河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试数学试题及参考答案

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{3，5}B．{2，4}C．{3，7}D．{2，5}2．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（）A．6B．7C．8D．94．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1B．C．D．27．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD（M，N），其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：MOD（36，10）＝6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的n＝6，v＝1，则输出的u的值为（）A．1B．2C．3D．48．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，函数，则（）A．B．C．D．g（x）＝f（2x﹣1）10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．11．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A．B．（0，2）C．（2，1）D．12．已知函数，则不等式的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}二、填空题（共4小题）.13．已知角α的终边上有一点P（2，3），则cos2α的值为．14．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为．15．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝e x的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4﹣4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和S2n．18．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：男性女性总计参与该项老年运动16p x不参与该项老年运动44q y总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC ＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．21．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）在区间上，f（x）是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当△MCN面积最大时，求直线l的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若不等式f（x）＜ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{3，5}B．{2，4}C．{3，7}D．{2，5}解：由题意得∁U A＝{2，4，6，8}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}，故选：B．2．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数，则＝﹣i，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（）A．6B．7C．8D．9解：设第n天募捐到a n元，则数列{a n}是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和S n＝250n（n+3）．因为S7＝17500，S8＝22000，所以至少需要8天可完成募捐目标．故选：C．4．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．解：根据题意，设与的夹角为θ，因为，所以，即，向量＝（1，），则||＝，则有，解得，又由0≤θ≤π，则θ＝，故与的夹角为；故选：D．5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求．综上所述，优秀者为甲．故选：A．6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1B．C．D．2解：设左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2的中点为坐标原点，F1，F2所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则F1（﹣1，0），F2（1，0）．设曲线上任意一点P（x，y），则，化简得该卡西尼卵形线的方程为（x2+y2）2＝2（x2﹣y2），显然其对称中心为（0，0）．由（x2+y2）2＝2（x2﹣y2）得（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝﹣4y2≤0，所以（x2+y2）2≤2（x2+y2），所以0≤x2+y2≤2，所以．当且仅当时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为．故选：B．7．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD（M，N），其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：MOD（36，10）＝6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的n＝6，v＝1，则输出的u的值为（）A．1B．2C．3D．4解：模拟程序的运行，可得：当i＝1时，v＝1；当i＝2时，v＝2；当i＝3时，v＝4；…当i＝7时，v＝64，所以u＝MOD（64，7）＝1．故选：A．8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线的渐近线方程为，在△OPF2中，，所以a＝b，离心率．故选：D．9．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，函数，则（）A．B．C．D．g（x）＝f（2x﹣1）解：由题中图象可得T＝4，所以ω＝＝＝，又函数图象过原点（0，0），所以sinφ＝0，又|φ|＜π，所以φ＝0，所以，由的图象得g（x）的图象，只需将f（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得．故选：C．10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．解：由题意得，所以当时，f（x t）有最大值，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为，故选：A．11．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A．B．（0，2）C．（2，1）D．解：根据题意，因为P为直线l上的动点，设P（2，t），圆C：x2+y2＝1，其圆心C的坐标为（0，0），半径为1，以线段PC为直径的圆N的方程为x2+y2﹣2x﹣ty＝0，则有，联立可得2x+ty﹣1＝0，即两圆公共弦AB的方程为2x+ty﹣1＝0，即ty＝2（x﹣），所以直线AB过定点．故选：A．12．已知函数，则不等式的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}解：构造函数．因为g（﹣x）＝ln（+3x）+sin（﹣x）+x＝ln﹣sin x+x＝﹣ln（﹣3x）﹣sin x﹣x＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数，因为，（sin x﹣x）'＝cos x﹣1≤0，所以g（x）在区间（0，+∞）上是减函数．因为g（x）是奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上是减函数．不等式等价于，即，所以，解得﹣1＜x＜1，即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点P（2，3），则cos2α的值为．解：由题意得，则．故答案为：．14．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为．解：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，联立，解得交点为时，由z＝4x+y，得y＝﹣4x+z，由图可知，当直线y＝﹣4x+z过点时，z取最小值，，故答案为：．15．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝e x的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为4或﹣2．解：设直线l：y＝x+b与曲线f（x）＝e x相切于点，由，得x0＝0，所以切点坐标为（0，1），所以直线l的方程为y＝x+1．又由直线l与曲线g（x）相切，得，化简得x2﹣2（m﹣1）x+9＝0，△＝4（m﹣1）2﹣36＝0，解得m＝4或m＝﹣2．故答案为：4或﹣2．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为．解：由，得，即，所以由正弦定理得，所以，所以，设△ABC外接圆半径为R，因此，所以，即外接圆半径的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4﹣4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和S2n．解：（1）因为数列{a n}的公比q为2，所以a2＝2a1，a3＝4a1，a4﹣4＝8a1﹣4．因为a2，a3，a4﹣4成等差数列，所以2a3＝a2+a4﹣4,即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，所以；（2）由（1）可得b n＝＝，所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）＝（6+16+…+10n﹣4）+（2+4+…+2n）＝＝5n2+n+2n+1﹣2＝2n+1+5n2+n﹣2．18．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：男性女性总计参与该项老年运动16p x不参与该项老年运动44q y 总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）由题意得，解得p＝8，所以q＝40﹣8＝32，所以x＝16+8＝24，y＝44+32＝76；（2）由列联表中的数据可得K2的观测值，所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关；（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比，因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性人，记为A1，A2，A3，A4，女性人，记为B1，B2，从这6人中抽取2人的所有方式为（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC ＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAC．∵PA⊂平面PAC，∵PA⊥BD．又∵，∴PA2+AB2＝PB2，得PA⊥AB．又∵AB，BD⊂平面ABCD，AB∩BD＝B，PA⊥平面ABCD；（2）解：由（1）得PA⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，可得△PBC为等腰三角形．在△PBC中，由余弦定理得．∵BM⊥PC，∴，则．可得，又，∴．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．解：（1）由椭圆E的方程可得A（﹣a，0），B（a，0）．设M（x0，y0），则N（x0，﹣y0），所以．．又点M（x0，y0）在椭圆E上，所以，所以，所以，所以椭圆E的离心率．（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为．设直线l的方程为y＝x+m，R（0，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为S （x S，y S），联立消去y，得5x2+8mx+4m2﹣4＝0，则△＝64m2﹣20（4m2﹣4）＝16（5﹣m2）＞0，解得m2＜5，所以，所以，所以,由，得RS⊥PQ，所以，解得,又因为以线段PQ为直径的圆过点R，所以PR⊥QR，所以．又y1＝x1+m，y2＝x2+m，代入上式整理得，即，解得m＝±1．所以直线l的方程为y＝x±1．21．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）在区间上，f（x）是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），（1分）则．令f'（x）＝0，得．因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0．当x在定义域上变化时，f'（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，x1）x1（x1，0）（0，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+0﹣﹣0+f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以函数y＝f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）令，得x＝a，则a是函数f（x）的唯一零点．因为，所以0＜a＜x2，所以．当0＜x＜a时，f（x）＞0；当x＞a时，f（x）＜0．由（1）可知函数f（x）在区间上单调递减，在区间（x2，+∞）上单调递增，所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为，其中．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当△MCN面积最大时，求直线l的直角坐标方程．解：（1）圆C的参数方程为（α为参数），由cos2α+sin2α＝1，可得圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝8，由x＝ρcosθ，x2+y2＝ρ2，可得极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝4．（2）的直角坐标为A（4，4），圆C（x﹣2）2+y2＝8的圆心为（2，0），半径为2，，当∠MCN＝90°时，面积最大，此时，圆心C到直线l的距离．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），即kx﹣y+4﹣4k＝0，圆心C到直线l的距离，解得，即3x﹣4y+4＝0．综上，直线l的方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若不等式f（x）＜ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由题意得f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|＝,当时，令﹣x≥﹣1，解得；当时，令3x﹣2≥﹣1，解得．综上所述，f（x）≥﹣1的解集为．（2）由（1）得f(x)＝,当，﹣x＜ax﹣1，即（a+1）x﹣1＞0，此时，应有，解得a＞1；当时，3x﹣2＜ax﹣1，即（a﹣3）x+1＞0，此时，应有，解得1≤a≤3．综上所述，实数a的取值范围是（1，3]．。

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅰ）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2−2x≤0}，集合B满足A∪B=A，则B可以为()A. {x|x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {1,2}D. {−1,0，1，2}2.设复数z=|√3+i|−i2021，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A. 该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B. 该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C. 该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的13D. 该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的164.函数f(x)=x的图象大致为()ln|x|A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=sinx −x ，设a =f(π0.1)，b =f(0.1π)，c =f(log 0.1π)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c6. 在钝角三角形ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，S △ABC =√32，点D 为BC 的中点，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √72B. √52C. √32D. 127. 已知函数f(x)=me x−2+n 的图象恒过点(2,1)，若对于任意的正数m ，n ，不等式1m+4n ≥A 恒成立，则实数A 的最大值为( ) A. 9 B. 3+2√2 C. 7D. 4√28. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FN 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin2θ=( )A. 2√23B. 13C. √24D. 4√299. 若各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，a 1a 5=256，则使得不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立的最大正整数n 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 在平面内，A ，C 是两个定点，B 是动点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的内角A 的最大值为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 已知函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,若函数g(x)=f(x)−kx +k 在区间[−2,1]上有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−4−2√3,0)B. (−1,0)C. (−4+2√3,0)D. (−12,0)12.