排列组合(加乘、排列、组合、捆绑、插空、隔板).doc

计数专题学习目标1.正确理解“标数”法计算路径数目；2.正确理解“加法原理”、“乘法原理”的意义和运用场景；2.正确理解“排列”、“组合”的意义、区别和计算公式；3.正确掌握“优选法”“捆绑法”、“插空法”、“隔板法”这些排列组合解题技巧，理解各种排列组合解题技巧的原理，所解决的问题类型及其解题方法；一. 标数法例题：在左下图中，从 A 点沿实线走最短路径到 B 点，共有多少条不同路线？分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的 E 点，就是经过下边的 F 点。

如果到 E 点有 a 种走法（此处 a＝ 6），到 F 点有 b 种走法（此处 b＝ 4），根据加法原理，到 D 点就有（ a＋b）种走法（此处为 6＋ 4=10）。

我们可以从左下角 A 点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图），最后得到共有35 条不同路线。

二 .加乘原理加法原理：分情况、分类计数；乘法原理：分步骤完成，各步骤单独计数，再连乘；加乘混合：加法、乘法混合使用；（1）一个步骤内有多种情况时，在计算本步骤时用加法，再总体用乘法计算出所有情况；（2）总体分几种情况，分别计算各种情况时分步骤用乘法，再将各种情况汇总用加法加法原理与乘法原理的区别：乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。

乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务（一步完成任务），所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。

例题：由 A 村去 B 村有 2 条路可走，由 B 村去 C村有 4 条路可走，问从 A 村经 B 村去 C村，共有多少种不同的走法？ A B C三 . 排列组合排列：有顺序要求（交换顺序，就产生新的计数）2乘法原理； A =5×45从 n 个不同的元素中取出 m ( m n ) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．（ 1）两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同． （ 2）如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；（ 3）如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．计算： 乘法原理 ：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数是n （n 1）（ n 2）L （ n，即m 1）P m（n n 1）（. n 2）L （ n m 1） n ，且等号右边从 n 开始，共有 m个因数相乘。

n，这里， m组合：无顺序要求（交换顺序，不产生新的计数）2=（5×4）÷（ 2×1）除法原理； C5从 n 个不同元素中取出 m个 (m n) 元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．（ 1）从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关． （ 2）如果两个组合中，元素不完全相同，它们是不同的组合；（ 3）如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合．计算： 除法原理： 从 n 个不同元素中取出m 个元素 ( mn ) 的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个不同元素的组合数．记作C n m 。

一般地，求从 n 个不同元素中取出的 m 个元素的排列数 P m n 可分成以下两步：第一步：从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，共有C n m 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m 种排法．P mmmmmP mn （ n ）（ 2) L （ n） 根据乘法原理，得到 P nC n P m ．因此，组合数 C nn1 nm 1． mm （ ）（ ） L3 2 1P mm 1 m 2（运用除法，将元素完全相同，元素顺序不同的多种排列合并成一种组合）．【例 1 】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。

（1）（种）。

（2）只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置．（种） .（ 3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的 6 个位置． 2×=1440( 种) ．（ 4）先排两边，再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．( 种) ．（ 5）先排两边，从除小新、阿呆之外的 5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人，（种） .（ 6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7 个元素的全排列．（种）.（ 7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以 2 即可． 4× 3×× 2=2880( 种 ) ．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。

【巩固】现有男同学 3 人，女同学 4 人 ( 女同学中有一人叫王红) ，从中选出男女同学各 2 人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：(1)共有多少种选法 ?(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?(4) 参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?（ 1）从 3 个男同学中选出 2 人，有3 2=3 种选法。

从 4 个女同学中选出 2 人，有4 3=6 种选法。

在四2 2个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4× 3× 2×1=24 种选法。

3× 6× 24=432，共有 432 种选法。

（ 2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2× 3× 2× 1=12 种选法。

3×6× 12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216 种。

（ 3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从 3 个男同学中选出 2 人，从 3 个女同学中选出 1 人， 3 个人参加 3 个小组时的选法。

3× 3× 3× 2× 1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有 54 种， 432-54=378 ，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378 种。

（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3 个男同学中选出2 人参加两个不同的小组，从 3 个女同学中选出 1 人参加美术小组时的选法。

3× 2× 3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18 种，216-18=198 ，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有 198 种。

四.优选法优选法：对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排确定。

在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

注意：看特殊，分步、分类，限制完，自由排，注意“0”。

难点：不管是位置优先还是元素优先，都要看清是分类还是分步来解决问题；注意“0”，题目中往往对于“ 0”有暗含的限制条件。

例题 . 由数字1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于50000 的偶数共有多少个？解析一：利用位置优先方法。

偶数则要求个位为偶数，小于50000 则首位要小于5。

: 第一步，首先看个位，从 2 个偶数中选择有C12 种选法；第二步，看首位，从个数上已选数字和 5 之外的数字选，则有C13 种选法；第三步，对于剩下的三个位置没有限制，则可以随意选择剩下的三个数字排上去，则有A33 种选法。

根据乘法计数原则，共有：C12×C13 × A33=36。

解析二：利用元素优先方法。

第一步，从数字2、4 中选一个放在个位上，有C12 种选法；第二步，从个数上已选数字和 5 之外的数字选一个放在首位上，则有C13 种选法；第三步，对于剩下的三个数字没有限制，则可以随意安排到剩下的三个数位上去，则有A33 种选法。

根据乘法计数原则，共有： C12×C13 ×A44=36。

五 . ”捆绑法”捆绑法：用于解决" 相邻问题 " ，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其 " 捆绑 " 后整体考虑，也就是将相邻元素视作 " 一个 " 大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。

注意：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意" 捆绑 " 起来的大元素内部的顺序问题。

解题过程是" 先捆绑，再排列 " 。

例题：若有A、 B、C、D、 E 五个人排队，要求A 和 B 两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求 A 和 B 两个人必须排在一起，首先将 A 和 B 两个人 " 捆绑 " ，视其为 " 一个人 " ，也即对"A ， B"、C、D、 E" 四个人 " 进行排列，有种排法。

又因为捆绑在一起的 A、 B 两人也要排序，有种排法。

根据分步乘法原理，总的排法有种。

六. “插空法”插空法：用于解决" 不邻问题 " ，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。

注意：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素" 中间空位" 和" 两端空位 " 。

解题过程是 " 先排列，再插空" 。

例题：若有A、 B、 C、 D、 E 五个人排队，要求 A 和B 两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A 和 B 两个人必须隔开。

首先将 C、 D、E 三个人排列，有种排法；若排成 D C E，则 D、C、 E" 中间 " 和 " 两端 " 共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将 A、 B 两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。