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高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程练习 新人教B版必修2

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A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29
B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
答案：B
解析：圆心在线段AB的中点(1，－3)，半径为 ＝ ＝ ，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B.
4．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()
2．点与圆的位置关系的判定方法
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为A(a，b)，半径为r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.反之也成立．
2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是()
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
答案：C
解析：方程(x－a)2＋(y－b)2＝0，解得 ，因此它只表示一个点(a，b)，故选C.
3．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()
9．若实数x、y满足(x＋பைடு நூலகம்)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是________．
答案：1
解析：已知x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，因此点(x，y)在圆(x＋5)2＋(y－12)2＝142上，x2＋y2表示点(x，y)与原点距离的平方．因为(0＋5)2＋(0－12)2＝132＜142，所以原点在圆的内部，所以原点到圆上点的距离的最小值为14－ ＝14－13＝1，所以x2＋y2的最小值为1.
三、解答题
10．(12分)求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
解：设圆心为(a,0)，
则 ＝ ，所以a＝－2.
半径r＝ ＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
11．(13分)已知圆C经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求圆C的方程．
解方程组得 或
于是r2＝2b2＝2.
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝ ＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．
答案：5＋
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为 ＋5＝5＋ .
A．在圆内B．在圆上
C．在圆外D．不确定
答案：C
解析：∵m2＋52＝25＋m2≥25＞24，∴点P在圆外．
5．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：D
解析：由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意，得 ，解得
所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
能力提升
12．(5分)直线l：3x－4y＋24＝0与x轴、y轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的外接圆和内切圆的方程．
解：如图所示，通过画图发现△AOB为直角三角形，于是它的外接圆是以AB为直径的圆，内切圆的圆心为(－r，r)(r＞0)．在方程3x－4y＋24＝0中，令y＝0，得x＝－8；令x＝0，得y＝6.故A、B两点的坐标分别为(－8,0)，(0,6)．因为△AOB为直角三角形，故其外接圆的圆心为AB的中点(－4,3)，且直径|AB|＝10，故半径长为5.于是△AOB外接圆的方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝25.内切圆的半径r＝ (|OA|＋|OB|－|AB|)＝ (8＋6－10)＝2，故其圆心坐标为(－2,2)．于是△AOB内切圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4.
13．(15分)已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长之比是3：1.③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为 ，求这个圆的方程．
解：设所求圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得弦长为 r，故r2＝2b2，又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，从而有2b2－a2＝1.又因为圆心到直线l：x－2y＝0的距离为 ，∴d＝ ＝ .即|a－2b|＝1，解得a－2b＝±1，由此有 或
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)
1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为()
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
答案：C
解析：由圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，易知答案为C.
第23课时2.3.1圆的标准方程
课时目标
1.掌握圆的标准方程及其推导方法．
2．会判断点与圆的位置关系．
3．会用待定系数法求圆的标准方程．
识记强化
1．圆的标准方程：若圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；特别地，如果圆心在坐标原点，圆的标准方程就是x2＋y2＝r2.
6．已知点P(2,5)，M为圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4上任一点，则PM的最大值为()
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：A
解析：把动点最值问题转化为两定点距离问题，PM的最大值转化为P到圆心的距离加上半径长．
|PM|max＝ ＋2＝7.
二、填空题(每个5分，共15分)
7．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为________．

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全国2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程练习新人教B版

