江苏省无锡市普通高中2019—2020学年高二下学期期终调研考试数学试题 含答案

江苏省无锡市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2x f x e >的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞2．已知双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，它的一条渐近线与圆()2222x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．223．已知空间向量(3,a =1，0)，(),3,1b x =-，且a b ⊥，则(x = )A ．3-B ．1-C ．1D ．24．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．95．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ）A ．1712π+B ．2012π+C ．1212π+D ．1612π+6．曲线4sin y x x =+在43x π=处的切线的斜率为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1 7．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ）A ．1B ．C ．2D ．38．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞内单调递增的函数是（ ）A ．3y x =-B ．cos y x =C ．1y x x =+D ．||y x x =9．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种10．2018年平昌冬奥会期间，5名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（ ）A ．21B ．36C ．42D ．8411．已知某次数学考试的成绩服从正态分布2(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（ ） （附()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤）A ．0.3%B ．0.23%C ．0.13%D ．1.3%12．已知一袋中有标有号码1、2、3的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率为（ ）A ．585B ．1481C ．2281D ．2581二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若1x =是函数()()25x x a e f x x =+-的极值点，则()f x 在[]22-,上的最小值为______. 14．假设每一架飞机的每一个引擎在飞行中出现故障概率均为1p -，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎飞机正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是__________．15．在直角坐标系中，已知1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．16．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系中，射线:(0)l y kx x =≥ 的倾斜角为α ，且斜率k ∈.曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩ 为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ= .(1)分别求出曲线1C 和射线l 的极坐标方程；(2)若l 与曲线1C ，2C 交点(不同于原点)分别为A,B ，求|OA||OB|的取值范围.18．已知函数32()2f x x ax =-+（1）讨论()f x 的极值；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[0,2]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -．19．（6分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3423x t y t =+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ+-=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点p 是直线l 的一点，过点p 作曲线C 的切线，切点为Q ，求PQ 的最小值.20．（6分）某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n 株作为样本进行研究．株高在35cm 及以下为不良，株高在35cm 到75cm 之间为正常，株高在75cm 及以上为优等．下面是这n 个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁．请根据可见部分，解答下面的问题：（1）求n 的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；（2）通过频率分布直方图估计这n 株株高的中位数（结果保留整数）；（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X 表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X 的分布列（用最简分数表示）．21．（6分）已知等比数列的前项和，满足，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，记数列的前项和，求的最大值.22．（8分）设命题:p 函数2()16a f x ax x =-+的值域为R ；命题:39x x q a -<对一切实数x 恒成立，若命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】 分析：先构造函数()()xf xg x e =，再根据函数单调性解不等式. 详解：令()()x f x g x e =，因为()()()0x f x f x g x e '-'=<，(0)2g = 所以()2()(0)0x f x e g x g x >⇒>⇒<因此解集为(),0-∞ ，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 2．A【解析】 方法一：双曲线的渐近线方程为bx y a=±，则0bx ay ±=，圆的方程()2222x y -+=，圆心为()2,0,r ==a b =，则离心率e =方法二：因为焦点()2,0F c -到渐近线的0bx ay ±=距离为b ，2c =，即,c =则离心率为e =选A.3．C【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x 的方程，即可求解x 的值．【详解】由题意知，空间向量a (3,=1，0)，()b x,3,1=-，且a b ⊥，所以a b 0⋅=，所以31(3)010x +⨯-+⨯=，即3x 30-=，解得x 1=.故选C ．【点睛】 本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3,4，5}的子集的个数．【详解】解：{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，∴集合A 中必须含有1，2两个元素，因此满足条件的集合A 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共8个．