝⎭故选：D ．【变式2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）cm ．A ．20B ．C ．D ．25【答案】A 【解析】连接BD ，∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线， ∴HG=12AC=5cm ，同理EF=5cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm ， ∵H 、E 是AD 与AB 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH=12BD=5cm ，同理FG=5cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ． 故选A ．【变式3】如图，点O 为四边形ABCD 内任意一点，E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．不能确定【答案】C【解析】∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF 是△AOB 的中位线，∴EF=12AB=3， 同理可得：FG=12BC=5，HG=12DC=6，EH=12AD=4，∴四边形EFGH 的周长为=3+5+6+4=18， 故选C ．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，若△EFG 的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】记△BEF ,△DGH ,△CFG ,△AEH 的面积分别为1234,,,S S S S ，四边形ABCD 的面积为S .连接AC .∵BF =CF ，BE =AE ，CG =DG ，AH =DH ，∴EF ∥AC ,1,2EF AC =GH ∥AC ,12GH AC =，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴S 平行四边形EFGH =2S △EFG =8，∵△BEF ∽△BAC ，∴11,4S S ABC =同理可得214S S ACD ，= ∴1211()44ABC ACD S S S S S +=+=， 同法可得3414S S S +=，∴123412S S S S S ，+++= ∴S 四边形EFGH =12S ， ∴S =2S 四边形EFGH =16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（ ） A ．矩形 B ，菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3=S 2+S 4；（4 【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 如图，四边形ACBD 中，对角线AB ⊥CD ，即为“和美四边形”， 点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AD 、BD 、BC 的中点， ∴EF ∥CD ∥HG ，且EF=HG=12CD ，EH ∥FG ∥AB ，且EH=FG=12AB ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形；故选：A ．（3）连接AC 和BD ，由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， 又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴△AOE 的面积=△BOE 的面积，△BOF 的面积=△COF 的面积，△COG 的面积=△DOG 的面积，△DOH 的面积=△AOH 的面积，∴S 1+S 3=△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积=S 2+S 4；（4）如图，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ， ∵在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2=DC 2-CO 2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=AB 2+DC 2-BC 2=42+52-22=37，即可得AD =．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵AC=8，∴EF=4，同理，HE ∥BD ，HE=1BD 32=， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥AC ，∵EF ∥AC ，∴EF ⊥HE ，∴四边形EFGH 是矩形， ∴矩形EFGH 的面积=HE ×EF=12． 故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）A ．162n−B ．182n − C ．412n −−D ．不确定【答案】B【解析】∵四边形A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴A 1B 1∥AC ，A 1B 112=AC ，∴△BA 1B 1∽△BAC ．∴△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即14． 即1114BA B S=S △ABC ，同理可证：1114DD C S =S △ADC ， 1114AD A S =S △ABD ，S △CB 1C 114=S △BDC ，∴111112A B C D S =四边形S 四边形ABCD ，同法可证2222111112A B C D A B C D S S =四边形四边形，又四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝4，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积是16．∴四边形A n B n ∁n D n 的面积116822n n −==．故选：B ．【变式1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C，3D ……以此类推，取11n n A B −−，11n n B C −−，11n n C D −−，11n n D A −−的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111D C B A 的面积是__________； ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________． 【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n − 【解析】（1）四边形1111D C B A 是矩形，证明：∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点， ∴11A B AC ，11C D AC ，∴1111A B C D ，同理可得1111A D B C ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，易得1111A B B C ⊥，∴四边形1111D C B A 是矩形； （2）①由题意可知：A 1B 1=12AC=3，A 1D 1=12BD=5，四边形1111D C B A 的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A 2D 2=B 2C 2=12B 1D 1=12C 2D 2=B 2A 2=12A 1C 1=12可知四边形2222A B C D 为菱形，∴2222A B C D S =222212A C B D ⨯=111112A B B C ⨯=152；同理可求：3333A B C D S =154，4444A B C D S =158，…，n n n n A B C D S =1152n −，故当四边形n n n n A B C D 的面积为1516时，1152n −=1516，解得：n=5；③由②可知：用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积为1152n −.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n −题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。

