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第三节等比数列及其前n项和A 组 三年高考真题（2016〜2014年） -新课标全国n,4）已知等比数列6. （2015 •湖南，14）设S 为等比数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1= 1,且3S ,2S , 83成等差数列， 贝H an= ____ .7. （2014 •安徽，12）数列｛a n ｝是等差数列，若a 1+ 1, a 3+ 3, a 5 + 5构成公比为q 的等比数列， 贝 H q = _____________ .8. （2015 •安徽，14）已知数列｛a n ｝是递增的等比数列，a 1+ a 4= 9, a 2a 3= 8,则数列｛a n ｝的前n 项和等于 ________ .9. （2015 •湖北，18）设等差数列｛◎｝的公差为d ,前n 项和为S,等比数列｛b n ｝的公比为q , 已知b= a 1, b 2= 2, q = d , 80= 100.（1） 求数列｛a n ｝ , ｛ b n ｝的通项公式；（2）当d >1时，记C n = a ，求数列｛C n ｝的前n 项和T n .D n84成等比数列，则a 1的值为 __________ .11. （2014 •广东,13）若等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 a 1°an + a 9&2= 2e 5，则ln a+ In a 21.(2015{a n }满足 a i = 3, a i + a s + a 5 = 21,贝U a s + a §+ a ?=A.21B.42C.63D.842.(2014 •重庆，2）对任意等比数列｛a n ｝, F 列说法一定正确的是 （A. a 1, a s ，a 9成等比数列 B. a 2, a 3, a 6成等比数列 C. a 2. a 4， a 8成等比数列 D. a 3, a 6, a 9成等比数列3.(2014 -大纲全国, 10）等比数列｛a n ｝中,a 4= 2,a 5= 5,则数列｛lg a n ｝的前8项和等于（ ）A.6B.5C.4D.34. (2016 -全国I,15）设等比数列满足 a + a 3= 10, a 2+ a 4= 5,贝U aa 2…a n 的最大值为 5.(2016 17）已知数列｛◎｝的前n 项和$= 1 +入a n ,其中 入工0.（1）证明｛a n ｝是等比数列，并求其通项公式; (2)若 85= 31,求入.10.(2014 •天津, 11）设｛a n ｝是首项为a 1,公差为一1的等差数列,S 为其前n 项和.若8, 82,+ …+ In a20= __________12. （2014 •江苏,7）在各项均为正数的等比数列 ｛刘中，若a 2 = 1, a 8= a 6+ 2a&则a 6的值是13. (2014 •新课标全国n, 17)已知数列｛a n ｝满足a i = 1, &+1= 3a n +1. （1）证明 何+11：是等比数列，并求｛a n ｝的通项公式; 1 11 3⑵证明計£ + T 豢.B 组 两年模拟精选（2016〜2015年）1. （2016 •安徽安庆第二次模拟 ）数列｛a n ｝满足a n + 1=入a n — 1（n €N 入｛a n — 1｝是等比数列，则 入的值等于（ ）=1, S 3 = 7,贝V S B =( + an 的最小值为（ ））已知正项数列｛a n ｝满足a 2+1 — 6a n = a n +o,若a= 2,则数列｛a n ｝的前n 项和为）若数列｛a n ｝满足a 1 = 3, a n +1= 2a n + 1，则该数列的通项公式为_ _ n *€ R 且入工0），若数列 A.1 B.C.D.22. (2016 •河北衡水中学模拟）已知等比数列｛a n ｝中，a 3= 2, a 4a 6= 16, 则壮的值为（ A.2B.4C.8D.163. (2016 • 2 015 / A.2 — 1-浙江金华二 B.2 )已知数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a n +1 • a n = 2n , 1 009 — 3 C.3 X 2 1 007 — 3 则 S 2 015 =( ) 1 008 一 3D.2 4（2016 •北京东城模拟 ）已知｛ a n ｝为各项都是正数的等比数列，若a 4 • a 8 = 4,贝U a s • a 6 -a?= A.4B.8C.16D.645. （2015 •山东日照模拟 ）设数列｛刘是由正数组成的等比数列, S 为其前n 项和，已知 a 2 •a15 代7B.31 ~4C.33 ~4D.17 ~26. （2015 •北大附中模拟 ）已知各项为正的等比数列 ｛a n ｝中，a 4与a 14的等比中项为 2 . 2,则2a ?A.16B.8C.6D.47. （2016 •陕西质检二模8. （2015 •云南大理二模9. （2016 •四川雅安模拟）数列｛a n｝的前n项和为S n,且首项a& 3, a+1= S+ 3（n€ N）. （1）求证：｛S n—3n｝是等比数列；（2）若｛a n｝为递增数列，求a1的取值范围.J+ 12 a n *10. (2015 •马鞍山模拟)已知数列｛a n ｝满足a i = 1, a n +1 = 一—n (n € N).an+ 2(1)⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式;(3) 设b n = n ( n + 1) a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和S .11. (2015 •陕西宝鸡 4 月)已知数列｛a n ｝满足 a 1= 5, a 2= 5, a n +1 = a n + 6a n — 1(n 》2). (1) 求证：｛a n +1 + 2a n ｝是等比数列. (2) 求数列｛a n ｝的通项公式； (3) 设 3n b n = n (3n — a n )，求 |+1+…+ | b n |.合案精析1.B2.D3.CA 组 三年高考真题(2016〜2014年)[设等比数列｛a n ｝的公比为q ,则由a = 3, a 1+ a 3+ a 5= 21得3(1 + q 2+ q 4) = 21,解 3(舍去)或 q 2= 2，于是 a 3+ a 5+ a ?= q 2(a + a 3 + aj = 2x 21= 42,故选 B.] [由等比数列的性质得，a 3 • a 9= a !^ 0，因此a 3, a 6, a 9一定成等比数列，选D.][lg a + lg a 2+・・・+ lg a s = lg( a 1 • a 2 ........................ a s ) = lg( a 4 • a 5)= Ig (2 x 5) = 4，故选 C.]证明数列4.64a 1 + a 3= 10, 设等比数列｛a n ｝的公比为q ,・「a 2 + a 4= 5a 1 + a 1q 2= 10, Lq + aq 3= 5,a 1= 8,解得 1 q=21们—3) + ( — 2) +…+ ( n —4)1 yi (n — 7) a©…a n =厅 j= o 21 72 49 10 — 2 一匸n-7 2一49取到最小值一 6，—|2—4924取到最大值26,所以a 1a 2…a n 的最大值为64.]5.(1) 证明 由题意得 1a 1= S = 1+入 a 1，故 入工 1, a 1=, a&0.1 — a由S n = 1 +入 a n, S n +1= 1 + 入 a n + 1,得 a n +1 =入 a n +1—入 a n ,即卩 a n +1 (入一1)=入 a n ,由a&0,入工所以 a 1a n 入二.因此｛a n ｝是首项为L ，a n +1 公比为士的等比数列，于是 此时an =n — 1I由3S , 2S 2, S 3成等差数列知，4S z = 3S + S 3,可得a 3= 3a 2,「.公比q = 3，故 等比数列通项a n = ag n —1 = 3n — 1.］7.1［法一 因为数列｛a n ｝是等差数列，所以 a 1+ 1,a 3+ 3, a 5 + 5也成等差数列，又a +1, a s + 3, a 5 + 5构成公比为q 的等比数列，所以a+ 1, a s + 3公+ 5是常数列,故q = 1. 法二 因为数列｛a n ｝是等差数列，所以可设 a 1 = t — d , a 3= t , a 5= t + d,故由已知得(t + 3)2=(t — d + 1)( t + d + 5),得 d 2+ 4d + 4= 0,即 d = — 2，所以 a 3+3 = a 1+ 1，即 q = 1.]a 2a s = a 1a 4,又a 2a 3= 8 , a 1 + a 4= 9，所以联立方程•数列｛a n ｝的前n 项和为T n = 1 + 3+ 苏|4+…+，①①—②可得1T n = 2+ 2+ £+•••+ ” 号=3—警，故 T n = 6 —驴 1 110. — 2 [由已知得 S • S 4= S 2,即 a 1 • (4a 1 — 6) = (2 a — 1)2，解得 a = — ?•]11.50[由等比数列的性质可知a 10an + a 9&2= 2e ? aa ao = e ，于是 a 1a 2…比。
§6.2不等式的解法Ａ组基础题组1.(2016绍兴一中期中,1,5分)若全集U=R,集合M={x|x2>4},N=,则M∩(∁U N)等于( )A.{x|x<-2}B.{x|x<-2或x≥3}C.{x|x≥3}D.{x|-2≤x<3}2.(2014大纲全国,3,5分)不等式组的解集为( )A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}3.(2015浙江名校(衢州二中)交流卷二,2)已知f(x)=x2-2x+3,g(x)=kx-1,则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.(2013浙江,7,5分)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( )A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=07.记方程①:x2+a1x+1=0,方程②:x2+a2x+2=0,方程③:x2+a3x+4=0,其中a1,a2,a3是正实数.当a1,a2,a3成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( )A.方程①有实根,且②有实根B.方程①有实根,且②无实根C.方程①无实根,且②有实根D.方程①无实根,且②无实根8.(2016效实中学期中文,10,6分)若指数函数f(x)的图象过点(-2,4),则f(3)= ;不等式f(x)+f(-x)<的解集为.9.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.10.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是.11.(2015浙江冲刺卷一,16,4分)已知函数f(x)=若f(2m-1)<f(m+3),则m的取值范围是.12.(2015浙江绍兴一中回头考,20)已知f(x)=x2-2ax-3a2.(1)设a=1,解不等式f(x)>0;(2)若不等式f(x)<x的解集中有且仅有一个整数,求a的取值范围;(3)若a>,且当x∈[1,4a]时,|f(x)|≤4a恒成立,试确定a的取值范围.B组提升题组1.(2016温州高三返校联考文,5)不等式≤0的解集为( )A. B.C.∪(3,+∞)D.∪[3,+∞)2.(2016新昌中学期中,3,5分)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为( )A.{x|x<-1或x>lg2}B.{x|-1<x<lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}3.(2015浙江新高考研究卷一(镇海中学),2)设集合M={x|x2-4x-5<0},N=,则使M∩N=⌀成立的实数a的取值范围是( )A.{a|a≥5}B.{a|a≥-1}C.{a|a≥1,或a≤-1}D.{a|a≥5,或a≤-5}4.(2014浙江,6,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( )A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>95.(2013陕西,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]6.(2015山东日照一中校际联合检测,8)在R上定义运算:x*y=x(1-y).若关于x的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是( )A.[0,2]B.[-2,-1]∪(-1,0]C.[0,1)∪(1,2]D.[-2,0]7.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,8)关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在[1,5]上恒成立,则实数k的取值范围为( )A.k≤5B.k≥5C.k≤6D.k≥68.(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为.9.不等式(x-4)≥0的解集是.10.(2013江苏,11,5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.11.(2013重庆,15,5分)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为.12.(2015浙江测试卷,14)若对于任意的n∈N*,n2+(a-4)n+3+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是.13.