故选C ．【点睛】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键.有n 个元素的集合其子集共有2n 个.5．B【解析】【分析】根据三视图可确定几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为3的半圆柱中间挖去一个底面半径为1的半圆柱∴几何体表面积：()221112312332132231220222S ππππ=⨯-+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+ 本题正确选项：B【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况. 6．B【解析】【分析】【详解】因为'14cos y x =+，所以434|14cos14133x y cos πππ=='=+-=-. 故选B.7．C【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a 3=6，S 3=11，联立可求公差d ．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3=6，S 3=11，得：解得：a 1=1，d=1．故选C ．考点：等差数列的前n 项和．8．D【解析】【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A 、B 、C 、D 各项分别加以验证，不难得到正确答案．【详解】解：对于A ，因为幂函数y ＝x 3是R 上的增函数，所以y ＝﹣x 3是（0，+∞）上的减函数，故A 不正确； 对于B ，cos y x =为偶函数，且在(0,)+∞上没有单调性，所以B 不正确；对于C ，1y x x=+在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，故C 不正确； 对于D ，若f （x ）＝x|x|，则f （﹣x ）＝﹣x|x|＝﹣f （x ），说明函数是奇函数，而当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝x 2，显然是（0，+∞）上的增函数，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的判断与证明，属于基础题．9．A【解析】试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法． 三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法．三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．考点：本题主要考查分类计数原理的应用．点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和．用列举法也可以，形象、直观易懂．10．C【解析】分析：根据题意，分两种情况讨论：①最左边排甲；②最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案.详解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有4424A =种安排方法；②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，再将剩下的3人全排列，有336A =种情况，此时有1863=⨯种安排方法，则不同的排法种数为241842+=种.故选：C.点睛：解决排列类应用题的策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排问题直排法处理．(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．11．C【解析】分析：先求出u,σ,再根据(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.详解：由题得u=102,4,σ=3114.u σ∴+=因为(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=， 所以10.9974(114=0.00130.13%2P X ->==）. 故答案为：C. 点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线和概率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时，要画图数形结合分析，不要死记硬背公式.12．B【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有53种；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号，所以总的可能有()24322C -种；所以恰好第5次停止取卡片的概率为()24352214381C p -==. 本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．3e -【解析】【分析】先对f(x)求导，根据()'10f =可解得a 的值，再根据函数的单调性求出区间[]22-,上的最小值． 【详解】()()()25'2x x x a e e f x x x a =+++-2(2)5x e x a x a ⎡⎤=+++-⎣⎦，则()()'1220f e a =-=，解得1a =，所以()()25x f x x x e =+-， 则()()2'34x e x f x x =+-()()41x e x x =+-.令()'0f x >，得4x <-或1x >；令()'0f x <，得41x -<<.所以()f x 在[)2,1-上单调递减；在(]1,2上单调递增.所以()()min 13f x f e ==-.【点睛】本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由()'10f =求出未知量a ．14．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】分析：由题意知各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，4引擎飞机可以正常工作的概C 43p 3（1﹣p ）+p 4，2引擎飞机可以正常工作的概率是p 2，根据题意列出不等式，解出p 的值． 详解：每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p ，不出现故障的概率是p ，且各引擎是否有故障是独立的，4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；4引擎飞机可以正常工作的概率是C 43p 3（1﹣p ）+p 4，2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机也可成功飞行，2引擎飞机可以正常工作的概率是p 2要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，依题意得到C 43p 3（1﹣p ）+p 4＞p 2，化简得3p 2﹣4p+1＜0， 解得13＜p ＜1． 故选：B ．点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查一元二次不等式的解法，是一个综合题，本题也是一个易错题，注意条件“4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行”的应用．15．