勾股定理的逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理 知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。
知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。
（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。
例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】1、判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=14BC 。
求证∠EFA=90°。
【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。
例题3、如图在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 上的中线AD=6，求BC 边的长。
【变式练习】1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长2、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，且AB=AC 。
第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用姓名：基础题知识点1 勾股定理逆定理的应用1．在一根长为30个单位长度的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，将绳子分成长为5个单位长度，12个单位长度和13个单位长度的三条线段．自己握住绳子的两个端点(A点和D点交于一处)，两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能组成三角形2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B.若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )A．南偏东60°B．南偏西60°C．北偏西30°D．南偏西30°3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是( )A B C D4．某小区的一所健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200 m2的长方形，其长为20 m，餐饮区是一个半圆形，面积为 4.5π m2，休息区是一个三角形，边AE＝8 m，求休息区的面积．知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用5．如图，正方形网格中的△ABC.若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对6．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．7．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.中档题8．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是( )A.6013B．5 C.3013D．129．如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF 的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 kmC．200 km D．180 km10．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB－∠DCE＝ (点A，B，C，D，E是网格线交点)．11．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M 到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长．(2)直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．12．(教材P34习题T5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.(1)求∠BAD的度数．(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)．(3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．综合题13．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ (填“是”或“不是”)．(2)若某三角形的三边长分别为1，7，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．(3)在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a2∶b2∶c2.1．A 2．A 3．C4．解：根据题意，得12π×(ED 2)2＝4.5π，∴ED ＝6.∵AD ·AB ＝200，AB ＝20， ∴AD ＝10. ∵AE ＝8，∴AE 2＋ED 2＝AD 2，即∠AED ＝90°.∴S △AED ＝8×62＝24(m 2)，即休息区的面积为24 m 2.5．A6．解：在△ABC 中，∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°， ∴根据勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝42＋32＝52. ∴AC ＝5.∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝25＋144＝169， AD 2＝132＝169， ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 是直角三角形，且AD 为斜边， 即∠ACD ＝90°.7．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22＝13.∵在Rt △EDC 中，∠D ＝90°，CD ＝6，DE ＝4， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝62＋42＝52＝213. (2)证明：∵AC ＝13，CE ＝52，AE ＝65， ∴AE 2＝AC 2＋CE 2.∴∠ACE ＝90°. 8． A 9． C 10．45°11．解：(1)在Rt △MNB 中，BN ＝BM 2－MN 2＝1502－1202＝90(m)，∴AN ＝AB －BN ＝250－90＝160(m)．在Rt △AMN 中，AM ＝AN 2＋MN 2＝1602＋1202＝200(m)．∴供水点M 到喷泉A ，B 需要铺设的管道总长为AM ＋BM ＝200＋150＝350(m)．(2)喷泉B 到小路AC 的最短距离是BM ＝150 m. 12．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，S △ADC ＝12AD ·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB ′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B ′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB ′＝1，S △AB ′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B ′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22. ∴S △ADB ′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB ′D ＝S △AB ′C ＋S △ADB ′＝12＋24＝2＋24.13．解：(2)∵12＋(7)2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形．(3)当c 为斜边时，b 2＝c 2－a 2＝50，Rt △ABC 不是奇异三角形；当b 为斜边时，b 2＝c 2＋a 2＝150，∵50＋150＝2×100，∴a 2＋b 2＝2c 2.∴Rt △ABC 是奇异三角形．探究：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2. ∵c ＞b ＞a ，∴2c 2＞b 2＋a 2，2a 2＜b 2＋c 2. ∵Rt △ABC 是奇异三角形， ∴2b 2＝a 2＋c 2.∴2b 2＝a 2＋a 2＋b 2. ∴b 2＝2a 2.∴c 2＝3a 2. ∴a 2∶b 2∶c 2＝1∶2∶3.。
17.2 勾股定理的逆定理（第二课时）一、教学目标1．核心素养:通过运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识．2．学习目标（1）理解勾股数的含义.（2）能运用勾股定理的逆定理解决实际问题.3．学习重点勾股定理的逆定理的应用.4．学习难点二、教学设计（一）课前设计1．预习任务请写出几组能作为直角三角形边长的正整数.2．预习自测1.由7、24、25组成的三角形是直角三角形吗？2.我们知道以3、4、5为边长能构成直角三角形，那6、8、10呢？9、12、15呢？你发现了什么？（二）课堂设计1．知识回顾勾股定理的逆定理是什么？2．问题探究问题探究一勾股数●活动一理解定义像3、4、5这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数. 即满足的三个正整数就称为勾股数.再如：…●活动二推理论证我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，所以且3k 、4k 、5k 均为正整数，所以3k 、4k 、5k 也是一组勾股数.●活动三 推广提升一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 因为，，而，∴∴，则ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数.请你再写几组勾股数.问题探究二 利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题 重点知识★ ●活动一 初步应用 例1 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile ，“海天”号每小时航行12nmile, 它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？E NRP Q【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：根据题意PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18， QR=30，因为，即，所以QPR=90o .由“远航”号沿东北方向航行可知，“海天”号沿西北方向航行. 点拨：由已知条件易想到求出两轮船航行的路程，即为三角形的边长，从而已知C A 三角形的三边长，再利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形而解决问题 .●活动二 拓展提升例2 如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇B 测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【知识点：勾股定理的逆定理；】详解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC=90°.又AB 2+BC 2=52+122=169=132∴△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE=288，∴CE=13144. 13144÷169144≈0.85（小时），0.85×60＝51（分）.9时50分+51分＝10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.点拨：由题意可得△ABC 的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理的逆定理判断∠ABC=90°，由题可知走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ，再利用勾股定理建方程求出CE 的长，从而解决问题.问题探究三 勾股定理及逆定理的综合运用例3. 某中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【知识点：勾股定理，勾股定理的逆定理；】详解：连接BD. 在Rt△ADB中∠BAD=90o，BD==5，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴S四边ADBC=S△ADB+ S△DBC=5×12=36∴36×200=7200（元）.答：学校需投入7200元买草皮.点拨：根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD==4，易求BD=5，而△CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案.3．课堂总结【知识梳理】1. 一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数.2.利用勾股定理的逆定理解决生活中的问题.【重难点突破】1.三个数是勾股数，则必须满足两个条件：（1）较小的两个数的平方和等于较大数的平方.（2）三个数必须是正整数.2.已知一个三角形的三边长时，首先应想到利用勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形.3.在勾股定理及其逆定理的综合运用时需注意正确区分：勾股定理是在直角三角形中运用，而其逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形.4．随堂检测1. 在△ABC中，三边长a、b、c满足 = 0，则此三角形为（）A . 钝角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【知识点：勾股定理的逆定理】【答案】D2. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数：， .【知识点：勾股数】【答案】5，12，13；9，40，41.3．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东50°航行，乙船以12海里/时向南偏东方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船出发后的航向是南偏东多少度？东【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】∵AC＝16×3＝48，AB＝12×3＝36，∴222222+=-==，BC AC AB604836∴△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∴乙船出发后的航向是南偏东40o.4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，BD=5，DC=13 ， BC=12，这个零件符合要求吗？【知识点：勾股定理的逆定理；数学思想：模型思想】【答案】这个零件符合要求.在△ADB中，，则，∴∠DAB=90o，同理，在△DBC中，则∴∠DBC=90o，∴这个零件符合要求.。