在△ABC中，AC=2√3，顶点B在以AC为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA=2，则其外接球的表面积为()A. 12πB. 163π C. 94π D. 16π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积为______ ．14.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数n(n>10)从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间[10,30]中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为______ ．15.对于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)来说，我们定义圆x2+y2=a2为它的“伴随圆”.过双曲线x2a2−4y29=1(a>0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P，若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO|−|MT|为定值12，则该双曲线的离心率为______ ．16.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+π3)+a同时满足下述性质：①若对于任意的x1，x2，x3∈[0,π4]，f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立；②f(π6)≤√3−a2，则a的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是递增的等差数列，a1=12，且满足a4是a2与a8的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{1a n a n+118.如图，DA⊥平面ABC，DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形．(1)证明：平面ACD⊥平面BCE；(2)若AD//BE，P为CE的中点，Q为线段OP上的动点，判断三棱锥QACD的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．19.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3，整理数据得到如表：感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟15不吸电子烟50总计(1)完成2×2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关？(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率．，其中n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=sinx−ae x−1(a∈R)．(1)定义f(x)的导函数为f(1)(x)，f(1)(x)的导函数为f(2)(x)，……以此类推，若)的单调区间；f(2020)(1)=sin1，求函数f(2x+π3(2)若a≥1，x≥0，证明：f(x)<0．21.已知圆M：(x−√6)2+y2=32，点Q是圆M上的一个动点，点N(−√6,0)，若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T．(1)求动点T的轨迹曲线C的方程；(2)设O是坐标原点，点P(2,1)，点R(异于原点)是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR，PS分别与曲线C交于A，B(异于点P)两点，判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=mt 2y=mt，(m≠0,t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|⋅|TN|．23.已知函数f(x)=|x−1|．(1)求不等式f(x)−f(2x+4)≤1的解集；(2)当x<−1时，f(ax)+f(−x)+x>0恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B可以为{1,2}．故选：C．求出集合A，由集合B满足A∪B=A，得B⊆A，由此能求出集合B．本题考查集合的运算，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵i4=1，i2021=(i4)505⋅i=i，|√3+i|=√(√3)2+12=2，复数z=|√3+i|−i2021=2−i，则在复平面内z对应的点(2,−1)位于第四象限，故选：D．由i4=1，可得i2021=(i4)505⋅i=i，再利用几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查统计图的应用，属基础题．依题意，根据统计图的数据，逐个选项判断即可．【解答】解：设第一季度的总收入为a，则由题意可知，第二季度的总收人为2a，第三季度的总收入为4a，故A正确；由图可知，该直播间第三季度的服装收人为4a×0.7=2.8a，第一季度和第二季度的服装总收入为a×0.9+2a×0.8=2.5a<2.8a，故B正确；该直播间第二季度的食品收入为2a×0.2=0.4a，第三季度的食品收入为4a×0.3=1.2a；0.4a1.2a =13，故C正确；而第一季度的食品收人是0.1a，不满足是第三能度食品收入的16.故D错误．故选D．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，f(−x)=−xln|−x|=−xln|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f(x)→+∞，排除D，当x=e时，f(e)=elne=e<5，排除C，故选：B．先求出函数的定义域，判断函数是奇函数，利用极限思想以及f(e)的值利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用极限思想以及排除法是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用指数函数、对数函数性质比较大小，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意得f′(x)≤0，可得f(x)在定义域上单调递减，比较π0.1，0.1π，log0.1π大小即可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由题意得f′(x)=cosx−1≤0，所以f(x)在定义域上单调递减．因为π0.1>π0=1，0<0.1π<0.10=1，log0.1π<0，所以π0.1>0.1π>log0.1π，即c>b>a．故选C．6.【答案】C【解析】解：如图，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,S △ABC =√32， ∴12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin∠BAC =sin∠BAC =√32，∴cos∠BAC =±12，若cos∠BAC =12，则：|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4−2×2×1×12=3，∴∠B =90°，△ABC 是直角三角形，与已知△ABC 是钝角三角形矛盾， ∴cos∠BAC =−12，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12⋅√4+1−2×2×1×12=√32． 故选：C ．可画出图形，可求出|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，根据S △ABC =√32即可求出sin∠BAC =√32，从而得出cos∠BAC =±12，然后根据△ABC 为钝角三角形可得出cos∠BAC =−12，然后根据|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，进行数量积的运算即可求出|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：可令x −2=0，即x =2，可得f(2)=m +n =1， 由m >0，n >0，可得1m+4n=(m +n)(1m+4n)=1+4+n m+4m n≥5+2√n m⋅4m n=9，当且仅当n =2m =23时取得等号， 则A ≤9，可得A 的最大值为9． 故选：A ．可令x −2=0，求得m +n =1，再由乘1法和基本不等式求得1m +4n 的最小值，由不等式恒成立思想得到A 的最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为抛物线y 2=2px(p >0)， 所以焦点F(p2,0)，设过焦点F ，倾斜角为θ的直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)， 设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)， 与抛物线联立得k 2x 2−(2p +pk 2)x +p 2k 24=0，所以x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以x 1+p2=2(x 2+p2)，即x 1=2x 2+p2， 两边加x 2可得，x 1+x 2=3x 2+p2， 又因为x 1+x 2=2p+pk 2k 2，所以2p+pk 2k 2=3x 2+p2，解得x 2=pk 2+4p 6k 2，又因为x 1x 2=p 24，所以(2x 2+p2)x 2=p 24，所以2x 22+p2⋅x 2=p 24，所以2(pk 2+4p 6k 2)2+p 2⋅(pk 2+4p 6k 2)=p 24，所以k 4−7k 2−8=0， 解得k 2=8或k 2=−1(舍)， 又因为k >0， 所以k =tanθ=2√2，所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=4√29．故选：D ．根据题意设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)，直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)，与抛物线联立，结合韦达定理可得x 1+x 2=2p+pk 2k2，x 1x 2=p24，由于FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，推出|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即x 1=2x 2+p2，即可解得k ，tanθ，再计算sin2θ即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，可得a n+1a n=4，则数列{a n }是公比为4的等比数列，又a 1a 5=256，∴a 12q 4=256，即a 1=1，∴a n =4n−1=(2n−1)2，可得√a n =2n−1，由不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立， 得4n <133(1+20+21+22+⋯+2n−1)=133(1+1−2n1−2)=133×2n ， ∴2n <133<28，即n <8，可得最大正整数n 的值为7． 故选：C ．由已知可得数列{a n }是公比为4的等比数列，再由已知求得公比，得到数列通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式求1+√a 1+√a 2+⋯+√a n ，代入已知不等式求得n 的范围，可得最大正整数n 的值．本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，考查指数不等式的解法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3r ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，CD 的中点为E ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，又由|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上， 连接AB ，当AB 与圆E 相切时，∠A 最大，当AB 与圆相切时，BE =r ，AE =2r ，∠EBA =π2，则A =π6，故内角A 的最大值为π6， 故选：A ．根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量加法的性质可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，进而可得|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上，分析可得当AB 与圆相切时，∠A 最大，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查平面向量数量积的性质以及向量加法的性质，关键是分析B 的轨迹，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,， 作出f(x)在[−2,1]的函数图象， 当x ∈[−2,0)时，f(x)=−x 2−2x ． 那么g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．∵y =kx −k =k(x −1)，直线恒过(1,0)， ∴−x 2−2x =kx −k 只有2个交点， 此时△=(2+k)2+4k =0， 解得k =2√3−4，要使f(x)图象与y =kx −k 有3个交点， 可知−4+2√3<k <0． 故选：C ．作出f(x)在[−2,1]的函数图象，根据g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵顶点B在以AC为直径的圆上，∴∠ABC=90°，∵AD=DC，∴D为△ABC的外心，又PD⊥平面ABC，且AD=DC，∴PA=PC=2，∵PD⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，则△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心．在△PAC中，由余弦定理可得，cos∠APC=22+22−(2√3)22×2×2=−12，∴∠APC=120°，sin∠APC=√32，设△PAC外接圆的半径为R，则2R=ACsin∠APC=2√3√32=4，得R=2．∴其外接球的表面积为S=4π×22=16π．故选：D．由已知可得△ABC为直角三角形，得到AC的中点D为△ABC外接圆圆心，再由PD⊥底面ABC，可得△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】16π9【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为4的13圆锥体；故V=13×13×π×22×4=16π9．故答案为：16π9．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】421【解析】解：在闭区间[10,30]中，任取一个整数，基本事件总数n=21，此整数是“通体质数”包含的基本事件有：11，13，17，19，共4个，∴此整数是“通体质数”的概率为P=421．故答案为：421．先求出基本事件总数n=21，再用列法求出此整数是“通体质数”包含的基本事件有4个，由此能求出此整数是“通体质数”的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．15.【答案】√132【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，如图，则|MO|=12|PF2|，在Rt△OF1T中，|OF1|=c，|OT|=a，∴|TF1|=b，|OM|−|MT|=12|PF2|−(12|PF1|−b)=b−a=32−a=12，∴a=1，∴c=√a2+b2=√1+94=√132，故答案为：√132．根据双曲线的性质，定义，设出双曲线右焦点为F2，即可解出a的值，可以直接求出离心率．本题考查了双曲线的定义，性质，学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】0【解析】解：f(x)=sin2x +(12sin2x +√32cos2x)+a=32sin2x +√32cos2x +a =√3(√32sin2x +12cos2x)+a=√3sin(2x +π6)+a当x ∈[0,π4]时，2x +π6∈[π6,2π3]，∴当x ∈[0,π4]时，f(x)∈[a +√32,a +√3]，∵对于任意x 1，x 2，x 3∈[0,π4]，f(x 1)+f(x 2 )≥f(x 3) 恒成立， ∴2f(x)min ≥f(x)max ， ∴2(a +√32)≥a +√3，∴a ≥0 ①，∵f(π6)=√3+a ≤√3−a 2，∴a 2+a ≤0，∴−1≤a ≤0 ②，由①②可得a =0． 故答案为：a =0．首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最值的应用得出结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由数列{a n }是递增的等差数列，设公差为d ，d >0，由a 1=12，且a 4是a 2与a 8的等比中项，可得a 42=a 2a 8，即(12+3d)2=(12+d)(12+7d)， 解得d =12(0舍去)， 则a n =12+12(n −1)=12n ； (2)1an a n+1=112n⋅12(n+1)=4(1n −1n+1)，则数列{1an a n+1}的前n 项和为4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =4(1−1n+1)=4nn+1．【解析】(1)设公差为d ，d >0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；(2)求得1a n a n+1=4(1n−1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(1)∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，∵DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形，∴OC=12AB，∴BC⊥AC，∵DA∩AC=A，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面BCE，∴平面ACD⊥平面BCE．