(),-∞⋃+∞【解析】【分析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB == 化简得()2254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆，由题意可知，直线10x my +-=与圆()2254x y -+=有公共点，2≤，解得m ≤m ≥.因此，实数m 的取值范围是(),-∞⋃+∞.故答案为：(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.16．3【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()a y f x x ==，由于图象过点(,12,2a a ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）1:2cos ;:,(,]43C l ππρθθαα==∈ （2）2,23]（ 【解析】试题分析：(1)结合题中所给的方程的形式整理可得曲线1C 和射线l 的极坐标方程分别是：1:2cos ;:,,43C l ππρθθαα⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦. (2)联立12,C C 的方程，结合题意可求得|OA||OB|的取值范围是(2,23]. 试题解析：(1)的极坐标方程为， 的极坐标方程为， (2)联立2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得联立2cos sin ρθθθα⎧=⎨=⎩， 得 ∴2tan 22,3]k α==∈（18．（1）答案不唯一，具体见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）求导函数'()f x ，由导函数确定函数的单调性后可确定极值；（2）由（1）可知()f x 在区间(0,2]上的单调性，从而可求得极值和最值．【详解】（1）2()32(32)f x x ax x x a '=-=-当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在(-,)∞+∞上单增，无极值当0a >时，2()03a f x x '>⇒>， ()f x ∴单减区间是2-,3a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，单增区间是2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 所以324()2327a a f x f ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭极小，无极大值．（2）203,023a a <<∴<< 由（1）知()f x 在20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，2,23a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单增 3min 24()2327a a f x f m ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭max ()max{(0),(2)}max{2,104}f x f f a ==-当02a <≤时，34104,104227a M a M m a =--=--+348427a a =-- 当23a <<时，33442,222727a a M M m =-=-+= 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值与最值．解题时可求出导函数后确定出函数的单调性，然后可确定极值、最值．19．（1）34170x y --=，22(1)9x y ++=；（2）见解析【解析】【分析】（1）消去t,得直线l 的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线C 的直角坐标方程；（2）判断l 与圆A 相离，连接,AQ AP ，在Rt APQ ∆中，22222||||437PQ PA AQ =-≥-=，即可求解【详解】 （1）将l 的参数方程3423x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）消去参数，得34170x y --=. 因为x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，22cos 80ρρθ+-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为()2219x y ++=.（2）由（1）知曲线C 是以()1,0-为圆心，3为半径的圆，设圆心为A ，则圆心A 到直线l 的距离317435d --==>，所以l 与圆A 相离，且4PA ≥.连接,AQ AP ，在Rt APQ ∆中，22222||||437PQ PA AQ =-≥-=，所以，PQ ≥PQ .【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题20．（1）20n =，补图见解析（2）估计这n 株株高的中位数为82（3）见解析【解析】【分析】根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列．【详解】解：（1）由第一组知10.002520n=，得20n =， 补全后的频率分布直方图如图（2）设中位数为0x ，前三组的频率之和为0.050.10.20.350.5++=<，前四组的频率之和为0.050.10.20.450.80.5+++=>，∴[)075,95x ∈， ∴()0750.02250.15x -⨯=，得0245823x =≈， ∴估计这n 株株高的中位数为82. （3）由题设知132,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()22749020400P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ ()127139112020200P X C ==⋅⋅= ()22213169220400P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭X的分布列为X0 1 2P 4940091200169400【点睛】本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题.21．（1）（2）166【解析】【分析】（1）将题目中的条件转化为首项和公比的式子，于是可得到通项公式；（2）通过条件先求出数列的通项，要想的值最大，只需找出即可.【详解】解：（1）所以（2）当时，当时，将代入成立，所以，当时，，当时，所以【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，数列的最值问题，意在考查学生的基础知识，计算能力和分析能力，难度不大.22．1(,](2,)4a∈-∞+∞【解析】试题分析：分别求出命题p ，q 成立的等价条件，利用p 且q 为假．确定实数a 的取值范围．试题解析：p 真时，0a =合题意.0a >时，210024a a ∆=-≥⇒<≤． 02a ⇒≤≤时，P 为真命题.q 真时：令3(0,)x t =∈+∞，故2a t t >-在(0,)+∞恒成立14a ⇒>时，q 为真命题. p q ⇒∧为真时，124a <≤. p q ∴∧为假命题时，1(,](2,)4a ∈-∞+∞.考点：复合命题的真假.。