(2015浙江绍兴质量调测)已知b,c∈R,若关于x的不等式0≤x2+bx+c≤4的解集为[x1,x2]∪[x3,x4](x2<x3),则(2x4-x3)-(2x1-x2)的最小值是.14.解不等式mx2+(m-4)x-4<0,其中m∈R.Ａ组基础题组1.B 不等式x2>4的解集为{x|x<-2,或x>2};不等式>0⇔<0⇔(x+1)(x-3)<0,其解集为{x|-1<x<3},所以M={x|x<-2,或x>2},N={x|-1<x<3},则M∩(∁U N)={x|x<-2,或x>2}∩{x|x≥3,或x≤-1}={x|x<-2或x≥3}.选B.2.C 由x(x+2)>0得x>0或x<-2;由|x|<1得-1<x<1,所以不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.3.B ∵f(x)≥g(x)恒成立,即x2-2x+3≥kx-1,也即x2-(2+k)x+4≥0恒成立,∴(2+k)2-16≤0,得-6≤k≤2,而[-2,2]⫋ [-6,2],故选B.4.A ∵f(0)=f(4)>f(1),∴c=16a+4b+c>a+b+c,∴16a+4b=0,即4a+b=0,且15a+3b>0,即5a+b>0,而5a+b=a+4a+b,∴a>0.故选A.5.B 由题意可知,a<0,x1+x2=-,x1·x2=<0,所以c>0.所求不等式解集在两根之间,且等价于x2-x+1>0,即x1x2x2+(x1+x2)x+1>0,解得x∈,故选B.6.C 根据题意,由于1+2x+(a-a2)·4x>0对于一切的x∈(-∞,1]恒成立,令2x=t(0<t≤2),则可知1+t+(a-a2)t2>0⇔a-a2>-,故可知只要求解-的最大值即可,结合二次函数的性质可知a-a2>-,所以4a2-4a-3<0,解得实数a的取值范围为,选C.7.B 当方程①有实根,且②无实根时,≥4,<8,从而=<=16,即方程③:x2+a3x+4=0无实根,选B.选项A,D由于不等式方向不一致,不可推;C推出③有实根.8.答案;(-1,1)解析设f(x)=a x(a>0,且a≠1),因为图象过(-2,4),所以a=(负值舍去),即f(x)=,所以f(3)=,f(x)+f(-x)<⇒+2x<.令t=2x,则不等式化为2t2-5t+2<0,解得<t<2,即<2x<2,则-1<x<1,所以原不等式的解集为(-1,1).9.答案解析要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需即解得-<m<0.10.答案(-7,3)解析∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|).又x≥0时,f(x)=x2-4x,不等式f(x+2)<5⇒f(|x+2|)<5⇒|x+2|2-4|x+2|<5⇒(|x+2|-5)(|x+2|+1)<0⇒|x+2|-5<0⇒|x+2|<5⇒-5<x+2<5⇒-7<x<3.故原不等式的解集为(-7,3).11.答案解析函数f(x)的图象关于y轴对称,且f(x)在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为增函数,故f(2m-1)<f(m+3)等价于|2m-1|<|m+3|,即4m2-4m+1<m2+6m+9,解得-<m<4,故m 的取值范围是.12.解析(1)当a=1时,不等式f(x)>0⇔x2-2x-3>0,解得x>3或x<-1.故当a=1时,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).(2)f(x)-x=x2-(2a+1)x-3a2,令g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,若a=0,则f(x)<x的解集为(0,1),不满足条件;若a≠0,由g(0)=-3a2<0知x=0是不等式f(x)<x的一个整数解,所以由得≤a<0.综上,a的取值范围为.(3)若<a≤1,则即得<a≤;若a>1,因为|f(a)|=4a2,|f(4a)|=5a2,4a2<5a2,所以应满足|5a2|≤4a,此不等式的解集为⌀. 综上,a的取值范围是.B组提升题组1.C ≤0可化为≥0,等价于解得x≤-,或x>3,故选C.2.D 因为一元二次不等式f (x)<0的解集为,所以f(x)>0的解集为,令-1<10x<,解得x<-lg2,故选D.3.D M=(-1,5).a>0时,N=(-∞,-a)∪(a,+∞),由M∩N=⌀,得得a≥5.a=0时,N=R,不合题意.a<0时,N=(-∞,a)∪(-a,+∞),由M∩N=⌀,得得a≤-5.综上,a∈(-∞,-5]∪[5,+∞).4.C 由得解得则有f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6,由0<f(-1)≤3,得6<c≤9.5.C 矩形的一边长为x,则其邻边长为40-x,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S≥300m2得-x2+40x≥300,即10≤x≤30.6.D 由题意得,x*(x-a)=x·[1-(x-a)]=x[(a+1)-x],所以x*(x-a)>0即x[x-(a+1)]<0.当a=-1时,不等式的解集为空集,符合题意;当a>-1时,不等式的解集为(0,a+1),又该解集为[-1,1]的子集,所以a+1≤1,得-1<a≤0; 当a<-1时,不等式的解集为(a+1,0),又该解集为[-1,1]的子集,所以a+1≥-1,得-2≤a<-1. 综上所述,a的取值范围是[-2,0].故选D.7.C 令f(x)=x2+9+|x2-3x|(x∈[1,5]),则f(x)=当3≤x≤5时,2x2-3x+9≥kx恒成立,只需k+3≤,而y=2x+在[3,5]上递增,∴=9,∴k+3≤9,∴k≤6.当1≤x≤3时,3x+9≥kx,即k≤3+恒成立,∴k≤=6.综上可知k≤6.8.答案{x|-1<x<2}解析不等式<4可转化为<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}.9.答案{x|x≥4或x=-1}解析当x2-3x-4>0时,x-4≥0,解得x>4;当x2-3x-4=0,即x=-1或4时,原不等式也成立,所以解集是{x|x≥4或x=-1}.10.答案(-5,0)∪(5,+∞)解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,又当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+4x.又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2-4x(x<0),∴f(x)=(1)当x>0时,由f(x)>x得x2-4x>x,解得x>5;(2)当x=0时,f(x)>x无解;(3)当x<0时,由f(x)>x得-x2-4x>x,解得-5<x<0.综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).11.答案∪解析由8x2-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,得Δ=(-8sinα)2-4×8cos2α≤0,即64sin2α-32(1-2sin2α)≤0,得到sin2α≤,∵0≤α≤π,∴0≤sinα≤,∴0≤α≤或≤α≤π,即α的取值范围为∪.12.答案解析对于n∈N*,不等式n2+(a-4)n+3+a≥0变形为-a≤.令x=n+1,则x≥2,x∈N*,问题可转化为-a≤对于x≥2,x∈N*恒成立.设f(x)==x+-6,则f(x)在[2,2]上为减函数,在[2,+∞)上为增函数.而f(2)=0,f(3)=-,∴f(x)min =-,故有-a ≤-,即a ≥. 13.答案 4解析 如图,据题意可知x1,x 4是方程x 2+bx+c=4的两根,x 2,x 3是方程x 2+bx+c=0的两根,由韦达定理可得(2x 4-x 3)-(2x 1-x 2)=2(x 4-x 1)-(x 3-x 2)=2-=2-,令b 2-4c=t,则有(2x 4-x 3)-(2x 1-x 2)=f(t)=2-,令f'(t)=-=0,解得t=,据题意可知f(t)min =f=4.14.解析 (1)当m=0时,不等式的解集为{x|x>-1}. (2)当m>0时,不等式等价于(mx-4)(x+1)<0, 即(x+1)<0,因为>-1,所以不等式的解集为x -1<x<.(3)当m<0时,不等式等价于(x+1)>0, 又-(-1)=,则①当-4<m<0时,有<-1,所以原不等式的解集为x x<或x>-1.②当m=-4时,原不等式可化为(x+1)2>0,所以不等式的解集为{x|x ∈R 且x ≠-1}. ③当m<-4时,有>-1,所以原不等式的解集为x x<-1或x>.。
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.1不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质【知识拓展】 不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b⇔a <b (ab ≠0)．( × )(3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b<0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1bB.1a －b >1aC ．|a |>－bD.－a >－b答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a成立， 即1a －b >1a不成立． 2．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．1122log log 0b a <<C ．2b <2a<2 D ．a 2<ab <1答案 C解析 取a ＝12，b ＝13验证可得．3．下列选项一定正确的是( ) A ．若a >b ，则ac >bc B ．若a >b ，则a >b C ．若a 2>b 2，则a >b D ．若1a <1b，则a >b答案 B解析 A 选项中，若c ＝0，显然不成立；B 选项中，若a >b ，平方即可知a >b ，故正确；C 选项中，若a <0，b <0，则a <b ，故错误；D 项中，若a <0，b >0，则a <b ，故错误．故选B. 4．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b ＝2－2ab＋a ＋b>0.5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12<12.即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 (1)A (2)B解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln x x ，y ′＝1－ln xx2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)·(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为______________________________________ __________________________________． 答案 (1)B (2)a <b解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1) ＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立．故选B.(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b . 题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0，∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )， ∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd<0，故②正确．∵c<d，∴－c>－d，∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，a－c>b－d，故③正确．∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，故④正确，故选C.方法二取特殊值．题型三不等式性质的应用例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为( )A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④答案 A解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A. 思维升华(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a－b>1bB．a2<abC.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b，又c <0，所以c a >cb，①正确； 构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．6．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝a －b ，f＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f，b ＝12[f－f －∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c .