解：(2)取BC的中点R，连接OR，PR，在△ACB，△BCE中，OR，PR分别为中位线，∴OR//AC，PR//BE，∵AD//BE，∴PQ//AD，∵AC⊂平面ACD，PR⊄平面ACD，∴PR//平面ACD，同理OR//平面ACD，∵PR∩OR=R，PR⊂平面OPR，OR⊂平面OPR，∴平面ACD//平面OPR，∵BC⊥AC，∴平面ACD与平面OPR的距离CR=12BC=√32，∵S△ACD=12×1×1=12，∴V Q−ACD=13×12×√32=√312．故三棱锥QACD的体积是定值，值为√312．【解析】(1)根据直角三角形的性质可得BC⊥AC，再根据线面垂直的性质可得DA⊥BC，根据线面垂直和面面垂直的判断定理即可证明．(2)取BC 的中点R ，连接OR ，PR ，根据中位线定理，以及面面平行的判定定理可得平面ACD//平面OPR ，即可求出三棱锥QACD 的体积是为定值，根据三棱锥的体积公式即可求出．本题考查了线线垂直，线面垂直，面面垂直，线线平行，线面平行，面面平行的判定和性质，以及三棱锥的体积公式，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意知，吸电子烟的有100×11+3=25(人)，不吸电子烟的有100−25=75(人)，由此填表如下：由表中数据，计算K 2=100×(15×50−25×10)225×75×40×60=509≈5.556>3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关； (2)用分层抽样方法抽取8人，吸电子烟的有8×14=2(人)，不吸电子烟的有6人， 从这8个人中任取2人，则这两个人来自同一类别的概率为P =C 22+C 62C 82=47．【解析】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了分层抽样方法与古典概型的概率计算问题，是基础题．(1)分别求出吸电子烟和不吸电子烟的人数，填写列联表，计算K 2，对照附表得出结论； (2)求出用分层抽样法抽取的8人中吸电子烟和不吸电子烟的人数，计算所求的概率值．20.【答案】解：(1)先证f (n)(x)=sin(x +nπ2)−ae x−1，当n =1时，f (1)(x)=cosx −ae x−1=sin(x +π2)−ae x−1成立， 假设n =k 时，f (k)(x)=sin(x +kπ2)−ae x−1，成立，则n =k +1时，f (k+1)(x)=(f (k)(x))′=cos(x +kπ2)−ae x−1=sin(x +(k+1)π2)−ae x−1成立，所以f (n)(x)=sin(x +nπ2)−ae x−1，则f (2020)(1)=sin(1+2020π2)−ae 0=sin1−a =sin1，可得a =0，所以f(x)=sinx ，f(2x+π3)=sin(2x+π3)，令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z，所以f(2x+π3)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z，单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z．(2)证明：要证f(x)<0，即证sinx<ae x−1，又a≥1，则ae x−1≥e x−1，故只需证sinx<e x−1，令g(x)=e x−1−x，x≥0，则g′(x)=e x−1−1，在(0,1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，在(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0，所以e x−1≥x，令ℎ(x)=x−sinx，则ℎ′(x)=1−cosx≤0，所以在(0,+∞)上，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以x≥sinx，所以sinx≤x≤e x−1，因为左右两边的不等号不能同时取到，所以sinx<e x−1，所以f(x)<0，得证．【解析】(1)利用数学归纳法证得f(n)(x)=sin(x+nπ2)−ae x−1，由f(2020)(1)=sin1，即可求得a值，从而可得f(2x+π3)，再由正弦函数的单调性即可求解；(2)分析可得要证f(x)<0，只需证sinx<e x−1，再利用导数分别证得e x−1≥x，x≥sinx，即可证明结论成立．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查三角函数的单调性及不等式的证明，考查数学归纳法及分析法的应用，属于难题．21.【答案】解：(1)由题意知，圆M：(x−√6)2+y2=32，所以圆心M(√6,0)，r=4√2，因为线段QN的垂直平分线交线段QM于点T，所以|TQ|=|TN|， 因为|QT|+|TM|=4√2，所以|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，2a =4√2，2c =2√6，解得a =2√2，c =√6， 所以b 2=a 2−c 2=(2√2)2−(√6)2=8−6=2， 所以曲线C 的方程为x 28+y 22=1．(2)设R(0,y 0)，y 0∈(−√2,√2)，S(0,−y 0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线PR 的方程为y −1=y 0−1−2(x −2)， 直线PS 的方程为y −1=y 0+12(x −2)，联立直线PR 与椭圆的方程，消去y 得(y 02−2y 0+2)x 2+4(1−y 0)y 0c +4y 02−8=0，可得2x 1=4y 02−8y 02−2y0+2，所以x 1=2y 02−4y 02−2y0+2， 则y 1=1−y 02(2y 02−4y 02−2y 0+2)+y 0=−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2，联立直线PS 与椭圆的方程，消去y 得(y 02+2y 0+2)x 2−4(1+y 0)y 0c +4y 02−8=0，所以2x 2=4y 02−8y 02+2y0+2，所以x 2=2y 02−4y 02+2y0+2， 所以y 2=−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2，则A(2y 02−4y 02−2y0+2,−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2)，B(2y 02−4y 02+2y0+2,−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2)，所以k AB =−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2−−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+22y 02−4y 02+2y 0+2−2y 02−4y 02−2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)，则直线AB 的方程为y −−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)(x −2y 02−4y 02+2y 0+2)，所以y =y 02−2y 02(y 02−2)x −y 02−2y 0y 02+2y0+2+−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)x +−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，则设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，则有−m(y 02−2y 0)2(y 02−2)+n =−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，所以−m(y 02−2y 0)(y 02+2y 0+2)+2n(y 02−2)(y 02+2y 0+2)=(−2y 02−2y 0−2)(2y 02−4)，所以−my 04−2my 03−2m +2my 03+4my 02+4my 0+2ny 04+4ny 03+4n −4ny 02−8ny 0−8n =−4y 04+8y 02−4y 03+8y 0−4y 02+8，所以{−m +2n =−4−2m +2m +4n =−4，解得{m =2n =−1，所以直线AB 过定点(2,−1)．【解析】(1)由题意知圆心M(√6,0)，r =4√2，由线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T ，推出|TQ|=|TN|，得|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，a =2√2，c =√6，进而可得椭圆的方程．(2)设R(0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线PR ，直线PS 的方程，分别联立椭圆的方程可得A ，B 点坐标，进而写出直线AB 的方程，设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，化简，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22，转换为√22ρcosθ−√22ρsinθ=√22，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标为x −y −1=0．曲线C 的参数方程为{x =mt 2y =mt ，(m ≠0,t 为参数)，转换为直角坐标方程为y 2=mx ．直线与x 轴的交点坐标为(1,0)，故抛物线的焦点坐标为(1,0)，故抛物线的方程为y 2=4x ． 设直线的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)代入抛物线的方程为y 2=4x ，得到t 2−4√2t −8=0(t 1和t 2为M 和N 对应的参数)， 所以t 1t 2=−8，故|TM|·|TN|=|t 1t 2|=8．【解析】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．第21页，共21页 (1)直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.【答案】解：(1)f(x)−f(2x +4)≤1即为|x −1|−|2x +3|≤1，等价为{x ≤−321−x +2x +3≤1或{−32<x <11−x −2x −3≤1或{x ≥1x −1−2x −3≤1， 解得x ≤−3或−1≤x <1或x ≥1，所以解集为{x|x ≤−3或x ≥−1}；(2)当x <−1时，f(ax)+f(−x)+x >0恒成立，可得|ax −1|+|−x −1|+x >0，化为|ax −1|−x −1+x >0，即|ax −1|>1，可得ax −1>1或ax −1<−1对x <−1恒成立，即有a <2x 对x <−1恒成立，或a >0，由x <−1时，2x >−2．所以a ≤−2或a >0，可得实数a 的取值范围是(−∞,−2]∪(0，+∞)．【解析】(1)由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|ax −1|>1对x <−1恒成立，由绝对值的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

2021届河北省衡水中学全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4,5},{2,4,5},{0,2,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{5}B ．{2,4}C ．{0,2,5}D ．{0,2,4,5}【答案】A【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】由题意得{1,3,5}U B =，所以(){5}U A B ⋂=． 故选：A2．已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<【答案】C【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案. 【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan 02α>．故选：C.3．已知复数(1)()z a a i a =+-∈R ，则||z 的最小值为（ ）A ．12 B C D ．1【答案】B【分析】转化为求二次函数的最值即可【详解】因为(1)z a a i =+-，所以12||22z ==，所以||z 故选：B4．直线21y x =-被过点(0,1)和(2,1) ）A B C D 或21455【答案】B【分析】先根据题意求出圆的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后由弦、弦心距和半径的关系可求得答案 【详解】解：设圆心为(,)a b ，则由题意可得 2222(0)(1)(2)(1)5a b a b -+-=-+-=，解得11a b =⎧⎨=-⎩或13a b ==⎧⎨⎩，所以圆心为(1,1)-或(1,3)所以圆方程为22(1)(1)5x y -++=或22(1)(3)5x y -+-=， 则圆心到直线21y x =-的距离为22|211|2552(1)d +-==+-或22|231|2552(1)d --==+-，则弦长222521052(5)55⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭． 故选：B5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A 5B 5C 10D ．12【答案】C【分析】首先根据三视图还原几何体，且同时还原几何体的棱长；找出最长的侧棱，并找出最长的侧棱与底面所成的角.【详解】设该四棱锥为P ABCD -，则由题意可知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，平面PDC ⊥平面ABCD ，且3,4,2PC PD AB AD ====，如图，过点P 作PE CD ⊥交CD 于点E ，则PE ⊥平面ABCD ，连接AE ，可知PAE ∠为直线PA 与平面ABCD 所成的角， 则225PE PD DE =-=，2222AE AD DE =+=， 所以510tan 422PE PAE AE ∠===．故选：C.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点(c,0)F 3，且点3)在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）A ．22193x y -=B ．221123y x -=C ．221312x y -=D ．22139x y -=【答案】D【分析】求出双曲线的渐近线，利用点到直线的距离公式可得2234b c =，再由222c a b =+，解得223b a =，将点3)代入双曲线方程即可求解.【详解】双曲线22221x y a b -=的焦点(c,0)F 到渐近线0bx ay ±=的距离为223a b =+， 解得3b =，所以2234b c =．又222c a b =+，所以223b a =． 因为点3)在双曲线上，所以22431a b-=，所以223,9a b ==， 所以双曲线的方程为22139x y -=． 故选：D7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即321032101012021202,912020212=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯），那么109101010010011∧=∧=，现有运算1211000001m n ∧=∧=，则m 的值为（ ）A ．7B ．9C ．11D ．13【答案】D【分析】根据异或运算和十进制与二进制的转化求解. 【详解】因为1211000001m n ∧=∧=， 所以1101n =，所以32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=， 即13m =， 故选：D ．8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)(2)f x f x +=-，以下关于函数()f x 的说法：①()f x 满足(8)()0f x f x -+= ②8为()f x 的一个周期 ③()sin4xf x π=是满足条件的一个函数 ④()f x 有无数个零点其中正确说法的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】利用的周期性定义以及函数为奇函数可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，可判断①、②；由正弦函数的性质可判断③；根据(0)0f =且函数为奇函数可判断④. 【详解】因为(2)(2)f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=-． 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(4)()f x f x +=-， 所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，所以8为()f x 的一个周期，故②正确；由(8)()f x f x +=可得(8)()()f x f x f x -=-=-，所以(8)()0f x f x -+=，故①正确；()sin4xf x π=为奇函数满足()()0f x f x +-=，且一条对称轴为直线2x =，故③正确；由()f x 为奇函数且定义域为R 知，(0)0f =，又()f x 为周期函数， 所以()f x 有无数个零点，故④正确． 故选：D9．已知三棱锥P ABC -的高为1，底面ABC 为等边三角形，PA PB PC ==，且P ，A ，B ，C 都在体积为323π的球O 的表面上，则该三棱锥的底面ABC 的边长为（ ）A B C ．3 D ．【答案】C【分析】利用球的体积公式求出球的半径，画出图形，设点1O 为ABC 的外心，则1OO ⊥平面ABC ．求解13AO =．通过求解三角形推出AB 即可． 【详解】设球O 的半径为R ，由球的体积为323π可得，343233R ππ=，解得2R =．因为三棱锥P ABC -的高h 为1，所以球心O 在三棱锥外． 如图，设点1O 为ABC 的外心，则1OO ⊥平面ABC ．在Rt △1AO O 中，由22211AO OA OO =-，且11OO R h =-=，得13AO =．因为ABC 为等边三角形，所以123sin 6033AO AB AB =⋅︒=， 所以133AB AO ==． 故选：C ．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则10P 的值为（ ）A ．5111024B ．12C ．5131024D ．257512【答案】A【分析】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5的概率为14，第n 次由甲掷有两种情况：一是第1n -次由甲掷，第n 次由甲掷，概率为114n P -；二是第1n -次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为()1314n P --，由已知得11324n n P P -=-+，可得到数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，由此可得解.