无锡市普通高中2024年春学期高二期终调研考试试题数学2024.06命题单位：惠山区教师发展中心制卷单位：宜兴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}14A x x =<<，{}11B x x =-<，则A B = （）A.(0,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(1,2)2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.平面内有A ，B ，C ，D 共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（）A.4B.6C.12D.204.一个小球做简谐运动，其运动方程为ππ()cos 23s t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()s t （单位：m ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在1t =时的瞬时速度为（单位：m/s ）（）A.π4-B.π4C.12-D.125.已知随机变量()2~9,X N σ，且()7110.6P X <<=，()120.1P X >=，则()67P X <<=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.46.设随机变量X 的概率分布列如下，且()103P X ≤=，则X 的方差()D X =（）X1-01P16m nA.12B.512C.712D.11127.函数3()3f x x x =-+在区间()m -上存在最大值与最小值，则实数m 的取值范围为（）A.12m <≤B.1m <≤C.22m >D.1m >8.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()56P A B =，()1118P A B =，则（）A.1()2P B =B.1()12P AB =C.7()12P A B +=D.7()8P B A =二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若0a b >>，c d >，则ac bd <B.若22a m a n >，则m n >C.若0a b <<，则11a b a >-D.若110a b<<，则2ab b <10.已知129910C C C m mm -++=，2220122(21)(1)(1)(1)m m m x a a x a x a x -=+++++++ ，*m ∈N ，则下列结论成立的是（）A.5m =B.2022512m m a a a ++++=C.22120222222mm m a a a a ++++= D.12322324m a a a ma m++++=- 11.已知函数()()1e xf x x =+，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小值为21e -B.若方程()f x a =有2个不同的解，则21e a ≥C.不等式()21f x x ≥+对x ∀∈R 成立D.当0k >时，若不等式()ln(1)f x k x kx ≥++恒成立，则0ek <≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数sin ()xf x x=，则曲线()y f x =在点(2π,0)处的切线方程为______.13.某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答）14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X ，则随机变量X 的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n 分的概率为n a ，则当n a 取最大值时n 的值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{}24A x m x m =<<+，集合{()B x f x ==.（1）若1m =-，求()A B ⋃R ð；（2）若“x A ∀∈，都有x B ∈R ð成立”为真命题，求实数m 的取值范围.16.已知2(0)na x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49.（1）求实数n 和a 的值；（2）求()2413na x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中10x 的系数.17.水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月时间代码x 123456销售额y （单位：万元）2.0 4.0 5.2 6.1 6.87.4（1）根据题目信息，ˆˆˆy abx =+与ˆˆˆln y a b x =+哪一个更适合作为销售额y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y 关于时间x 的回归方程.（注：数据保留整数）；（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X 表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考公式与数据：61ln 6.6ii x=≈∑，61ln 41.1i i i x y =⋅≈∑，()621ln 9.4i i x =≈∑，61128.4i i i x y =⋅=∑，6121i i x ==∑，6131.5ii y==∑样本数据(),(1,2,,)i i x y i n = 的线性回归方程ˆˆˆy a bx=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.18.为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.12345678910训练前4759528.5675训练后8.59.57.59.58.569.58.599优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行A 和B 两个武术项目的训练考核，A 、B 项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，A 项若为优秀得2分，概率为p ，B 项若为优秀得3分，概率为13，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为()f p ，求p 为何值时，()f p 取得最大值.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82819.已知函数1()2(21)ln f x ax a x x=-+-，12a ≤.（1）证明：当0a =时，()1f x ≤-；（2）已知()()4ln g x f x a x =+，且()g x 在区间[]2,5上单调递增，求a 的最小值；（3）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围.无锡市普通高中2024年春学期高二期终调研考试试题数学2024.06命题单位：惠山区教师发展中心制卷单位：宜兴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}14A x x =<<，{}11B x x =-<，则A B = （）A.(0,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(1,2)【答案】D 【解析】【分析】绝对值不等式进行化简，利用集合的交集计算得出结果；【详解】集合{}14A x x =<<，由于11x -<等价于111x -<-<，即02x <<，故集合{}02B x x =<<.所以(1,2)A B ⋂=.故选：D .2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立.即可判断出结论．【详解】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立．∴“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.