数字信号处理第七章1 FIR数字滤波器的设计方法

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故H ()对 0, ，2呈奇对称
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4）h(n)奇对称，N为偶数
幅度函数：
H
(
)
N 1
h(n) sin
n0
N 1 2
n
N 1
2 n0
2h(n)
sin
N 1 2
n
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N 1
H ()
2 n0
2h(n) sin
N 1 2
n
令 N n m 2
h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
n = (N – 1) /2 为h(n)的奇对称中心 N 1
2
0 / 2
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2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
由 h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
系统函数：
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
1
1 ri
z
1
1
ri
1 ri
z 1
z 2
" " i 负实轴上
" " i 0 正实轴上
N 3 N 1 1
2
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4） zi rie ji ri 1 i 0或
即零点既在实轴上，又在单位圆上 零点： 1
Hi (z) (1 z1)
" " i z 1 " " i 0 z 1 N 2 N 1 1
1
2ri
cosi z1
ri2 z2 ri2

第七章FIR滤波器的设计方法7.1引言数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分，其中FIR（有限冲激响应）滤波器是一种常见的数字滤波器。

FIR滤波器具有线性相位、稳定性和易于设计的特点，在各种应用领域如音频处理、图像处理和通信系统等都得到广泛应用。

本章将介绍FIR滤波器的设计方法。

首先，将介绍FIR滤波器的基本原理和结构，然后介绍常见的FIR滤波器设计方法，包括窗函数法、最小二乘法和频率采样法。

7.2FIR滤波器的原理和结构FIR滤波器是一种线性时不变系统，其输出信号是输入信号与滤波器的冲激响应之间的卷积运算结果。

FIR滤波器的冲激响应是有限长度的，因此称为有限冲激响应滤波器。

FIR滤波器的结构包括延迟单元和加权系数。

延迟单元用于存储输入信号的历史样本，而加权系数用于乘以相应的延迟单元样本。

滤波器的输出是延迟单元样本与加权系数的乘积之和。

7.3.1窗函数法窗函数法是一种常见的FIR滤波器设计方法。

其基本思想是通过窗函数将理想滤波器的频域特性调整到所需的频率响应特性。

常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗等。

具体的设计步骤包括选择窗函数、确定滤波器的阶数和剪切频率，并计算出相应的加权系数。

7.3.2最小二乘法最小二乘法是一种优化设计FIR滤波器的方法。

其基本思想是通过最小化实际输出与期望输出之间的均方误差来确定滤波器的加权系数。

常见的最小二乘法设计算法有布莱克曼算法和逆频域法等。

具体的设计步骤包括选择目标响应和误差函数，然后使用最小二乘法求解滤波器的加权系数。

7.3.3频率采样法频率采样法是一种常见的FIR滤波器设计方法。

其基本思想是在频域上对所需的频率响应进行采样，并计算出相应的加权系数。

常见的频率采样法设计算法有均匀频率采样法和非均匀频率采样法等。

具体的设计步骤包括选择目标响应和采样频率，然后使用插值法计算滤波器的加权系数。

7.4总结本章介绍了FIR滤波器的设计方法，包括窗函数法、最小二乘法和频率采样法。

对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满
足如下条件：

()
,
N1

2
2
h(n)h(N1n), 0≤ n≤ N1
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H ( e j ) H g () e j = N 1 h ( n ) e j n e j M 2 h ( n )c o s (( n ) )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool
用情况3的推导过程可以得到:
M
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin ［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg(ω)近似为：

H d (e j ) ，其时域采样响应 hd (n) 用 F 1 [] 对已知滤波器
表示为：
1 hd ( n) 2
例：对理想低通



H d (e j )e jn d
1 hd (n) 2
e

c
c
j
e
jn
c sin[ c (n )] d c ( n )
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线性相位FIR滤波器的特点 （20）
四、零点位置
由于线性相位FIR滤波器的系统函数总满足
H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )
H ( z i ) 0 ， z i 是 H (z ) 的零点
1 H ( z i1 ) z i( N 1) H ( z i ) 0 ，故 z i 也是 H (z ) 的零点
高保真音响系统：音乐的相位失真必须减到 最小，尽可能逼真地重现原来的声音。 理想微分器：……


5、线性相位的FIR滤波器设计基础

线性相位要求：
d ( ) g constant d
---- 系统的群延迟
( ) g
h[ p] sin[T ( T
p 0
不产生波形畸变），用FIR滤波器较适宜。
FIR滤波器是多项式形式，没有分式分母部分，易于 用FFT法实现。由于非线性相位系统一般可用IIR滤波器实 现，故这里讨论线性相位FIR。
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二、FIR与IIR相比较：
首先在相频特性控制上可以做到线性相位， IIR而不能做到这一点，这一点在通信等领域 中要求却很重要；
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设计流程：
H d (e j )
IDTFT
选择窗