【详解】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为41164=， 第n 次由甲掷有两种情况：一是第1n -次由甲掷，第n 次由甲掷，概率为114n P -；二是第1n -次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为()1314n P --． 这两种情况是互斥的，所以()1113144n n n P P P --=+-，即11324n n P P -=-+，所以1111222n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以11122P -=为首项，12-为公比的等比数列，所以1111222n n P -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以9101115112221024P ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭． 故选：A【点睛】方法点睛：本题考查概率的求法，互斥事件概率加法公式，等比数列的性质，在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠），可以利用构造法求数列的通项公式：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；11．若()P n 表示正整数n 的个位数字，()2(2)n a P n P n =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =（ ） A ．1- B ．0 C ．1009 D ．1011【答案】C【分析】根据题意可判断数列{}n a 为周期数列，且周期为10，即可求解.【详解】由题意得11a =-，20a =，33a =，42a =-，55a =，64a =，75a =，82a =-，97a =-，100a =，111a =-，120a =……所以数列{}n a 为周期数列，且周期为10． 因为105S =，所以20215202(1)1009S =⨯+-=． 故选：C.12．已知函数()()3()ln ||,(ln3),(ln3),3,x e f x e x a f b f c f d f e ==-===，则a ，b ，c ，d 的大小顺序为（ ） A ．a b c d >>> B ．d c b a >>> C ．c d b a >>> D ．c d a b >>>【答案】B【分析】对,a b 化简变形得ln(ln 3),3ln(ln 3)3a b ==，从而可得a b <，而函数()ln ||x f x e x =在区间(0,)+∞上单调递增，所以b ，c ，d 中b 最小，然后构造函数()ln g x x e x =-，利用导数判断其在区间[),e +∞上单调递增，从而可得(3)3ln3()0g e g e =->=，3ln3e >，于是可比较出c ，d 的大小【详解】因为ln3ln3ln(ln3)(ln3)ln(ln3),(ln3)ln(ln3)3ln(ln3)3a f eb f e -=-=====，所以a b <．因为函数()ln ||x f x e x =在区间(0,)+∞上单调递增，且1ln32<<，332,2e e >>，所以b ，c ，d 中b 最小．构造函数()ln g x x e x =-，则()x eg x x-'=， 当x e 时，()0g x '，所以()g x 在区间[),e +∞上单调递增， 所以(3)3ln3()0g e g e =->=，所以3ln3e >． 所以33e e >，所以d c >，所以d c b a >>>． 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数值大小的比较，解题的关键是构造函数()ln g x x e x =-，利用导数判断其在区间[),e +∞上单调递增，从而可比较出c ，d 的大小，考查计算能力，属于较难题二、填空题13．若向量a ，b 满足()()cos ,sin ,2a b θθθ=∈=R ，则2a b -的取值范围为_________． 【答案】[0,4]【分析】依题意可知1a =，又2b =，设a 与b 的夹角为α，则()2288cos a bα-=-．由[0,]απ∈可得结果.【详解】依题意可知1a =，又2b =，设a 与b 的夹角为α， 则()22224488cos a ba b a b α-=+-⋅=-．因为[0,]απ∈，所以088cos 16α-，所以024a b -．故答案为：[]0,4.14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为___________． 【答案】48【分析】结合已知条件，对可能出现的情况进行讨论，然后运用排列的知识进行求解. 【详解】按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有1222A A 种，乙第三个到达有112222A A A 种，乙第四个到达有2232A A 种，乙最后到达有44A 种，所以不同的情况种数为121122242222232448A A A A A A A A +++=．故答案为：4815．已知等差数列{}n a 满足23a =，3a 是1a 与9a 的等比中项，则21ni i a =∑的值为_________．【答案】3n 或()312n n +【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出d 的值，再利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3a 是1a 与9a 的等比中项，所以()()()22227a d a d a d +=-+， 即()()()23337d d d +=-+，整理得2230d d -=，解得0d =或32d =． 当0d =时，224213ni n i a a a a n ==+++=∑；当32d =时，()2322n a a n d n =+-=，则23n a n =， ()()22421333122ni ni n n n n a a a a =++=+++==∑． 故答案为：3n 或312n n.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA =+=，E 为棱11C D 上任意一点，给出下列四个结论： ①1BD 与AC 不垂直；②长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积最小为3π；③E 到平面11A B D 的距离的最大值为2； ④长方体1111ABCD A B C D -的表面积的最大值为6． 其中所有正确结论的序号为__________． 【答案】②③④【分析】根据正方体的性质，取正方体即可否定①；设AD x =，可求得长方体长方体的对角线，利用二次函数性质求得对角线最小值，进而求得外接球的表面积最小值，可判定②；利用等体积法求得点E 到平面11A B D 的距离为h 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得其最大值，进而判定③；求得表面积关于x 的表达式，利用二次函数的性质求得最大值，可判定④.【详解】对于①，当长方体为正方体时，1BD AC ⊥，故①错误；对于②，如图，设AD x =，则12(02)AA x x =-<<，所以1BD 当1x =时，1BD1111ABCD A B C D -最小值为3π，故②正确；对于③，设点E 到平面11A B D 的距离为h ，如图，由1111E A DB D A B E V V --=可得111111133A DB A B E Sh S DD ⋅=⋅，所以由②可知，h =，其中22(2)12x x x x +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当且仅当2x x =-，即1x =时等号成立，2[(22x +=2x x =-，即1x =时等号成立，所以22h，当且仅当2x x =-，即1x =时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为2222(2)2(2)4422(1)6S x x x x x x x =+-+-=+-=--+，当1x =时，S 的最大值为6，故④正确． 故答案为：②③④【点睛】关键是设出AD 的长度，求得相应的函数表达式，然后利用基本不等式或二次函数的性质求最值.另外，在正方体中，体对角线是与个面上的与之不相连的面对角线垂直的，这点不难用线面垂直的判定定理证明，也是应当熟记的结论；等体积法求点到平面的距离也是常用的方法，要熟练掌握.三、解答题17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,7,1BD AC BC ===．（1）求CBD ∠的大小； （2）求ADE 的面积． 【答案】（1）3π；（2）233. 【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理可得ABC ∠，进而可得CBD ∠； （2）先证得//BC AD ，由此可得2DE BE =，进而可得ADE 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，2,7,1AB AC BC ===，由余弦定理得22222221(7)1cos 22212AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⨯⨯⨯．因为0ABC π<∠<，所以23ABC π∠=，从而233CBD ABD ππ∠=-∠=．（2）由3CBD ADB π∠==∠知，//BC AD ，所以BCE DAE ∽，所以12BC BE AD DE ==，所以2DE BE =．因为2BD =，所以43DE =． 所以11423sin 2sin 22333ADESAD DE ADE π=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“312++”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A 组合：物理、化学、生物，B 组合：历史、政治、地理，C 组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A 组合的概率为35，选择B 组合的概率为15，选择C 组合的概率为15，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望． 【答案】（1）18125；（2）分布列见解析，65. 【分析】（1）用i A 表示第i 位同学选择A 组合，用i B 表示第i 位同学选择B 组合，用iC 表示第i 位同学选择C 组合，1,2,3i =，则由题意可得()()()311,,555i i i P A P B P C ===，而三位同学恰好选择不同组合共有336A =种情况，每种情况的概率相同，从而可求出概率；（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5B η⎛⎫⎪⎝⎭，然后求出各自所对应的概率，从而可得η的分布列及数学期望【详解】解：用i A 表示第i 位同学选择A 组合，用i B 表示第i 位同学选择B 组合，用i C 表示第i 位同学选择C 组合，1,2,3i =． 由题意可知，,,i i i A B C 互相独立，且()()()311,,555i i i P A P B P C ===．（1）三位同学恰好选择不同组合共有336A =种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率()()()()12312331118666555125P P A B C P A P B P C =⨯=⨯=⨯⨯⨯=．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5B η⎛⎫⎪⎝⎭，所以03032327(0)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132354(1)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21232336(2)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(3)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以η的分布列为η0 1 2 3P27125 54125 36125 8125所以27543686()01231251251251255E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，两个全等的梯形ABCD 与BAFE 所在的平面互相垂直，,//,,2AB AD AD BC AB AD BC AD ⊥==，P 为CF 的中点．（1）证明：//DP 平面ABFE ；（2）求平面DEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26【分析】（1）取BF 的中点Q ，连接,PQ AQ ，证得//DP AQ ，结合线面平行的判定定理，即可证得//DP 平面ABFE ．（2）以B 为原点，以,,BA BC BF 所在直线为x ，y ，z 轴建立的空间直角坐标系，设2BC =，分别求得平面DEF 和平面BCF 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）如图所示，取BF 的中点Q ，连接,PQ AQ ， 因为P ，Q 为,CF BF 的中点，所以//PQ BC ，且12PQ BC =． 又因为//,2AD BC BC AD =，所以//PQ AD ，且PQ AD =， 所以四边形ADPQ 为平行四边形，所以//DP AQ ，又由AQ ⊂平面ABFE ，DP ⊄平面ABFE ，所以//DP 平面ABFE ． （2）因为平面ABCD ⊥平面BAEF ，平面ABCD 平面,BAEF AB FB AB =⊥， 且FB ⊂平面BAEF ，所以FB ⊥平面ABCD ，又因为BC ⊂平面ABCD ，所以FB BC ⊥， 又由,AB FB AB BC ⊥⊥，以B 为原点，以,,BA BC BF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设2BC =，则(1,1,0),(1,0,2),(0,0,1),(1,0,0)D E F A ， 可得(1,1,1),(0,1,2)FD ED =-=-设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n FD n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，可得(121)n ,,=-，又由平面BCF 的一个法向量为(1,0,0)m BA ==，所以16cos ,6||||16m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯．所以平面DEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为66．20．已知曲线C 2222(1)(1)4x y x y ++-+=． （1）求曲线C 的离心率；（2）设曲线C 的右焦点为F ，斜率为k 的动直线l 过点F 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，证明：||||PF AB 为定值． 【答案】（1）12；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可知点(,)x y 到点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，且42>，所以曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长为4，焦距为2，从而可求出离心率；（2）由（1）可求得曲线C 的方程为22143x y +=，则(1,0)F ，所以直线l 为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出AB 的中点坐标，则可得线段AB 的垂直平分线的方程，则可表示出点P 的坐标，从而可表示出||PF ，再利用弦长公式表示出||AB ，进而可得||||PF AB 的值 【详解】（14=可知，点(,)x y 到点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，且42>，根据椭圆的定义可知，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆． 设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ， 则24,22a c ==， 所以曲线C 的离心率为12c e a ==． （2）证明：设椭圆的短轴长为2b ， 由（1）可得2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=，则(1,0)F ． 由题意可知，动直线l 的方程为(1)y k x =-， 设()()1122,,,A x y B x y ，由221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得()()2222348430kxk x k +-+-=，所以()22121222438,3434k k x x x x k k-+==++． 设AB 的中点为()00,Q x y ，则212024234x x k x k+==+，()0023134k y k x k -=-=+． 当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2234k x k =+，所以()222231||13434k k PF k k +=-=++，||AB =()2212134k k+=+，所以()()222231||134||412134k PF k AB k k ++==++．当0k =时，l 的方程为0y =， 此时，||1||24,||1,||4PF AB a PF c AB =====． 综上，||||PF AB 为定值． 21．已知函数2()ln ,(),x f x x a x g x x e a =+=∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2a =时，方程()()g x mf x =有两个实根，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）(,)e +∞.【分析】（1）先求出函数()f x 的定义域，然后对函数求导，再分0a ，0a <判断导数的正负，从而可得函数的单调区间；（2）方程()()g x mf x =有两个实根，转化为函数2()(2ln )x h x x e m x x =-+有两个零点，而22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+，令2ln t x x =+，由（1）得t 是关于x 的单调递增函数，且t ∈R ，所以只需函数()t u t e mt =-有两个零点，令()0u t =，得1t tm e=，令()t t t e ϕ=，然后利用导数求出函数()t ϕ的单调区间和极值，画出函数图像，结合图像求解即可【详解】解：（1）由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln ,f x x a x a =+∈R ， 所以()1a x a f x x x+'=+=． ①当0a 时，()0f x '>在区间(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间． ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-， 令()0f x '<，得0x a <<-，所以函数()f x 的单调递增区间为(,)a -+∞，单调递减区间为(0,)a -．（2）方程()()g x mf x =有两个实根，即关于x 的方程2e (2ln )0x x m x x -+=有两个实根，即函数2()(2ln )x h x x e m x x =-+有两个零点．又22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+， 令2ln t x x =+，由（1）得t 是关于x 的单调递增函数，且t ∈R ， 所以只需函数()t u t e mt =-有两个零点．令()0u t =，得1tt m e =， 令()t t t eϕ=，则1()t tt e ϕ-'=，易知当(,1)t ∈-∞时，()t ϕ单调递增， 当(1,)t ∈+∞时，()t ϕ单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最大值1(1)eϕ=．又因为当0t <时，()0t ϕ<，当0t >时，()0t ϕ>，(0)0ϕ=，则函数()ttt e ϕ=的图象如图所示，所以当110,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即(,)m e ∈+∞时，函数()h x 有两个零点． 所以实数m 的取值范围为(,)e +∞【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是方程()()g x mf x =有两个实根，转化为函数22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+有两个零点，结合（1）转化为函数()t u t e mt =-有两个零点，再利用导数求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos (0,02,)42b πρθρθπ⎛⎫+=<∈ ⎪⎝⎭R ． （1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 上存在点P 到曲线2C 的距离为1，求b 的取值范围．【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=，0x y b --=；（2）[-.【分析】（1）由12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消去参数α即可；由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin θθ-=，再将cos ,sin x y ρθρθ==代入求解； （2）设(12cos ,12sin )P αα+-，根据曲线1C 上存在点P 到直线0x y b --=的距离为1，1=有解，利用三角函数的性质求解.【详解】（1）由12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消去参数α，得曲线1C 的普通方程为22(1)(1)4x y -+-=．由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin θθ=，令cos ,sin x y ρθρθ==， 得x y b -=，所以曲线2C 的直角坐标方程为0x y b --=． （2）设(12cos ,12sin )P αα+-， 因为点P 到直线0x y b --=的距离为1， 1=，化简得4b πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ①．若关于α的方程①有解，则曲线1C 上存在点P 到曲线2C 的距离为1，所以4b πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②或4b πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由②得232b ， 由③得22b-，所以b 的取值范围为[-．23．已知函数()|2|||,,f x x a x b a b =-++∈R ． （1）当4,1a b ==时，求不等式()9f x 的解集； （2）当0ab >时，()f x 的最小值为1，证明：1292a b +． 【答案】（1）[2,4]-；（2）证明见解析.【分析】（1）用零点分段法去绝对值后再解不等式即可； （2）根据三角不等式得到12ab +=，再用基本不等式即可证明. 【详解】（1）解：由题意得()|24||1|f x x x =-++， 当2x 时，原不等式可化为339x -， 解得4x ，故24x ； 当12x -<时，原不等式可化为59x -， 解得4x -，故12x -<； 当1x <-时，原不等式可化为339x -+， 解得2x -，故21x -<-．综上，不等式()9f x 的解集为[2,4]-． （2）证明：因为()|2|||2||||()12222aaa af x x a x b x x b x x b x x b b =-++=-++-++--+=+=，且0ab >， 所以121255922222a a ba b a b a b b a b +=++=+++=， 当且仅当23a b ==或23a b ==-时等号成立， 故原不等式得证．。

绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试文科数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B ⋂=（ ）A ．{3,5}B ．{2,4}C ．{3,7}D ．{2,5} 2，已知复数21(2)z i =-，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．已知向量(1,2),||2,||13a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙背定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为（ ）A ．1BCD ．27．MOD 函数是一个求余函数，格式为MOD(,)M N ，其结果为两个数M ，N 作除法运算MN后的余数，例：MOD(36,10)6=，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的6,1n v ==，则输出的u 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF 的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1+B ．1+C D9．已知函数()sin()(0,||)g x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ）A ．1()22g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．1()22x g x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1()22x g x f ⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()(21)g x f x =- 10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t 期中药材资源的再生量()1t t t x f x rx N⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中t x 为t 期中药材资源的存量，r ，N 为正常数，而t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t 期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（ ） A ．2r B ．3r C ．4r D ．5r 11．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数)()ln3sin 2f x x x x =+-+，则不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭的解集是（ ） A ．{|11}x x x <->或 B ．{|1}x x > B ．{|1}x x <- D ．{|11}x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点(2,3)P ，则cos2α的值为___________．14．若x ，y 满足约束条件1,36,24,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩则4z x y =+的最小值为__________．15．已知直线:l y x b =+为曲线()xf x e =的切线，若直线l 与曲线217()22g x x mx =-+-也相切，则实数m 的值为__________．16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin sin B C =c =，则ABC 外接圆半径的最小值为______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在公比为2的等比数列{}n a 中，234,,4a a a -成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2125log 1,,,?,n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 18．（12分）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13． （1）求22⨯列联表中p ，q ，x ，y 的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2PA AB ==，PB =，60ABC ∠=︒，且平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若M 是PC 上一点，且BM PC ⊥，求三棱锥M BCD -的体积． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=． （1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 21．（12分） 已知函数()(0)xa xf x a xe-=>． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上，()f x 是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程及极坐标方程；（2）过点A 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，当MCN 面积最大时，求直线l 的直角坐标方程． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数()1|21|f x x x =---． （1）求不等式()1f x -的解集；（2）若不等式()1f x ax <-恒成立，求实数a 的取值范围．河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·文科数学一、选择题1．B 【解析】由题意得{2,4,6,8}UA =，所以(){2,4}U AB ⋂=．2．D 【解析】复数21134(2)342525z i i i ===+--，则342525z i =-，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限．3．C 【解析】设第n 天募捐到n a 元，则数列{}n a 是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n 项和250(3)n S n n =+．因为7817500,22000S S ==，所以至少需要8天可完成募捐目标．4．D 【解析】因为||13a b -=，所以2()13a b -=，即22213a a b b -⋅+=．设a 与b 的夹角为θ，则32cos 413θ-⨯+=，解得cos 2θ=-，所以a 与b 的夹角为56π． 5．A 【解析】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求综上，优秀者为甲． 6．B 【解析】设左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 的中点为坐标原点，12,F F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则12(1,0),(1,0)F F -．设曲线上任意一点(,)P x y ，1=，化简得该卡西尼卵形线的方程为()()222222x yx y +=-，显然其对称中心为(0,0)．由()()222222xy x y +=-得()()222222240x y x y y +-+=-，所以()()222222x y x y ++，所以2202x y +2．当且仅当0,y x ==时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点．7．A 【解析】当1i =时，1v =；当2i =时，2v =；当3i =时，4v =…当7i =时，64v =，所以MOD(64,7)1u ==．8．D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a SS ab b ======，所以a b =，离心率c e a === 9．C 【解析】由题图可得()sin2g x x π=，所以由()sin 2f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象得()g x 的图象，只需将()f x 图象上的所有点向左平移12个单位长度得到12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得1()sin 222x g x f x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭．10．A 【解析】由题意得()22124t t t t t t x rx r N rN f x rx rx x N N N ⎛⎫⎛⎫=-=-+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2t N x =时，()t f x 有最大值4rN，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为422rNr N =． 11．A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ，由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=．两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．12．D【解析】构造函数)()()2ln 3sin g x f x x x x =-=-+-．因为()()0g x g x -+=，所以()gx 是奇函数，因为)ln3lnx -=，(sin )cos 10x x x '-=-，所以()g x 在区间(0,)+∞上是减函数．因为()g x 是奇函数且(0)0g =，所以()g x 在R 上是减函数．不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭等价于22(1)201f f x ⎛⎫-+--< ⎪+⎝⎭，即2(1)(1)1g g g x ⎛⎫<--= ⎪+⎝⎭，所以211x >+，解得11x -<<． 二、填空题13．513- 【解析】由题意得sin α==，则225cos212sin 121313αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭． 14．325【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，所以当目标函数过直线36,24x y x y +=-=-的交点224,55⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值，所以min 224324555z =⨯+=．15．4或2- 【解析】设直线:l y x b =+与曲线()xf x e =相切于点()00,xx e ，由()001xf x e '==，得00x =，所以切点坐标为(0,1)，所以直线l 的方程为1y x =+．又由直线l 与曲线()g x 相切，得217122x mx x -+-=+，化简得222(1)90,4(1)360x m x m --+=∆=--=，解得4m =或2m =-．16．1 【解析】由sinsin B C =，得sin cos 2sin sin cos B B C C C B +=-，即sin 2sin A B C =，所以由正弦定理得2a c=．所以22262cos 2a b c C ab +--==，所以62sin C +，设ABC 外接圆半径为R ，因此22(31)sin cR C=-，所以31R -1．三、解答题17．解：（1）因为数列{}n a 的公比q 为2， 所以2131412,4,484a a a a a a ==-=-．因为234,,4a a a -成等差数列， 所以1118284a a a =+-，解得12a =，所以2nn a =． （6分）（2）由（1）可得51,?,.?n nn n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数 （8分）所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以()()21321242n n n S b b b b b b -=+++++++()(616104)242n n =+++-++++()212(6104)212nn n -+-=+- 21522n n n +=++-12252n n n +=++-． （12分）18．解：（1）由题意得1163p p =+，解得8p =，所以40832q =-=， （2分） 所以16824,443276x y =+==+=． （4分）（2）由列联表中的数据可得2K 的观测值2100(1632844)0.585 2.70660402476k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯． （5分） 所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关． （7分） （3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比61244k ==． （7分） 因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性11644⨯=人，记为1234,,,A A A A ，女性1824⨯=人，记为12,B B ， （9分） 从这6人中抽取2人的所有方式为()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为62155P ==． （12分）19．