这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． 2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a >b ⇒1a <1b ；⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b⇒1a >1b.3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立． 2．a >b ⇒1a <1b或a <b ⇒1a >1b，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n>b n对于正数a 、b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立．5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d答案 D解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由ac 2>bc 2可得a >b ，因为c 2>0， 而由a >b 不一定能得到ac 2>bc 2.因为c 2可能为0.3．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B答案 A解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4，显然A 2>B 2，故选A.4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故A 错．因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故C 正确．D 项中b a 与a b 的大小不能确定．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是( )A ．(0，5π6)B ．(－π6，5π6)C ．(0，π)D ．(－π6，π)答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是() A ．M <N B ．M >NC ．M ＝ND ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋b ＋c 2，y ＝b 2＋c ＋a 2，z ＝c 2＋a ＋b 2，则x ，y ，z 的大小关系是__________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0.其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0，∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2， t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s v 1＋v 22v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝v 1＋v 224v 1v 2≥v 1v 224v 1v 2＝1.∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c ，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确； 当a <0且b <0时，可知D 不正确．12．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分而不必要的条件是a >b ＋1.13．已知0<a <b <1，则( )A.1b >1a B ．(12)a <(12)b C ．(lg a )2<(lg b )2D.1lg a >1lg b 答案 D解析 因为0<a <b <1，所以1b －1a ＝a －b ab<0. 可得1b <1a ，(12)a >(12)b ，(lg a )2>(lg b )2， lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b， 因此只有D 项正确．14．若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n<0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 答案 D解析 当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1,1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321，∴a >12.当n 为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴a <74. 综上，12<a <74，故选D. 15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx＝14x (1－n 5)．当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。
§6.3简单的线性规划Ａ组基础题组1.(2015北京,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为( )A.0B.1C.D.22.(2015山东,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=( )A.3B.2C.-2D.-33.(2015浙江名校(诸暨中学)交流卷四,4)变量x,y满足约束条件则函数z=3|x|+|y-3|的取值范围是( )A. B.[-2,3]C.[1,6]D.4.(2016超级中学原创预测卷十,7,5分)已知x,y满足约束条件若直线y+1=k将不等式组表示的平面区域分成的两部分中有一个三角形,则实数k的取值范围是( )A.B.∪[4,+∞)C.(-∞,-1)∪D.(-∞,-2)∪∪[4,+∞)6.(2015浙江冲刺卷一,7)已知实数x,y满足则z=2|x|+y的取值范围是( )A.[2,6]B.[-2,6]C.[-2,2]D.[-2,4]7.(2015浙江五校一联,9,5分)定义max{a,b}=设实数x,y满足约束条件则z=max{4x+y,3x-y}的取值范围是( )A.[-8,10]B.[-7,10]C.[-6,8]D.[-7,8]8.(2015浙江温州十校联考,8)已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A. B.2或C.2或1D.2或-19.(2015陕西,10,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元10.(2016超级中学原创预测卷七,12,4分)已知变量x,y满足约束条件若z=,则z的最大值与最小值之和为.11.(2014浙江,12,4分)若实数x,y满足则x+y的取值范围是.12.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.13.(2015衢州一模,14)已知非负实数x,y,z满足x+y+z-=0,则x+y+1的最大值为.B组提升题组1.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,3)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=|x-2y|的最大值为( )A.0B.1C.-1D.22.(2015浙江冲刺卷三,7,5分)设实数x,y满足不等式组若目标函数z=3x+y的最大值为5,则实数m=( )A.-B.0C.2D.-3.(2015台州一模,8,5分)已知点P(x,y)是平面区域内的动点,A(1,-1),O为坐标原点,设|-λ|(λ∈R)的最小值为M,若M≤恒成立,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.4.(2015浙江台州第一次调考)设实数x,y满足则的取值范围为( )A. B. C. D.5.(2015安徽安庆三模)若x,y满足约束条件则z=+y2的最大值为( )A.2B.3C.9D.86.(2016超级中学原创预测卷二,7,5分)设[x]表示不超过x的最大整数,若集合A={(x,y)|x2+y2≤1},集合B={(x,y)|[x]2+[y]2≤1},则集合A∩B所表示的平面区域的面积等于( )A.πB.C.D.7.(2016领航高考冲刺卷五文,13,4分)如果实数a,b满足则的最大值为.8.(2015安徽黄山第二次质检)已知变量x,y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为.9.(2015浙江镇海中学测试卷二,16)已知实数x,y满足则z=xy的取值范围是.10.(2015浙江冲刺卷四,12)设不等式组所确定的平面区域为Ω,则当m=10时,平面区域Ω的面积为;若实数x,y满足上述不等式组,且z=x-y的最小值为-3,则m= .11.(2015浙江模拟训练冲刺卷四,11)已知x,y∈R,且满足则由不等式组确定的可行域的面积为;z=x2+y2的最小值是.12.(2015浙江宁波十校联考,12)已知点A(3,),O为坐标原点,点P(x,y)满足则满足条件的点P所形成的平面区域的面积为,的最大值是.13.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?Ａ组基础题组1.D 由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.2.B 作出可行域如图.①当a<0时,显然z=ax+y的最大值不为4;②当a=0时,z=y在B(1,1)处取得最大值,为1,不符合题意;③当0<a<1时,z=ax+y在B(1,1)处取得最大值,z max=a+1=4,故a=3,舍去;④当a=1时,z=x+y的最大值为2,不符合题意;⑤当a>1时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,z max=2a=4,得a=2,符合题意.综上,a=2.3.D 约束条件表示的可行域是以A(0,1),B,C(2,0)为顶点的三角形区域(含边界),则有0≤x≤2,0≤y≤3,所以目标函数即为z=3x-y+3.平移直线y=3x+3-z知,过点B时,z取最小值,过点C(2,0)时,z取最大值9,故选D.4.D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,因为直线y+1=k恒过点A且该直线将平面区域分成的两部分中有一个三角形,所以0<k≤k AB或k≥k AD或k<k AC,又因为k AB=,k AD=4,k AC=-2,所以实数k的取值范围是(-∞,-2)∪∪[4,+∞).故选D.5.D 由得代入不等式组得作出a,b满足的平面区域如图所示,由图易得阴影部分的面积S=×2×1=1,故选D.6.B z=2|x|+y=先求z=2x+y在且x≥0的条件下的取值范围,可行域是以A(0,2),B(0,-2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),平移直线l:y=-2x+z,可知直线l过点B时,z=2x+y取最小值-2,直线l 过点C时,z=2x+y取最大值6,故取值范围为[-2,6].再求z=-2x+y在且x<0的条件下的取值范围,可行域是以A(0,2),B(0,-2),D(-2,-2)为顶点的三角形区域(含边界,除去线段AB),平移直线l':y=2x+z,可知直线l'过点B时,z=-2x+y取最小值-2,直线l'过点A,D时,z=-2x+y取最大值2,故取值范围为(-2,2].∴z=2|x|+y的取值范围是[-2,6].7.B 作出约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示.令4x+y≥3x-y,得x≥-2y,当x≥-2y时,z=4x+y;当x<-2y时,z=3x-y.在同一直角坐标系中作出直线x=-2y,如图粗实线部分所示.当(x,y)在平面区域CDEF内运动时(含边界区域),此时x≥-2y,故z=4x+y,可知目标函数z=4x+y在D(2,2)时取到最大值10,在F(-2,1)时取到最小值-7;当(x,y)在平面区域ABCF内运动时(含边界区域但不含线段CF),此时x<-2y,故z=3x-y,可知目标函数z=3x-y在B(2,-2)时取到最大值8,在F(-2,1)时z=3x-y=-7,所以在此区域内-7<z≤8.综上所述,z=max{4x+y,3x-y}∈[-7,10],故选B.8.D 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).由z=y-ax得y=ax+z,即直线在y轴上的截距最大时,z最大.若a=0,则y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足题意;若a>0,则目标直线y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,需直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行,此时a=2;若a<0,则目标直线y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,需直线y=ax+z与直线x+y-2=0平行,此时a=-1.综上,a=-1或a=2,故选D.9.D 设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得,x,y满足:不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.10.