平面内有A ，B ，C ，D 共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（）A.4B.6C.12D.20【答案】B 【解析】【分析】简单的组合数问题，列举或运用组合数均可.【详解】线段为AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6条.故选：B.4.一个小球做简谐运动，其运动方程为ππ()cos 23s t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()s t （单位：m ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在1t =时的瞬时速度为（单位：m/s ）（）A .π4-B.π4C.12-D.12【答案】A 【解析】【分析】利用导数的物理意义，即可求解瞬时速度.【详解】()πππsin 223s t t ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，当1t =时，()π14s '=-，所以小球在1t =时的瞬时速度为πm /s 4-.故选：A5.已知随机变量()2~9,X N σ，且()7110.6P X <<=，()120.1P X >=，则()67P X <<=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】A 【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解.【详解】由正态密度曲线的对称性可知，()790.3P X <<=，()()1260.1P X P X >=<=，所以()670.50.30.10.1P X <<=--=.故选：A6.设随机变量X 的概率分布列如下，且()103P X ≤=，则X 的方差()D X =（）X1-01P16m nA.12B.512C.712D.1112【答案】C 【解析】【分析】先根据已知条件求出,m n ，然后求出()E X ，再根据方差公式可求得结果.【详解】由题意得1161163m n m ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1623m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1121()1016632E X =-⨯+⨯+⨯=，所以2221111217()(1)(0)(1)62623212D X =⨯--+⨯-+-=.故选：C7.函数3()3fx x x =-+在区间()m -上存在最大值与最小值，则实数m 的取值范围为（）A.612m <≤B.1m <≤C.2m >D.1m >【答案】B 【解析】【分析】首先求函数导数，并由最值确定函数在区间()m -的单调性，再利用数形结合确定实数m 的取值范围.【详解】()()()2333110f x x x x =-+=-+-='，得=1x-或1x =，因为区间()m-的端点是开区间，所以函数()f x 在区间()m -上存在最大值和最小值，只能是极值点处取得最大值和最小值，()(),,x f x f x '的变化情况如下表，当332x x -+=，得1x =或2-，当332x x -+=-，得=1x -，或2x =，则02112m m ⎧>⎪-≤-<-⎨⎪<≤⎩，得1m <≤.故选：B8.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()56P A B =，()1118P A B =，则（）A.1()2P B = B.1()12P AB =C.7()12P A B +=D.7()8P B A =【答案】D 【解析】【分析】利用全概率公式结合条件可得()P B ，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得.【详解】因为()13P A =，()56P A B =，()1118P A B =，所以()()511166P A B P A B =-=-=，()()117111818P A B P A B =-=-=，又()()()()()P A P B P A B P B P A B =+，即()()11713618P B P B =+-⎡⎤⎣⎦，解得()14P B =，故A 错误；因为()()()P AB P A B P B =，所以()()111()6424P AB P A B P B ==⨯=，故B 错误；()()()11113()342424P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故C 错误；因为()()()718P AB P A B P B ==，所以()()()73718424P AB P A B P B ==⨯=，所以()()7724()183P BA P B A P A ===，故D 正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若0a b >>，c d >，则ac bd <B.若22a m a n >，则m n >C.若0a b <<，则11a b a >-D.若110a b<<，则2ab b <【答案】BD 【解析】【分析】根据特殊值法，以及作差法，不等式的性质，判断选项.【详解】A.若0,0c d ><，此时ac bd >，故A 错误；B.若22a m a n >，则20a >，则m n >，故B 正确；C.()()()11a a b ba b a a a b a a b ---==---，0,0,0a b a b <<-<，所以()0b a a b <-，即11a b a <-，故C 错误；D.若110a b<<，则0b a <<，则2ab b <，故D 正确；故选：BD 10.已知129910C C C m m m -++=，2220122(21)(1)(1)(1)m m m x a a x a x a x -=+++++++ ，*m ∈N ，则下列结论成立的是（）A .5m = B.2022512m m a a a ++++=C.22120222222mm ma a a a ++++=D.12322324m a a a ma m++++=- 【答案】BCD【解析】【分析】考查二项式定理展开式，只需结合选项特征，合理采用赋值法即可.【详解】对于A ，由已知有21109910C C +C C m m m m +-==，所以210m m ++=，即4m =，A 错误；对于B ，令0x =，得01221m a a a a =++++ ，令2x =-，得201225mm a a a a =-+-+ .两式相加并除以2，可得2022152mm a a a ++++= ，B 正确；对于C ，令12x =-即得22120222222mm ma a a a =++++ ，C 正确；对于D ，在原式两边同时求导得21211224(21)2(1)2(1)m m m m x a a x ma x ---=+++++ ，再令0x =，可知12324232m m a a a ma -=++++ ，D 正确.故选：BCD.11.已知函数()()1e xf x x =+，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小值为21e -B.若方程()f x a =有2个不同的解，则21e a ≥C.不等式()21f x x ≥+对x ∀∈R 成立D.当0k >时，若不等式()ln(1)f x k x kx ≥++恒成立，则0e k <≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，只需求导研究函数性质即可；对B ，数形结合作出函数图象即可；对C ，构造函数证其最小值非负即可；对D ，整体换元，参变分离解决恒成立问题.