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ⋂平面,ABCD AC BD =⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAC ． （2分）因为PA ⊂平面PAC ，所以PA BD ⊥． （3分）又因为2,PA AB PB === 所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥． （5分） 又因为,AB BD ⊂平面,ABCD AB BD B ⋂=， 所以PA ⊥平面ABCD ． （6分） （2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ， 因为AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥， （8分）所以PC ==，所以PBC 为等腰三角形．在PBC 中，由余弦定理得2223cos 24PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅． 因为BM PC ⊥，所以34PM PB =，所以34PM PC =． 易得14CM PC =， （10分）又1sin1202BCDSBC CD =⋅︒=，所以111112443436BCDM BCD P BCDV V S PA--==⨯⨯=⨯=三棱锥三棱锥．（12分）20．解：（1）由椭圆E的方程可得(,0),(,0)A aB a-．设()00,M x y，则()00,N x y-，所以200022000.MA NBy y yk kx a x a x a-⋅=⋅=-+--．又点()00,M x y在椭圆E上，所以2200221x ya b+=，所以22220002221y x a xb a a-=-=，所以2222214MA NBy bk kx a a⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e====．（4分）（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=．（5分）设直线l的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y=+，线段PQ的中点为(),S SS x y，联立221,4,xyy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得2258440x mx m++-=，则()()2226420441650m m m∆=--=->，解得25m<，所以21212844,55m mx x x x-+=-=，（7分）所以124,255S S Sx x m mx y x m+==-=+=，所以4,55m mS⎛⎫- ⎪⎝⎭．（8分）由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥， （9分）所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 解得35mt =-． （10分） 又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ， 所以PR QR ⊥，所以12121y t y tx x --⋅=-． 又1122,y x m y x m =+=+，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±． （12分）21．解：（1）由题意得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞， （1分）则22()xx ax af x x e --'=． （3分）令()0f x '=，得12x x ==．因为0a >，所以120,0x x <>．当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下表：所以函数()y f x =的单调递增区间为,,22a a ⎛⎛⎫-+-∞+∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为,0,22a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （6分）（2）令()0xa xf x xe -==，得x a =， 则a 是函数()f x 的唯一零点． （7分）因为20a x a -=-=<， 所以20a x <<，所以202aa x <<<． 当0x a <<时，()0f x >；当x a >时，()0f x <． （9分）由（1）可知函数()f x 在区间2,2ax ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增， （10分）所以()f x 在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为22a a f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()2222x a x f x x e -=，其中2x = （12分）22．解：（1）圆C 的直角坐标方程为22(2)8x y -+=， （2分） 极坐标方程为24cos 4ρρθ-=． （4分）（2）4A π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(4,4)A ． （5分） 111||||sin ||||84222MCNSCM CN MCN CM CN =∠=⨯=， 当90MCN ∠=︒时，面积最大，此时，圆心C 到直线l 的距离22d =⨯=． （6分） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，满足题意； （7分） 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k -+-=，圆心C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，即3440x y -+=． （9分） 综上，直线l 的方程为4x =或3440x y -+=． （10分）23．解：（1）由题意得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩ （2分）当12x时，令1x --，解得112x ； 当12x <时，令321x --，解得1132x <． （4分） 综上所述，()1f x -的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （5分）（2）由（1）得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当12x，-1x ax -<-，即(1)10a x +->， （6分） 此时，应有10,1(1)10,2a a +>⎧⎪⎨+->⎪⎩解得1a >； （7分）当12x <时，321x ax -<-，即(3)10a x -+>， （8分） 此时，应有30,1(3)10,2a a -⎧⎪⎨-+⎪⎩解得13a ． （9分）综上所述，实数a 的取值范围是(1,3]． （10分）。

绝密★启用前 2021.3.2 15：00-17：00河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试数学试卷总分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0,2,4B =，则A B =（ ）A.{}0,2,4B.{}0,2C.{}04x x ≤≤D.{}124x x x -=≤≤或 2.已知复数32i32i+=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()4,3A ，(B -，则AOB ∠的余弦值为（ ）4.已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A.若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b B.若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβ C.若a αβ=，b β⊂，b a ⊥，则αβ⊥D.若l αβ=，αβ⊥，a α⊂，a l ⊥，//a b ，则b β⊥5.在五边形ABCDE 中EB a =，AD b =，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN =（ ） A.3122a b + B.2133a b + C.1122a b + D.3144a b + 6.命题:p 关于x 的不等式210ax ax x +--＜的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的一个充分不必要条件是（ ）A.1a -≤B.0a ＞C.20a -＜＜D.2a -＜7.面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段.科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联合攻关.其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗､重组蛋白疫苗､腺病毒载体疫苗､减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线.若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（ ） A.14700 B.16800 C.27300 D.504008.若不等式1cos cos308m x x --≤对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.9,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.(],2-∞-C.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知11220log log 1a b ＜＜＜，则下列说法正确的是（ ）A.22114a b ＞＞＞B.1121a b＞＞＞C.11a bb a --＞ 1e e b -＞ 10.将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（ ） A.()g x 为奇函数 B.()g x 的周期为4πC.x ∀∈R ，都有()()g x g x +π=π-D.()g x在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为11.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列{}n a ：0.4，0.7，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位).现将数列{}n a 的各项乘以10后再减4，得到数列{}n b ，可以发现数列{}n b 从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）A.数列{}n b 的通项公式为232n n b -=⨯B.数列{}n a 的第2021项为20200.320.4⨯+C.数列{}n a 的前n 项和10.40.320.3n n S n -=+⨯-D.数列{}n nb 的前n 项和()1312n n T n -=-⋅12.在一张纸上有一圆()()222:20C x y r r ++=＞与点()(),02M m m ≠-，折叠纸片，使圆C 上某一点M '好与点M 重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M C '的交点为T ，则下列说法正确的是（ ）A.当22r m r ---+＜＜时，点T 的轨迹为椭圆B.当1r =，2m =时，点T 的轨迹方程为2213y x -=C.当2m =，12r ≤≤时，点T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[]2,4D.当r =2m =时，在T 的轨迹上任取一点S ，过S 作直线y x =的垂线，垂足为N ，则SON △(O 为坐标原点)的面积为定值三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩()~100,225X N .若成绩低于10m +的同学人数和高于220m -的同学人数相同，则整数m 的值为_______.14.已知抛物线24x y =，其准线与y 轴交于点P ，则过点P 的抛物线的切线方程为_______. 15.在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，其中3A π=，4b c +=，M 为线段BC 的中点，则AM 的最小值为_______.16.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA PB PC PD ===，2AB =，若四棱锥P ABCD -的体积为43，则以点P 为球心，PAB 交线的长度约为_______，该四棱锥P ABCD -外接球的体积为_______.(参考数据tan35︒≈)(本题第一空3分，第二空2分). 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在①ABC △的外接圆面积为3π②ADC △，③BDC △的周长为5补充在下面的问题中，并给出解答.问题：在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若_______，求CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4520.S S ==-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{}n a 与{}n b 的公共项为m a ，记m 由小到大构成数列{}n c ，求{}n c 的前n 项和n T . 19.(本小题满分12分)如图，已知圆台1O O 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，1AA ，1BB 为母线，平面11AAO O ⊥平面11,BB O O M 为1BB 的中点，P 为AM 上的任意一点.（1）证明：1BB OP ⊥；（2）当点P 为线段AM 的中点时，求平面OPB 与平面OAM 所成锐二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分)国务院办公厅印发了《关于防止耕地“非粮化”稳定粮食生产的意见》，意见指出要切实稳定粮食生产，牢牢守住国家粮食安全的生命线.为了切实落实好稻谷､小麦､玉米三大谷物种植情况，某乡镇抽样调查了A 村庄部分耕地(包含永久农田和一般耕地)的使用情况，其中永久农田100亩，三大谷物的种植面积为90亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为10亩；一般耕地50亩，三大谷物的种植面积为30亩，棉､油､蔬菜等的种植面积为20亩.（1）以频率代替概率，求A 村庄每亩耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率；（2）上级有关部门要恪促落实整个乡镇三大谷物的种植情况，现从本乡镇抽测5个村庄，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为A 村庄每亩耕地(永久农田和一般耕地)种植三大谷物的概率.若抽测的村庄三大谷物的种植情况符合要求，则为本乡镇记1分，若不符合要求，记-1分.X 表示本乡镇的总积分，求X 的分布列及数学期望；（3）目前在农村的劳动力大部分是中老年人，调查中发现，80位中老年劳动力中有65人种植三大谷物，其余种植棉､油､蔬菜等农作物；20位青壮年劳动力中有15人种植需要技术和体力，短期收益大的棉､油､蔬菜等农作物，其余种植三大谷物.请完成下表，并判断是否有99.9%的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关？附：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=＞＞的左､右焦点分别为1F ，2F ，P ⎛ ⎝⎭满足12PF PF +2a =，且以线段12F F 为直径的圆过点.P （1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线OM 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，当OMN △的面积为定值1时，12k k 是否为定值？若是，求出12k k 的值；若不是，请说明理由.22.(本小题满分12分)设函数()2ln f x x x x =++，()e x g x x=.（1）若()()()e xh x mf x g x x==-，m ∈R ，试判断函数()h x 的极值点个数；（2）设()()()222x x g x f x kx x xϕ=--++，若()1x ϕ≥恒成立，求实数k 的取值范围. 参考答案及解析河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·数学1.B【解析】集合B 中的元素在区间[1,2]-内的只有0，2， 所以{0,2}A B ⋂=. 2.D【解析】232(32)51232(32)(32)1313i i z i i i i ++===+--+，所以5121313z i =- 所以其在复平面内对应的点位于第四象限. 3.C【解析】作出平面直角坐标系，如图.设,,xOB xOA ∠α∠β==则.sin AOB ∠αβα=-=134cos ,sin ,cos .255αββ=-==所以()cos αβ-=143cos cos sin sin 255αβαβ+=-⨯+=4.104.D【解析】对于,A 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111//A B C D 平面11,ABCD A B ⊂平面1111,A B C D AC ⊂平面,ABCD 但11A B 与AC 不平行，故A 错误；对于,B 如图11,A B ⊂平面11,A B BA DC ⊂平面11,//,ABCD A B DC 但平面11A B BA 与平面ABCD 不平行，故B 错误；对于,C 如图，平面11ABC D ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面,ABCD 且,BC AB ⊥但平面ABCD 与平面11ABC D 不互相垂直，故C 错误；对于D ，由平面与平面垂直的性质定理，得,a β⊥又//,a b 所以,b β⊥故D 正确.5.C【解析】12MN MA AB BN EA AB =++=++ ()()11112222BD EA AB AB BD EB =+++=+111222AD a b =+ 6.D【解析】由题意知命题p 即()()110ax x -+<的解集为()1,1,,a ∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭其充要条件为 0,11,a a <⎧⎪⎨-⎪⎩得 1.a -因为(),2∞-- (],1∞-- 所以2a <-是1a -的一个充分不必要条件. 7.B【解析】将其余的7个团队分成5个组，然后再分配给各技术路线.第一类方案：按3，1，1，1，1分组，先从7个队中选择3个队，然后全排，有3575C A 种.第二类方案：按2，2，1，1，1分组，先分组再分配，共有22575522C C A A 种. 综上，由分类加法计数原理知，共有223557575522C C C A A A +=16800种分配方案. 