答案 1解析作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立得A(m,4-m),联立得B(m,2m-4),易知z=在点A处取得最大值,在点B处取得最小值,且z的最大值与最小值之和为+=1.11.答案[1,3]解析画出可行域如图,可行域为△ABC的内部及其边界.设x+y=t,则y=-x+t,t的几何意义为直线y=-x+t在y轴上的截距,当直线通过点A、B时,t取得最小值与最大值,可求得A、B两点的坐标分别为(1,0)和(2,1),所以1≤t≤3,即x+y的取值范围是[1,3].12.答案 3解析由约束条件画出可行域,如图.的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以的最大值即为直线OA的斜率,又由得点A的坐标为(1,3),则=k OA=3.13.答案+1解析由题意可得z=-x-y≥0,所以约束条件为对应的平面区域是以点(0,0),(1,0),(0,)为顶点的三角形,当m=x+y+1经过点(0,)时,目标函数取得最大值+1.B组提升题组1.D 不等式组表示的平面区域是以,(1,0),(2,2)为顶点的三角形区域(含边界),平移直线y=x-z知z=x-2y的取值范围为[-2,1],所以z=|x-2y|的最大值为2.2.A 当m≥0或≤-2时,其可行域是一个开放区域,此时目标函数z=3x+y没有最大值,当-1<<0时,不等式组表示的可行域为空集.故-2<≤-1,即-1≤m<-,此时可行域是以A(1,1),B,C为顶点的三角形区域(含边界),平移直线z=3x+y知,过点B时,目标函数z=3x+y取最大值,从而有=5,解得m=-.3.B |-λ|=|(x,y)-λ(1,-1)|=|(x-λ,y+λ)|=≥M,其几何意义是可行域内的任意一点与点B(λ,-λ)的距离不小于M.因为M≤恒成立,所以P(x,y)到直线y=-x上点B(λ,-λ)距离的最小值不大于.由于可行域的边界x=m(y-4)过定点(0,4)由得x=y=.当m<0时,如图1,由≤,解得-≤m≤,即-≤m<0;图1m=0时,如图2,显然符合题意;图2m>0时,如图3,显然符合题意.图3综上,m∈,故选B.4.C 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域.令=a,其中a>0,则y2=ax,a越大,抛物线的开口就越大;结合图形可知,当曲线y2=ax(x>0),即y=(x>0)与直线y=x+1相切时,相应的抛物线开口达到最小,设切点坐标是(x0,),于是有由此解得即切点坐标是(1,2),且注意到点(1,2)是该平面区域内的点,此时=a取得最小值,最小值是=a==4;当抛物线经过该平面区域内的点时,相应的抛物线开口达到最大,此时=a取得最大值,最大值是.因此,的取值范围是,故选C.5.C 显然z的算术平方根为椭圆+=1的短半轴长,故≤3,0<z≤9,故选C.6.D 由于[x],[y]的值为整数,结合集合B中不等式可知或可得或结合图形可得所求面积为.7.答案解析画出可行域如图所示.易知A(1,1),B(1,2),C.设=z,则a+2b=2za+zb,即(1-2z)a=(z-2)b,当z≠2时,有=.∵表示可行域内的点(a,b)与原点连线的斜率,∴1≤≤3.∴1≤≤3,解得1≤z≤.当z=2时,=2,即a+2b=4a+2b,即a=0,不合题意,∴的最大值为.8.答案8解析作出约束条件对应的可行域是一个三角形区域(含边界),当z'=2x+y经过点(1,1)时取得最大值3,所以z=4x·2y=22x+y的最大值是8.9.答案[2,8]解析不等式组构成的可行域是以A(1,3),B(2,1),C(4,2)为顶点的三角形区域(含边界),显然x≠0,由z=xy,得y=,其图象为曲线.曲线y=过点B(2,1)时,z=xy取到最小值2,曲线y=过点C(4,2)时,z=xy取到最大值8,∴z=xy的取值范围为[2,8].10.答案;6解析当m=10时,平面区域Ω是以A(-4,7),B(1,2),C(2,4)为顶点的三角形区域(含边界),则BC=,点A(-4,7)到直线2x-y=0的距离为d=,则平面区域Ω的面积为S=××=.∵m>5,∴平面区域Ω是以A(6-m,m-3),B(1,2),C为顶点的三角形区域(含边界),平移直线y=x-z,知在点A(6-m,m-3)处z取得最小值,依题意有9-2m=-3,∴m=6.11.答案3;解析可行域是以A(0,1),B(1,0),C(4,3)为顶点的三角形区域(含边界),且∠ABC=90°,则可行域的面积为S=×|AB|×|BC|=3.而z=x2+y2表示原点O与可行域内的点的距离的平方.可知原点O到直线x+y-1=0的距离的平方最小,且点O到直线x+y-1=0的距离为,则z=x2+y2的最小值是.12.答案;解析不等式组表示的可行域是以B(-2,0),O(0,0),C(1,)为顶点的三角形区域(含边界),其面积为×2×=.设向量与的夹角为θ,易知∠AOC=30°,∠AOB=150°,∴30°≤θ≤150°.又=||cosθ,要使取到最大值,则30°≤θ≤90°,此时0≤cosθ≤,1≤||≤2,且cosθ取到最大值时,||也取到最大值2,故的最大值为×2=.13.解析设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯,获得利润总额为z元.由条件知:z=0.7x+1.2y,变量x、y满足可行解为图中阴影部分中的整点.作直线l:0.7x+1.2y=0,把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,z=0.7x+1.2y取最大值.由方程组得A点坐标为(200,240).答:应每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯方可获利最大.。
第四节 数列求和、数列的综合应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·福建，8)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A.6B.7C.8D.92.(2015·浙江，3)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A.a 1d ＞0，dS 4＞0B.a 1d ＜0，dS 4＜0C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞0 3.(2016·北京，20)设数列A ：a 1，a 2，…，a N (N ≥2).如果对小于n (2≤n ≤N )的每个正整数k 都有a k ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记G (A )是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.(1)对数列A ：－2，2，－1，1，3，写出G (A )的所有元素； (2)证明：若数列A 中存在a n 使得a n ＞a 1，则G (A )≠∅；(3)证明：若数列A 满足a n －a n －1≤1(n ＝2，3，…，N )，则G (A )的元素个数不小于a N －a 1.4.(2016·四川，19)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求a n 的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1.5.(2016·山东，18)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .6.(2015·新课标全国Ⅱ，16)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________.7.(2015·山东，18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .8.(2015·天津，18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.9.(2015·广东，21)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }前n 项和T n ； (3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .10.(2015·浙江，20)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *).(1) 证明：1≤a n a n ＋1≤2(n ∈N *)； (2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：1n ＋≤S n n ≤1n ＋(n ∈N *).11.(2014·山东，19)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .12.(2014·江西，17)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .13.(2014·四川，19)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .14.(2014·湖北，18)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南百校联盟质量监测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5＝-20，则-6a 4＋3a 5＝( )A.-20B.4C.12D.202.(2016·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A.2 015B.-2 015C.3 021D.-3 021 3.(2016·山东实验中学模拟)设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( )A.11个B.12个C.15个D.25个 4.(2016·天津调研)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N ＋)，则S 100＝( )A.1 300B.2 600C.0D.2 602 5.(2015·广东揭阳一模)已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （-1）g （-1）＝52,若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( ) A.5 B.6 C.7 D.86.(2015·吉林长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列,则a n ＝( )A.n 2n －1B.n ＋12n －1＋1C.2n －12n －1D.n ＋12n ＋17.(2015·辽宁沈阳模拟)数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( ) A.2 0072 008 B.2 0071 004 C.2 0082 009 D.4 0162 0098.(2016·湖北荆州市第一次质量检测)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ·a n ＋1＝2S n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{n ·2a n }的前n 项和T n .9.(2016·嘉峪关市一中第三次模拟考试)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ，数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20， (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n (n ＝1，2，3，…)，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n <72.10.(2016·南通模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ； (3)求使T n >14(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.D [由题意知:a ＋b ＝p ,ab ＝q ,∵p ＞0,q ＞0,∴a ＞0,b ＞0.在a ,b ,-2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ,b ,-2;b ,a ,-2;-2,a ,b ;-2,b ,a ;成等比数列的情况有:a ,-2,b ;b ,-2,a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，2a ＝b －2解之得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5,q ＝4,∴p ＋q ＝9,故选D.]2.B [∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d ),整理得a 1＝－53d ,∴a 1d ＝-53d 2＜0,又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3,∴dS 4＝－2d23＜0，故选B.]3.(1)解 G (A )的元素为2和5.(2)证明 因为存在a n 使得a n ＞a 1，所以{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i ＞a 1}≠∅.记m ＝min{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i ＞a 1}，则m ≥2，且对任意正整数k ，m ，a k ≤a 1＜a m . 因此m ∈G (A ).从而G (A )≠∅.