【详解】对A ，()(2)x f x x e '=+，所以<2x -，()0f x '<，2x >-，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-单调递减，()f x 在(2+)-∞，上单调递增，所以()f x 最小值为21(2)f e-=-，A 正确；对B ，根据A 中的单调性分析，结合翻折变换，又-lim ()0x f x →∞=，可绘制|()|f x 图象如下，由图可知若|()|f x a =有两个不同的解，则21e =a ，B 错误；对C ，令()()21h x f x x =--，所以()(2)e 2x h x x '=+-，令()()x h x ϕ'=，()(3)e x x x ϕ'=+，易知3x <-，()0x ϕ'<，3x >-，()0x ϕ'>，所以()ϕx 在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，又3x <-时，()()0x h x ϕ'=<，(0)(0)0h ϕ'==，所以0x <，()0h x '<，0x >，()0h x '>，所以()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h ≥=，C 正确；对D ，即ln[(1)e ]1(1)e x x x k x +⋅≤+恒成立，令(1)e 0xt x =+>，ln ()t g t t=，即()1k g t ⋅≤恒成立，21ln ()tg t t-'=，所以0e t <<，()0g t '>，t e >，()0g t '<，所以()g t 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减，所以1()(,)eg t ∈-∞，所以e k ≤，又0k >，所以0e k <≤，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：(1)方程的根的个数问题，可转化为对应图象交点个数问题；(2)恒成立问题，可转化为最值问题，注意参变分离技巧的使用三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数sin ()xf x x=，则曲线()y f x =在点(2π,0)处的切线方程为______.【答案】112πy x =-【解析】【分析】对函数求导2cos sin ()x x x f x x-'=，代入得1(2π),(2π)02πf f '==，根据点斜式写出切线方程；【详解】函数2cos sin ()x x xf x x -'=，22πcos2πsin2π1(2π),(2π)0(2π)2πf f -'===，则曲线()y f x =在点(2π,0)处的切线方程1(2π)2πy x =-，即112πy x =-.故答案为：112πy x =-.13.某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】排列组合中的分配问题，可以按照人数分配分类讨论解决.【详解】情形一，分组人数为1，1，3.此时，甲乙在3人组，再添一人共13C 种方法，所以此时方法数为1333C A 18=.情形二，分组人数为1，2，2.此时，甲乙两人为单独一组，丙丁各在一组，戊与丙一组，或戊与丁一组，所以此时方法数为332A 12=.所以，共30种方法.故答案为：30.14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X ，则随机变量X 的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n 分的概率为n a ，则当n a 取最大值时n 的值为______.【答案】①.103##133②.82或84【解析】【分析】（1）根据的取值求出相应的概率即可；（2）记得1分的次数为x ，得3分的次数为50x -，则总分为1502=-n x ，进而由利用独立重复实验的概率可得505021C 33xxx n a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n a 取最大值时，要满足11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，从而利用组合数的性质即可求解.【详解】得1分的概率为4263=，得3分的概率为2163=，X 的可能取值为2,4,6，()2242339P X ==⨯=，()21442339P X ==⨯⨯=，()1116339P X ==⨯=，则随机变量X 的期望是()441102469993E X =⨯+⨯+⨯=；记得1分的次数为x ，则得3分的次数为50x -，因此抛掷50次骰子，所得总分为()3501502n x x x =+⨯-=-，次数得n 分的概率为505021C 33x xx n a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若n a 取最大，则050,x x ≤≤∈N ，50150115050501501150502121C C 33332121C C 3333x x x x x x x x x x x x -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，可得3334≤≤x ，因为050,x x ≤≤∈N ，所以33x =，或34x =，当33x =时，15023384=-⨯=n ，当34x =时，15023482=-⨯=n ，故答案为：①103；②84或82.【点睛】关键点睛：解题的关键点是需要熟练应用独立重复事件的性质、在二项式中求系数最大（小）的项的方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{}24A x m x m =<<+，集合{()B x f x ==.（1）若1m =-，求()A B ⋃R ð；（2）若“x A ∀∈，都有x B ∈R ð成立”为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(){}22A B x x x ⋃=≤-≥R 或ð（2）(][),22,-∞-+∞U 【解析】【分析】（1）先根据1m =-求出集合A ，然后求出集合B ,最后求出()A B ⋃R ð；（2）先把题目条件转化成A B ⋂=∅，然后根据A =∅和A ≠∅分类讨论.【小问1详解】当1m =-时，{}23A x x =-<<.又{}24B x x =≤≤，{}23A x x x ∴=≤-≥R 或ð，(){}22A B x x x ∴⋃=≤-≥R 或ð.【小问2详解】由“x A ∀∈，x B ∈R ð”为真命题，即A B ⋂=∅.当A =∅时，24m m ≥+，即4m ≥，符合题意；当A ≠∅时，2442m m m <+⎧⎨+≤⎩或2424m m m <+⎧⎨≥⎩，即2m ≤-或24m ≤<.综上所述，实数m 的取值范围是(][),22,∞∞--⋃+.16.已知2(0)na x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49.（1）求实数n 和a 的值；（2）求()2413na x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中10x 的系数.【答案】（1）2a =，6n =（2）24【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和的性质求出n ，再由展开式的前3项系数之和求出a ；（2）利用622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式可得答案【小问1详解】所有项的二项式系数之和为64，264n \=，6n ∴=.又前3项系数之和为49，()()()012012666C C C 49a a a ∴-+-+-=，解得2a =或85=-a ，又0a >，2a ∴=.