概率论论文—哈工大
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古典概率的性质及其证明
摘要：事件出现的可能性大小，是客观存在的，它揭示了这些事件的内在统计规律。
在生产实际中，了解和掌握事件发生的可能性大小是有重要意义的。
当一个试验满足样本空间包含的基本事件个数有限及每个事件等可能发生时，称其为古典概型试验。
其中某一事件发生的可能性成为古典概率。
本文研究古典概率的性质及其证明。
关键词：古典概率，性质，证明
事件的古典概率具有如下的性质:
(1)对任一事件A，有0≤P(A)≤1；
证由于任何事件A包含的基本事件数不超过基本事件的总数，
而P（A）=基本事件的总数数
所包含的基本事件的个
A
，故得证。
（2）P（S）=1；
证必然事件S包含一切基本事件，有上述公式，P(S)=1。
（3）若A,B互不相容，则P(A+B) = P（A）+ P（B）；
证设S={e1, e2, …, e n}, A={e i1,e i2, …, e ir}, B={e k1,e k2, …,
e kt}.由于A，B互不相容，它们不包含相同的基本事件，故 A+B=｛e i1，…, e ir，e k1，…，e kt｝.由P(A)=
基本事件的总数数
所包含的基本事件的个
A
，得
)()()(B P A P n t
n r n t r B A P +=+=+=
+
（4）P(Ᾱ)=1-P(A);
证 因A, A 互不相容，由公式P(A+B)=p(A)+P(B), P(A+Ā)=P(A)+P(Ā). 又因为A+Ā=S,故P(A+Ā)=1. 所以，P(Ᾱ)=1-P(A),得证。
（5）P(Ф)=0;
证 在式P(Ᾱ)=1-P(A)中，令A=S,则Ᾱ= Ф，于是 P(Ф)=1-P(S)=0.
（6）若A ⊂B,则P(A)≤P(B),且P(B-A)=P(B)-P(A);
证 因A ⊂B,故B=A+(B-A),其中A 与B-A 互不相容， 由式P(A+B)=P(A)+P(B)，P(B)=P(A)+P(B-A).
故得P(B-A)=P(B)-P(A). 因为P(B-A)≥0，所以由上式又
可得 P(A)≤P(B).
（7）(一般概率加法公式)对任意两个事件A 、B 有
P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB). 证 因
AUB=A+(B-A), A
与(B-A)互不相容，由
P(A+B)=P(A)+P(B)，
P(AUB)=P(A)+P(B-A)=P(A)+P(B)-P(AB). 性质（7）可以推广到任意n 个事件上去。
当n=3时，有 P （A 1UA 2UA 3）
)()()()()()()(3
21323121321A A A A A A A A A A A A P P P P P P P +---++=
一般地，设A 1，A 2，…，A n 为n 个事件，则 P （A 1UA 2U …UAn ）
+
-
=∑∑≤<≤=n
j i j
i
n
i i A A A P P 11)()(
)
()(211
1)1(A A A A A A n n n
k j i k j i P P -∑-≤<<≤++。
证 当n=3时，令A=A 1UA 2，B=A 3有 P(A 1UA 2UA 3)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A 1UA 2)+P(A 3)-P((A 1A 3)U(A 2A 3))
=P(A 1)+P(A 2)-P(A 1A 2)+P(A 3)- P(A 1A 3)-P(A 2A 3)+P(A 1A 2A 2A 3) = P(A 1)+P(A 2) +P(A 3) -P(A 1A 2) - P(A 1A 3)-P(A 2A 3) +P(A 1A 2A 3) 故n=3的时候等式成立。
假设n=k(k>3)的时候等式成立，则n=k+1时
同上，令A=A 1UA 2U …UAk , B=Ak+1，利用P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 可证。