(3)证明 当a N ≤a 1时，结论成立.以下设a N ＞a 1.由(2)知G (A )≠∅.设G (A )＝{n 1，n 2，…，n p }，n 1＜n 2＜…＜n p .记n 0＝1.则a n 0＜a n 1＜a n 2＜…＜a n p ， 对i ＝0，1，…，p ，记G i ＝{k ∈N *|n i ＜k ≤N ，a k ＞an i }. 如果G i ≠∅，取m i ＝min G i ，则对任何1≤k ＜m i ，a k ≤a n i ＜a m i . 从而m i ∈G (A )且m i ＝n i ＋1.又因为n p 是G (A )中的最大元素，所以G p ＝∅. 从而对任意n p ≤k ≤N ，a k ≤a n p ，特别地，a N ≤a n p .对i ＝0，1，…，p －1，a n i ＋1－1≤a n i .因此a n i ＋1＝a n i ＋1－1＋(a n i ＋1－a n i ＋1－1)≤an i ＋1.所以a N －a 1≤a n p －a 1＝∑i ＝1p(a n i －a n i －1)≤p .因此G (A )的元素个数p 不小于a N －a 1.4.(1)解 由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立.所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列.从而a n ＝qn －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明 由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）.由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43.因为1＋q2(k －1)>q2(k －1)，所以1＋q2（k －1）>qk －1(k ∈N *).于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1.故e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1.5.解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知，c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].两式作差，得-T n ＝3×[2×22+23+24+…+2n ＋1-(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n）1－2－（n ＋1）×2n ＋2 ＝-3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.6.－1n[由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.]7.解 (1)因为2S n ＝3n＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n ＞1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ＞1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ＞1时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n.所以T 1＝b 1＝13；当n ＞1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n)，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n)，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n ，经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .8.解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k＝2n2.所以，{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.9.(1)解 a 1＝1，a 1＋2a 2＝2，a 2＝12，a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54，a 3＝14.(2)解 n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋(n -1)a n －1＝4－n ＋12n －2，与原式相减，得na n ＝n 2n －1，a n ＝12n －1，n ＝1也符合，T n ＝1－12n1－12＝2－12n －1.(3)证明 n ≥2时，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n故S n ＝∑i ＝1nb i＝a 1＋a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12a 2＋a 1＋a 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13a 3＋…＋a 1＋a 2＋…＋a n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n 1i T n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1<2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n ，只需证明2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n <2＋2ln n ，n ∈N *.对于任意自然数k ∈N ,令x ＝-1k ＋1∈(-1,0)时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＋1＋1＋1k ＋1<0，即1k ＋1<ln(k ＋1)－ln k .∴k ＝1时，12<ln 2－ln 1，k ＝2时，13<ln 3<ln 2.…k ＝n －1时，1n<ln 2－ln(n －1).∴1＋12＋13＋…＋1n <1＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n －ln(n －1)]，即1＋12＋13＋…＋1n<1＋ln n ，所以n ≥2时，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n <2＋2ln n ，综上n ∈N ＋时，S n <2＋2ln n .10.证明 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，即a n ＋1≤a n ，故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1＞0. 由0＜a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈[1，2]，即1≤a na n ＋1≤2 (2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1①由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1≤a n a n ＋1≤2得1≤1a n ＋1－1a n ≤2，所以n ≤1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12（n ＋1）≤a n ＋1≤1n ＋2(n ∈N *).②由①②得12（n ＋2）≤S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *).11.解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n （2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋112.解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)·3n，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n＝－2－(2n －2)3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.13.解 (1)由已知得,b 7＝2a 7,b 8＝2a 8＝4b 7,有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2. 解得d ＝a 8－a 7＝2. 所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意得，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n.所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 14.解 (1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2＋d ,2＋4d 成等比数列,故有(2+d )2＝2(2+4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， 从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立. 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝-3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12.] 2.C [a 1＝tan 225°＝tan 45°＝1，设等差数列{a n }的公差为d ， 则由a 5＝13a 1，得a 5＝13，d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴S 2 014＝-a 1+a 2-a 3+a 4+…+(-1)2 014a 2 014＝-(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝1 007d ＝1 007×3＝3 021.故选C.]3.A [(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.] 4. B [原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列.所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600.]5. A [令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2<0， ∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去),∴f (n )g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3132，∴n ＝5.] 6. A [设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，有b 1＝4，b 2＝8，则b n ＝4n ， 即b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2（n ＋1）n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a n ＝n2n －1.故选A.]7.D [法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ,则可得a 1＝1,a 2＝3,a 3＝6,a 4＝10,则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008－12 009＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D.]8.解 (1)当n ＝1时，a 1a 2＝2a 1，a 2＝2.又a n ·a n ＋1＝2S n ① ∴n ≥2时，a n －1·a n ＝2S n －1② ①－②得a n (a n ＋1－a n －1)＝2a n∵a n >0,∴a n ＋1－a n －1＝2.则a 1,a 3,…,a 2n －1,…是以1为首项,2为公差的等差数列,a 2n －1＝2n -1.a 2，a 4，…，a 2n ，…是以2为首项，2为公差的等差数列，a 2n ＝2n .∴a n ＝n (n ∈N *).(2)由于a n ＝n ，所以T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n. 2T n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1两式相减得T n ＝n ·2n ＋1－(2＋22＋23＋ (2))＝n ·2n ＋1－2（1－2n）1－2＝n ·2n ＋1＋2－2n ＋1＝(n －1)·2n ＋1＋2.9.(1)解 由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1， 又S 1＝b 1，所以b 1＝23，b 2＝2－2(b 1＋b 2)，则b 2＝29，当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n . 