8.A【解析】因为0,,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()cos 0,1,x ∈原不等式可变形为()11cos3cos 288cos cos x x x mx x +++== 21cos cos2sin sin2184cos 3.cos 8cos x x x x x xx-+=+-令()cos 0,1,t x =∈则()()2143,8g t t g t t='+-= 33322211641488888t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-==⨯=⨯22114416t t t t⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时(),0,g t '<()g t 单调递减;当1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()(),0,g t g t >'单调递增，所以()19.44g t g ⎛⎫=-⎪⎝⎭又min (),m g t 所以9.4m - 二､选择题 9.ACD【解析】已知11220log log 1,a b <<<因为y =12log x 在区间()0,∞+上单调递减，所以12b a <<<1,所以2211,4b a <<<故A 正确;因为函数1y x=在 区间()0,∞+上单调递减，因为11,2b a <<<所以2>111,b a>>故B 错误; 因为11a bb a -=--()()()()()()()()22111111a b a b a a b b b a b a ------==----()()()()1.11a b a b b a -+---又11,2b a <<<所以1,a b +> ()()()()10,11a b a b b a -+->--故C 正确;因为12b ->->1,a ->-函数xy e =为单调递增函数，所以1e<a be e --<<故D 正确. 10.ABC【解析】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y =2cos,2x再将得到的图象向左平移π个单位长度， 得()()2cos 2sin ,22x x g x g x π+⎛⎫==-⎪⎝⎭为奇函数， 故A 正确;4π为()g x 的周期，故B 正确;又()g x =2sin2x-的图象关于直线x π=对称，故C 正确； 令322,222x k k ππππ++解得43k x πππ++4,,k k Z π∈ 所以()g x 在区间[]4,34(k k k ππππ++∈Z )上单调递增，取0,k =得[],3,ππ所以()g x 在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以最小值为()2,g π=-故D 错误.11.CD【解析】数列{}n a 各项乘以10再减4得到数列{}:0,3,6,12,24,48,96,192,,n b故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以n b =20,1,32,2,n n n -=⎧⎨⨯⎩故A 错误； 从而410n n b a +==20.4,1,0.320.4,2,n n n -=⎧⎨⨯+⎩所以201920210.320.4,a =⨯+ 故B 错误;当1n =时11,0.4S a ==；当2n 时,n S =()012120.40.3222n n a a a -+++=+++++()11120.410.40.30.40.3212n n n n n ----=+⨯=+⨯--0.3.当1n =时1,0.4S =也符合上式，所以n S =10.40.320.3,n n -+⨯-故C 正确;因为n nb =20,1,32,2,n n n n -=⎧⎨⨯⎩所以当1n =时11,0,T b ==当n 2时(0123,230322n n T b b b nb =++++=+⨯+)(122132422.23223n n n T -⨯+⨯++⨯=⨯+⨯ )2312422,n n -+⨯++⨯所以03(2n T -=++)112212222223212n n n n n ---⎛-+++-⨯=+-⨯ -⎝)()112312,n n n --=-⨯所以()1312.n n T n -=-⨯又当1n =时1,T 也满足上式，所以()31n T n =-⨯12n -，故D 正确.12.ACD【解析】当22r m r --<<-+时，点M 在圆C 内，此时有,TM TC CM r CM '+==>故T 的轨迹是以,C M 为焦点的椭圆，故A 正确;当1,r =2m =时，点M 在圆C 外，此时有|||||TM TC CM r CM -==<'故T 的轨迹是以,C M 为焦点的双曲线，其中21,24,a r c CM ====故双曲线方程为221,11544x y -=故B 错误;当2m =时,12r 时,T 的轨迹是以,C M 为焦点的双曲线， 方程为2222444x y r r-=-1,所以离心率24,2c e r a r ===当12r 时,2e 4，故C 正确; 当2r m ==时,T 的轨迹方程为222,x y -=设(),,S p q 则222,p q -=直线SN 的方程为(),y q x p -=--它与y x =的交点N 的坐标为,,22p q p q ++⎛⎫ ⎪⎝⎭所以,ON p q SN=+=所以22124SNOp q SON SN -=⨯⋅==12为定值，故D 正确. 三､填空题 13.70【解析】由题意(10)(2P x m P x m <+=>-20).又()100,225,X N ~所以10220m m ++-=200，所以70.m =14.10,x y --=或10x y ++=【解析】抛物线2x =4y 的准线方程为1,y =-所以()0,1.P -设切点坐标为200,,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭切线斜率为200014,2x x k x +==解得0 2.x =±当02x =时,1,k =切线方程为1x y --=0;当02x =-时,1,k =-切线方程为10.x y ++=【解析】AM AM ⎛===2=因为4b c += 4,4,bcbc --当且仅当2b c ==时，1642-=；92π 【解析】42,3P ABCD AB V -==四棱锥 所以四棱锥P ABCD -的高 1.h =易知侧面PAB 底边AB ，所以球面与侧面PAB 的交线为弧线，如图，且长度352.180l π⨯≈=设四棱锥 P ABCD -外接球的球心为,O 则O 在四棱锥P ABCD -的高线上，设外接球的半径为,R 则22(1)R -+=2,R 解得33439,.2322O R V ππ⎛⎫===⎪⎝⎭球四､解答题17.解：因为cos23cos 1B B +=， 所以22cos 3cos 20B B +-=解得1cos 2B =或cos 2(B =-舍去)， 所以在ABC 中,3B π=.因为23sin sin sin ,4A CB ==所以2.b ac = 所以由余弦定理得22222cos b a c ac B a =+-=+2c ac -又2,b ac =所以2220,a c ac +-=即a c =，所以ABC 为等边三角形.因为1,3AD AB =所以在ADC 中，由余弦定理得CD =3a =选择条件①：由ABC 的外接圆面积为3,π得2R =所以sin3aπ=所以 3.a =故CD =.选择条件②：由ADC的面积为4， 得ABC，2=解得 3.a =故CD =. 选择条件③：由BDC的周长为5+得253a a ++=+ 所以 3.a =故CD =.18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为4520,S S ==-所以5540.a S S =-= 因为53520,S a ==-所以34,a =- 所以53253a a d -==-， 所以()55210.n a a n d n =+-=-（2）由题意知1444.n nn b -=⨯=因为210,m a m =-所以4102104,2n nm m +-==. 因此4104 5.22n nn c +==+所以123444455552222nn T =++++++++= ()4142214545.233n n n n --+=⨯+-19.（1）证明：过点1B 作平面AOB 的垂线，垂足为C ， 如图，则C 是OB 的中点，所以 1.BC = 又1,3OBB π∠=所以1 2.BB =连接1,OB 因为12BB OB ==，所以1OBB 为等边三角形.因为点M 为1BB 的中点，所以1.BB OM ⊥因为平面11AA O O ⊥平面11BB O O ，平面11AA O O ⋂平面111,BB O O OO =且1,AO OO ⊥AO ⊂平面11,AA O O所以AO ⊥平面11.BB O O因为1BB ⊂平面11,BB O O 所以1AO BB ⊥.又因为,AO OM O AO ⋂=⊂平面,OMA OM ⊂平面OMA ，所以1BB ⊥平面.OMA因为OP ⊂平面,OMA 所以1.BB OP ⊥（2）解：以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()(132,0,0,0,2,0,,0,,2A B B M ⎛⎝()333,1,,,1,,,0,2,024444P OP OB ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭设平面OPB 的一个法向量为(),,n x y z =则0,OP n OB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即30,420x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩取z =得3,0x y =-=，所以(3,0,,n =-因为1BB ⊥平面OAM ，所以平面OAM 的一个法向量为(10,,BB =-所以111cos ,19BB n BB n BB n ⋅===所以平面OAM 与平面OPB 所成锐二面角的余弦值为1920.解：（1）设事件M 为“耕地(包括永久农田和一般耕地)种植三大谷物”， 则()90304100505P M +==+.所以A 村庄每亩耕地种植三大谷物的概率为4.5（2）由（1）知，每个村庄的三大谷物的种植情况符合要求的概率均为45由题意知,X 的所有可能取值为5,3,1,1,3,5---则()5415153125P X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，()4154443155625P X C ⎛⎫=-=⨯-=⎪⎝⎭ ()232544321155625P X C ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3235441281155625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()445442563155625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()55541024553125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭则该乡镇的总积分X 的分布列为()()()()5313125625625E X =-⨯+-⨯+-⨯+ 128256102413536256253125⨯+⨯+⨯=2K 的观测值2100(6515155)24.107.80207030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 因为24.10710.828>所以有99.9%的把握认为种植作物的种类与劳动力的年龄层次有关. 21.解：（1）设()()12,0,,0F c F c -以线段12F F 为直径的圆过点P ，所以12PF PF ⊥.所以12PF PF c c ⎛⎛⋅=-+⋅+ ⎝⎭⎝0,=⎭所以c =所以22 3.a b -=将P ⎛ ⎝⎭代人22221(0),x y a b a b +=>>解得224,1,a b ==所以椭圆C 的标准方程为22 1.4x y +=（2）当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为x m =，设()()00,,,,M m y N m y -则22014m y +=①.又0121,2OMNSy m =⨯=所以221m y =②. 由①②得22012,,2m y ==所以0012y y k k m m -=⋅=2021.4y m -=- 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =()()1122,,,,,kx m M x y N x y +联立221,4x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222418440k x kmx m +++-=，22Δ6416160k m =-+>所以2121222844,1414km m x x x x k k--+==++， 所以()()(21212121y y kx m kx m k x x km x =++=++)222224,14m k x m k-+=+ 所以221212212444y y m k k k x x m -==-③.又MN ===点O到直线MN的距离d=所以12OMNS d MN=⨯=.21,14k==+即()()242224441410m k m k-+++=解得22142km+=，代入③式，得221212212444y y m kk kx x m-===-22214412144442kkk+-=-+⨯-综上可知，当OMN的面积为定值1时，12k k是定值14-.22.解：（1）由题意得()2ln(0),xeh x m x x xx x⎛⎫=++->⎪⎝⎭则()22121x xxe eh x mx x x-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭'()()()() 2222121,x xm x x e x m x e xx x⎡⎤+---+--⎣⎦=①当0m时(),20xm x e+-<，当()0,1x ∈时()(),0,h x h x >'单调递增，当()1,x ∞∈+时()(),0,h x h x <'单调递减.所以()h x 在1x =处取到极大值，有唯一的极大值点1x = ②当0m >时，()h x 极值点的个数与关于x 的方程 ()20x m x e +-=的正实数根有关，即与函数y m =与函数()()0,2x e y x x ∞=∈++的图 象的交点个数有关.令(),2xe q x x =+则()()210,(2)x e x q x x +=>+' 所以()q x 在区间()0,∞+上单调递增(),q x >()102q = 结合图象知，（i ）当102m <时(),20x m x e +-< 恒成立，当()0,1x ∈时()(),0,h x h x >'单调递增，当()1,x ∞∈+时()(),0,h x h x <'单调递减.所以()h x 在1x =处取到极大值，有唯一的极大值点1x = （ii ）当12m >时，存在唯一的()00,x ∞∈+，使得0.2xe m x -=+ 若01,x =则,3e m =方程()()2(2x e x m x x ⎡⎤+--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1)0=有两个相等的实数根1. 当()0,1x ∈时()(),0,h x h x <'单调递减，当()1,x ∞∈+时()(),0,h x h x <'单调递减，所以()h x 没有极值.若01,x ≠则,3e m ≠方程()()2(1)02x e x m x x ⎡⎤+--=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦有两个不相等的实数根1和0,x 此时()h x 有两个极值点. 综上，当12m 时，函数()h x 有一个极值点， 当12m >且3e m ≠时,函数()h x 有两个极值点， 当3e m =时，函数()h x 无极值点. （2）由题意知(),1x ϕ恒成立即ln x xe x x -+-1kx 恒成立，等价于min ln 1x xe x x k x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. 令()ln 1,x xe x x m x x--+= 则()22ln x x e x m x x+='令()2ln xx x e x μ=+ 易知()x μ在区间()0,∞+上单调递增， 当11x e =时1122111,110e ee e e e μ-⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭， 当21x =时(),10e μ=>所以()x μ在区间(0，1)上存在唯一的零点0,x 且()02000ln 0xx x e x μ=+= 在区间()00,x 上，()()0,x m x μ<单调递减， 在区间()0,x ∞+上()(),0,x m x μ>单调递增 所以()0000min 00ln 1()x x e x x m x m x x --+==. 又因为()00,x μ=所以00001ln ,x x e x x =-即001ln 001ln x x x e e x =⋅. 令()()(0),0x x x p x xe x p x e xe '=>=+> 所以()p x 在区间()0,∞+上单调递增， 所以001ln ,x x =即001,x e x =所以()0000112x x m x x +-+==， 所以2k ，即(],2.k ∞∈-。

绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试文科数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B ⋂=（ ）A ．{3,5}B ．{2,4}C ．{3,7}D ．{2,5} 2，已知复数21(2)z i =-，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．已知向量(1,2),||2,||13a b a b ==-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙背定优秀；丁：乙的说法是错误的若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为（ ）A ．1BCD ．27．MOD 函数是一个求余函数，格式为MOD(,)M N ，其结果为两个数M ，N 作除法运算MN后的余数，例：MOD(36,10)6=，如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的6,1n v ==，则输出的u 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF 的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1+B ．1+C D9．已知函数()sin()(0,||)g x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，函数()sin 2f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ）A ．1()22g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．1()22x g x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1()22x g x f ⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()(21)g x f x =- 10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t 期中药材资源的再生量()1t t t x f x rx N⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中t x 为t 期中药材资源的存量，r ，N 为正常数，而t 期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t 期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（ ） A ．2r B ．3r C ．4r D ．5r 11．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数)()ln3sin 2f x x x x =+-+，则不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭的解集是（ ） A ．{|11}x x x <->或 B ．{|1}x x > B ．{|1}x x <- D ．{|11}x x -<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点(2,3)P ，则cos2α的值为___________．14．若x ，y 满足约束条件1,36,24,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩则4z x y =+的最小值为__________．15．已知直线:l y x b =+为曲线()xf x e =的切线，若直线l 与曲线217()22g x x mx =-+-也相切，则实数m 的值为__________．16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin sin B C =c =，则ABC 外接圆半径的最小值为______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在公比为2的等比数列{}n a 中，234,,4a a a -成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()2125log 1,,,?,n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 18．（12分）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如下：从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是13． （1）求22⨯列联表中p ，q ，x ，y 的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，2PA AB ==，PB =，60ABC ∠=︒，且平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若M 是PC 上一点，且BM PC ⊥，求三棱锥M BCD -的体积． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=． （1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 21．（12分） 已知函数()(0)xa xf x a xe-=>． （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上，()f x 是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为2,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程及极坐标方程；（2）过点A 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点，当MCN 面积最大时，求直线l 的直角坐标方程． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数()1|21|f x x x =---． （1）求不等式()1f x -的解集；（2）若不等式()1f x ax <-恒成立，求实数a 的取值范围．河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试·文科数学一、选择题1．B 【解析】由题意得{2,4,6,8}UA =，所以(){2,4}U AB ⋂=．2．D 【解析】复数21134(2)342525z i i i ===+--，则342525z i =-，所以在复平面内z 对应的点位于第四象限．3．C 【解析】设第n 天募捐到n a 元，则数列{}n a 是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n 项和250(3)n S n n =+．因为7817500,22000S S ==，所以至少需要8天可完成募捐目标．4．D 【解析】因为||13a b -=，所以2()13a b -=，即22213a a b b -⋅+=．设a 与b 的夹角为θ，则32cos 413θ-⨯+=，解得cos 2θ=-，所以a 与b 的夹角为56π． 5．A 【解析】假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求综上，优秀者为甲． 6．B 【解析】设左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 的中点为坐标原点，12,F F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则12(1,0),(1,0)F F -．设曲线上任意一点(,)P x y ，1=，化简得该卡西尼卵形线的方程为()()222222x yx y +=-，显然其对称中心为(0,0)．由()()222222xy x y +=-得()()222222240x y x y y +-+=-，所以()()222222x y x y ++，所以2202x y +2．当且仅当0,y x ==时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点．7．A 【解析】当1i =时，1v =；当2i =时，2v =；当3i =时，4v =…当7i =时，64v =，所以MOD(64,7)1u ==．8．D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a SS ab b ======，所以a b =，离心率c e a === 9．C 【解析】由题图可得()sin2g x x π=，所以由()sin 2f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象得()g x 的图象，只需将()f x 图象上的所有点向左平移12个单位长度得到12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得1()sin 222x g x f x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭．10．A 【解析】由题意得()22124t t t t t t x rx r N rN f x rx rx x N N N ⎛⎫⎛⎫=-=-+=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当2t N x =时，()t f x 有最大值4rN，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为422rNr N =． 11．A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ，由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=．两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．12．D【解析】构造函数)()()2ln 3sin g x f x x x x =-=-+-．因为()()0g x g x -+=，所以()gx 是奇函数，因为)ln3lnx -=，(sin )cos 10x x x '-=-，所以()g x 在区间(0,)+∞上是减函数．因为()g x 是奇函数且(0)0g =，所以()g x 在R 上是减函数．不等式2(1)41f f x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭等价于22(1)201f f x ⎛⎫-+--< ⎪+⎝⎭，即2(1)(1)1g g g x ⎛⎫<--= ⎪+⎝⎭，所以211x >+，解得11x -<<． 二、填空题13．513- 【解析】由题意得sin α==，则225cos212sin 121313αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭． 14．325【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，所以当目标函数过直线36,24x y x y +=-=-的交点224,55⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值，所以min 224324555z =⨯+=．15．4或2- 【解析】设直线:l y x b =+与曲线()xf x e =相切于点()00,xx e ，由()001xf x e '==，得00x =，所以切点坐标为(0,1)，所以直线l 的方程为1y x =+．又由直线l 与曲线()g x 相切，得217122x mx x -+-=+，化简得222(1)90,4(1)360x m x m --+=∆=--=，解得4m =或2m =-．16．1 【解析】由sinsin B C =，得sin cos 2sin sin cos B B C C C B +=-，即sin 2sin A B C =，所以由正弦定理得2a c=．所以22262cos 2a b c C ab +--==，所以62sin C +，设ABC 外接圆半径为R ，因此22(31)sin cR C=-，所以31R -1．三、解答题17．解：（1）因为数列{}n a 的公比q 为2， 所以2131412,4,484a a a a a a ==-=-．因为234,,4a a a -成等差数列， 所以1118284a a a =+-，解得12a =，所以2nn a =． （6分）（2）由（1）可得51,?,.?n nn n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数 （8分）所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以()()21321242n n n S b b b b b b -=+++++++()(616104)242n n =+++-++++()212(6104)212nn n -+-=+- 21522n n n +=++-12252n n n +=++-． （12分）18．解：（1）由题意得1163p p =+，解得8p =，所以40832q =-=， （2分） 所以16824,443276x y =+==+=． （4分）（2）由列联表中的数据可得2K 的观测值2100(1632844)0.585 2.70660402476k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯． （5分） 所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关． （7分） （3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比61244k ==． （7分） 因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性11644⨯=人，记为1234,,,A A A A ，女性1824⨯=人，记为12,B B ， （9分） 从这6人中抽取2人的所有方式为()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为62155P ==． （12分）19．（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥．因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ⋂平面,ABCD AC BD =⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAC ． （2分）因为PA ⊂平面PAC ，所以PA BD ⊥． （3分）又因为2,PA AB PB === 所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥． （5分） 又因为,AB BD ⊂平面,ABCD AB BD B ⋂=， 所以PA ⊥平面ABCD ． （6分） （2）解：由（1）得PA ⊥平面ABCD ， 因为AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥， （8分）所以PC ==，所以PBC 为等腰三角形．在PBC 中，由余弦定理得2223cos 24PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅． 因为BM PC ⊥，所以34PM PB =，所以34PM PC =． 易得14CM PC =， （10分）又1sin1202BCDSBC CD =⋅︒=，所以111112443436BCDM BCD P BCDV V S PA--==⨯⨯=⨯=三棱锥三棱锥．（12分）20．解：（1）由椭圆E的方程可得(,0),(,0)A aB a-．设()00,M x y，则()00,N x y-，所以200022000.MA NBy y yk kx a x a x a-⋅=⋅=-+--．又点()00,M x y在椭圆E上，所以2200221x ya b+=，所以22220002221y x a xb a a-=-=，所以2222214MA NBy bk kx a a⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e====．（4分）（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为2214xy+=．（5分）设直线l的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y=+，线段PQ的中点为(),S SS x y，联立221,4,xyy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得2258440x mx m++-=，则()()2226420441650m m m∆=--=->，解得25m<，所以21212844,55m mx x x x-+=-=，（7分）所以124,255S S Sx x m mx y x m+==-=+=，所以4,55m mS⎛⎫- ⎪⎝⎭．（8分）由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥， （9分）所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 解得35mt =-． （10分） 又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ， 所以PR QR ⊥，所以12121y t y tx x --⋅=-． 又1122,y x m y x m =+=+，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±． （12分）21．解：（1）由题意得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞， （1分）则22()xx ax af x x e --'=． （3分）令()0f x '=，得12x x ==．因为0a >，所以120,0x x <>．当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下表：所以函数()y f x =的单调递增区间为,,22a a ⎛⎛⎫-+-∞+∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为,0,22a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （6分）（2）令()0xa xf x xe -==，得x a =， 则a 是函数()f x 的唯一零点． （7分）因为20a x a -=-=<， 所以20a x <<，所以202aa x <<<． 当0x a <<时，()0f x >；当x a >时，()0f x <． （9分）由（1）可知函数()f x 在区间2,2ax ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增， （10分）所以()f x 在区间,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为22a a f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()2222x a x f x x e -=，其中2x = （12分）22．解：（1）圆C 的直角坐标方程为22(2)8x y -+=， （2分） 极坐标方程为24cos 4ρρθ-=． （4分）（2）4A π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(4,4)A ． （5分） 111||||sin ||||84222MCNSCM CN MCN CM CN =∠=⨯=， 当90MCN ∠=︒时，面积最大，此时，圆心C 到直线l 的距离22d =⨯=． （6分） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，满足题意； （7分） 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k -+-=，圆心C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，即3440x y -+=． （9分） 综上，直线l 的方程为4x =或3440x y -+=． （10分）23．解：（1）由题意得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩ （2分）当12x时，令1x --，解得112x ； 当12x <时，令321x --，解得1132x <． （4分） 综上所述，()1f x -的解集为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （5分）（2）由（1）得1,,2()132,,2x x f x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩当12x，-1x ax -<-，即(1)10a x +->， （6分） 此时，应有10,1(1)10,2a a +>⎧⎪⎨+->⎪⎩解得1a >； （7分）当12x <时，321x ax -<-，即(3)10a x -+>， （8分） 此时，应有30,1(3)10,2a a -⎧⎪⎨-+⎪⎩解得13a ． （9分）综上所述，实数a 的取值范围是(1,3]． （10分）。