全国2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程练习新人教B版

2.3.2 圆的一般方程1曲线x2+y2+2x-2y=0关于()A.直线x=2对称B.直线y=-x对称C.点(-2,2)中心对称D.点(-2,0)中心对称(x+)2+(y-)2=4.圆心(-)在直线y=-x上,故圆关于直线y=-x对称.故选B.2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是()A.-1B.2C.-1或2D.1可得a=-1或a=2(舍).3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-xy=kx,因为圆心(-2,0)到直线kx-y=0的距离等于圆的半径1,所以=1,解得k=±.又因为切点在第三象限,所以k=-舍去.所以所求直线的方程为y=x.4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),则代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36B.18C.6D.52+y2-4x-4y-10=0⇒(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为3.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为=5,由数形结合思想可得:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为2,最大值为8,故所求距离之差为6.6已知A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点()A.共线B.不共面C.共圆D.不共圆A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得所以经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,将点D(4,3)的坐标代入上述方程有42+32-2×4+2×3-23=0,所以点D在此圆上,故A,B,C,D四点共圆.7已知A(-2,0),B (0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最大值为()A.3-B.4-C.D.3+ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为,即C到AB的距离的最大值为+1,故△ABC的面积的最大值为×|AB|×=3+.8设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是.AB与点P和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得.4=09圆x2+y2-2x-K2+2K-2=0的面积的最小值是.(x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为,圆的面积S=π()2=(K2-2K+3)π=[(K-1)2+2]π,故当K=1时,圆的面积最小,最小值为2π.π10判断下列方程表示什么图形.(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x-2y-3=0;(3)x2+y2+2ax+2by=0.因为x2+y2=0,所以x=0,且y=0.即方程表示一个点(0,0).(2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,即方程表示圆心为(1,1),半径为的圆.(3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2,当a=b=0时,方程表示一个点(0,0);当a2+b2≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为的圆.11已知过点M(-1,1)的直线l被圆C:x2+y2-2x+2y-14=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.C的坐标为(1,-1),半径为4,因为直线l被圆C所截得的弦长为4,所以圆心C到直线l的距离为2.(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,此时点C到l的距离为2,可求得弦长为4,符合题意.(2)若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,因为圆心C到直线l的距离为2,所以=2,所以k2+2k+1=k2+1,所以k=0,所以直线l的方程为y=1.综上(1)(2)可得:直线l的方程为x=-1或y=1.★12某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度AB是16 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出.AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-8,0),(8,0),(0,4),设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵点A,B,P在所求的圆上,则代入坐标得解得∴圆拱所在的圆的方程为x2+y2+12y-64=0.将点P2的横坐标x=2代入圆的方程,解得y1=-6-4(舍)或y2=-6+4.答:支柱A2P2的长为(4-6) m.。

人教B版高中数学必修二《第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程》4

人教B版高中数学必修二《第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程》4

圆的一般方程【学习目标】1.认识二元二次方程、圆的标准方程与圆的一般方程之间的关系(要点)．2.理解圆的一般方程及其特色，会用待定系数法求圆的方程，并能把圆的一般方程转变成标准方程(要点、难点)．3.掌握二元二次方程表示圆的条件，并会应用坐标法求动点的轨迹(方程)(难点、易错点)．【预习案】一、知识梳理1．圆的一般方程的观点当______________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的圆的圆心为_____，半径长___．温馨提示假如x2，y2的系数相等，且是不为1的非零常数，只要在方程的两边同除以这个数，系数便可变成1.试试练习1．思虑判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1 )圆的一般方程能够化为圆的标准方程．() (2 )二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0必定是某个圆的方程．() (3 )方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则E≠0.()．圆x 2＋y2＋4x －6y －＝的圆心和半径分别为()23A．(4，－6)，r＝16B．(2，－3)，r＝4C．(－2，3)，r＝4D．(2，－3)，r＝163．假如方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线对于y＝x对称，则必有()A．D＝EB．D＝FC．F＝E D．D＝E＝F4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．5．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是________．【研究案】一、合作研究（圆的一般方程的观点）例1以下方程可否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)x2＋2y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋3x＋5y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y ＋10＝0；2 2(4)－2x－2y＋10y＝0.[变式训练]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．(1)务实数m的取值范围；(2)求圆心坐标和半径．二、拓展研究（求圆的方程）例2(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程；求过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，1)的圆的方程．[变式训练]求经过点A(1，5)和B(2，－22)，且圆心在x轴上的圆的方程．三、深层研究（求与圆相关的动点的轨迹(方程)例3等腰三角形的极点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[变式训练]已知点(1，3)和圆x2＋y2＝10，以A为中点引线段1，其一端点1沿已知圆A MM M做圆周运动，求另一端点M的轨迹方程和轨迹．【训练案】一、选择题1.若直线l：ax－by＋1＝0均分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长,则a＋2b的值为() .A．1B．－1C．4D．－42．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为2，则a的值为() 2A．－2或2B.1或3C．2或0D．－2或0 223．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的图形是()A．一个圆B．只有当a＝0时，才能表示一个圆C．一个点D．a，b不全为0时，才能表示一个圆4．若圆O：x2＋y2＝4和圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0对于直线l 对称，则直线l的方程是()A．x＋y＝0B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝D．x－y＋2＝05．若点M(3，0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3，0)的最长的弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝0二、填空题6．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．7．已知点P是圆C：x 2＋y2＋4x＋ay－5＝0上随意一点，P点对于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆8．已知圆C上，则实数a＝________．2 2 2x＋y＋kx＋2y＝－k，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．三、解答题9．求经过两点P(－2，4)，Q(3，－1)，而且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．10．若A(5，0)、B(－1，0)、C(－3，3)三点的外接圆为⊙M，点D(m，3)在⊙M上，求的值．能力提高1．若直线l：ax＋by＋1＝0一直均分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()B．5C．25D．102．由方程2212所确立的圆中，最大面积是________．x＋y＋x＋(m－1)y＋m＝023．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．。