即b n b n －1＝13，所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，所以b n ＝2·13n . (2)证明 数列{a n }为等差数列，公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，可得a n ＝3n －1，从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n ，∴T n ＝2⎣⎢⎡2×13＋5×132＋8×133＋⎦⎥⎤…＋（3n －1）·13n∴13T n ＝2⎣⎢⎡2×132＋5×133＋…＋（3n －4）⎦⎥⎤·13n ＋（3n －1·13n ＋1)两式相减得 23T n ＝2⎣⎢⎡23＋3×132＋3×133＋ (3)⎦⎥⎤13n －（3n －1）·13n ＋1 ＝2·⎩⎪⎨⎪⎧23＋3×132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13－（3n －1）⎭⎬⎫·13n ＋1 ＝2⎩⎪⎨⎪⎧23＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1⎭⎬⎫－（3n －1）·13n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤76－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋76·13n ∴T n ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋7613n －1<72.10.(1)证明 依题意，当n ＝1时，a 2＝9a 1＋10＝100，故a 2a 1＝10.当n ≥2时，a n ＋1＝9S n ＋10，a n ＝9S n －1＋10， 两式相减得a n ＋1－a n ＝9a n ，即a n ＋1＝10a n ，a n ＋1a n＝10， 故{a n }为等比数列，且a n ＝a 1qn －1＝10n(n ∈N *)，∴lg a n ＝n .∴lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋1)－n ＝1，即{lg a n }是等差数列. (2)解由(1)知，T n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3－3n ＋1. (3)解 ∵T n ＝3－3n ＋1，∴当n ＝1时，T n 取最小值32. 依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为{0，1，2，3，4，5}.。
【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n 项和练习基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·宜昌模拟)等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A.33B.72C.84D.189解析 由已知，得q 3＝a 4a 1＝8，解得q ＝2，则有a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝3×(4＋8＋16)＝84. 答案 C2.已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A.－3B.±3C.－3 3D.±3 3解析 由等比中项知y 2＝3，∴y ＝±3，又∵y 与－1，－3符号相同，∴y ＝－3，y 2＝xz ， 所以xyz ＝y 3＝－3 3. 答案 C3.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2B.12C.2或12D.－2或12解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1（1＋q 3）a 1（q ＋q 2）＝1＋q 3q ＋q 2＝（1＋q ）（1－q ＋q 2）q （1＋q ）＝1－q ＋q2q＝1812，得q ＝2或q ＝12.故选C. 答案 C4.(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A.a 1d ＞0，dS 4＞0 B.a 1d ＜0，dS 4＜0 C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )， 整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d3，∴dS 4＝－2d23＜0，故选B.答案 B5.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150B.－200C.150或－200D.400或－50解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20).即(S 20－10)2＝10(70－S 20)， 故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A. 答案 A 二、填空题6.(2016·舟山联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于________.解析 ∵S 1，S 3，S 2成等差数列，∴a 1＋a 1＋a 1q ＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2).∵a 1≠0，q ≠0，∴解得q ＝－12.答案 －127.(2016·哈尔滨一模)正项等比数列{a n }中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{a n }的前9项和等于________.解析 正项等比数列{a n }的公比q ＝a 4a 2＝164＝2， a 1＝a 2q ＝2，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 0228.(2016·甘肃诊断)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1（1－q 4）1－q ＝3a 1（1－q 2）1－q，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.答案 8三、解答题9.(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *). (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式. (1)证明 依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列.(2)解 由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2).当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N *).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2016·绍兴十校联考)已知数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5， －2a 3成等差数列，则其公比q 等于( ) A.－1B.1C.1或－1D. 2解析 ∵4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，∴2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，又∵a 1＝4，则有q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，∴q ＝±1，故选C. 答案 C12.(2016·临沂模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n－1) C.9n－1D.14(3n－1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1).答案 B13.(2016·温州诊断)数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2 015110，则a 21＝________. 解析 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝1，得b 1＝a 2a 1＝a 2；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；……；b n －1＝a na n －1，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2 015110)10＝2 015. 答案 2 01514.已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列.(1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1(n ≥2). 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列.。
§6.6不等式的综合应用Ａ组基础题组1.(2015四川绵阳质检)若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是( )A.(-∞,-3]B.(-∞,0]C.[1,+∞)D.(-∞,1]2.(2015云南师大附中适应性考试)设函数f(x)=x-,对任意x∈[1,+∞),f(ax)+af(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.( -1,1)D.(0,1)4.(2015湖州一模,6,5分)已知函数f(x)=m·9x-3x,若存在非零实数x0,使得f(-x0)=f(x0)成立,则实数m的取值范围是( )A.m≥B.0<m<C.0<m<2D.m≥25.(2015浙江镇海中学测试卷一,12)若存在实数x,使得x2-2mx+3m<0成立,则m的取值范围是.6.(2015河南洛阳统考)若关于x的不等式ax2-|x|+2a<0的解集为空集,则实数a的取值范围为.7.(2015浙江杭州外国语学校期中,16)若不等式|x-1|≥kx-2对一切实数x恒成立,则实数k 的取值范围是.8.(2016领航高考冲刺卷四文,14,4分)若对任意的t∈[0,1],不等式x2-(t2+t-2)x+t3-2t2≥0恒成立,则x的取值范围是.9.(2016超级中学原创预测卷十,12,4分)已知两个正实数x,y满足4x+y-xy=0,若不等式x+<m2-4m-1有解,则实数m的取值范围是.10.(2015杭州二模,20,14分)已知函数f(x)=x2-ax-a.(1)若存在实数x,使f(x)<0,求实数a的取值范围;(2)设g(x)=|f(x)|,若对任意实数a,存在x0∈[0,1]使不等式g(x0)≥k恒成立,求实数k的取值范围.B组提升题组1.(2015浙江镇海中学测试卷二,8,5分)已知函数f(x)=x2-mx+2在(-∞,1]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,m+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤9成立,则实数m的取值范围为( )A.[1,4]B.[2,4]C.[2,5]D.[4,+∞)2.(2015浙江萧山中学摸底测试)对于函数f(x)=x2+2x,在使f(x)≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值M max=-1叫做f(x)=x2+2x的下确界.对于a,b∈R,且a、b不全为0,那么的下确界是.3.(2015浙江名校(衢州二中)交流卷二,15)设a,b为实数,函数f(x)=ax+b满足:对任意x∈[0,1],f(x)≤1,则ab的最大值为.4.(2016超级中学原创预测卷三,14,4分)若不等式x2+tx+1≥a对任意的t∈[-1,1],a∈[0,1]恒成立,则x的取值范围为.5.(2016领航高考冲刺卷四,15,4分)若关于x的不等式(lgx)2-algx+2≥0在[1,10]上恒成立,则实数a的取值范围是.6.(2015浙江冲刺卷六,13)已知0<x<y,且x+≤my恒成立,则m的最小值是.7.(2015稽阳联考文,20,14分)已知函数f(x)=x2+3|x-a|(a>0),记f(x)在[-1,1]上的最小值为g(a).(1)求g(a)的表达式;(2)若对任意x∈[-1,1],恒有f(x)≤g(a)+m成立,求实数m的取值范围.8.(2015宁波一模,20,14分)已知k为实数,对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x-1)*(x-1).若f(x)在上为增函数,求实数k的取值范围.9.(2015浙江五校一联,20,15分)已知函数f(x)=x2+2x|x-a|,其中a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式4≤f(x)≤16在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范围.Ａ组基础题组1.A 由题意知,对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0,即a≤-x2+2x=-(x-1)2+1,由二次函数的性质可知,y=-(x-1)2+1在[-1,1]上递增,在[1,2]上递减,故函数在x=-1处取得最小值-3,则a的取值范围是(-∞,-3],选A.2.A 由题意得f(ax)+af(x)=ax-+ax-<0(x≥1),即<0,易知a<0,2a2x2-1-a2>0,<1,∴a<-1,故选A.3.D 当n为正偶数时,化简得a<×+1,则a<,当n=2时,=,故a<;当n为正奇数时,化简得a>-×+1,则a>,当n=1时,=,故a>.