综上，2a =，6n =；【小问2详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1k +项为()()()621231662C C 20,1,,6kkk kkk k T x x k x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，令12310-=k ，可得23k =，不合题意，所以1k T +中不含10x 的项，令1239k -=，可得1k =，所以()119926C 212T x x =-=-，令1236-=k ，可得2k =，所以()226636C 260T x x =-=，()2413na x x x x ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭的展开式中10x 的系数为1236024-⨯+=.17.水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月时间代码x 123456销售额y （单位：万元）2.0 4.0 5.2 6.1 6.87.4（1）根据题目信息，ˆˆˆy a bx=+与ˆˆˆln y a b x =+哪一个更适合作为销售额y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y 关于时间x 的回归方程.（注：数据保留整数）；（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X 表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考公式与数据：61ln 6.6ii x=≈∑，61ln 41.1i i i x y =⋅≈∑，()621ln 9.4i i x =≈∑，61128.4i i i x y =⋅=∑，6121i i x ==∑，6131.5ii y==∑样本数据(),(1,2,,)i i x y i n = 的线性回归方程ˆˆˆy a bx=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.【答案】（1）ˆˆˆln y a b x =+（2）ˆ3ln 2yx =+（3）列联表见解析，数学期望为2【解析】【分析】（1）根据表中的数据可得y 关于时间x 的回归方程类型；（2）求出y ，ln x ，ˆb，ˆa 可得y 关于时间x 的回归方程；（3）求出X 的所有可能取值及相应的概率可得答案.【小问1详解】根据表中的数据，可得y 关于时间x 的变化不是直线型，所以ˆˆˆln ya b x =+更适合作为销售额y 关于时间x 的回归方程类型；【小问2详解】31.5 5.256y ==， 6.6ln 1.16x ==，()()121662ln 6ln ˆln 6ln ==⋅-⋅=-∑∑ii i i i x y x y bx x241.161.15.2539.461.1-⨯⨯=≈-⨯，ˆ 5.2531.12a=-⨯≈，所以，销售额y 关于时间x 的回归方程为ˆ3ln 2yx =+；【小问3详解】X 的所有可能取值为1，2，3，则()124236C C 11C 5P X ===，()214236C C 32C 5P X ===，()3436C 13C 5P X ===.所以，X 的分布列为X123P153515()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为2.18.为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.12345678910训练前4759528.5675训练后8.59.57.59.58.569.58.599优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行A 和B 两个武术项目的训练考核，A 、B 项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，A 项若为优秀得2分，概率为p ，B 项若为优秀得3分，概率为13，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为()f p ，求p 为何值时，()f p 取得最大值.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）同学的优秀情况与训练有关，理由见解析（2）1528（3）58p =【解析】【分析】（1）将列联表完善，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；（2）设出事件，结合组合知识，利用条件概率求出答案；（3）计算出甲同学一天得分不低于3分的概率，从而得到38()(21)(1)81f p p p =+-，01p <<，求导后得到单调性，从而确定当58p =时，()f p 取得最大值.【小问1详解】零假设0H ：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关.列联表为优秀人数非优秀人数合计训练前2810训练后8210合计1010202220(464)36 6.635101010105χ⨯-==>⨯⨯⨯.故根据小概率值0.01α=的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关.【小问2详解】设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件A ，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件B ，事件AB 为所选4人中，有1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀，有1人训练前非优秀，训练后也非优秀，从（1）中可知，有6人训练前非优秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀，则121262410C C C ()C P AB =，3182410C C ()C P A =，所以1212623182C C C ()15()()C C 28P AB P B A P A ===.【小问3详解】设“甲同学一天得分不低于3分”为事件M ，有121()1(1)133p P M p +⎛⎫=---= ⎪⎝⎭，则恰有3天每天得分不低于3分的概率333421218()C 1(21)(1)3381p p f p p p ++⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，01p <<，232888()6(21)(1)(21)(21)(58)818181f p p p p p p '=⨯+--⨯+=⨯+-，当508p <<时，()0f p '>，518p <<时，()0f p '<，故()f p 在50,8p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在5,8p ⎛⎫∈ ⎪⎝+⎭∞单调递减.所以当58p =时，()f p 取得最大值.19.已知函数1()2(21)ln f x ax a x x =-+-，12a ≤.（1）证明：当0a =时，()1f x ≤-；（2）已知()()4ln g x f x a x =+，且()g x 在区间[]2,5上单调递增，求a 的最小值；（3）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）3222-（3）102a <≤【解析】【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为证明函数的最大值小于等于1-；（2）首先求函数()g x 的解析式，由题意转化为()0g x '≥在区间[]2,5上恒成立，利用参变分离，转化为求解最值问题；（3）首先求函数的导数，分0a ≤，102a <<和12a =三种情况讨论函数的单调性，以及最值，分析函数的零点个数.【小问1详解】证明：当0a =时，1()ln f x x x=--，0x >，22111()xf x x x x -'∴=-=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；max ()(1)1f x f ∴==-，即()1f x ≤-.