“中点四边形”教学设计作者：徐峰来源：《科技资讯》 2011年第7期徐峰(苏州市草桥中学苏州 215000)摘要:中点四边形的探究能有效地将特殊四边形的性质、判定及三角形的中位线性质等知识点有机结合,不但是对原有知识的补充和整理,也进一步提升了学生的探究学习能力。

通过中点四边形形状的探究,将四边形的问题转化为三角形的问题,让学生体会“转化”的数学思想;通过对中点四边形形状的决定因素的探究,让学生体会“一般到特殊”问题研究方法。

在研究学习中加深对旧知识的理解,培养对新知识的学习兴趣,提高数学学习的主动性和积极性。

关键词:中点四边形对角线数量与位置关系转化一般到特殊中图分类号:G623 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)03(a)-0196-021 教学内容苏科版数学八年级上册第三章“中心对称图形”小结与思考。

2 教材及学情分析本课是在学生学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定及三角形中位线的性质后设置的一节探究专题课。

由于这些特殊四边形的性质和判定比较多,既有“共性”又有“个性”,所以同学们在具体运用时存在一定混淆,对利用中点添加辅助线构造中位线已有初步经验,但还未能运用自如。

本课的教学内容不仅复习了这些内容,而且也是对这部分内容的再应用与整合提高,可进一步理清这些知识点间的内在联系。

在提高学生思维水平的同时培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

3 教学目标3.1 知识目标理解中点四边形的概念和决定中点四边形形状的因素,体会中点四边形的周长、面积与原四边形的关系。

3.2 能力目标通过对中点四边形的探究,渗透从“一般—特殊—一般”的问题研究方法,感受探究过程中所体现的转化、类比的数学思想,提高学生探究能力。

3.3 情感目标通过情境设置、动手操作、观察猜想,学会自主探索、多角度地考虑问题,培养积极探索、勇于创新的精神。

4 教学重点、难点(1)教学重点:根据原四边形对角线的关系探究中点四边形的形状。

设计意图：采用直观的形式，引导学生发现总结未知图形特点，直接给出定义。

并给出充分的时间，让学生理解。

2、小组探究：中点四边形的形状操作几何画板，让学生观察，同时思考证明方法。

学生分析，并给出结论：中点四边形是平行四边形。

引导学生经历定理“操作----观察---猜测----证明”的得出过程。

板书：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形。

引导学生分析命题的条件和结论部分，并学习将文字语言转化成为符号语言与图形语言。

教师板书过程：已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.选出小组代表对本组的发现、以及论证进行展示。

学生总结出所得的结论：顺次连接任意四边形的四边中点得到一个平行四边形。

方法一：连接一条对角线，根据判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

方法二：连接两条对角线;根据判定定理：两组学生认真观察、畅所欲言表达自己的发现。

学生经历定理的得出过程，并感受数学三种语言之间的相互转化。

选择不同层次的学生口述证明过程，并让不同学生展现不同的证明方法，发展学生的逻辑思维能力。

教师总结归纳。

对边分别相等（平行）的四边形是平行四边形。

设计意图：通过几何画板的动态演示效果，强化学生对图形化换中各种关系的理解。

通过活动经历定理的得出过程，体验数学的严谨性。

经历数学三种语言的自由转化过程，能准确无误分析命题的条件和结论部分，能用正确的数学符号语言转化成已知和求证，并准确画出图形。

锻炼学生的课堂语言表达能力，增强学生思维的逻辑性。

3、如果顺次连接特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）各边中点所构成的中点四边形是什么图形?结合几何画板观察，小组合作探究。

一般四边形的中点四边形都是________平行四边形的中点四边形是__________矩形的中点四边形是________________菱形的中点四边形是________________正方形的中点四边形是______________设计意图：在上一个环节中，学生已经具备了证明一般中点四边形的方法。