综上,选D.4.B 若f(-x0)=f(x0),则m·-=m·-.因为x0≠0,所以m=,利用基本不等式得0<<=,所以所求实数m的取值范围为0<m<,故选B.5.答案m>3或m<0解析由题意知函数f(x)=x2-2mx+3m的最小值小于0,即3m-m2<0,解得m>3或m<0.6.答案解析当a=0时,不等式为-|x|<0,解集不为空集.当a≠0时,由题意知a>0,令t=|x|,则原不等式等价于at2-t+2a<0(t≥0),所以a<(t≥0),根据题意知a≥(t≥0).而≤=,所以a≥.7.答案-1≤k≤1解析x>0时,k≤=得k≤1;x<0时,k≥=-1,得k≥-1;x=0时,k∈R.综上,-1≤k≤1.8.答案(-∞,-2]∪[1,+∞)解析∵x2-(t2+t-2)x+t3-2t2≥0,∴(x-t2)[x-(t-2)]≥0,∵t2-(t-2)=+>0,∴x≥t2或x≤t-2对任意的t∈ [0,1]恒成立,∴x≥(t2)max=1或x≤(t-2)min=-2.故x的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).9.答案m>5或m<-1解析由4x+y-xy=0得+=1.所以x+==2++≥4,当且仅当y=4x时等号成立,则m2-4m-1>4,即m2-4m-5>0,解得m>5或m<-1.10.解析(1)f(x)=--a,当且仅当--a<0时,存在实数x,使f(x)<0.由--a<0得a<-4或a>0.(2)记函数g(x)=|f(x)|=在区间[0,1]上的最大值为M(a).①当≤0时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,且f(0)=-a≥0,所以当x∈[0,1]时,g(x)max=f(x)max=f(1)=1-2a.②当0<≤1,即0<a≤2时,f(0)=-a<0.所以g(x)max=max=max.(i)当0<a≤时,g(x)max=max.(a)当0<a≤-6+2时,+a≤1-2a,所以g(x)max=1-2a;(b)当-6+2<a≤时,+a>1-2a,所以g(x)max=+a.(ii)当<a≤2时,g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以g(x)max=g=+a.(iii)当>1,即a>2时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,且f(0)=-a<0.所以g(x)max=g(1)=2a-1; 综上所述,M(a)=易知M(a)min=M(-6+2)=13-4.由题意知k≤M(a)min,故k≤13-4.B组提升题组1.B 因为函数f(x)=x2-mx+2在(-∞,1]上是减函数,所以(-∞,1]⊆,由≥1得m≥2.对任意的x1,x2∈[1,m+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤9成立,等价于对于x∈[1,m+1],有f(x)max-f(x)min≤9.易知1比m+1更接近,从而f(x)max=f(m+1)=m+3,f(x)min=f=2-,则有m+3-≤9,解得-8≤m≤4.综合有2≤m≤4.2.答案解析因为f(x)=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,所以f(x)的下确界M即为f(x)的最小值,又因为a2+b2≥2ab,所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),所以≥=.3.答案解析由得a=f(1)-f(0),b=f(0),∴ab=f(0)[f(1)-f(0)]=-+[f(1)]2≤[f(1)]2≤.当且仅当f(1)=2f(0),f(1)=1时取等号,即当a=b=时,ab取到最大值.4.答案x≤-1或x=0或x≥12+tx+1≥1,则原解析不等式x2+tx+1≥a对任意的a∈[0,1]恒成立,∴x2+tx+1≥a条件等价于x2+tx≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立.令g(t)=xt+x2,于是g(t)≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立,等价于即解得x≤-1或x=0或x≥1.5.答案a≤解析令lgx=t,则由x∈[1,10]得t∈[0,1],则原不等式可转化为t2-at+2≥0在[0,1]上恒成立.对于函数y=t2-at+2=(t-a)2+2-a2,其图象的对称轴为t=a,当a≤0时,函数在[0,1]上单调递增,则y≥2>0对t∈[0,1]恒成立;当0<a<1时,Δ=a2-4<0恒成立,故y>0对t∈[0,1]恒成立;当a≥1时,函数在[0,1]上单调递减,则y≥y|t=1=+2-a≥0,解得a≤,所以1≤a≤.综上,a≤.6.答案解析解法一:∵y>0,∴m≥恒成立.∵0<x<y,∴0<<1,∴=+==≤=,当且仅当=,即y=x时,等号成立.所以的最大值为,故m≥,故m的最小值是.解法二:∵y>0,∴m≥恒成立,又=+,∵0<x<y,∴0<<1,则可设=sinα,其中0<α<.则+=sinα+cosα=sin.因为0<α<,所以<α+<,所以<sin≤1,所以的最大值为,故m≥,故m的最小值是.7.解析(1)f(x)=∵a>0,-1≤x≤1,∴(i)0<a≤1时,f(x)在[-1,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增,∴g(a)=f(a)=a2;(ii)a>1时,f(x)在上单调递减,∴g(a)=f(1)=3a-2,综合得g(a)=(2)令h(x)=f(x)-g(a).①0<a≤1时,g(a)=a2,当x∈[-1,a]时,h(x)=x2-3x+3a-a2在[-1,a]上单调递减,∴h(x)≤h(-1)=4+3a-a2≤6;当x∈(a,1]时,h(x)=x2+3x-3a-a2在(a,1]上单调递增,∴h(x)≤h(1)=4-3a-a2<4.②a>1时,g(a)=3a-2,h(x)=x2-3x+2≤h(-1)=6,综合得a>0,-1≤x≤1,h(x)=f(x)-g(a)的最大值为6,由h(x)≤m恒成立,得m的取值范围为[6,+∞).8.解析f(x)=若f(x)在上为增函数,则或或解得k≥.若f(x)在上为增函数,则或或解得k≥1.综上所述,k的取值范围为k≥.9.解析(1)f(x)=当a≥0时,f(x)在(-∞,a)和(a,+∞)上均递增,∵f(a)=a2,则f(x)在R上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,a)和上单调递增,在上单调递减.(2)由题意只需f min(x)≥4,f max(x)≤16.首先,由(1)可知,f(x)在x∈[1,2]上恒递增,则f min(x)=f(1)=1+2|1-a|≥4,解得a≤-或a≥.其次,当a≥时,f(x)在R上单调递增,故f max(x)=f(2)=4a-4≤16,解得≤a≤5;当a≤-时,f(x)在[1,2]上单调递增,故f max(x)=f(2)=12-4a≤16,解得-1≤a≤-.综上,a的取值范围是-1≤a≤-或≤a≤5.。
【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 专题探究课六(建议用时：80分钟)1.(2016·佛山质检)贵广高速铁路从贵阳北站起终至广州南站.其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站.记者对广东省内的6个车站随机抽取3个进行车站服务满意度调查.(1)求抽取的车站中含有佛山市内车站(包括三水南站和佛山西站)的概率；(2)设抽取的车站中含有肇庆市内车站(包括怀集站、广宁站、肇庆东站)个数为X ，求X 的分布列及其均值(即数学期望).解 (1)设“抽取的车站中含有佛山市内车站”为事件A ，则 P (A )＝C 22C 14＋C 12C 24C 36＝45. (2)X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 03C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 03C 36＝120，所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×20＋1×20＋2×20＋3×20＝2.2.一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生： (1)得60分的概率；(2)所得分数X 的分布列和数学期望.解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ，“有一道题不理解题意”选对为事 件C ，∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)X 可能的取值为40，45，50，55，60.P (X ＝40)＝12×12×23×34＝18；P (X ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748； P (X ＝50)＝12 ×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748； P (X ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748； P (X ＝60)＝12×12×13×14＝148. X 的分布列为E (X )＝40×8＋45×48＋50×48＋55×48＋60×48＝12. 3.(2016·皖南八校二模)某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次).设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： (1)获赔的概率； (2)获赔金额X 的分布列.解 设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k ＝1，2，3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，且P (A 1)＝19，P (A 2)＝110，P (A 3)＝111.∴P (A 1)＝89，P (A 2)＝910，P （A 3)＝1011.(1)该单位一年内获赔的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－89×910×1011＝311.(2)X 的所有可能值为0，9 000，18 000，27 000.P (X ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝89×910×1011＝811， P (X ＝9 000)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝ P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)·P (A 2)P (A 3)＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111＝242990＝1145，P (X ＝18 000)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋ P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111＝27990＝3110. P (X ＝27 000)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝19×110×111＝1990. 综上知，X 的分布列为4..该探测器预计在2017年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空.为确保发射成功，科学家增加了“长征五号”的某项新技术.该项新技术在进入试用阶段前必须检测三项不同的指标甲、乙、丙是否合格.假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立检测合格的概率分别为23、23、12，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响. (1)求该项新技术量化检测得分为10分的概率；(2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望.解 (1)记“该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立检测合格”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝23，P (B )＝23，P (C )＝12，所以事件“该项新技术量化检测得分为10分”可表示为ABC .所以该项新技术量化检测得分为10分的概率为P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝23×23×12＝29.(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由题意结合(1)知，P (ξ＝0)＝P (A B C )＝13×13×12＝118，P (ξ＝1)＝P (A B C ＋A B C ＋A B C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518. P (ξ＝2)＝P (AB C ＋A B C ＋A BC )＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＝49. P (ξ＝3)＝P (ABC )＝23×23×12＝29.所以随机变量ξ的分布列为所以E(X)＝0×118＋1×18＋2×9＋3×9＝6.5.