【小问2详解】1()2(21)ln g x ax a x x=+--，[]2,5x ∈，2222112(21)1()2a ax a x g x a xx x -+-+'∴=++=，由题意知()g x 在[]2,5上单调递增，()0g x '≥在[]2,5上恒成立，即22(21)10ax a x +-+≥在[]2,5上恒成立，2max 122x a x x -⎛⎫∴≥ ⎪+⎝⎭，[]2,5x ∈.下面研究函数2122x y x x -=+，[]2,5x ∈的最大值.令1t x =-，[]2,5x ∈，[]1,4t ∴∈，22142(1)2(1)26426t t y t t t t t t ∴===+++++++，[]1,4t ∈，42t t ⎡⎤∴+∈⎣⎦，4266,15t t ⎡⎤∴++∈+⎣⎦，426t t ∴++的最大值为32-，即2122x y x x -=+，[]2,5x ∈的最大值为32-，1x =+时，y 取到最大值.32a -∴≥，即a的最小值为32-.【小问3详解】22222112(21)1(21)(1)()2a ax a x ax x f x a x x x x+-++--'=-+==，0x >.①当0a ≤时，210ax -<.令()0f x '>得01x <<；令()0f x '<得1x >，()f x ∴在()0,1单调递增，()1,∞+上单调递减，max ()(1)210f x f a ∴==-<，此时()f x 无零点，不符合题意.②当102a <<时，112a>.令()0f x '>得01x <<或12x a >；令()0f x '<得112x a <<，()f x ∴在()0,1和1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又(1)210f a =-< ，当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(1)0f x f ≤<，()f x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点.由（1）知，当0a =时，()1f x ≤-，即1ln 1x x+≥恒成立.用1x 替换x 得1ln 1x x ≥-，即ln 1≤-x x ，ln x x ∴<，<，ln 2ln x ∴=，当112x a >>11x >>，1x ∴->，1()2(21)ln 22(22(4f x ax a x ax a ax ax ∴=-+->-+=-+，∴存在231222m aa ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0>f m ，又因为102f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在01,2x m a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，又因为()f x 在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，且()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，所以0x 是()f x 的唯一零点.③当12a =时，22(1)()0x f x x-'=≥，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，又(1)210f a =-= ，()f x ∴有唯一零点，符合题意.综上，102a <≤.【点睛】关键点点睛：本题的关键是当102a <<时，讨论在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭有1个零点，用到了放缩法，以及零点存在性定理.。

A. 放电时负极附近溶液的碱性不变
B. 充电过程是化学能转化为电能的过程
C. 充电时阳极反应：Ni(OH)2－e－+ OH－=NiOOH + H2O
D. 放电时电解质溶液中的OH—向正极移动
【答案】C
【解析】
【分析】
当该电池放电时为原电池，负极上镉失电子发生氧化反应，正极上NiOOH得电子发生还原反应.放电时负极上发生的电极反应式为：Cd-2e—+2OH-=Cd(OH）2,正极上发生的电极反应式为：NiOOH+e—+H2O═Ni（OH)2+OH—。充电时阳极上发生的电极反应式为：Ni(OH）2+OH——e-=NiOOH+H2O，阴极上发生的电极反应式为：Cd(OH）2+2e-=Cd+2OH-，以此解答该题。
D．二氧化碳分子内每个氧原子与碳原子共用2对电子对,CO2是直线型分子,碳原子半径比氧原子半径大，故比例模型为 ，选项D正确；
答案选D。
3.下列有关物质 性质与用途具有对应关系的是
A. NH3具有还原性，可用作制冷剂B。 HClO溶液显酸性，可用于杀菌消毒
C。 浓硫酸具有吸水性，可用作干燥剂D. Al2O3具有两性，可用作耐高温材料
C. SiO2(s） SiCl4（g) Si(s）
D. S（s） SO3(g) H2SO4(aq)
【答案】A
【解析】
【详解】A。钠在氧气中燃烧生成过氧化钠,过氧化钠与二氧化碳反应生成碳酸钠和氧气,故A正确；
B.氯气的氧化性强，铁在氯气中燃烧生成氯化铁，不能生成氯化亚铁，故B错误；
C。二氧化硅是酸性氧化物，不能与盐酸反应，故C错误；
【详解】A．根据分析，X、Y的简单离子分别为：O2—、Na+,离子核外电子排布相同时，原子序数越大，半径越小，所以r（O2—）〉r(Na+），A正确；

2019-2020学年江苏省徐州市2018级高二下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共6页,包含单选题(第1题～第8题)、多选题(第9题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17～第22题)。

本卷满分150分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将答题卡交回。

2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整,笔迹清楚。

4.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条符号等须加黑加粗。

5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸修正液、可擦洗的圆珠笔。

一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项是符合题目要求的。

1.复平面内,复数z＝－3＋4i对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数f(x)＝x2－sinx在区间[0,π]上的平均变化率为A.1B.2C.π2D.π3.若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位),则|z|为D.54.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个5.将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址,则不同的方法种数为A.34B.43C.A 43D.C 436.已知z 1,z 2∈C,|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1＋z 2|＝3,则|z 1－z 2|＝A.0B.1C.3D.27.若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上的任意一点,则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 A.2 B.22 C.12D.1 8.洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一。