导数与函数单调性课件

THANKS
感谢观看
利用导数单调性，投资者可以评估不 同投资方案的收益和风险，选择最优 的投资策略。
供需关系分析
通过导数单调性分析，可以研究市场 供需关系的变化，预测价格波动和供 求平衡点。
导数在物理学中的应用
速度与加速度的研究
导数单调性在物理学中常用于研究物体的运动状态，如速度和加 速度的变化趋势。
热传导现象分析
通过导数单调性，可以研究热量在物体中的传递方式和速度，解释 热传导现象。
导数单调性与函数极值的关系
总结词
导数单调性是判断函数极值的重要依据
详细描述
函数极值点处的一阶导数等于0，而二阶导数决定了函数的极值是极大值还是极小值。如果二阶导数在极值点处 大于0，则该极值为极小值；如果二阶导数在极值点处小于0，则该极值为极大值。因此，通过分析导数的单调性 ，可以判断函数极值的性质。
《导数单调性》ppt课件
contents
目录
• 导数与单调性的关系 • 导数在研究函数单调性中的应用 • 导数单调性的实际应用 • 导数单调性的深入理解 • 练习与思考
01
导数与单调性的关系
导数定义与几何意义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数在该点的切线斜率。
几何意义
导数表示函数图像在该点的切线 斜率，即函数值在该点的变化率 。
波动现象分析
导数单调性可以用于分析波动现象，如声波、电磁波等的传播规律 。
导数在工程学中的应用
01
02
03
控制系统分析
在工程学中，导数单调性 常用于分析控制系统的稳 定性，如调节水箱水位、 温度等。
结构设计优化
利用导数单调性，工程师 可以分析结构的应力分布 和变形趋势，优化结构设 计。

练习2:确定下面函数的单调区间:
f(x)=x/2+sinx;
解: (1)函数的定义域是R,
f ( x) 1 cos x.
2
令 1 cos x 0 ,解得 2kp 2p x 2kp 2p (k Z).
2
3
3
令 1 cos x 0
2
,解得 2kp 2p x 2kp 4p (k Z).
小 结:
函数的单调性与其导函数正负的关系
求函数的单调区间的1x0)000即x2(x1x21(1xx1)11x0)
,
0
,
解得x>1.
故f(x)的递增区间是(1,+∞);
由
f
x
(x) 0 1 0
解得-1<x<1,
故f(x)的递减区间是(-1,1).
求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A；
(2) 求出函f(x)数的导数
在x∈(-∞,0)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
在x∈( 0,+∞)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 f (x) 0 , 则f (x)为增函数；
如果 f (x) 0 , 则f (x)为减函数。
f (x)
例1、 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
解： f (x)=3x2+3=3(x2+1)>0
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;

3.3.1函数的单调性与导数
第一页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数；
2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图 象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
内的图象平缓.
第十二页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
函数 y f (x)的图象如图所示, 试画出导函数 f (x图) 象的
大致形状
第十三页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
第二十页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
• 解法二：(数形结合)
• 如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在 (1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0 有一根为1，则另一根在[4,6]上．
所以ff′′((46))≤≥00，， 即35((57－－aa))≤≥00，， 所以 5≤a≤7.
总结
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅 仅得到 f '(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使 f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要 单独验证。
数.
第十六页，编辑于星期日：十二点 三十五分。
练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

a
b用导数确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减 当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
归纳小结
1.“导数法” 求单调区间的步骤：
①求函数定义域
②求 f '( x)
③令f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
2.如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，
如何表示单调区间？
不能用“∪”连接，应用“，”隔开
水以匀速注入下面四种底面积相同的容器中， 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函 数关系图象.
(1)→B (2)→A (3)→D (4)→C
问题 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增， 那么f′(x)一定大于零吗？
如f(x)=x3,x∈(-1,1)
不一定，应是 f′(x)≥0.
结论 若函数单调递增，则
若函数单调递减，则
已知 ，函数
在区间
上是增函数，求实数 的取值范围．
求下列函数的单调区间
在(, 0)上递减
o
在(0, )上递增
x
导数的正负
f '(x) 1 0
f '(x) 1 0 f '(x) 2x 0 f '(x) 2x 0
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减