(2016·浙大附中模拟)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)·P(Y＝1)＋P(Y＝2)·P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)法一X所有可能的取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X ＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为E(X)法二X所有可能的取值为0，1，2.X ＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P (X ＝0)＝P (Y ＞2)＝0.5；X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝0.49；所以X 的分布列为E (X )6.某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？ 解 (1)由表知，乘客人数不超过24人的频率是0.10＋0.15＋0.25＋0.20＝0.70， 则从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是0.70.(2)由表知，从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率约为12，设途经10个停靠站，乘车人数超过18人的个数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12， ∴P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1) ＝1－C 010⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1210－C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－129＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝1 0131 024>0.9，故该线路需要增加班次.。
§6.6不等式的综合应用Ａ组基础题组1.(2015四川绵阳质检)若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是( )A.(-∞,-3]B.(-∞,0]C.[1,+∞)D.(-∞,1]2.(2015云南师大附中适应性考试)设函数f(x)=x-,对任意x∈[1,+∞),f(ax)+af(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.( -1,1)D.(0,1)4.(2015湖州一模,6,5分)已知函数f(x)=m·9x-3x,若存在非零实数x0,使得f(-x0)=f(x0)成立,则实数m的取值范围是( )A.m≥B.0<m<C.0<m<2D.m≥25.(2015浙江镇海中学测试卷一,12)若存在实数x,使得x2-2mx+3m<0成立,则m的取值范围是.6.(2015河南洛阳统考)若关于x的不等式ax2-|x|+2a<0的解集为空集,则实数a的取值范围为.7.(2015浙江杭州外国语学校期中,16)若不等式|x-1|≥kx-2对一切实数x恒成立,则实数k 的取值范围是.8.(2016领航高考冲刺卷四文,14,4分)若对任意的t∈[0,1],不等式x2-(t2+t-2)x+t3-2t2≥0恒成立,则x的取值范围是.9.(2016超级中学原创预测卷十,12,4分)已知两个正实数x,y满足4x+y-xy=0,若不等式x+<m2-4m-1有解,则实数m的取值范围是.10.(2015杭州二模,20,14分)已知函数f(x)=x2-ax-a.(1)若存在实数x,使f(x)<0,求实数a的取值范围;(2)设g(x)=|f(x)|,若对任意实数a,存在x0∈[0,1]使不等式g(x0)≥k恒成立,求实数k的取值范围.B组提升题组1.(2015浙江镇海中学测试卷二,8,5分)已知函数f(x)=x2-mx+2在(-∞,1]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,m+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤9成立,则实数m的取值范围为( )A.[1,4]B.[2,4]C.[2,5]D.[4,+∞)2.(2015浙江萧山中学摸底测试)对于函数f(x)=x2+2x,在使f(x)≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值M max=-1叫做f(x)=x2+2x的下确界.对于a,b∈R,且a、b不全为0,那么的下确界是.3.(2015浙江名校(衢州二中)交流卷二,15)设a,b为实数,函数f(x)=ax+b满足:对任意x∈[0,1],f(x)≤1,则ab的最大值为.4.(2016超级中学原创预测卷三,14,4分)若不等式x2+tx+1≥a对任意的t∈[-1,1],a∈[0,1]恒成立,则x的取值范围为.5.(2016领航高考冲刺卷四,15,4分)若关于x的不等式(lgx)2-algx+2≥0在[1,10]上恒成立,则实数a的取值范围是.6.(2015浙江冲刺卷六,13)已知0<x<y,且x+≤my恒成立,则m的最小值是.7.(2015稽阳联考文,20,14分)已知函数f(x)=x2+3|x-a|(a>0),记f(x)在[-1,1]上的最小值为g(a).(1)求g(a)的表达式;(2)若对任意x∈[-1,1],恒有f(x)≤g(a)+m成立,求实数m的取值范围.8.(2015宁波一模,20,14分)已知k为实数,对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x-1)*(x-1).若f(x)在上为增函数,求实数k的取值范围.9.(2015浙江五校一联,20,15分)已知函数f(x)=x2+2x|x-a|,其中a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式4≤f(x)≤16在x∈[1,2]上恒成立,求a的取值范围.Ａ组基础题组1.A 由题意知,对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0,即a≤-x2+2x=-(x-1)2+1,由二次函数的性质可知,y=-(x-1)2+1在[-1,1]上递增,在[1,2]上递减,故函数在x=-1处取得最小值-3,则a的取值范围是(-∞,-3],选A.2.A 由题意得f(ax)+af(x)=ax-+ax-<0(x≥1),即<0,易知a<0,2a2x2-1-a2>0,<1,∴a<-1,故选A.3.D 当n为正偶数时,化简得a<×+1,则a<,当n=2时,=,故a<;当n为正奇数时,化简得a>-×+1,则a>,当n=1时,=,故a>.综上,选D.4.B 若f(-x0)=f(x0),则m·-=m·-.因为x0≠0,所以m=,利用基本不等式得0<<=,所以所求实数m的取值范围为0<m<,故选B.5.答案m>3或m<0解析由题意知函数f(x)=x2-2mx+3m的最小值小于0,即3m-m2<0,解得m>3或m<0.6.答案解析当a=0时,不等式为-|x|<0,解集不为空集.当a≠0时,由题意知a>0,令t=|x|,则原不等式等价于at2-t+2a<0(t≥0),所以a<(t≥0),根据题意知a≥(t≥0).而≤=,所以a≥.7.答案-1≤k≤1解析x>0时,k≤=得k≤1;x<0时,k≥=-1,得k≥-1;x=0时,k∈R.综上,-1≤k≤1.8.答案(-∞,-2]∪[1,+∞)解析∵x2-(t2+t-2)x+t3-2t2≥0,∴(x-t2)[x-(t-2)]≥0,∵t2-(t-2)=+>0,∴x≥t2或x≤t-2对任意的t∈ [0,1]恒成立,∴x≥(t2)max=1或x≤(t-2)min=-2.故x的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).9.答案m>5或m<-1解析由4x+y-xy=0得+=1.所以x+==2++≥4,当且仅当y=4x时等号成立,则m2-4m-1>4,即m2-4m-5>0,解得m>5或m<-1.10.解析(1)f(x)=--a,当且仅当--a<0时,存在实数x,使f(x)<0.由--a<0得a<-4或a>0.(2)记函数g(x)=|f(x)|=在区间[0,1]上的最大值为M(a).①当≤0时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,且f(0)=-a≥0,所以当x∈[0,1]时,g(x)max=f(x)max=f(1)=1-2a.②当0<≤1,即0<a≤2时,f(0)=-a<0.所以g(x)max=max=max.(i)当0<a≤时,g(x)max=max.(a)当0<a≤-6+2时,+a≤1-2a,所以g(x)max=1-2a;(b)当-6+2<a≤时,+a>1-2a,所以g(x)max=+a.(ii)当<a≤2时,g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以g(x)max=g=+a.(iii)当>1,即a>2时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,且f(0)=-a<0.所以g(x)max=g(1)=2a-1; 综上所述,M(a)=易知M(a)min=M(-6+2)=13-4.由题意知k≤M(a)min,故k≤13-4.B组提升题组1.B 因为函数f(x)=x2-mx+2在(-∞,1]上是减函数,所以(-∞,1]⊆,由≥1得m≥2.对任意的x1,x2∈[1,m+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤9成立,等价于对于x∈[1,m+1],有f(x)max-f(x)min≤9.易知1比m+1更接近,从而f(x)max=f(m+1)=m+3,f(x)min=f=2-,则有m+3-≤9,解得-8≤m≤4.综合有2≤m≤4.2.答案解析因为f(x)=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,所以f(x)的下确界M即为f(x)的最小值,又因为a2+b2≥2ab,所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),所以≥=.3.答案解析由得a=f(1)-f(0),b=f(0),∴ab=f(0)[f(1)-f(0)]=-+[f(1)]2≤[f(1)]2≤.当且仅当f(1)=2f(0),f(1)=1时取等号,即当a=b=时,ab取到最大值.4.答案x≤-1或x=0或x≥12+tx+1≥1,则原解析不等式x2+tx+1≥a对任意的a∈[0,1]恒成立,∴x2+tx+1≥a条件等价于x2+tx≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立.令g(t)=xt+x2,于是g(t)≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立,等价于即解得x≤-1或x=0或x≥1.5.答案a≤解析令lgx=t,则由x∈[1,10]得t∈[0,1],则原不等式可转化为t2-at+2≥0在[0,1]上恒成立.对于函数y=t2-at+2=(t-a)2+2-a2,其图象的对称轴为t=a,当a≤0时,函数在[0,1]上单调递增,则y≥2>0对t∈[0,1]恒成立;当0<a<1时,Δ=a2-4<0恒成立,故y>0对t∈[0,1]恒成立;当a≥1时,函数在[0,1]上单调递减,则y≥y|t=1=+2-a≥0,解得a≤,所以1≤a≤.综上,a≤.6.答案解析解法一:∵y>0,∴m≥恒成立.∵0<x<y,∴0<<1,∴=+==≤=,当且仅当=,即y=x时,等号成立.所以的最大值为,故m≥,故m的最小值是.解法二:∵y>0,∴m≥恒成立,又=+,∵0<x<y,∴0<<1,则可设=sinα,其中0<α<.则+=sinα+cosα=sin.因为0<α<,所以<α+<,所以<sin≤1,所以的最大值为,故m≥,故m的最小值是.7.解析(1)f(x)=∵a>0,-1≤x≤1,∴(i)0<a≤1时,f(x)在[-1,a]上单调递减,在(a,1]上单调递增,∴g(a)=f(a)=a2;(ii)a>1时,f(x)在上单调递减,∴g(a)=f(1)=3a-2,综合得g(a)=(2)令h(x)=f(x)-g(a).①0<a≤1时,g(a)=a2,当x∈[-1,a]时,h(x)=x2-3x+3a-a2在[-1,a]上单调递减,∴h(x)≤h(-1)=4+3a-a2≤6;当x∈(a,1]时,h(x)=x2+3x-3a-a2在(a,1]上单调递增,∴h(x)≤h(1)=4-3a-a2<4.②a>1时,g(a)=3a-2,h(x)=x2-3x+2≤h(-1)=6,综合得a>0,-1≤x≤1,h(x)=f(x)-g(a)的最大值为6,由h(x)≤m恒成立,得m的取值范围为[6,+∞).8.解析f(x)=若f(x)在上为增函数,则或或解得k≥.若f(x)在上为增函数,则或或解得k≥1.综上所述,k的取值范围为k≥.9.解析(1)f(x)=当a≥0时,f(x)在(-∞,a)和(a,+∞)上均递增,∵f(a)=a2,则f(x)在R上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,a)和上单调递增,在上单调递减.(2)由题意只需f min(x)≥4,f max(x)≤16.首先,由(1)可知,f(x)在x∈[1,2]上恒递增,则f min(x)=f(1)=1+2|1-a|≥4,解得a≤-或a≥.其次,当a≥时,f(x)在R上单调递增,故f max(x)=f(2)=4a-4≤16,解得≤a≤5;当a≤-时,f(x)在[1,2]上单调递增,故f max(x)=f(2)=12-4a≤16,解得-1≤a≤-.综上,a的取值范围是-1≤a≤-或≤a≤5.。