高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.3知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.3知识点总结含同步练习题及答案


4 时，直线与圆相切； 3 4 当 d < 2，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 d > 2，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
法二：（代数法） 将 y = mx − m − 1 代入圆的方程，化简并整理，得
(1 + m 2 )x2 − 2(m 2 + 2m + 2)x + m 2 + 4m + 4 = 0.
1. 当D 2 + E 2 − 4F > 0 时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出②表示以(− 圆心，
1 − − − − − − − − − − − − √D 2 + E 2 − 4F 为半径长的圆； 2 D E 2. 当D 2 + E 2 − 4F = 0 时，方程②只有实数解x = − ，y = − ，它表示一个点 2 2 D E (− , − )； 2 2 3. 当D 2 + E 2 − 4F < 0 时，方程②没有实数解，它不表示任何图形．
− − − − − − − − − −− − − − −
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⋯ ⋯ ①，若点M (x, y)在圆上，有上述可知，点M 的坐标适合方程 ①；反之，若点M (x, y)的坐标适合方程①，这说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为 A 半径为 r 的圆上．我们把方程①称为以A(a, b)为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程（standard
所以 △ABC 的外接圆方程为 x 2 + y 2 − 4x − 2y − 20 = 0 ． 光线从点 A(−1, 1) 发出，经过 x 轴反射到圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 上，则光线经过的 最短路程是______． 解：4 ． 点 A(−1, 1) 关于 x 轴的对称点为 A ′ (−1, −1) ，圆 C ：(x − 2)2 + (y − 3)2 = 1 的圆心为 C (2, 3) ，半径为 1 ，所以光线经过的最短路程为
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程》_23

人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程》_23

“八个优竞赛课”教案2.2.1 椭圆的标准方程单位：鞍钢高中授课班级：高三.16班授课教师：李志远《椭圆的标准方程》说课稿授课教师李志远授课班级高三（16）班说课内容：《高中数学》（选修2-1）高二第2.2.1节《椭圆的标准方程》一、概说：1、教材分析：椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习。

是后继学习的基础和范示。

同时，也是求曲线方程的深化和巩固。

2、教学分析：椭圆及其标准方程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。

本节课通过创设情景、动手操作、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握坐标法的规律，掌握数学学科研究的基本过程与方法。

3、学生分析：高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。

但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。

基于上述分析，我采取的是教学方法是“问题诱导--启发讨论--探索结果”以及“直观观察--归纳抽象--总结规律”的一种研究性教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。

引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。

我设定的教学重点是：椭圆定义的理解及标准方程的推导。

教学难点是：标准方程的推导。

二、目标说明：根据数学教学大纲要求确立“三位一体”的教学目标。

1、知识与技能目标：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。

2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。

3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。

三、过程说明：依据“一个为本，四个调整”的新的教学理念和上述教学目标设计教学过程。

“以学生发展为本，新型的师生关系、新型的教学目标、新型的教学方式、新型的呈现方式”体现如下：（一）对教材的重组与拓展：根据教学目标，选择教学内容，遵循拓展、开放、综合的原则。